Phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Tài liệu tham khảo:Phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Lời nói đầu

Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếutrong cuộc sống con nguời

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnhvực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bàitoán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u

Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm sốdới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằngnhững hàm số đơn giản hơn Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờngnghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trungbình phơng

Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trungbình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàmtrong thực nghiệm

Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp

đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án Đặc biệt

em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã

trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quátrình em làm đồ án tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng

Chơng I

PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM 1.1 Giới thiệu chung

1.1.1 Đặt vấn đề

Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm

mà ta đã biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( )x (đại số hoặc ợng giác) xấp xỉ hàm số yf x( ) mà ta đã biết các giá trị của hàm này là

l-i

y y tại các điểm x x Phơng pháp nội suy nói trên khi sử dụng trongithực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:

1 Trong các đa thức nội suy ( )x ta đòi hỏi (x i) = y Tuy nhiên sự đòi i

hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế Bởi vì các số y là giá trị i

của hàm yf x( ) tại các điểm x x i, trong thực tế chúng ta cho dớidạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toántrong thực hành Những số yi này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị

đúng ( )f x của hàm i yf x( )tại x x i Sai số mắc phải  i y i  f x( )inói chung khác không Nếu buộc ( ) x i  thì thực chất đã đem vàoy i

bài toán các sai số i của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải

là làm cho giá trị của hàm nội suy (x)và hàm f x( ) trùng nhau tại các

1.1.2 Bài toán đặt ra

Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thựchơn thông qua hai bài toán:

Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ).

Giả sử đã biết giá trị y i (i1,2, , )n của hàm y f x( ) tại các điểmtơng ứng x x Tìm hàm i m( )x xấp xỉ với hàm f(x) trong đó

bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ m (x) là tùythuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm f(x)

Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết).

Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm

Y f x a a( , 0, , ,1 a m) (1 –2)

Trong đó: a i (i1,2, , )m là những hằng số

Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm y y  i (i1,2, , )m

ứng với các giá trị x x i của đối Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệmthu đợc cần xác định các giá trị của tham số a a0, , ,1 a để tìm đợc dạng cụ m

thể của biểu thức (1 – 2): yf x( ) về sự phụ thuộc hàm số giữa y và x.

1.2 Sai số trung bình phơng và phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấp

xỉ tốt nhất với một hàm

1.2.1 Sai số trung bình phơng

Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số cótính chất ngẫu nhiên Những sai số này xuất hiện do sự tác động của nhữngyếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thựcnghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nóchấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên(nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thựcnghiệm) Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa raphải khá bé trên miền đang xét.

Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả

có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình

i

x f

n 1

2

)]

()([

1

 (2 –

1)

1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng

Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta giả thiết f x( ), (x) lànhững hàm liên tục trên đoạn a b và ,  X ( , , , )x x1 2 x là tập hợp các điểm n

[ ( )  ( )]2 (2 –3)

Giả sử ( )f x  ( )x có trên a b một số hữu hạn cực trị và ,   là một số

d-ơng nào đó cho trớc Khi đó trên a b sẽ có k đoạn riêng biệt ,  a b i, i(i1,2, , )k sao cho

( )f x  ( )x  (với  xa b , i, i (i1,2, , )k )

Gọi  là tổng các độ dài của k đoạn nói trên

Với n đủ lớn và nđủ bé, từ (2 – 2) ta suy ra  < ( bé tùy ý) Từ (2 – 3)suy ra

2(b  a) >  

b a

dx x x

b a i i

dx x x

Nghĩa là tổng độ dài  của các đoạn a b sẽ bé tùy ý i, i

Tóm lại: với n đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn a b (trừ tại những điểm của, những đoạn a b mà có tổng độ dài  bé tùy ý), ta có i, i

( )f x  ( )x 

Trong đó  là một số dơng tùy ý cho trớc

Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bìnhphơng nh sau:

Nếu sai số trung bình phơng n của hai hàm f(x) và (x) trên tập hợp n

điểm a b,  X (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và (x) khá bé.

1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng

Tõ ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph¬ng nãi trªn

Ta nhËn thÊy nÕu c¸c gi¸ trÞ y i (i1,2, , )n cña hµm f x( ) t¹i c¸c ®iÓm x i

vµ nÕu sai sè trung b×nh ph¬ng

( [

Ta xÐt trêng hîp ( )x lµ phô thuéc c¸c tham sè a a0, , ,1 a m

Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 – 4) với

hàm f x( )) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng 2

Giả sử cho hệ hàm: 0( ), ( ), ,x 1 x m( ), x Ta sẽ gọi hàm m( )x là đa

thức suy rộng cấp m nếu m( )x có dạng

Trong đó a a0, , ,1 a là các hệ số hằng số Hệ hàm { ( )} m m x đã cho gọi là hệ

cơ bản

2.1.2 Nội dung

Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm y i

(i1,2, , )n của hàm yf x( ) tại các điểm tơng ứng x Khi đó việc tìm i

một đa thức suy rộng có dạng (3 – 1) mà xấp xỉ với hàm f x( ) nói trên

 x x1, , ,2 x n a b,  sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số a trong (3 – 1) i

Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng m( )x với

cấp m không lớn lắm Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giảthiết n  m+1 Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1giá trị a từ n phơng trình: i y i m( )x i (i1,2, , )n (vì số phơng trình thờngnhiều hơn số ẩn)

Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy rộng

a

0

) (

x a

x y

1

2 1

1 0

   

1

1

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 ( ) ( )

n i i i m i m i i n i i i m i m i i i i i y x a x a x a x y x a x a x a x y x a x a                                  1 ( ) ( ) 0 n m i m m i i x a x                 (3 - 3) Gọi r là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là r(x i) Gọi y là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là y i Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có  

1 ,  ( )   m r i r i i y y x ;   1 , ( ) ( )       n r s r i s i i x x (3 –

4) Do đó (3 – 3) đợc chuyển về dạng

                        0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 , , , ,

, , , ,

, , , ,

m m m m m m m a a y a a y a a y                                         (3 - 5) Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: a a0, , ,1 a trong đa thức xấp xỉ m m (x) Ma trận của hệ phơng trình tuyến tính (3 – 5) có các phần tử là [ i, j], do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng) Ta sẽ gọi hệ phơng trình (3 – 5) là hệ phơng trình chuẩn Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng G( 0, 1, , m) = ] , ] [

, ][ , [

] , ] [

, ][ , [ ] , ] [

, ][ , [ 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 m m m m m m                   (3 –

6)

Ta gọi định thức G( , , , 0 1 m) là định thức Gram của hệ véc tơ

i i



 (3 –1’)

Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm f x( )

Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở 0(x), 1(x), , m(x) là những

f x (theo nghĩa trung bình phơng)

Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tínhtrên đoạn a b , 

2.1.3 Sai số của phơng pháp.

Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ m (x) cho hàm f x( ) ta cần đánh giá sai sốhoặc độ lệch của nó đối với hàm f x( ) Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trungbình phơng Cụ thể là ta đi tìm đại lợng

1

)]

( [

1

x y

n

n

i

m i

i m

m j

i j j



m j

j j j

m j

m j j j j j j

a y

] ,

[ ] ,

m j

j j j j

m j

m j

j j j

a y

j i j i

m i

a

0 0

j i j i

m i

j j n

i

i m

y

0 1

j

j y a y

y

0,

j j

,,

).(

0)()(,

1 2

1

m r

x

s r x

x n

i

i r s

r

n i

i s i r s

i r r

r

1

2 2

)(

2.1.4.2 Tiếp cận lời giải

Từ một hệ cơ sở bất kỳ 0( ), ( ), ,x 1 x m( )x bao giờ cũng lập đợc một

hệ trực chuẩn tơng ứng 0( ), ( ), ,x 1 x m( )x sao cho mỗi hàm của hệ trực

chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:







m s

s

r s

0

) ( ( ))

 (r 0,1, , )m (3 –13) Từ (3 – 5) và (3 – 12) ta nhận thấy rằng: Nếu 0( ), ( ), ,x 1 x m( )x

là hệ trực giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 – 1’) của f x( ) có các hệ số a j

,

i

i i

i

i i

y y

Từ đó ta có

i i

y y

a

2 0

,,

y y

y

2

,,

2,





là một đại lợng đơn điệu tăng theo m

Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phơng n sẽ giảm khi m tăng.Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở

0( ), ( ), ,1 ( )

 x  x m x là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ f x( ) càng tốt

2.1.4.4 Chú ý

Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi

cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phơng trình chuẩn (3 – 5) dùng đểxác định các hệ số a a0, , ,1 a của đa thức hoàn toàn thay đổi Do đó quá m

trình tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) cần làm lại từ đầu Tuy nhiên khi

hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ

(3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số a m1 từ công thức(3 – 14) Còn các hệ số a a0, , ,1 a đã thu đợc cho đa thức m m( )x vẫn dùng

đợc cho đa thức

1 1

hàm cơ sở 0( ), ( ), ,x 1 x m( ), x là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta cóthể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2) Sau khi thực hành tính toánnếu thấy sai số trung bình phơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta

có thể tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số a bổ sung (từ công thức (3 i

– 14))

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số

2.2.1 Đặt vấn đề

Giả sử biết n giá trị thực nghiệm y i (i1,2, , )n của hàm f x( ) tại các

điểm x tơng ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm i f x( ) bởi một đa thức cấp m códạng

( ) 0 1 m

P x a a x a x (4 –1)

2.2.2 Tiếp cận lời giải

Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng quát ở phần II, trong

đó hệ hàm cơ sở i (x) có dạng

0(x) 1, 1(x ) x, …, m

m(x ) x

khi đó từ (3 – 4) ta có

   

    n i r i i n i i r i r y x y x y 1 1 ) ( ,  và    

     n i s r i n i i s i r s r x x x 1 1 ) ( ) ( ,    (4 –

3) Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số a của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệm i của hệ phơng trình chuẩn có dạng sau

                                                        n i i m i n i m i m n i m i n i m i n i m i n i i i n i m i m n i i n i i n i i n i i n i m i m n i i n i i y x x a x a x a x a y x x a x a x a x a y x a x a x a n a 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0

(4 –

4) 2.2.3 Sai số trung bình Từ (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có dạng (4 – 4) là:   

                 m j n i j i i j n i i n i i m i n y a y x n x P y n 1 0 1 2 1 2 1 ) ( 1  (4 –

5)

Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phơng trình chuẩn (4 – 4) ta làm theo lợc đồ trong bảng 1 Các hệ số vế trái của phơng trình đầu tiên cho bởi các tổng ô lần lợt từ cột (1) đến cột (m), của phơng trình thứ 2 cho bởi các tổng lần lợt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho bởi các tổng ở lần lợt từ cột (2m+2) đến cột cuối cùng (3m+2)

0

1

1

…

1

x

2

x

2 1

x

2 2

x

…

…

…

x12m

x22m

y1

y2

x y1 1

2 2

x y

x y1 12

x y2 22

…

…

…

m

x y

m

x y

1 …

x n

… 2

n x

… …

x n 2m …

y n … n n x y … x y n n2 … … m n n x y n   n i i x 1   n i i x 1 2 …   n i m i x 1 2   n i i y 1   n i i i y x 1   n i i i y x 1 2 …   n i i m i y x 1 Bảng 1 2.2.4 Trờng hợp các mốc cách đều Đối với trờng hợp các điểm x cách đều nhau: i x i1 x i h (i0,1, ,n 1) thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều Dới đây ta sẽ trình bày kết quả trong trờng hợp này Trờng hợp 1: Nếu n là số lẻ ( n2k1) Đặt  1 x x k u h hay x x k1u h . Do đó khi x nhận các giá trị x x1, , ,2 x k1, ,x2k1 thì u nhận các giá trị nguyên sau: k, k 1, , 1,0,1, , k  1,k Sau phép đổi biến (4 – 8) thì đa thức (4 – 1) cũng có bậc m và có dạng Q u m( )b0 b u1  b u (4 – m m 9) Tơng tự nh (4 – 4) các hệ số bi của (4 – 9) thu đợc từ hệ phơng trình                                                         n i i m i n i m i m n i m i n i m i n i m i n i i i n i m i m n i i n i i n i i n i i n i m i m n i i n i i y u u b u b u b u b y u u b u b u b u b y u b u b u b n b 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0

(4 –

10)

Hệ phơng trình (4 – 10) so với hệ (4 – 4) đơn giản hơn rất nhiều vì các tổng những lũy thừa lẻ của u bằng 0

0

1

3 1

i

u (4 –11)

i

u

u (4 –13)

Tóm lại, trong mội trờng hợp (n lẻ hoặc n chẵn) vế trái của (4 – 10) đều

i

S u , j chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì u nhận j

các giá trị nguyên) Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùythuộc vào n)

Cuối cùng, sau việc giải phơng trình (4 – 10) ta thu đợc Q u dới dạng m( )(4 – 9) Để trở lại P x dới dạng (4 – 1) ta cần làm phép đổi biến ngợc lại m( )

để chuyển biến u về biến x ban đầu Cụ thể trong Q u thu đợc ta sẽ dùng m( )công thức đổi biến (4 – 8) nếu n lẻ, dùng công thức (4 – 12) nếu n chẵn Dới đây ta xây dựng công thức cụ thể hệ (4 – 10) trong các trờng hợp m

= 1, m = 2

Trờng hợp m = 1, nghĩa là (4 – 9) có dạng:

y u u

b

y n

b

2 1 0

0

1

i

i i i

u

y u b

y n

i

i i i

i i

y u u

b u b

y u u

b

y u

b b n

2 4

2

2 0

2 1

2 2 0

2 2

2

2 1

2 2 4

2 2

4 0

i i

i i i

i

i

i i

i i

i i i i

i

u u

n

u y y

u n b

u

y u b

u u

n

u y u u

y b

(4 –

15)

NÕu ta gäi

2 2 4

5 2 2 4

2 4

2 2 4

4 3

2 2

1

i i

i i

i

i i

i i

u u

n

n u

u n

u

u u

n

u u

Khi đó các kết quả (4 – 14) và (4 – 15) có thể tóm tắt trong bảng 2 Ngoài

ra từ (4 – 16) ta nhận thấy các số i theo những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21

ở bảng 3 Trong phần dới của bảng 4 cho các số itheo những giá trị chẵn của n

từ 4 đến 22

m Các hệ số của Qm(u)

b0 b1 b21

Trong đó R x0( ) 1 , R x1( ) x 1, R x2( )x2 2(1)x2(2), …

Tổng quát R x k( )x k k(1)x k1 k(k1)xk( )k (5 –2)

Theo định nghĩa ta sẽ gọi (5 – 1) là hệ đa thức trực giao trên tập hợp

) ( 0 ) ( ) ( ,

1 2

1

m r

x R R

R

s r x

R x R R

R

n i

i r s

r

n i

i s i r s

r

(5 –

f x tại các điểm xi (i = 1, 2, …, n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm f x( ) bởi một

đa thức suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 – 1)) có dạng

( ),

y R x

y R a

j j n

i i m

j

j j

n R

y a y

y

2 0

,

1 ,

,

1

ở đây M x (có dạng (5 – 4)) là một tổ hợp tuyến tínhcủa những đa thức m( )

đại số cấp từ 0 đến m, do đó M x thực chất cũng là một đa thức cấp m m( )(nh P x cho bởi (4 – 1)) Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại số m( )thông thờng nh đã thu đợc trong phần (2.4)

Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 – 1) nên khác với phần 2.4

ở đây ta không cần giải hệ phơng trình chuẩn mà tìm các hệ số của đa thức(5 – 4) trực tiếp từ công thức (5 – 5) đã chỉ ra ở trên Ngoài ra do những

đặc điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của M x mà không m( )cần phải làm lại từ đầu quá trình tính toán Đó chính là u điểm của phơngpháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.4)

2.3.3 Nội dung của phơng pháp

Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 – 4) thực chất là tìm hệthức trực giao (5 – 1) Để làm đợc điều này ta tìm công thức truy hồi để xác

định lần lợt các đa thức trực giao của hệ (5 – 1)

Trớc hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: R x R x của hệ (5 – 1).0( ), ( )1

1 1

1 0

R R

i i n

i i n

1

1

1( )



n i i

R x R x R x ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây

Bổ đề1: Mọi đa thức trực giao cấp r +1 (r 1): R r1( )x của hệ (5 – 1) đợc

xác định theo các đa thức R x và r( ) R r1( )x từ công thức truy hồi sau

R r1( ) (x  xr1) ( )R x r r1R r1( )x (5 –

10)

Trong đó

)()(

)115()

(

)(

1

2 1

1

1 1

1

2 1

2 1

n i

i r

n i

i r i r i r

n i

i r

n i

i r i r

x R

x R x R x

x R

x R x

i r i r r

i r r i r r i i r r

R

1

1 1 1

1 1

R x R x

R x R x

1 1 1

1 1

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 1

1 1 1

i r r

n i

i r i r r

n

i

i r i r

i r r

n i

i r i r i r

R

1

2 1 1

1

1 1

i r r

n i

i r i r

n i

i r i r i r

x R

x R x R x

1

2 1

1 1 1

) (

) ( ) (

i r i r r

i r r i r r i i r r

R

1

1 1 1

R x R x

R x R x

1 11

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

r n

x R x R x

R x

R x

1 1

2 1

i r r

n i

i r i r

R

1

2 1

i r r

n i

i r

n i

i r i r

x R

x R x

1

2 1

2

1

) (

)]

( [

Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 đợc chứng minh hoàn toàn

Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công thức r1 và r1 ta

n i

i r

r i i

r i

r r n

i

r i

r r n

i

r i r

n i

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1

i r

r i n

i

i r i r

x

1 1

1( ) ( ) ( ) (5 –21)

r i r n

i

r i

r r n

i

r i r n

i

r i n

i

i r

x

1

) 1 ( 1

1 )

( 1

2 ) 1 ( 1

1 2 1

) 1 (

) ( ) 1 ( 1

) 1 (

) 2 ( 2 )

1 ( 2

2 2

1 1

0

) (

.

) (

1 ) (

r r

r r

r r

r r

k k

k k

k k

k k

x x

x x R

x x

x x R

x x

x R

x x R

x R

(

)()

(

(

)()

()

(

)()

(

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) 2 ( 0 1

) 2 ( 1 2

2

0 ) 1 ( 0 1

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x R x

x R a x R x

r r

r

r r r

r

k k

k

k k k

x

1

)(,

k i

k i

k

k k i

R

1

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) (

1 ( ) ( ) ( ) ( ))

i r i k

n i

i r i k

k k n

i

i r i

R

1

0 ) ( 0 1

1 ) ( 1 1

) ( ) (

) ( ) ( )

( )

i r i k

n i

i r i k

k k n

i

i r i

R

1 0 ) ( 0 1

1 )

( 1 1

) ( ) (

) ( ) ( )

( )

= R , k R r  ( )

1

k k

r

k i r

x

1

)(,

i r i s r

1

) ( ) (

i r s

k

k i

k x R x

a

)(

n i

i r

k i

a

)(

=   



s k

k k r

r r

r r

r r

r i r n

1 ( 1

) 1 ( 1

)

i r

r r n

i

i r i

r r n

i

i r

r i r n

i

i r

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

) ( )

(

) ( )

i r

r r n

i

i r i

r r n

i

i r

r i r

n

i

i r

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

) ( )

(

) ( )

r r r

r r r

r r n

i

i r

r

r r r

n i

i r

r i n

i r

r r i

r r

r i r

r i

r i n

i

i r

1 ( 1

) 1 ( 1

r i

r r n

i

i

r i

r r n

i

r i

r i r n

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

r i

r r n

i

i

r i

r r n

i

r i

r i r

n i

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

r i

r r n

i

r i

r r n

i

r i r n

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1

Tõ (5 – 29) suy ra

1

i 1 -

r i 1

n i

n

i

i r i r

i r i r n

i

i r

)()()

= n  r r

i

i r

i r

r i n

i

i r i r

x

1 1

1

1 )

1 ( 1 2

r i r

r i

i r i r n

i

r

r i r n

i

i r

) 1 ( 1

i r i r n

i

r

r i r n

i

i r

) 1 ( 1

i r i

r r i

r r

r i r

r i

r i i

1 ( 1

) 1 ( 1

r i

r r

r i

r r

r i r

) 1 ( 1

n i

r i

r r n

i

r i

r r n

i

r i r

2 ) 1 ( 1

2 ) 1 ( 1

n i

r i

r r n

i

r i

r r n

i

r i r

( 1

2 )

1 ( 1

2 ) 1 ( 1

i r

r i r n

i

r i

r r n

i

r i r n

i

r i n

i

i r

x

1

) 1 ( 1

1 )

( 1

2 ) 1 ( 1

1 2 1

)]

(

Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn đợc chứng minh

Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu đợc các đa thức trực giaocủa hệ (5 – 1), từ các công thức (5 – 10) và (5 – 12) ta cần tính tất cả cáctổng những lũy thừa có dạng

1

n i i





 ( 1,2, ,2m 1)