Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch tuyến tính

HàNội, ngày 05tháng05tháng2010 SinhviênthựchiệnTrầnHảiYến... HàNội,ngày 05tháng05năm 2010 SinhviênthựchiệnTrầnHảiYến... Bốcụckhóaluận Khóaluậngồmmởđầu,haichươngvàkết luận ChươngI:Bàitoán

Trongsuốtquátrìnhthựchiệnkhóaluậncũngnhưhọctậptạitrườngemđãnhậnđượcsựquantâm,giúpđỡvàtạođiềukiệncủacácthầycôgiáotrongKhoaToán,nhấtlàcácthầycôgiáotrongtổToánứngdụng,cùngvớisựđộngviênkhíchlệcủacácbạnsinhviên.Emxinchânthànhcảmơnsựgiúpđỡquýbáunày

ĐặcbiệtemxinbàytỏlòngbiếtơnsâusắcđếnthầygiáoTrầnMinhTước,ngườiđãtậntìnhhướngdẫn,giúpđỡemtrongsuốtthờigianquađểemcó

thểhoànthànhkhóaluậnnày

Trongquátrìnhthựchiệnđềtài,dođiềukiệnvềthờigianvàs ự hạnc h ế vềkiếnthức,khótránhkhỏinhữngthiếusótkhihoànthànhkhóaluậnnày.Vìvậyemrấtmongnhậnđượcnhữngýkiếnđónggópcủathầycôvàbạnbèđểđềtàicủaemđượchoànthiệnhơn

Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội, ngày 05tháng05tháng2010

SinhviênthựchiệnTrầnHảiYến

LỜIC A M ĐOAN

Tôixincamđoannhữngvấnđềemtrìnhbàytrongkhóaluậnlànhữngk ế t quảnghiêncứucủariêngbảnthântôidướisựhướngdẫntậntìnhcủa

thầygiáoTrầnMinhTước,bảnkhóaluậnnàykhôngtrùngvớikếtquảnghiêncứuc ủ acáctácgiảkhác

Nếukhôngtôixinhoàntoànchịutráchnhiệm

HàNội,ngày 05tháng05năm 2010

SinhviênthựchiệnTrầnHảiYến

1 Lýdochọnđềtài

Bàitoánquyhoạchtuyếntínhlàbàitoángiảiquyếtnhữngvấnđềkhókhănthườnggặptrongcuộcsốngvàtronglaođộngsảnxuất.Việcgiảinhữngb à i toánQuyhoạchtuyếntínhnàygiúptatìmđượcphươngántốiưunhất,hợplýnhấtnhằmmanglạihiệuquảcaonhấttrongsảnxuất

Thôngthườngchúngt a dùngphươngphápđơnhìnhđ ể giảibàitoánQuyhoạchtuyếntính.Đây

làmộtcáchgiảinhanhvàhiệuquả.Tuynhiênvớinhữngbàitoáncóđộphứctạplớnthìphươngphápđơnhìnhkhôngcònthựcs ự hiệuquản ữa.Vớinhữngbàitoánnàyngườit athườngs ử dụngmộtphươngphápkháclàphươngphápđiểmtrong.Đểtìmhiểukỹhơn

vềphươngphápđiểmtrongtôiđãchọnđềtài:“Phươngphápđiểmtronggiảibàitoán

q u y hoạchtuyếntính”.chokhóaluậntốtnghiệp.

2 Mụcđích,nhiệmvụnghiêncứu

Mụcđíchnghiêncứu:Tìmhiểucácthuậttoáncủaphươngphápđiểmtrongđ ểgiảibàitoánQuyhoạchtuyếntính

Nhiệmvụnghiêncứu:Trìnhbàykháiquátvàđánhgiáhiệuquảcácthuậttoáncủaphươngphápđiểmtrong

3 Phươngphápnghiêncứu

Trongđềtàisửdụngnhữngphươngphápchínhnhư:phươngpháptìmkiếm,phântích,thốngkê,tổnghợp, sosánh,…

4 Bốcụckhóaluận

Khóaluậngồmmởđầu,haichươngvàkết luận

ChươngI:BàitoánquyhoạchtuyếntínhvàphươngphápđơnhìnhChươngII:

Phươngphápđiểmtrong

1.1 Bàitoánquyhoạchtuyếntính vàquyhoạchtuyếntính đốingẫu

(j1,2, ,n)

 códấutùyýc) Đốingẫucủabàitoánquyhoạchtuyếntínhdạngtổngquát

x0. Sauđókiểmtraxem x0có

phảilàphươngántốiưuhaykhông.Nếu x0chưa

phảilàphươngántốiưuthìtìmcáchcảitiếnnóđểđượcmộtphươngáncựcbiênkháclà

x0tốthơnx0theonghĩa fx1



fx0.Quátrìnhnàylặplạinhiềulần.vìsốphươngán

cựcbiênlàhữuhạnnênsaumộtsốhữuhạnbướclặptatìmđượcphươngáncựcbiêntốiưu

Đểthựchiệnthuậttoánđềraởtrêntacầnlàmrõ haivấnđề:

- Làmt h ế n à o đ ể biếtmộtphươngáncựcbiênđ ã chol à tốiưuh a y chưa?Tứclàđitìmdấuhiệutốiưu

- Làmthếnàođểmộtphươngáncựcbiênchưatốiưutìmđượcmộtphươngán cựcbiênmớitốthơnnó?

Với

x,cn , bm , Alàmatrậncấpmn.ĐểđơngiảntagiảthiếtcơsởJđangxétgồmđúngmcộtđầutiêncủamatrậnA,tứcJ={1,2, ,m}.ĐặtK={1,2, ,n}\

J.MatrậnAđượctáchlàm2:matrậncơsởAJvàphầnngoàicơ sởAK.cácvéctơcũngđư ợc táchlà m2phầntươngứngtrongvà ngoàicơsở J

tứclà z js 0jJ.Nếu

- Đúng:thìkếtluậnhàmmụctiêugiảmvôhạntrênmiềnràngbuộc.Kếtthúcthuậttoán.

- Sai:chuyểnsangbước4

Bước4:

 Chọnchỉsốrthỏamãn:

xr

zr s



xj

mi n



zjs

thựchiệnthuậttoánthườngđượcbiểudiễndướidạngT(n)làmộthàmsốdươngcủan,đ ồngbiếntheon.

Đểtiệnsosánhthờigianthựchiệncủacácthuậttoán,ngườitađưarak ý hiệuO(đọclà Olớn)

Giảsử fn làhàmsốkhôngâm.Tav i ế t TnO

fn 

nghĩalà

tốcđ ộ tăngcủa Tn

 khin tiếnđếnvôcùngkhôngvượtquátốcđ ộ tăng

củafn.Khinlớn, fnchotahìnhdungđượcmứclớncủa Tn, fn

làthướcđo độlớncủaTn

1.4.2 Thờigianthựchiệnthuậttoánđơnhình.

TrongmỗibướclặpcủaphươngphápđơnhìnhcầnthựchiệnO(m.n)phéptoánsốhọcđểtínhgiátrịhàmmụctiêu,cácbiếncơsởvàO(m2)phép

Nóichung,ngườitathấycầnO(m)phéplặpđơnhìnhđểgiảibàitoánqu yhoạchtuyếntính.Vềtrungbình,thờigiangiảibàitoánquyhoạchtuyếntínhbằngthuậttoánđơnhìnhlàmộtđathứctheo mvà n

Phươngphápđiểmtrong xuấtphátt ừ mộtđiểmnằmbên trongmiềnrằngbuộcvàdichuyểndầnđếnlờigiảitốiưunhưngvẫnluônởbêntrongmiềnrằngbuộc.Têngọicủaphươngphápnàycũng đãchothấyýtưởngnày.

Từmộtđiểmđangxéttadichuyểndầnđếnmộtđiểmmớitốthơntheohướngd.Hướngdichuyểnlàtổhợpcủahaithànhphần.Thànhphầnthứnhấtl à hướnggiảmhàmmụctiêu.Thànhphầnthứhainhằmhướngvàobêntrongđ ể khôngchạmvàobiêncủamiềnrằngbuộc, gọilàthànhphầnhướngtâm

Nhưvậyđểgiảiquyếtbàitoánquyhoạchtuyếntínhbằngphươngphápn à y chúngtaphảitìmđược2thànhphần.Việcxácđịnh2thànhphầnđóđượctrìnhbàydướiđây

2.1.2 Xácđịnhhướnggiảm

Xétmiềnrằngbuộc củabàitoánquyhoạchtuyếntính

Axb

x0Xuấtpháttừđiểm x

PIA t AA t1 1 A vìz,A(Pz)A(IA t ( AA t )1A

Cáchmột(phươngpháphàmchắn):

Tacộngthêmvàohàmmụctiêumộthàmsốdương,dầntớimỗikhidãyđiểmgầntiếntớibiênmiềnr à n g buộc.Mộthàmchắnhaydùnglàlàhàmlogarit:

Cáchhai(phươngphápcănchỉnhellipsoid):Taxâydựngmộtelipcót â m tại

điểmđangxétvànộitiếptrongmiềnràngbuộc.Biêncủamiềnràngbuộcxácđịnhbằng

cácđẳngthứcx j =0,nênnếumộtràngbuộcsắpviphạm

tạiđiểmđangxétthìbántrụccủaeliptươngứngvớibiếnnày

sẽngắn,hướngd i chuyểnsẽđượcđiềuchỉnhđểnghiêngvềphíabántrụcdàihơncủaelip

Hướngdichuyển

2.2 Mộtsốthuậttoáncủaphươngphápđiểmtrong

2.2.1 Phươngpháptỷlệaffin

2.2.1.1 Ýtưởngcủathuậttoán

Tạimỗibướclặp,khiđãcómôtnghiệmt r o n g , t a thaybàitoánquyhoạchtuyếntínhbằngbàitoáncócùnghàmmụctiêunhưngtậpràngbuộclàmộtelipcótâmlànghiệmtrongđãcó,xấpxỉvớitậplồiđadiệnràngbuộcc ủ a quyhoạchtuyếntính.Nghiệmcủabàitoánmớisẽđượcchứngminhlànghiệmtrongcủabàitoáncủabàitoánquyhoạchtuyếntínhvàsẽđượcdùngl à m t â m c ủ a elipở bướclặptiếptheo.C ứ tiếptụcq u á trìnhnàyđ ế n khikhoảngcáchđốingẫunhỏhơnmộtngưỡng 0nàođó

2.2.1.2 Xâydựngthuậttoán

Tacóhìnhtrênlàquátrìnhchạythuậttoántỷlệ affinchobàitoándướiđây

minctX0x '

AX0x '

bn

xn : P(x):A t ( AA t )1

Ax

làhìnhchiếucủaxlênkhônggian

hàngR(A t )và

x-P(x)làhìnhchiếucủaxlênkhônggianKerA.CHỨNGMINH:Theođịnhnghĩ acủahìnhchiếuPlênR(A t )taphải

tính P(x)=argmin

u n ||x–A t u||.

Dođótaphảitìm min||xA t u||

u n hoặcbàitoántươngđươnglà min(xAtu)t(xAtu),đâylàbàitoáncựctiểuhàmcấphai:

u n

min(xtx  2xtAtu   utAAtu). u n

Nghiệm củabàitoánchínhlàđiểm dừngu * =(AA t ) -1 Ax

Dođótacó:P(x)=A t u*=A t (AA t ) -1 Ax.

VìKerAlàphần bùtrực giao(R(A t ))

thìx*v à(y,s)tươngứnglà

j

cặpnghiệmtốiưucủahaibàitoánquyhoạchtuyếntínhđốingẫunhau.Thay(1.6)vào(1.7)tacó

x*  x0 ( X ) s

||X0s ||

VìX0l àmatrậnđườngchéonêntacó:

(x0)2s 0x*



x0

||X 0 s||

minc t xMx

Ax(bAe)x n

1 b, (x,x n1)0.

nghiệmđốingẫuxấpxỉ.Cụthểlà:đầutiêntínhmatrậnA(Xk)2 A tvớiO(m2n)phéptoánsố

học.SauđólàgiảihệphươngtrìnhtuyếntínhcómatrậnlàA(Xk)2 A tvớiO(m3)phéptoánsốhọc.Vìm<nnêntổngsốphéptoáns ố họcđểtínhykl àO(m2n+m3)=O(n3)

Trongthựchànhngườitathấykhixgầnđếnbiênthìthuậttoánsẽbiếnđổix chạy

d ọ c theobiêncủađadiệnlồi(gầngiốngvớiphươngphápđơnhình).Vìvậyngườitati

nrằngđộphứctạpcủathuậttoanaffincũnggiốngvớiđộphứctạpcủathuậttoánđơnhình(mặcdùchưacóchứngminh).

Thuậttoángiảmthếkhắc phục điểmyếucủathuậttoántỷlệaffinlà„bịbẫy‟khigầnchạmvàobiêncủađadiệnlồi.

2.2.2.2 Xâydựngthuậttoán

Tacóhìnhvẽtrênlàquátrìnhchạythuậttoánchobàitoánsauđây:

logx j 

j

 1

logs j (2.1)

ầuđặcchưngcholỗhổngđốingẫu,haisốhạngsauphạtvàosựgầnbiêncủanghiệmtrongxvà s

Taxétđịnhlý(2.1):Giảsửx0>0 và(y0,s0)vớis0>0 lànghiệmchấp

nhậnđượccủabàitoánquyhoạchgốcv à q u y hoạchđốingẫutươngứng.Mọithuậtto ánsaochoởcácbướcluônđảmbảotínhchấpnhậnđượccủa

logx j 



j

 1

logx j 



j

 1

k k k

2.2.2.4 Tìmnghiệmxuấtphátchothuậttoán.

Xéthaibàitoánquyhoạchgốcvàđốingẫunhântạosauđây:

1n 1 minc t xMx ,

m1 2

2

1 2

Địnhlý(2.2)Giảsửx * v à (y * ,s * )lànghiệmtốiưucủaquyhoạch tuyếntínhgốcvàđốingẫucầnxét Nếu

(x,xn1,xn2

)

củabàitoángốcnhân

tạolàtốiưukhivàchỉkhixl à nghiệmtốiưucủabàitoán gốcvà x n1 0;

(b) nghiệmchấpnhậnđược (y,ym1,s,sn1,sn2) củabàitoán đốingẫunhântạolàtốiưukhivàchỉkhi( y,s) lànghiệmtối ưucủabàitoánđốingẫucầnxétvà y m1 0

K k

nlog1

n2log(n U))



bướclặp

Trongmỗibướclặpkhốilượngtínhtoánchínhlàtính

(AX 2 A t )1vàhaiphépnhânmatrậnđểtính

A DođómỗibướclặpcầnO(nm2+m3)phéptoánsốhọc.Vìm



phéptoánsốhọc.Cậntrênnàytăngcỡđathứctheo

n,logUvàlog1.Nếu lấy đủbéthìcóthểcoilànghiệm-tốiưuchính

xácđượclàmtròn

2.2.3 Thuậttoántheođườngtrungtâm

2.2.3.1Ýtưởngthuậttoán

Xuấtpháttừmộtnghiệmtrong,tagiảibàitoánxấpxỉbằngcáchbỏđiràngbuộcdấumàthaybằngmộthàmphạtvàohàmmụctiêunhưsau:

B(x)c t x

,

(3.2)

maxytb,

ytA 

sts  0



ct,

(3.3)

Saukhibỏđiràngbuộcdấuvàthaybằngmộthàmphạtvàohàmmụctiêutacóbàitoánxấpxỉmớithaychochobàitoángốclà:

j

minB(xd)B

(x),Ad0,

Tứclàbàitoán

gốcx ấ p xỉnhậnđượcsẽdầnđ ế n x()-nghiệmtố i ưuc ủ a bàitoánchắn.

ởđ â ylà

thamsốgầnbằng1.Dođócũnggần

, x() cũnggần x().Đồngthời

) đãgầnvới x() hơn

khoảngcáchx +d  v

à x().VậykhiđíchcủađoạnNewtonlà x() thayđổitheo thìnghiệmxấpxỉ(đạtđượcbởiđoạnNewton)luônbámn g à y

b(n

2)b ta n(mU) m

Tínhtoánchínhởmỗibướclặplàgiảihệnm phươngtrìnhtuyếntínhcủan

m ẩnở bước2.vìmnnênkhốilượngtínhtoánlàO( n3).Gọi

s) x

làlỗhổngđốingẫuxuấtphát.Theocôngthứccủasốbướclặp

VìAx k

b0,A t y k

s kc0nênphươngtrìnhtrêntươngđươngvới:

Adk

Atdk

 0,

Px Dy Ds

i:(d k )0

k i(dk)  

i:(d k )0

k i(dk)  

 

i:(d k )0

k i



i:(d k )0

k i

(d k ) 



Px Dy Ds

2.2.4.4 Tìmnghiệmxuấtphátchothuậttoán

Giảsửđãcóx0>0,s0>0vày0khôngnhấtthiếtlànghiệmchấpnhậnđượccủacặpquyhoạchđốingẫu.Taxétquyhoạchtuyếntínhsauđây,chứat ất cảcácyếutốcủacặpquyhoạchđốingẫuđangxét

Cácphươngphápđiểmtrongcóquanhệmậtthiếtvớinhau:Bướcđiởmỗibướclặptrongphươngpháptỉlệaffin

Theocôngthứcởtrêntathấycảthuậttoángiảmthếvàthuậttoántheođườngtrungtâ mđ ều c ó hướngđiở mỗibướclặpl à tổhợptuyếntínhcủahướngđitỉlệaffinvàhướngtâm.

Thuậttoántỉlệaffintuyđơngiảnvàhộitụnhanhtrongthựctếnhưngkhôngđánhgiáđượccậntrêncủasốbướclặp(cóphảilàđathứccủacỡbàitoánhaykhông?).Haithuậttoáncònlạithìcósốbướclặplàđathứccủacỡb à i toán

hàmthếởthuậttoángiảmthế.NósửdụngphươngphápNewtonđểgiảinênhộitụrấtnhanh.Vìvậythuậttoánnàyhoànthiệnvềlýthuyếtvàhộitụnhanhtrongthựctếnênđượcsửdụngnhiềunhất

VớimụcđíchlàtìmhiểucácphươngphápđiểmtrongđểgiảicácbàitoánQuyhoạchtuyếntínhnênsaukhiđọc,tìmhiểuvà nghiêncứucáctàiliệucóliệuquantôiđãtrìnhbàykháiquátvàđánhgiáhiệuquảcácthuậttoánc ủ a phươngphápđiểmtrong

Trongquátrìnhnghiêncứuthựchiệnkhóaluậntốtnghiệptôiđãhọchỏivànângcaođượcnhiềukiếnthứcbổích,quantrọng.Tôihyvọngnhữngkiếnthứcđượctrìnhbàytrongkhóaluậnnàysẽ

cóíchchonhữngaimuốntìmhiểu,nghiêncứuvềphươngphápđiểmtronggiảibàitoánQuyhoạchtuyếntính

Dođiềukiệnvềthờigianvàsựhạnchếvềkiếnthứcnêntrongkhóaluậnn à y k h

ó tránhkhỏinhữngthiếusót.Vìv ậ y tôir ấ t mongnhậnđượcnhữngý kiếnđónggópcủathầycô v à bạnb è đ ể đ ề tàic ủ a tôiđượchoànthiệnhơn

[5] Quyhoạchtuyếntính,PhanQuốcKhánh– TrầnHuệNương,NXBGiáoDục, 2003