Xấp xỉ trung bình bình phương

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, giải phương trình, giải toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Các toán xấp xỉ hàm số nội dung giải tích số, việc thay hàm số có dạng phức tạp hàm số đơn giản với sai số nhỏ Trong toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu toán nội suy, toán xấp xỉ Song hai dạng toán có số nhược điểm Người ta thấy toán xấp xỉ trung bình bình phương khắc phục nhược điểm Dưới hướng dẫn thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” nhận thứctrên, tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương” Cụ thể nghiên cứu vấn đề: - Xấp xỉ thực nghiệm - Xấp xỉ tốt không gian Hilbret không gian L2a,b Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu toán xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu toán xấp xỉ thực nghiệm toán xấp xỉ tốt không gian Hilbert không gian L2a,b Phương pháp nghiên cứu Đọc phân tích tài liệu liên quan CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.1.1 Trên tập X  , xác định cấu trúc  với x, y  X với t (hoặc t ) xác định phép cộng x+y  X phép nhân tx X thỏa mãn tính chất sau: a x+y=y+x b (x+y)+z=x+(y+z) s(tx)=(st)x c (s+t)x=sx+tx t(x+y)=tx+ty d  X: x+=x; xX e  (-x)X: x+(-x)=0; xX f 1.x=x Trong x,y,z X; s,t (hoặc s,t ) Khi (X,) không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.2.Cho hệ n vectơ x1, x2… xn không gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ 1 x1+ 2 x2 +3 x3+ …….+ n xn = Đẳng thức xảy 1 = 2 =… =n= hệ n véctơ độc lập tuyến tính tồn n 1, 2, …,n với  i  để đẳng thức xảy hệ n vectơ i 1 phụ thuộc tuyến tính 1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Định nghĩa1.2.1 Giả sử x không gian tuyến tính Ánh xạ X  x  xác định X lấy giá trị xác định tập số thực : ; xX thoả mãn điều kiện: a x  0; xX x =0 x=0 b x  y  x + y ; x,yX c x =    x ; xX;   gọi chuẩn X Không gian tuyến tính X với chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa1.2.2 Hai 1; xác định không gian tuyến tính X gọi tương đương, tồn số C1, C2 >0 cho: xX ; C1 x 1 x C2 x Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y không gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ A:X Y gọi (giới nội) bị chặn tồn số M>0 cho: xX , Ax Y Mx X Định lý : Nếu X không gian tuyến tính hữu hạn chiều chuẩn X tương đương Chứng minh Thật vậy, giả sử X có 1; chuẩn cho trước Gọi S= xX / x =1 Vì S đóng X có số chiều hữu hạn nên x đạt max S kí hiệu M m tương ứng Xét x  phần tử X Khi đó: x = x Nên m  x x1 = x x x : x  M : m x 1 x x1 Vậy chuẩn tương đương x 1 x1 M x Ví dụ: Với số p1; xét Lp0,1 với x = x(t)  Lp0, 1 y= y(t) Lp0,1 ta định nghĩa: (x+y)(t)=x(t)+y(t); t  0,1 (kx)(t)=kx(t); t  0,1 Không gian Lp0,1 với phép toán không gian tuyến tính p 1  0  với x Lp0,1 xét : x =   x (t ) p  Khi x chuẩn Lp  0,1 1.3 KHÔNG GIAN HILBERT 1.3.1 Tích vô hướng 1.3.1.1 Định nghĩa Cho không gian tuyến tính X trường P (P trường số thực trường số phức ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích descartes X x X vào trường P,kí hiệu  ,  thoả mãn tiên đề: (x,yX) x,y = x, y (x,y,zX) x +y, z= x , z + y , z (x,yX) (P)  x,y =x,y (xX); x,x >0, x  x,x =0, x = Cácphần tử x,y,z… gọi nhân tử tích vô hướng, số x,y gọi tích vô hướng nhân tử x y Các tiên đề 1,2,3,4 gọi tiên đề tích vô hướng 1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản (x,yX), 0 , x = 0 , x = 0.x , x = 0.x , x = (x,yX), (P)  x , y=  x,y Thật  x , y =  y, x =  y , x =  x, y (x,y,zX),  x , y +z =  x , y + x, z Thật  x , y + z = y  z , x  y, x  z , x  x, y  z , x 1.3.2 Không gian tiền Hilbret Định nghĩa : Không gian tuyến tính trường P với tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Hệ quả: Mọi không gian có tích vô hướng không gian định chuẩn với chuẩn x =  x, x Chứng minh Giả sử dãy điểm (xn)  X hội tụ tới x, dãy điểm (yn) X hội tụ tới y Khi đó: ( C>0) (nN * ), y n  C  x n , y n    x , y    x n , y n    x , y n    x , y n    x, y   xn  x y n  x y n  y  C xn  x  x y n  y (nN * ) Suy ra, lim xn , yn  x, y n  1.3.3 Không gian banach 1.3.3.1 Dãy Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, nếu: lim xn , xm  m , n  1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach Không gian định chuẩn X gọi không gian banach, dãy X hội tụ 1.3.3.3 Một số ví dụ không gian banach Ví dụ 1: Đối với số thực x  R ta đặt x  x : Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức : x  x cho ta chuẩn R Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu R1 Dễ dàng thấy R1 không gian banach Ví dụ 2: Cho không gian véctơ k chiều Ek , : Ek = x =(x1, .,xk); xj  C  Đối với véctơ x = (x1 , ,xk)  Ek ta đặt: k x  x j j 0 Từ công thức hệ tiên đề metric suy ra: Cho chuẩn Ek không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu Ek Dễ dàng thấy Ek không gian banach Ví dụ 3: Cho không gian véctơ La,b Đối với hàm số x(t)  La,b ta đặt: b x   x(t ) dt a Từ công thức x  d  x,   hệ tiên đề metric suy công thức b x   x(t ) dt cho chuẩn La,b không gian định chuẩn tương ứng kí a hiệu La,b không gian banach 1.3.4 Không gian Hilbert 1.3.4.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1: Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đủ Định nghĩa 2: Ta gọi tập H0 gồm phần tử x,y,z, không gian Hilbert H thỏa mãn: H không gian tuyến tính trường P; H trang bị tích vô hướng , ; H không gian banach với chuẩn x  x, x ; x H Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Định nghĩa 3: Cho H không gian Hilbert Hệ phần tử ei i I H gọi là: Trực giao en, , em  (nm) Trực chuẩn nếu: en , em   n ,m (  n, m  n=m) (với n,m  N) Quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt Cho hệ thống véc tơ độc lập tuyến tính ( xn ) n1  H gồm hữu hạn hay đếm phần tử, biến hệ thống thành hệ trực chuẩn nhờ trình trực giao hóa Hilbert-schmidt Đặt e1  x1 e1  x1 Đặt y2  x2  x2 , e1 e1 y2 , e1  x2 , e1  x2 , e1 e1 , e1  Hiển nhiên, y2   , y2   kéo theo x1,x2 phụ thuộc tuyến tính, điều mâu thuẫn với giả thiết Đặt e2  y2 ta được: e2 , e1  0, e2  y2 Giả sử xây dựng k phần tử e1, e2,… , ek cho ei , e j   ij ;(i , j  1, 2, , k ) k Đặt yk 1  xk 1   xk 1 , ei với i  k k 1 k yk 1 , e j  xk 1 , e j   xk 1 , ei ei , e j i 1 k  xk 1, e j   xk 1 , ei ei , e j i 1  xk 1 , e j  xk 1 , e j  Và yk 1   , : yk 1   kéo theo x1,… xk+1 phụ thuộc tuyến tính, điều mâu thuẫn với giả thiết yk 1 ta được: ek 1 , e j  0,( j  1,2, , k )và: ek 1  yk 1 Đặt ek 1  Nếu hệ thống ( xn ) n1 gồm m véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2…), trình dừng lại bước thứ m (m N * ); hệ thống ( xn ) n 1 gồm vô hạn véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2,…) trình tiếp tục Cuối ta nhận hệ trực chuẩn cần tìm Quá trình biến hệ thống véc tơ độc lập tuyến tính không gian H thành hệ véc tơ trực chuẩn thường gọi trình trực giao hóa Hilbert-schmidt Bất đẳng thức Bessel Nếu ( en ) n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H, x  H ta có bất đẳng thức:  x, en 2  x (*) n 1 Bất đẳng thức (*) gọi bất đẳng thức Bessel Chứng minh Với k nguyên dương ta đặt: k yk  x   x, en en n 1 (k không vượt lực lượng hệ trực chuẩn cho) Khi đó: k k k yk ,  x, e j e j  x   x, en en ,  x, e j e j j i n 1 j 1 k  x,  x, e j e j  j 1 k   x, e j k k k  x, en en ,  x, e j e j n 1 j 1 k   x, en e j , x en , e j j 1 n 1 j 1 k   x, e j k 2   x, e j j 1 0 j 1 k  yk   x, en en n 1 Áp dụng định lý Pythagore ta được: x  yk 2 k   x, en en n 1  yk k   x , en k   x, en n 1 n 1 Do tính chất tùy ý k, ta nhận bất đẳng thức (*) Định lý chứng minh Tích vô hướng x, en gọi hệ số Fourier phần tử x  H hệ trực chuẩn ( en ) n1  H Bất đẳng thức Bessel chứng tỏ chuỗi số dương gồm bình phương modun hệ số Fourier phần tử không gian Hilbert H theo hệ trực chuẩn tùy ý không gian H hội tụ.Từ suy chuỗi  x, en en hội tụ gọi chuỗi Fourier (hay khai n 1 triển Fourier) phần tử x thuộc H theo hệ trực chuẩn ( en ) n1  H Định lý đẳng thức Paseval Cho ( en ) n1 hệ trực chuẩn không gian H Năm mệnh đề sau tương đương: Hệ ( en ) n1 sở trực chuẩn không gian H; (x  H ) x   x, en en ; n 1 10 a0  2   f ( x )dx; ak      f ( x ) cos kxdx; bk      f ( x )s inkxdx  Ta lại nhận khai triển Fourier theo nghĩa hẹp Ngoài ra:  n   f  Pn   n 2  f ( x ) dx   2a0   (a k  bk )  k 1   Như ta biết, chuỗi Fourier hội tụ L2p  a, b Nếu f  C  a, b chứng minh chuỗi Fourier hội tụ đoạn hữu hạn thuộc (a,b) (ở a  ; b  ) Ví dụ Xấp xỉ trung bình hàm f(x)= 3x [-1, 1] đa thức bậc 3? Giải Cách 1: Tìm đa thức xấp xỉ tốt dạng: f(x)=   x i i 0 Trước hết ta tính: k 1 Sk =  x k dx   (1) 1 (k= 0, 1, 2, ,6) k 1 mi =  x i 3x dx (i=0,1.2.3) 1 Khi ta có:  2a0  a2  m0  2 a  a  m 3  2 a  a  m 3 2  a1  a3  m3 5 35 6a0  2a2  3m0  7, 2819 2a  1, 2a  3m  2, 4789   2a0  1, 2a2  3m2  2, 7779 2,8a1  2a3  m3  3,5366 Giải hệ phương trình ta có: a  0,9944 a  1,1000   a  0,6576 a  0,2335 Như vậy: Q3(x)=0,9944+1,1000x+0,657x2 +0,2335x3 Cách 2: Tìm đa thức có xấp xỉ tốt dạng: Q ( x)   ci Li ( x) đó: i 0 L0(x)=1, L1(x)=x, L2(x)= Lk = ck = 2k  3x  x  3x , L3(x)= , 2 (k=0,1,2,3) , 2k  1 x Lk ( x )dx , đó: 1 c0=1,2137, c1=1,2371, c2=0,4384, c3=0,09345 Vậy Q3(x)=0,9945+1,096x+0,6576x2+0,2336x3 Nhận xét: Sử dụng đa thức đại số thường dẫn đến hệ đại số tuyến tính điều kiện xấu Nghiệm không ổn định với sai số làm tròn Tính toán với đa thức trực giao ổn định Đặc biệt, thêm số hạng, dùng đa thức trực giao tính lại từ đầu Ví dụ Xấp xỉ trung bình hàm f(x)= x  1,1 đa thức bậc 5? 36 Giải Vì f(x) hàm chẵn nên f(x)Li(x) hàm chẵn (lẻ) i chẵn (lẻ) đó: c2 k  4k  f ( x) L2 k ( x)dx  (4k  1)  xL2 k ( x)dx 1 1 c2 k 1  4k  f ( x) L2 k 1 ( x )dx  1 Ta có: c0   xdx  c4   x , c2  5 x 3x  dx  35 x  30 x  3 dx  16 Vậy Q ( x)   3x 1  3x  30 x   15 (7 x  14 x  1) 16 128 Ví dụ Tìm đa thức xấp xỉ hàm f(x) =ln( 17 x  ) với độ xác  =0,0005 16  1,1 Giải Do f  C1  1,1 nên chuỗi Fourier hàm f theo đa thức chebysev hội tụ Để có khai triển Fourier theo đa thức chebysev hàm f(x), trước hết ta chứng minh công thức :  an cos n , (1) ln(1- 2acos + a2) = -2  n1 n  ( az ) z:= cos +i sin ; f ( z ) :  n n 1 n Dễ thấy: ~ an cos n n 1 n  Re f   37 a [...]... (1.2) được gọi là xấp xỉ bằng đa thức hay phương pháp bình phương bé nhất ta đi giải hệ phương trình:  D  a  0  0  (1.3)  D  0  am Do D 2  0; j nên hệ (1.3) vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để a j 2 (1.2) có cực tiểu.Từ đó ta suy ra hàm y gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất ta chỉ việc giải hệ (1.3) 13 2.2 Xấp xỉ hàm bậc nhất 2.2.1 Phương pháp giải... vậy gọi là xấp xỉ đều tốt nhất của hàm y= f(x) Nếu ta xét X= L2  a, b thì kết quả chắc chắn lại khác biệt nhiều vv… Bằng cách nhìn như vậy, trong mỗi không gian với khoảng cách khác nhau là lại có những bài toán xấp xỉ hàm khác nhau Do thời lượng hạn chế, dưới đây ta chỉ xem xét một trong các bài toán đó là đa thức thu được gọi là xấp xỉ trung bình bình phương của hàm y=f(x) đã cho 3.1 Xấp xỉ trong... có:  f ( x )    j , f  j ( x ); x   a, b (11) j 1 Còn sai số trung bình phương D của  theo (10) đối với f được xác định bởi: k D   j, f 2 j 1 Ví dụ: Xấp xỉ bằng đa thức Fourier là xấp xỉ tốt nhất trong L2  a, b nhờ các đa thức lượng giác 3.2.3 Xấp xỉ bằng đa thức trực giao Trong không gian L2p  a, b các hàm bình phương khả tích với trọng p(x) ta có các khẳng định sau: 1 Hai hệ đa thức... bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất? Giải Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình: 16 4 4  4 2 a  xi  b xi   xi yi  i 0 i 0 i 0  4 4 a x  (4  1)b  yi  i   i 0 i 0 14,808a  0,68b  9,0069  0,68a  5b  9,526 a  0,699684822  a  0,7   b  2,000357136 b  2  y  0,7 x  2 Vậy hàm xấp xỉ tốt nhất là y=0,7x-2 2.3 Xấp xỉ hàm bậc 2 2.3.1 Phương. .. cần tìm để cho sai số trung bình phương b 1  ( x)  f ( x)2 dx D  ba a (6) Đạt cực tiểu trên các cj thay đổi Khi đó ta nói  là xấp xỉ tốt nhất của f trên đoạn  a, b theo bình phương tối thiểu Để dễ tìm cực trị (6) thường ta tìm  ( x ) dưới dạng: k  ( x )   cii ( x ) i 1 k Trong đó i ( x )i 1 là các hàm độc lập tuyến tính trong L2  a, b được chọn trước theo phương pháp chuyên gia... đó nếu i i 1 là hệ hàm trực chuẩn thì với mọi hàm f bình phương khả tích trên  a, b ta có ngay c j  f , j và xấp xỉ tốt nhất của f trên đoạn a, b theo bình phương tối thiểu là: k     j, f  j (10) j 1 k Nếu i i 1 không là hệ trực chuẩn thì xây dựng hệ trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hóa Schmidt sau đó dùng hệ này để tìm xấp xỉ tốt nhất theo  công thức (10) Nếu i i 1 là hệ đầy... suy ra: 28 2  G  h1 , , hn , f  G  h1 , , hn  3.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L2  a, b 3.2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L2  a , b bằng đa thức đại số 3.2.1.1 Bài toán ước lượng tham số tổng quát Kí hiệu tập các hàm bình phương khả tích trên đoạn  a, b là L2  a, b Giả sử f là hàm cho trước thuộc L2  a , b , ta muốn xấp xỉ f bởi hàm  ( x ) có dạng:  ( x )   (c1 , ck , x... 1 2 4 y 4 1 2 0 -3 Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất? Giải Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình: 4 4  4 2 a  xi  b xi   xi yi  i 0 i 0 i 0  4 4 a x  (4  1)b  yi  i   i 0 i 0 22a  6b  14  6a  5b  4 42  a   37  b  86  37 42 86 y x 37 37 15 Vậy xấp xỉ tốt nhất y= 42 86 x 37 37 Ví dụ 3: Hàm số f(x) được... Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất? Giải Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình: 4 4  4 2 a  xi  b xi   xi yi  i 0 i 0 i 0  4 4 a x  (4  1)b  y  i i   i 0 i 0 53, 23a  5,5b  25,8091989  5,5a  5b  9, 432406 a  0,32712065 a  0,3   b  1,526648484 b  1,5  y  0,3 x  1,5 Vậy xấp xỉ tốt nhất y=0,3x+1,5 Ví dụ 4:... L2p  a, b Nếu f  C 1  a, b có thể chứng minh được rằng chuỗi Fourier hội tụ đều trên mỗi đoạn con hữu hạn thuộc (a,b) (ở đây a  ; b  ) Ví dụ 1 Xấp xỉ trung bình hàm f(x)= 3x trên [-1, 1] bằng đa thức bậc 3? Giải Cách 1: 3 Tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất dưới dạng: f(x)=   ai x i i 0 Trước hết ta tính: 1 k 1 Sk =  x k dx  1  (1) 1 (k= 0, 1, 2, ,6) k 1 1 mi =  x i 3x dx (i=0,1.2.3) 1 ... 11 11  x  x2 10 10 44 KẾT LUẬN Đề tài xấp xỉ trung bình bình phương trình bày phương pháp tổng quát cho toán xấp xỉ thực nghiệm Theo phương pháp bình phương bé ta biểu thức hàm giải tích hàm... x ) f  Nếu m=n đa thức nội suy đa thức xấp xỉ trung bình bình phương hàm số y=f(x) trùng Thật vậy, gọi Pm(x) đa thức xáp xỉ trung bình bình phương, Qm(x) đa thức nội suy, ta có:  Pm  f ... hàm y gần với f(x) phương pháp bình phương vế thứ ta việc giải hệ (1.3) 13 2.2 Xấp xỉ hàm bậc 2.2.1 Phương pháp giải Ta phải tìm hàm y=ax+b gần với f(x) theo phương pháp bình phương vế thứ nhất: