Xấp xỉ trung bình bình phương

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, tốn học tính tốn, nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, giải phương trình, giải tốn xấp xỉ hàm số toán tối ưu Các toán xấp xỉ hàm số nội dung giải tích số, việc thay hàm số có dạng phức tạp hàm số đơn giản với sai số nhỏ Trong toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu toán nội suy, tốn xấp xỉ Song hai dạng tốn có số nhược điểm Người ta thấy toán xấp xỉ trung bình bình phương khắc phục nhược điểm Dưới hướng dẫn thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” nhận thứctrên, tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương” Cụ thể nghiên cứu vấn đề: - Xấp xỉ thực nghiệm - Xấp xỉ tốt không gian Hilbret không gian L2a,b Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận tơi khó tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu tốn xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tốn xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu toán xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Phương pháp nghiên cứu Đọc phân tích tài liệu liên quan CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.1.1 Trên tập X , xác định cấu trúc nếu với x, y X với t□ (hoặc t□ ) xác định phép cộng x+y X phép nhân txX thỏa mãn tính chất sau: a x+y=y+x b (x+y)+z=x+(y+z) s(tx)=(st)x c (s+t)x=sx+tx t(x+y)=tx+ty d X: x+=x; xX e (-x)X: x+(-x)=0; xX f 1.x=x Trong x,y,zX; s,t □ (hoặc s,t □ ) Khi (X,) khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.2.Cho hệ n vectơ x1, x2… xn không gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ 1 x1+ 2 x2 +3 x3+ …….+ n xn = Đẳng thức xảy 1 = 2 =… =n= hệ n véctơ độc lập tuyến tính tồn 1, 2, …,n với n   i i  để đẳng thức xảy hệ n vectơ 0 phụ thuộc tuyến tính 1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Định nghĩa1.2.1 Giả sử x khơng gian tuyến tính □ Ánh xạ X □ xác định X lấy giá trị xác định tập số thực : x □ ; xX thoả mãn điều kiện: a x 0; xX x =0x=0 b x   x + y ; x,yX y c  = x ; xX;  □ x gọi chuẩn X Không gian tuyến tính X với chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa1.2.2 Hai 1; xác định không gian tuyến tính X gọi tương đương, tồn số C1, C2 >0 cho: xX ; C1 x 1 x C2 x Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ A:XY gọi (giới nội) bị chặn tồn số M>0 cho: xX , Ax Y M x X Định lý : Nếu X khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều chuẩn X tương đương Chứng minh Thật vậy, giả sử X có 1; chuẩn cho trước Gọi S= xX / x nên x =1 Vì S đóng X có số chiều hữu hạn đạt max S kí hiệu M m tương ứng Xét x 0 phần tử X Khi đó: x = x x x1 x = x Nên m  x : x x1 1 x M : m x 1x M x x1 Vậy chuẩn tương đương Ví dụ: Với số p1; xét Lp0,1với x = x(t) Lp0, 1và y= y(t)Lp0,1ta định nghĩa: (x+y)(t)=x(t)+y(t); t 0,1 (kx)(t)=kx(t); t 0,1 Không gian Lp0,1 với phép tốn khơng gian tuyến tính 1 với xLp0,1và xét : x 0 p  = x(t)  p  Khi x chuẩn Lp  0,1 1.3 KHÔNG GIAN HILBERT 1.3.1 Tích vơ hướng 1.3.1.1 Định nghĩa Cho khơng gian tuyến tính X trường P (P trường số thực □ trường số phức □ ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích descartes X x X vào trường P,kí hiệu  , thoả mãn tiên đề: (x,yX) x,y= x, y (x,y,zX) x +y, z= x , z + y , z (x,yX) (P) x,y =x,y (xX); x,x>0, x 0 x,x=0, x = Cácphần tử x,y,z… gọi nhân tử tích vơ hướng, số x,ygọi tích vơ hướng nhân tử x y Các tiên đề 1,2,3,4 gọi tiên đề tích vơ hướng 1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản (x,yX), 0 , x= 0 , x= 0.x , x= 0.x , x= (x,yX), (P) x , y= x,y y, x Thật x , y =  y, x =  = x, y (x,y,zX), x , y +z= x , y+x, z Thật x , y + z = y z, x  y, x   z, x x, y  z, x 1.3.2 Không gian tiền Hilbret Định nghĩa : Không gian tuyến tính trường P với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Hệ quả: Mọi không gian có tích vơ hướng khơng gian định chuẩn với chuẩn x = x, x Chứng minh Giả sử dãy điểm (xn) X hội tụ tới x, dãy điểm (yn) X hội tụ tới y Khi đó: (C>0) (nN * ), y n C xn , yn x, y xn , yn x, yn x, yn x, y xn x yn  x y  C x  x y  n n n y y x  Suy ra, lim x , n n (n N * )  x, y yn 1.3.3 Không gian banach 1.3.3.1 Dãy Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, nếu: lim m ,n  xn , xm 0 1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach Không gian định chuẩn X gọi không gian banach, dãy X hội tụ 1.3.3.3 Một số ví dụ khơng gian banach Ví dụ 1: Đối với số thực x R ta đặt : x x Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức : x x ... hàm y gần với f(x) phương pháp bình phương vế thứ ta việc giải hệ (1.3) 2.2 Xấp xỉ hàm bậc 2.2.1 Phương pháp giải Ta phải tìm hàm y=ax+b gần với f(x) theo phương pháp bình phương vế thứ nhất:... j1 hàm m+1 biến a0,… , am Bài tốn tìm cực tiểu biểu thức (1.2) gọi xấp xỉ đa thức hay phương pháp bình phương bé ta giải hệ phương trình: D    0  0a  (1.3)  D Do D   ... tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu toán xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Phương pháp nghiên cứu Đọc phân tích tài liệu liên quan CHƯƠNG