Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Trần Hải Yến – K32 CN Toán MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chƣơng I Bài tốn quy hoạch tuyến tính phƣơng pháp đơn hình 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 1.2 Tập lồi điểm cực biên 1.3 Phương pháp đơn hình 1.4 Thời gian thực thuật toán Chƣơng II Phƣơng pháp điểm 2.1 Tƣ tƣởng phƣơng pháp điểm 2.1.1 Nội dung ý tưởng 2.1.2 Xác đinh hướng giảm 2.1.3 Thành phần hướng tâm 2.2 Một số thuật toán phƣơng pháp điểm 2.2.1 Phương pháp tỷ lệ affin 2.2.2 Thuật toán giảm 2.2.3 Thuật toán theo đường trung tâm 2.2.4 Thuật toán theo đường trung tâm – đối ngẫu 2.2.5 So sánh phương pháp điểm Kết luận Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực khóa luận học tập trường em nhận quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thầy giáo Khoa Tốn, thầy giáo tổ Tốn ứng dụng, với động viên khích lệ bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Minh Tước, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Trong q trình thực đề tài, điều kiện thời gian hạn chế kiến thức, khó tránh khỏi thiếu sót hồn thành khóa luận Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 tháng 2010 Sinh viên thực Trần Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan vấn đề em trình bày khóa luận kết nghiên cứu riêng thân tơi hướng dẫn tận tình thầy giáo Trần Minh Tước, khóa luận khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu khơng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực Trần Hải Yến MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn quy hoạch tuyến tính tốn giải vấn đề khó khăn thường gặp sống lao động sản xuất Việc giải tốn Quy hoạch tuyến tính giúp ta tìm phương án tối ưu nhất, hợp lý nhằm mang lại hiệu cao sản xuất Thơng thường dùng phương pháp đơn hình để giải tốn Quy hoạch tuyến tính Đây cách giải nhanh hiệu Tuy nhiên với tốn có độ phức tạp lớn phương pháp đơn hình khơng thực hiệu Với toán người ta thường sử dụng phương pháp khác phương pháp điểm Để tìm hiểu kỹ phương pháp điểm tơi chọn đề tài: “Phương pháp điểm giải tốn quy hoạch tuyến tính” cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu thuật tốn phương pháp điểm để giải tốn Quy hoạch tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày khái quát đánh giá hiệu thuật toán phương pháp điểm Phƣơng pháp nghiên cứu Trong đề tài sử dụng phương pháp như: phương pháp tìm kiếm, phân tích, thống kê, tổng hợp, so sánh,… Bố cục khóa luận Khóa luận gồm mở đầu, hai chương kết luận Chương I: Bài toán quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình Chương II: Phương pháp điểm Chƣơng I BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 1.1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính a) Dạng tổng qt t Tìm véc tơ x = ( x1, x2 , , xn ) n ∈ cho n f(x) = ∑c j=1 j x j → min(max) với điều kiện:  n ∑ aij x j ≥ bj  j=1  n a ∑ ij x j ≤ bj  j=1  n D:  =  ∑ bj (i = 1, , m) (i = + 1, , m ) m (i = m2 + 1, , m) aij x j j=1   x j  x j≤   x ( j = 1, , n1 ) ( j = n1 + 1, , n2 ) ( j = n2 + 1, , n) j b) Dạng tắc n   f (x) = j=1  ∑c j x j →  n ∑ aij x j ≥ bj  j=1 x ≥ j   Hay dạng ma trận (i = 1, 2, , m) ( j = 1, 2, , n)  f ( x ) = ct x →   Ax = b x ≥  Trong c, x ∈ n ,b m ∈ , A ma trận cấp m × n c) Dạng chuẩn tắc n   f (x) = ∑ cij x j → j=1  n   ∑ aij (i = 1, 2, , m) x j ≥ bj j=1  ( j = 1, 2, , n)  xj ≥   Hay dạng ma trận  f ( x ) = ct x →   Ax ≥ b x ≥  1.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu a) Đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc bt x → max  t  Ax≤ c  y≥  b) Đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc bt y → max  t  Ay≤ c  y  có dấu tùy ý c) Đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát −bt y →  m  −a ij ∑( ) yi ≥ −c j ( j = 1, n ) i=1  n ∑( −a ij ) yi = −c j  i=1  yi ≥   yi tự (j (i = 1, m ) (i = m + 1, m) 1  1.2 Tập lồi điểm cực biên C ⊂ n ) = n1  a) Tập + 1, n gọi tập lồi lấy điểm x’ x” ∈ C đoạn thẳng [x’,x”] nối điểm hoàn toàn thuộc C b) Điểm x0 thuộc tập lồi C gọi điểm cực biên C khơng điểm đoạn nối điểm khác C tức không tồn x’, x”∈ C, x’ ≠ x” cho x =α x’+ (1-α )x” với α thuộc (0,1) i n c) Một tổ hợp lồi điểm x ∈  (i =1,2, m) x = α1x + α2 điểm x có dạng: ∈ n + + αn x x m αi ≥ 0(i = 1, m), ∑αi = i=1 1.3 Phƣơng pháp đơn hình n 1.3.1 Tƣ tƣởng phƣơng pháp đơn hình Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc:  f ( x ) = ct x →   Ax = b x ≥  Với x,c ∈ n ,b m ∈ , A ma trận cấp m × n Giả thiết hạng A = m (m số buộc toán) Đã biết rằng: - Nếu tốn có phương án có phương án cực biên - Nếu tốn có phương án tối ưu có phương án cực biên tối ưu - Số phương án cực biên hữu hạn Do ta tìm phương án tối ưu hay lời giải toán tập hợp phương án cực biên Do tập hữu hạn nên Dantzig đề xuất thuật tốn gọi thuật tốn đơn hình: Xuất phát từ phương án cực biên x0 Sau kiểm tra xem x0 có phải phương án tối ưu hay không Nếu x0 chưa phải phương án tối ưu tìm cách cải tiến để phương án cực biên khác x0 tốt x0 theo nghĩa f (x ) f ( x ) Quá trình lặp lại nhiều lần số phương án < cực biên hữu hạn nên sau số hữu hạn bước lặp ta tìm phương án cực biên tối ưu Để thực thuật toán đề ta cần làm rõ hai vấn đề: - Làm để biết phương án cực biên cho tối ưu hay chưa? Tức tìm dấu hiệu tối ưu - Làm để phương án cực biên chưa tối ưu tìm phương án cực biên tốt nó? 1.3.2 Dạng ma trận thủ tục đơn hình Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc  f ( x ) = ct x →   Ax = b x ≥  ε := (st )x  + K =n β   − β β lỗ hổng đối ngẫu xuất phát Theo công thức số bước lặp lo g t (s ) x (1+ β )  ε (1 −  ε0 thuật toán cần ε ) bước β ) lặp để giảm lỗ hổng đối ngẫu từ ε0 O( log n xuống ε Và trình xuất phát thuật tốn ta phải tính log ε0 Để tính logε0 ta cần số phép tính đa thức n logU Vậy độ phức tạp tính tốn thuật toán đa thức n logU 1 log  ε 2.2.4 Thuật toán theo đƣờng trung tâm – đối ngẫu 2.2.4.1 Ý tƣởng thuật toán Cũng giống thuật toán theo đường trung tâm, bước lặp ta tìm dùng hướng Newton cho toán chắn quy hoạch đối ngẫu Chỗ dựa ta điều kiện đủ tối ưu cho hai toán chắn: Ax = b, At y + s = c, XSe = eµ 2.2.4.2 Xây dựng thuật tốn Hình q trình chạy thuật tốn theo đường trung tâm – đối ngẫu cho toán min− x1 − x2  −x + 2x ≤   2x + x ≤  3x − x ≤   x1 , x2 ≥ Áp dụng phương pháp Newton để giải phương trình phi tuyến ta có: Phương trình F(z)= là: Ax = b, At y + s = c, XSe = eµ Và phương trình xác định hướng Newton là:  Axk  − b A  t k + s kt − c Ay A   X S ek  − S µ e  k k  với d , d , x y  d x   k k I  d = y  X   k  +   k k  d s  hướng Newton biến x, y, s tương ứng ds Vì Ax − b = 0, A y + s − c = nên phương trình tương đương với: k t k k Ad kx = = 0, t k 0, Ad +d k y s k Sd + X = µ e − X Se k d k k x k s k k Có thể kiểm tra nghiệm phương trình là: d = Dk (I − P v (µ ), k k x k k ( t−1 ) d y = − AD k AAD k v −1 d = P vk (µ k ) Dk k s k k Với ký hiệu có nghĩa là: k ( k ), µ Dk2 = X S k −1 k t , t )−1 ( Pk = D k A AD k A v (µ ) = X k k , k −1 AD k Dk (kµ e − X S e) k Sau có hướng Newton nghiệm xấp xỉ x k +1 k = xP + x β d , yDyk +1 k k k = y + k d ,s + k +1 β k = s k D s β kd k, β k , độ dài bước lặp biến gốc biến đối ngẫu tương ứng β k P k+1 Các độ dài xác định cho x > 0, s  = min β P   {i:(d −k ) α ∈(0,1) - Tham số * Thuật toán k t Bước 1: (kiểm tra tính tối ưu) Nếu (s ) x