Phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------Lời nói đầu Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời. Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u. Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số d-ới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình ph-ơng. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------Chơng I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểULậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( )x (đại số hoặc lợng giác) xấp xỉ hàm số ( )y f x= mà ta đã biết các giá trị của hàm này là iy y= tại các điểm ix x=. Phơng pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:1. Trong các đa thức nội suy ( )x ta đòi hỏiix() = iy. Tuy nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số iylà giá trị của hàm ( )y f x= tại các điểm ix x=, trong thực tế chúng ta cho dới dạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành. Những số yi này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng( )if x của hàm ( )y f x=tại ix x=. Sai số mắc phải ( )i i iy f x= nói chung khác không. Nếu buộc ( )i ix y= thì thực chất đã đem vào bài toán các sai số i của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy )(xvà hàm ( )f x trùng nhau tại các điểm ix x=).2. Để cho đa thức nội suy )(xbiểu diễn xấp xỉ hàm ( )f x một cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy ix (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy). Nhng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 2 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm ( )f x.1.1.2 Bài toán đặt raChính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán:Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ). Giả sử đã biết giá trị iy ( 1,2, ., )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm t-ơng ứng ix x=. Tìm hàm ( )mx xấp xỉ với hàm f(x) trong đó 0( ) ( ). ==mm i iix a x (1 - 1) với )(xilà những hàm đã biết, ia là những hệ số hằng số.Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm )(xm sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu đợc các số liệu iy) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ )(xm là tùy thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm f(x).Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết). Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm 0 1( , , , ., )mY f x a a a= (1 2)Trong đó: ia ( 1,2, ., )=i m là những hằng số. Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm =iy y ( 1,2, ., )=i m ứng với các giá trị ix x= của đối. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu đợc ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 3 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------cần xác định các giá trị của tham số 0 1, , .,ma a a để tìm đợc dạng cụ thể của biểu thức (1 2): ( )=y f x về sự phụ thuộc hàm số giữa y và x.1.2 Sai số trung bình phơng và phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phơng Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra phải khá bé trên miền đang xét. Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình phơng.1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi n là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng của hai hàm ( )f x và ( )x trên tập 1 2( , , ., )=nX x x x, nếu n = =niiixxfn12)]()([1. (2 1)1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 4 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp-------------------------------------------------------------------------------------------- Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta giả thiết ( )f x, (x) là những hàm liên tục trên đoạn [ ],a b và 1 2( , , ., )=nX x x x là tập hợp các điểm cách đều trên [ ],a b 1 2 .= < < < =na x x x b Theo định nghĩa fích phân xác định ta có limnn = (2 2) Trong đó: 2 = ab 1 dxxxfba2)]()([. (2 3) Giả sử ( ) ( )f x x có trên [ ],a b một số hữu hạn cực trị và là một số dơng nào đó cho trớc. Khi đó trên [ ],a b sẽ có k đoạn riêng biệt [ ],i ia b ( 1,2, ., )=i k sao cho ( ) ( )f x x (với [ ],i ix a b, ( 1,2, ., )=i k) Gọi là tổng các độ dài của k đoạn nói trên.Với n đủ lớn và nđủ bé, từ (2 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). Từ (2 3) suy ra )(2ab > badxxxf2)]()([ =kibaiidxxxf12)]()([ 2. Do đó 2( ) < b a.Nghĩa là tổng độ dài của các đoạn [ ],i ia b sẽ bé tùy ý.------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 5 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------Tóm lại: với n đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn [ ],a b (trừ tại những điểm của những đoạn [ ],i ia b mà có tổng độ dài bé tùy ý), ta có ( ) ( )f x x <.Trong đó là một số dơng tùy ý cho trớc. Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình ph-ơng nh sau: Nếu sai số trung bình phơng n của hai hàm f(x) và )(x trên tập hợp n điểm [ ],a b X (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và )(x khá bé.1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trênTa nhận thấy nếu các giá trị iy ( 1,2, ., )=i n của hàm ( )f x tại các điểm ix và nếu sai số trung bình phơng n = =niiixyn12)]([1khá bé thì hàm )(x sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm ( )f x. Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng. Rõ ràng: Nếu hàm ( )f x thu đợc bằng thực nghiệm (nghĩa là ( )i iy f x) thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Ta xét trờng hợp ( )x là phụ thuộc các tham số 0 1, , .,ma a a 0 1( ) ( ; , , ., )=mx x a a a. (2 4)------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp-------------------------------------------------------------------------------------------- Trong số những hàm ( )x có dạng (2 4) ta sẽ gọi hàm 0 1( ) ( ; , , ., )=mx x a a a (2 5)là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm ( )f x nếu sai số trung bình phơng ( )x với ( )f x là bé nhất. Cụ thể là 0 10 1( , , ., ) min ( , , ., ) =mn n ma a a a a atrong đó [ ]20 1 0 111( , , ., ) ( ; , , ., ) == nn m i mia a a y x a a an. (2 6)Từ (2 6) ta nhận thấy (2 5) tơng đơng với đẳng thức:[ ] [ ]2 20 1 0 11 1( ; , , ., ) min ( ; , , ., ) = = = n ni m i mi iy x a a a y x a a a. (2 7)Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 4) với hàm ( )f x) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng 21=nii trong đó 0 1( ; , , ., ) = i i my x a a a. Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là ph-ơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 7 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------Chơng IICác phơng pháp xấp xỉ2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: 0 1( ), ( ), ., ( ), . mx x x Ta sẽ gọi hàm ( )mx là đa thức suy rộng cấp m nếu ( )mx có dạng 0( ) ( ) ==mm i iix a x. (3 1)Trong đó 0 1, , .,ma a a là các hệ số hằng số. Hệ hàm { ( )}mx đã cho gọi là hệ cơ bản.2.1.2 Nội dung Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm iy ( 1,2, ., )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm tơng ứng ix. Khi đó việc tìm một đa thức suy rộng có dạng (3 1) mà xấp xỉ với hàm ( )f x nói trên { }[ ]1 2, , ., ,nx x x a b sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số ia trong (3 1). Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng ( )mx với cấp m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 8 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp--------------------------------------------------------------------------------------------n m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị ia từ n phơng trình: ( )=i m iy x ( 1,2, ., )=i n (vì số phơng trình thờng nhiều hơn số ẩn). Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy rộng 0( ) ( ) ==mm iiix a x xấp xỉ tốt nhất với hàm ( )f x trên [ ],a b. Trong (2 7) ta coi 0 1( ; , , ., )mx a a a = )(xm = =miiixa0)(. Từ đó ta suy ra: ( )0 1, , .,ma a a là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến 0 1( , , ., )mF a a a= =nimimiiiaxaxaxy121100])( )()([. (3 2) Do đó ( )0 1, , .,ma a a là nghiệm của hệ phơng trình 0aF = 0 ; 1aF = 0 ; ; maF = 0. Hoặc dạng tơng đơng với nó[ ] [ ][ ] [ ]0 0 1 1 010 0 1 1 110 0 1 12 ( ) ( ) . ( ) ( ) 02 ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 .2 ( ) ( ) .ni i i m i m iini i i m i m iii i iy x a x a x a xy x a x a x a xy x a x a == = = [ ] [ ]1( ) ( ) 0nm i m m iix a x = = (3 - 3) Gọi r là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là )(irx.Gọi y là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là iy.Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 9 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp-------------------------------------------------------------------------------------------- [ ]1, ( ) ==mr i r iiy y x; [ ]1, ( ) ( ) ==nr s r i s iix x (3 4)Do đó (3 3) đợc chuyển về dạng [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0 1 1 0 01 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1, , . , ,, , . , , , , . , ,mmm m m m ma a ya a ya a y + + + =+ + + =+ + + = (3 - 5)Ta nhận thấy (3 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: 0 1, , .,ma a a trong đa thức xấp xỉ )(xm. Ma trận của hệ ph-ơng trình tuyến tính (3 5) có các phần tử là ],[ji, do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng). Ta sẽ gọi hệ phơng trình (3 5) là hệ phơng trình chuẩn. Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng G( ), .,,10 m =],] .[,][,[ ],] [,][,[],] [,][,[101110101000mmmmmm (3 6) Ta gọi định thức 0 1( , , ., ) =mG là định thức Gram của hệ véc tơ m, .,10 trên tập điểm { }1 2, , .,nX x x x=. Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở )(), ,(),(10xxxm là hệ hàm độc lập tuyến tính trên { }[ ]1 2, , ., ,nX x x x a b= thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng )()(0xaximiim==. (3 1)Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm ( )f x. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 10 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 [...]... công thức (3 14)) 2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số 2.2.1 Đặt vấn đề Giả sử biết n giá trị thực nghiệm yi (i = 1,2, , n) của hàm f ( x) tại các điểm xi tơng ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm f ( x) bởi một đa thức cấp m có dạng Pm ( x) = a0 + a1 x + + am x m (4 1) 2.2.2 Tiếp cận lời giải Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng quát ở phần II, trong đó hệ hàm cơ sở { i (x)}... (0 ,1 , ,m ) > 0 Nghĩa là trong trờng hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 5) có và duy nhất nghiệm a 0 , a1 , , a m ứng với các hệ số của đa thức (3 1) xấp xỉ tốt nhất với hàm f ( x) (theo nghĩa trung bình phơng) Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính trên đoạn [ a, b ] 2.1.3 Sai số của phơng pháp Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ m (x) cho hàm f ( x) ta cần đánh giá... trình tính toán Đó chính là u điểm của phơng pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.4) 2.3.3 Nội dung của phơng pháp Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 4) thực chất là tìm hệ thức trực giao (5 1) Để làm đợc điều này ta tìm công thức truy hồi để xác định lần lợt các đa thức trực giao của hệ (5 1) Trớc hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: R0 ( x), R1 ( x ) của hệ (5... 2.4.1 Định nghĩa đa thức lợng giác Trong thực tế khi tính toán ta gặp những hàm f ( x) có tính chất tuần hoàn Ta tìm cách xấp xỉ một hàm để phản ánh đợc đặc điểm riêng của nó Khi đó từ đa thức suy rộng tổng quát m m ( x ) = aii ( x) (6 1) i =1 Lấy hệ hàm lợng giác làm hàm cơ sở Ta giả thiết rằng các hàm f ( x) xét trên đoạn 0 x 2 Trên đoạn có độ dài 2 thì hệ hàm lợng giác { ( x )} ={ 1, cosx,sinx,... từ đầu Tuy nhiên khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số a m+1 từ công thức (3 14) Còn các hệ số a 0 , a1 , , a m đã thu đợc cho đa thức m ( x) vẫn dùng đợc cho đa thức m +1 m+1 ( x) = a ii ( x) i =0 Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một hàm thực nghiệm bằng một đa thức... Do đó từ (3 15) ta suy ra sai số trung bình phơng n sẽ giảm khi m tăng Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) (với hệ cơ sở 0 ( x),1 ( x), ,m ( x) là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ f ( x) càng tốt 2.1.4.4 Chú ý Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) thì hệ phơng trình chuẩn (3 5) dùng để xác định các hệ số a 0 , a1 , , a m... ( r 1) (r ) = y i xi + r y i xi + + r y i xi + r y i (5 36) Tóm lại: Để tìm hàm xấp xỉ M m ( x) ta cần tìm 2m tổng S ( = 1,2, ,2m) và m tổng n y i =1 i xir (r = 0,1, , m) Khi đó trong bảng tính toán giải bài toán mỗi tổng nói trên đợc lập theo một cột 2.3.4 Sai số của phơng pháp Cuối cùng để tính sai số trung bình phơng một cách thuận lợi ta dùng công thức (5 6) n = m m n 1 [ y, y ] ... trung bình phơng tìm đợc cha đủ bé (nghĩa là m cha đủ lớn) ta cần tăng dần cấp m của hàm xấp xỉ M m ( x) Khi đó trong bảng tính cũ cần bổ n xung những cột tính S và y i =1 i xir mới nhng kết quả cũ vẫn đợc sử dụng - 33 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp 2.4 Xấp xỉ hàm bằng... 500000.10 7 375940.10 9 112973.10 6 473485.10 9 356004.10 11 22 454545.10 7 282326.10 9 102628.10 6 355114.10 9 220567.10 11 Bảng 4 2.3 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao 2.3.1 Định nghĩa hệ hàm trực giao Xét hệ đa thức: R0 ( x), R1 ( x ), , Rm ( x ) (5 1) (1) (2) Trong đó R0 ( x) = 1 , R1 ( x) = x + 1 , R2 ( x) = x 2 + 2 x + 2 , Tổng quát Rk ( x) = x k + k(1) x k 1 + + k( k 1) x + ... hàm f ( x) tại các điểm x i (i = 1, 2, , n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm f ( x) bởi một đa thức suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 1)) có dạng m M m ( x) = a j R j ( x ) (5 j =0 4) Từ (3 14) ta suy ra các hệ số a j của (5 4) có thể thu đợc từ công thức n y, R j = aj = Rj , Rj y R (x ) i =1 n i j i R ( x ) i =1 j 2 (5 - 5) i Từ (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ . bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án. Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là ph-ơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. -------------------------------------------------------------------------------------------------------