Phép đồng dạng của bài toán quỹ tích

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HẢI HƯỜNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THUỶ HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo Đinh Văn Thủy tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng cảm ơn ý kiến đóng góp q báu thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ Hình Học góp phần làm cho khóa luận thêm hồn thiện Trong trình nghiên cứu, với hạn chế mặt thời gian mặt kiến thức thân, khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong bảo thầy cô ý kiến đóng góp bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Hải Hường LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng, tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo Đinh Văn Thủy thầy tổ Hình Học khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội Một lần tơi xin cam đoan khóa luận chưa cơng bố khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Hường MỤC LỤC Mở đầu Nội dung Chương 1: Cơ sở lý luận §1: Bổ túc vấn đề định hướng Mặt phẳng định hướng Góc định hướng hai tia Góc định hướng hai đường thẳng Định hướng không gian §2: Đại cương phép biến hình En (n=2, 3) Phép biến hình số khái niệm liên quan .9 Phép biến hình afin Phép biến hình đẳng cự 10 Phép vị tự 13 Phép đồng dạng 13 Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải tốn quỹ tích 16 §1: Bài tốn quỹ tích 16 Định nghĩa 16 Chứng minh quỹ tích 16 Giới hạn quỹ tích biện luận quỹ tích 16 §2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải tốn quỹ tích ví dụ 17 Phương pháp chung 17 Phát triển tốn quỹ tích nhờ phép đồng dạng 18 Ví dụ 18 §3: Một số tốn luyện tập 36 Hướng dẫn 38 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học mơn học có vị trí quan trọng tốn học Theo quan điểm tốn học đại hình học nghiên cứu tính chất hình bất biến nhóm biến hình khơng gian hình học Học hình học giúp học sinh rèn luyện tư duy, nâng cao khả tưởng tượng không gian Tuy trường phổ thơng hình học chưa quan tâm xứng đáng với vai trò Phép biến hình nội dung quan trọng chương trình tốn phổ thơng Đây cơng cụ mạnh để giải tốn đồng thời nâng cao, phát triển lực trí tuệ chung cho học sinh Nhưng thực tế việc vận dụng phép biến hình vào giải tốn mặt phẳng khơng gian học sinh làm quen bước đầu Với mục đích làm sáng tỏ việc vận dụng phép biến hình việc giải tốn tơi chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn quỹ tích ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép đồng dạng phẳng không gian Ứng dụng giải tốn quỹ tích phẳng khơng gian Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép đồng dạng, tốn quỹ tích Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 E3 Nhiệm vụ Trình bày sở lý thuyết Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép đồng dạng Xây dựng hệ thống ví dụ tập ứng dụng phép đồng dạng giải bài tốn quỹ tích Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1: BỔ TÚC VỀ VẤN ĐỀ ĐỊNH HƯỚNG Mặt phẳng định hướng Định nghĩa Xung quanh điểm mặt phẳng có hai chiều quay: Chiều kim đồng hồ chiều ngược lại Nếu gọi hai chiều chiều thuận chiều chiều nghịch, ta nói mặt phẳng định hướng Thông thường người ta gọi chiều ngược kim đồng hồ chiều thuận Góc định hướng hai tia Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox Oy, góc định hướng hai tia đầu Ox, tia cuối Oy ký hiệu (Ox, Oy) góc thu quay Ox xung quanh O tới trùng với Oy Hệ thức Chales Nếu mặt phẳng định hướng cho tia OA1,…, OAn Khi đó: (OA1, OA2) + (OA2, OA3) +…+ (OAn-1, OAn) = (OA1, OAn) + K2Π KZ Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng, cho hai đường thẳng a b Nếu a∩b = {O} đường thẳng bị O chia làm hai tia ta định nghĩa: Góc định hướng hai đường thẳng a b góc định hướng hai tia bi (i=1, 2) Kí hiệu: ( a , b ) a1 b2 O b1 a2 Hệ thức Chales: Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a1, a2, …, an Khi đó: ( a1 , a2 ) + ( a2 , a3 ) +… + ( an1 , an ) = ( a1, an ) + KΠ , KZ Định hướng không gian a) Không gian định hướng theo trục Trong không gian cho trục a Khi xung quanh trục a có hai chiều quay Đặt vặn nút chai theo trục a cho mũi vặn nút chai hướng dương Chiều quay vặn nút chai tiến theo chiều dương a gọi chiều dương khơng gian chiều ngược lại gọi chiều âm khơng gian Khi không gian gọi định hướng theo trục a b) Nhị diện định hướng Cho nhị diện [α, a, β] Nhị diện định hướng có diện đầu α, diện cuối β, [ , ] nhị diện thu quay diện đầu α quanh a tới trùng diện cuối β c) Định hướng góc tam diện Cho góc tam diện O.ABC đỉnh O Nếu nhìn từ O chiều quay từ A đến B, từ B đến C ngược chiều kim đồng hồ ta nói góc tam diện O.ABC có hướng dương, ngược lại gọi góc tam diện có hướng âm §3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho điểm M chuyển động nửa vòng tròn đường kính AB Dựng ngồi ∆AMB hình vng MBCD Tìm quỹ tích điểm D Bài 2: Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d Với điểm B d, ta dựng tam giác ABC vuông cân B Tìm tập hợp điểm C B thay đổi Bài 3: Tam giác ABC biến đổi luôn đồng dạng hướng với cho trực tâm K cố định đỉnh A di động đường thẳng d cho Tìm quỹ tích điểm B, C Bài 4: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định không nằm (O) Với điểm B thuộc đường tròn ta dựng điểm C cho tam giác ABC vng cân B Tìm tập hợp điểm C B thay đổi (O) Bài 5: Lục giác ABCDEG biến đổi cho điểm A cố định, điểm B di động đường tròn (O, R) cho hướng lục giác khơng thay đổi Tìm tập hợp điểm C, D, E G B di động đường tròn (O, R) Bài 6: Cho đường tròn (O) tam giác ABC nội tiếp đường tròn, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi Gọi G trọng tâm tam giác ABC dựng hình bình hành GBCF Tìm tập hợp điểm F A biến thiên đường tròn (O) Bài 7: Cho đường tròn (O) đường thẳng d Với điểm A thuộc (O) điểm B thuộc d ta dựng tam giác vuông cân ABC ( A = 1v ) Tìm tập hợp điểm C đỉnh A B thay đổi Bài 8: Một hình vng ABCD có đỉnh D cố định đỉnh A chuyển động đường () khơng qua D Tìm quỹ tích điểm B, C tâm O hình vng ABCD trường hợp sau đây: a) () đường thẳng b) () đường tròn (S, R) Bài 9: Một điểm P chuyển động đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC không vuông cho Các đường thẳng qua P vng góc với AC AB theo thứ tự cắt đường thẳng AB AC M N Tìm quỹ tích điểm Q đối xứng với P qua trung điểm MN Bài 10: Cho S(I, R) điểm O cố định cho OI=2R Một điểm N chuyển động S, phân giác □NIO cắt ON M Tìm quỹ tích điểm M Bài 11: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, đường tròn (O) thay đổi qua A không tiếp xúc với đường thẳng AB, AC có tâm chuyển động BC Đường tròn cắt AB, AC M, N Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMN Bài 12: Cho ba tia Ox, Oy, Oz đường thẳng d A, B, C ba điểm ba tia Ox, Oy, Oz thay đổi cho mặt phẳng (ABC) ln vng góc với d Tìm tập hợp: a) Trọng tâm G tam giác ABC b) Trực tâm H tam giác ABC Bài 13: Cho đường tròn (O) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn A, vng góc với OA M điểm d Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác MBC khi: a) BC cố định, M di động d b) M cố định, BC di động ln vng góc với OA HƯỚNG DẪN Bài 1: BD Do  BM □MBD  450 Z(B, 2,  ta xét phép đồng dạng ):M  D Mặt khác M chạy nửa đường tròn đường kính AB nên D chạy nửa đường tròn đường kính BA’ đồng dạng với nửa đường tròn cho Bài 2: Xét phép đồng dạng Z(A, 2, 450 ) : B  C Do B chạy đường thẳng d nên C chạy đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(A, 2, 450 ) Bài 3: d' B' d B A  K A' d'' D C C' Gọi A’B’C’ vị trí tam giác ABC A’K d KB' Đặt = □A' KB ' k  KA' Khi xét phép đồng dạng : Z(K, k, -): A’  B’ Do d qua A’ d KA’ nên ảnh d’ d phải qua B’ vng góc với KB’ Lại có ∆ABC ~∆A’B’C’ suy □AKB □A' KB '   KB KB '  KA k KA' Hơn hai tam giác hướng nên : Z(K, k, -) : A B Mà tập hợp điểm A đường thẳng d nên tập hợp điểm B đường thẳng d’ Chứng minh tương tự ta có tập hợp điểm C đường thẳng d’’ với d’’ đường thẳng qua C’ vuông góc với KC’ Bài 4: A O" C' O C B O' Ta có AC AB  40 Xét phép đồng dạng Z(A, , 45 ) Z(A, , -45 ) 41 Khi điểm C ảnh B qua phép đồng dạng Z(A, , 45 ) Z(A, , -450) Gọi (O’) ảnh (O) qua phép đồng dạng Z(A, , 45 ) gọi (O’’ ) ảnh (O) qua phép đồng dạng Z(A, , -45 ) Khi điểm B di động (O) tập hợp điểm C hai đường tròn (O’) (O”) thứ tự ảnh (O) qua phép đồng dạng Z(A, , 45 ) Z(A, , -45 ) Bài 5: Do ABCDEG lục giác nên □BAC 300 Xét Z = Z(A, O  O1 AC AB 3, 300 ) : B  C ∆AOO1 ~ ∆ABC hướng Z(OB)=O1C hay O1C  3OB  3R Vậy tập hợp điểm C đường tròn (O, Tương tự 3R ) Z(A, 2, -60 ) : (O, R)  (O2, 2R), B  D Z(A, , -90 ) : (O, R)  (O3, R), B  E Z(A, 1, -120 ) : (O, R)  (O4, R), B  G Vậy tập hợp điểm C, D, G đường tròn (O2, 2R), (O3, R), (O4, R) Bài 6: A H F G O B O1 C O' Gọi H trực tâm tam giác ABC   Khi OH  3OG G V (H ) O Mà quỹ tích điểm H đường tròn (O1) đối xứng (O) qua BC BC BGFC hình bình hành      (G) F T B F TV (H ) BC O Vậy quỹ tích F ảnh đường tròn (O) qua phép đồng dạng Z=TV SBC BC O Bài 7: d' d B A O C O' Xem B điểm cố định Xét phép đồng dạng Z Z (B, 450 , 2) : A  C Đường tròn (O) biến thành đường tròn (O’) chứa C Tam giác BOO’ vuông cân O  9 00 O : B  O đường ' thẳng d Q biến thành đường thẳng d’ vng góc với d O’ Khi B thay đổi d O’ thay đổi d’ Vậy tập hợp điểm C hợp đường tròn tâm (O’) với tâm O’ thuộc đường thẳng d’ Bài 8: Giả Z (D,  sử , hình vuông  2): A B  QD2 : A  C a) ABCD có hướng thuận Thế  VD2 : B  O Gọi H hình chiếu D A dựng hình vng DHH’K có hướng thuận Thế ta tập hợp điểm B đường thẳng b vng góc với DH’ H’; Tập hợp điểm C đường thẳng c vng góc với DK K; Tập hợp điểm O đường tròn đường kính HK b) Dựng hình vng DSS1S2 có hướng thuận (cùng hướng với ABCD) Gọi I trung điểm DS1 Khi quỹ tích điểm B đường tròn (S, R 2) ; Quỹ tích C đường tròn (S2 , R đường tròn (I , R 2 2) quỹ tích O ) Bài 9: Chứng minh P trực tâm ∆AMN đó, Q điểm xuyên tâm điểm A đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMN Quỹ tích Q đường thẳng q, nhận từ đường thẳng a=(BC) phép vị tự - đối xứng Z(A, ∆=Ap, k), Ap phân góc □BAC k cos A Bài 10: O I M N t Dựa vào tính chất đường phân giác Z ( A, k, ) : M I MO  IO MN IM  VO2 :(O)  (O ') O Quỹ tích điểm M (O’) với V : (O)  (O ') Bài 11: A H B O M D N C Dễ thấy □A 900 HA với (O) Xét A nhọn Ta gọi D điểm xuyên tâm đối A (O) Thế M, N theo thứ tự hình chiếu vng góc D [AC], [AB] ∆AHM’ ~ ∆ADM □MAD □HAM ' AH AM ' cos□BAC k  AD AM Vậy Z(A, pA, K) : O  H , pA phân giác góc A Bài 12: O B0 G0 A0 C0 B G A x y C z a) Gọi A0, B0, C0 ba điểm cố định thuộc Ox, Oy, Oz cho mặt phẳng (A0B0C0) thỏa mãn yêu cầu toán Gọi A, B, C ba điểm di động thuộc Ox, Oy, Oz cho mặt phẳng (ABC) thỏa mãn yêu cầu toán Dễ thấy (A0B0C0)//(ABC) OB Tồn số k (k 0) OA0 0 OA OC cho  k OB OC VOk : A  A0 ; B  B0 ; C  C0 VOk : ∆ABC  ∆A0B0C0; G  G0 (G, G0 trọng tâm tam giác ABC tam giác A0B0C0) Vậy quỹ tích điểm G thuộc tia OG0 b) Tương tự a) quỹ tích trực tâm H thuộc tia OH0 với H0 trực tâm tam giác A0B0C0 Bài 13: d M A C I B O I a) V : M  G Ta có (MHO) BC 600 QBC :G  G0 Vậy quỹ tích điểm G d’ với d’ ảnh d qua phép đồng dạng 600 13 QBC VI b) VI : I  G Gọi A’ điểm xuyên tâm đối A Ta kết luận I di động [AA’] trừ hai điểm A, A’ G di động [MM’] trừ hai điểm M, M’ với M’ ảnh A’ qua phép vị tự V 3I KẾT LUẬN Bài tốn quỹ tích tốn khó học sinh phổ thơng Phép biến hình cơng cụ hữu ích để giải lớp tốn Nó khơng giúp học sinh có lời giải đẹp mà cho học sinh thấy mối quan hệ hình nhờ ánh xạ 1-1 Nhờ mà phát triển tư cho học sinh Nhằm góp phần đạt mục tiêu trên, khóa luận đưa hệ thống lí thuyết ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc thấy phương pháp tư để giải toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng, cách trình bày lời giải, sáng tạo tốn để từ thấy tính ưu việt phép đồng dạng toán quỹ tích Do sinh viên bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, nhiều hạn chế thời gian khả nên chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong thầy bạn sinh viên đóng góp, trao đổi ý kiến để luận văn hoàn thiện Qua tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới quý thầy Đinh Văn Thủy, người hướng dẫn bảo tận tình tơi nghiên cứu đề tài Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới q thầy tổ Hình học đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông (phép biến hình phẳng) – NXBGD – 2005 Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng (phép biến hình khơng gian) – NXBGD – 2005 Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn Giáo trình hình học sơ cấp tập – ĐHSPHN – 1993 Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn Giáo trình hình học sơ cấp tập – ĐHSPHN – 1993 Bùi Văn Bình Bài tập hình học sơ cấp tập – ĐHSPHN – 1993 Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 1996 ... động phép phản chiếu tỉ số vị tự tỉ số đồng dạng d) Phân loại phép đồng dạng hai hình đồng dạng  Phân loại Phép đồng dạng xác định hai đơn hình hướng gọi phép đồng dạng thuận Phép đồng dạng. .. phép vị tự phép dời hình phép đồng dạng thuận Tích phép vị tự phép phản chiếu phép đồng dạng nghịch Định lý Trong E3, phép đồng dạng Zk phân tích thành tích phép vị tự phép quay quanh trục với... gọi phép đồng dạng nghịch Hai hình đồng dạng Hai hình H H’ gọi đồng dạng với có phép đồng dạng Z biến hình thành hình kia: Z(H)= H e) Điểm bất động dạng tắc phép đồng dạng Định lý Mọi phép đồng