Xấp xỉ trung bình bình phương

Lý do chọn đề tàiMỞ ĐẦU Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán họctính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giảiphương trình, giải

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán họctính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giảiphương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nội dung chính của giảitích số, bằng việc thay một hàm số có dạng phức tạp bởi một hàm số đơn giảnhơn với sai số nhỏ

Trong các bài toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu các bài toán nội suy,bài toán xấp xỉ đều Song hai dạng toán này có một số nhược điểm Người tathấy rằng bài toán xấp xỉ trung bình bình phương đã khắc phục được nhữngnhược điểm đó

Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” và nhận thứctrên, tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương”.

Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu 2 vấn đề:

- Xấp xỉ thực nghiệm

- Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbret và không gian L2a,b

Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của tôi khó tránhkhỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của cácthầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu các bài toánxấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert vàkhông gian L2a,b

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhấttrong không gian Hilbert và không gian L2a,b

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và phân tích tài liệu liên quan

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

với mọi x, y X với mọi t□ (hoặc t □ ) xác định phép cộngx+y X và phép nhân txX thỏa mãn các tính chất sau:

i

0

để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n vectơ đó

1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

2

Ánh xạ X □ xác định trên X lấy giá trị xác định trên tập

số thực :

x □ ; xX thoả mãn các điều kiện:

được gọi là chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa1.2.2 Hai 1; 2 cùng xác định trong không gian tuyến tính

X gọi là tương đương, nếu tồn tại 2 hằng số C1, C2 >0 sao cho:

xX ; C1 x 1x 2 C2 x 1

Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y là 2 không gian tuyến tính định chuẩn

Ánh xạ A:XY gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M>0 sao cho:

xX , Ax Y M x X

Định lý : Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi

chuẩn trong X tương đương

Chứng minh

Thật vậy, giả sử trên X có 1; 2 là 2 chuẩn cho trước

Gọi S= xX / x 1 =1 Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên x 2

đạt max và min trên S kí hiệu là M và m tương ứng

x

1

1 1Nên m 

x x

x =

1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản

1 (x,yX), 0 , x= 0 vì 0 , x= 0.x , x= 0.x , x= 0

2 (x,yX), (P) x , y= x,y

1

 y, xThật vậy x ,

1.3.2 Không gian tiền Hilbret

Định nghĩa : Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Hệ quả: Mọi không gian có tích vô hướng đều là không gian định chuẩn

1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach

Không gian định chuẩn X gọi là không gian banach, nếu mọi dãy cơ bảntrong X đều hội tụ

1.3.3.3 Một số ví dụ về không gian banach

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức : x x

 x j j 0 2

cho ta một chuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R1 Dễ

dàng thấy R1 là không gian banach

Ví dụ 2: Cho không gian véctơ k chiều Ek , trong đó :

Ek = x =(x1, ,xk); xj C  Đối với véctơ bất kỳ x = (x1

, ,xk) Ek

ta đặt:

x 

Từ công thức và hệ tiên đề metric suy ra:

Cho một chuẩn trên Ek không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Ek

Dễ dàng thấy Ek là không gian banach

Ví dụ 3: Cho không gian véctơ La,b Đối với hàm số bất kỳ x(t)

cho một chuẩn trên La,bkhông gian định chuẩn tương ứng kí

hiệu là La,blà không gian banach

1.3.4 Không gian Hilbert

1.3.4.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1: Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.

Định nghĩa 2: Ta gọi một tập H0 gồm những phần tử x,y,z, nào

đấy là không gian Hilbert nếu H thỏa mãn:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

x, x

2 H được trang bị một tích vô hướng ., ;

3 H là không gian banach với chuẩn x  ; xH

Quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính ( x n )n1

 sẽ kéo theo x1,x2 phụ thuộc tuyến tính,

điều này mâu thuẫn với giả thiết

x k

1,e i

e i , e j

yk 1 yk 1

 x k

1,e j x k 1, e j 0

Và y k 1 , vì :

y k 1  sẽ kéo theo x1,… xk+1 phụ thuộc tuyến tính, điều

này mâu thuẫn với giả thiết

gồm m véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2…), thì quá

trình trên dừng lại ở bước thứ m (mN *); còn nếu hệ

(k không vượt lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho) Khi đó:

2 2

e n hội tụ và gọi là chuỗi Fourier (hay khai

triển Fourier) của phần tử x thuộc H theo hệ trực chuẩn (e n )n1 H

3 (x, y

H ) x, y 

n

 1

cùng với tích vô hướng xác định như

trên là một không gian Hilbert

đoạn a,b bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên

x, y b

p(t)x(t) y(t)dt

a

2

Không gian L2 a,bvới tích vô hướng vừa xác định là không gian Hilbert.

Ví dụ 3: Xét trường hợp cụ thể của L2 a,bở trên a= -1; b= 1; p(t)

=1 và xét hệ đa thức x1(t)=1; x2(t)= t;……; xk(t)= tk-1; (k2)

2 3

y2 y2

2

22 35

Hãy trực giao hóa hệ xk (t) nói trên bằng quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

Dễ thấy x2, , e1 



1

tdt  0 2

3

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn ei.Tuy nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi

ei với một hằng số thích hợp để được một véc tơ mới, vẫn kí hiệu là ei

nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau:

e1(t)=1; e2(t)=t; e3(t)= 1 3t 2 1; e

(t) 5t

 2

2.1 Bài toán tổng quát

CHƯƠNG 2 XẤP XỈ THỰC NGHIỆM

Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một

nên hệ (1.3) vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để

a 2

(1.2) có cực tiểu.Từ đó ta suy ra hàm y gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất ta chỉ việc giải hệ (1.3)

j

Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:

y 37 3742  x 86

Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:

Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một

số điểm tương ứng y0, y1,…… , yn ứng với x0, x1, …., xn

Tìm hàm y=ax2 +bx +c gần nhất theo phương pháp bình phương bénhất:

Tìm y=ax2+bx+c gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất?

y0, y1,…… , yn ứng với x0, x1, …., xn

Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)

Ta có: y= aebx

Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

CHƯƠNG 3 XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HIBERT

Bài toán tìm đa thức nội suy của một hàm số cho trước y= f(x) trên đoạn

a,

b có thể được hiểu là tìm một đa thức Pn(x) xấp xỉ tốt hàm cho trước Từ

đó ta có thể xem xét vấn đề trong một cách nhìn rộng hơn

Xét X là một không gian metric và X0 là một không gian con của nó Với một phần tử f cho trước trong X, hãy tìm P0X0 sao cho:

thì kết quả chắc chắn lại khác biệt nhiều vv…

Bằng cách nhìn như vậy, trong mỗi không gian với khoảng cách khác nhau làlại có những bài toán xấp xỉ hàm khác nhau Do thời lượng hạn chế, dưới đây

ta chỉ xem xét một trong các bài toán đó là đa thức thu được gọi là xấp xỉtrung bình bình phương của hàm y=f(x) đã cho.

3.1 Xấp xỉ trong không gian Hilbert

3.1.1 Bài toán

Cho H0 là một không gian con của không gian Hilbert H và fH Bài toán đặt ra là tìm h*H0 sao cho:

f h 

( f h*)

(h * h  f h *

Dấu bằng chỉ xảy ra khi h=h* Vậy ta có điều phải chứng minh

0 Ghép phương trình (4) và hệ phương trình (3) được hệ:

2

G h1 , , h n , f 

G h1 , , h n 

3.2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L 2 a, bbằng đa thức đại số

3.2.1.1 Bài toán ước lượng tham số tổng quát

Kí hiệu tập các hàm bình phương khả tích trên đoạn a, blà L2 a,

b Giả sử f là hàm cho trước thuộc L2 a, b, ta muốn xấp xỉ f bởi hàm

là các hàm độc lập tuyến tính trong L2 a, bđược

chọn trước theo phương pháp chuyên gia Lúc đó các ci được tìm nhờ giải hệ phương trình tuyến tính:

và xấp xỉ tốt nhất của f trên đoạn

a, btheo bình phương tối thiểu là:

không là hệ trực chuẩn thì xây dựng hệ trực chuẩn nhờ quá

trình trực giao hóa Schmidt sau đó dùng hệ này để tìm xấp xỉ tốt nhất theocông thức (10) Nếu

Ví dụ: Xấp xỉ bằng đa thức Fourier là xấp xỉ tốt nhất trong

các đa thức lượng giác

2 Số nghiệm thực của đa thức trực giao Qn(x) trên a, bđúng bằng n.

3 Nghiệm của Qn-1(x) và Qn(x) xen kẽ nhau

4 Mỗi đa thức trực giao Qn thỏa mãn công thức truy hồi:

-Hệ hàm lượng giác 1, cos x,sinx, , cos nx,sinnx, trực giao và

P n ( x) a0  a k cos kx b k s inkx

k 1

với:

  1

thể chứng minh được rằng chuỗi Fourier hội tụ đều trên mỗi đoạn con

hữu hạn thuộc (a,b) (ở đây a ;b )

Ví dụ 1

Xấp xỉ trung bình hàm f(x)= 3x trên [-1, 1] bằng đa thức bậc 3?

Giải Cách 1:

k

 1(k= 0, 1, 2, ,6)

5 a1 

7 a3 m3



2 2k  1

1 , L3(x)= 5x3 

3x

,2

Nhận xét: Sử dụng đa thức đại số thường dẫn đến hệ đại số tuyến tính

điều kiện xấu Nghiệm không ổn định với các sai số làm tròn Tính toán với

đa thức trực giao ổn định hơn Đặc biệt, nếu thêm số hạng, dùng đa thức trựcgiao sẽ không phải tính lại từ đầu

Xấp xỉ trung bình hàm f(x)= x trên 1,1bằng đa thức bậc 5?

dx  3 16

Ví dụ 3



(7x 128

Do f C1

1,1

tụ đều

Giải

nên chuỗi Fourier của hàm f theo đa thức chebysev hội

Để có khai triển Fourier theo đa thức chebysev của hàm f(x), trước hết ta chứng minh công thức :

0

Tk (x) k

16 2Trong đó:

13 384

mắc phải sai số 0,00008+0,00002=0,0001.Ta tìm được đa thức bậc 5 xấp

Giải

Đặt z=cos+ i sin ,f(z)=

thì H(X) là một không gian véctơ

Nếu đưa tích vô hướng vào H(X), bằng cách đặt f , g

Với hàm số y =(x) trên đoạn

a, b thì hạn chế của trên (x)

X x0 , x1 , x n

tuy nhiên để đơn giản kí hiệu, trong toàn bộ

mục này ta vẫn viết thay cho x

với f H ( X ) cho trước

Từ lý luận chung đã trình bày ở trên rút ra

nghiệm của hệ phương trình:

(12)

Và đọ lệch nhỏ nhất được cho bởi công thức:

2

1 Có nhiều cách chọn hệ i ( x) L i ( x),i,L i ( x)là hệ đa thức Legendre có được bằng cách trực giao hóa hệ x i  Ngoài các hệ đa thức, có thể chọn hệ

thì ta thu được đa thức

xấp xỉ trung bình bình phương Pm(x) của hàm số y=f(x) là đa thức theo nghĩa thông thường, thỏa mãn điều kiện:

2

 2x 2 8 x 1

Và đây chính là đa thức xấp xỉ trung bình bình phương cấp 3 của

nó Ta có bảng giá trị của i , i=0,1,2,3 trong không gian H(x)

3



36 ; 2 ,2 98 ……

11

11 x 1 x 2

10 10 2

 1

KẾT LUẬN

Đề tài “xấp xỉ trung bình bình phương” đã trình bày một phương pháp

tổng quát cho bài toán xấp xỉ thực nghiệm Theo phương pháp bình phương

bé nhất khi ta không biết biểu thức hàm giải tích của hàm f(x) mà chỉ biết một

số điểm tương ứng: x0, x1,… ,xn ứng với y0, y1,… ,yn, ta cã thÓ tìm đượcmột hàm gần đúng với f(x) với một sai số nhỏ nhất Đề tài này tôi đãđưa ra phương pháp giải và một số ví dụ về tìm:

và đưa ra được một số ví dụ đơn giản về tìm

hàm số xấp xỉ với một hàm giải tích cho trước theo phương pháp xấp xỉ bằng

đa thức đại số hoặc xấp xỉ đa thức trực giao vv…

Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên tôi không tránh khỏinhững thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc để đềtài được hoàn chỉnh hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kỳ Anh (2005); Giải tích số, NXB Hà Nội

2 Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều (2003); Giải tích số, NXB ĐHSP

3 Nguyễn Minh Chương(chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Nguyễn VănTuấn (2001); Giải tích số, NXB Giáo Dục

4 Hoàng Xuân Huấn (2004); Giáo trình các phương pháp số, NXBĐại Học Quốc Gia Hà Nội

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn T.s Nguyễn Văn Hùng đã tận tình giúp đỡ tôi về mặt chuyên môn, hướng nghiên cứu, cách tổ

chức, triển khai và hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và đặc biệt là tổ

bộ môn giải tích trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi rất nhiềutrong việc thực hiện và hoàn thành khóa luận

Do còn hạn chế về kinh nghiệm và thời gian nên khóa luận còn nhiềuthiếu sót Tôi kính mong nhận được sự góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo

và các bạn đọc để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viênNguyễn Thị Thu Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

NGUYỄN VĂN HÙNG cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện đề tài này tôi tham khảo môt số tài liệu (đã nêu trongtài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong đề tài là kết quả nghiên cứu củariêng tôi, không trùng với tác giả nào khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàntrách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hằng

MỤC LỤC

Mở

đầu 1Nội dung

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian tuyến tính 31.2 Không gian định chuẩn 31.3 Không gian Hilbert 5Chương 2 : Xấp xỉ thực nghiệm 132.1 Bài toán tổng quát 132.2 Xấp xỉ hàm bậc nhất 14

2.2.1.Phương pháp giải 142.2.2.Một số ví dụ 142.3 Xấp xỉ hàm bậc 2 17

2.3.1.Phương pháp giải 172.3.2.Một số ví dụ 182.4 Xấp xỉ hàm mũ y = ae bx 20

2.4.1 Phương pháp giải 202.4.2 Một số ví dụ ……… 21Chương 3 : Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và

không gian L2 a ,b 263.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert 26

3.1.1.Bài toán 263.1.2.Các mệnh đề 273.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L2 a ,b  29

3.2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong L2 a ,bbằng đa thức đại số 293.2.2 Xấp xỉ nhờ hệ trực chuẩn 313.2.3.Xấp xỉ bằng đa thức trực giao 313.2.4.Xấp xỉ bằng hệ trực giao cho bằng bảng 40Kết

luận 45Tài

liệu tham khảo 46