Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy cô, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ q báu thầy tổ hình học, thầy khoa tốn, thầy trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy – Người tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng song thời gian hạn chế khả thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận quan tâm, góp ý, bảo thầy, giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -1- Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Mận – k34A - Toán Phép đồng dạng với tốn dựng hình -2- LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết thân em qua trình học tập, bậc đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Đinh Văn Thủy Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn dựng hình ”, khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận MỤC LỤC Nội dung………………………………………………………… Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………… Mục lục………………………………………………………………… A – Lời nói đầu………………………………………………………… B – Nội dung…………………………………………………………… Chương I: Cơ sở lý thuyết…………………………………………… 1.1 Các kiến thức liên quan……………………………………… 1.2 Phép biến hình đồng dạng…………………………………… 1.3 Phép đồng dạng tốn dựng hình……………………… 14 Chương II : Ứng dụng………………………………………………… 16 2.1 Các ví dụ……………………………………………………… 16 2.1.1 Ví dụ 1…………………………………………………… 16 2.1.2 Ví dụ ………………………………………………… 18 2.1.3 Ví dụ 3…………………………………………………… 20 2.1.4 Ví dụ 4…………………………………………………… 22 2.1.5 Ví dụ 5…………………………………………………… 25 2.2 Bài tập luyện tập……………………………………………… 28 2.2.1 Đề bài…………………………………………………… 28 2.2.2 Hướng dẫn giải………………………………………… 29 Kết luận………………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 47 A – LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói rằng, chương trình tốn phổ thơng bậc đại học, phép biến hình chiếm vị trí quan trọng Phép biến hình cơng cụ đơn giản, đầy hiệu lực việc giải tốn hình học sơ cấp tốn dựng hình, tốn quỹ tích, tốn chứng minh,… Trong phép biến hình khơng thể khơng nói tới phép biến hình đồng dạng, chiếm mảng lớn tồn phép biến hình Đặc biệt giải tốn dựng hình, nhiều tốn sử dụng phương pháp thơng thường nhiều gặp khó khăn, phức tạp, ta chọn phép biến hình đồng dạng vào giải tốn trở lên đơn giản, dễ dàng Áp dụng phép đồng dạng vào giải tốn dựng hình xem biện pháp tối ưu Xuất phát từ lí trên, qua q trình học tập, nghiên cứu, kết hợp với lòng u thích mơn hình học mà em chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ” với mong muốn tìm hiểu sâu nội dung này, bước đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm chương : Chương : Cơ sở lý thuyết Chương gồm mục nhằm trang bị kiến thức lý thuyết phép đồng dạng; tốn dựng hình phương pháp áp dụng phép đồng dạng vào giải toán dựng hình Các kiến thức liên quan : Bài nói mặt phẳng định hướng; góc định hướng hai tia, hai đường thẳng; đường tròn Aplonius 1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài nói định nghĩa, tính chất, phân loại, định lí quan trọng phép đồng dạng 1.2 Phép đồng dạng toán dựng hình : Đề xuất tốn dựng hình phương pháp giải nhờ phép đồng dạng Chương : Ứng dụng : Gồm hai mục : 2.1 Các ví dụ : Nêu tốn có hướng dẫn giải chi tiết 2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt tập có gợi ý phần sau Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận C B O2 O1 A Bài tốn có nghiệm đường tròn (O') (O2) có điểm chung Nếu đường tròn trùng , tốn có vơ số nghiệm Bài 10 : Giả sử dựng tam giác ABC có đường cao ha¸hb, hc tương ứng với cạnh a, b, c Suy : h :h :h a b c 1 : :  a b c A B' H2 H3 A'' hc hb C' A' B'' C'' B H1 C Hay a : b : c = 1 a':b': c' : : hb hc Điều chứng tỏ tam giác ABC cần dựng đồng dạng với tam giác có cạnh a', b', c' mà a', b', c' chiều cao tam giác có cạnh ha¸hb, hc Từ ta có cách dựng : +) Dựng A'B'C' có cạnh ha¸hb, hc suy xác định độ dài đường cao tam giác đặt a', b', c' +) Dựng tam giác A''B''C'' có cạnh a', b', c' suy xác định ' ' a b h ,h ,h độ dài đường cao tam giác tương ứng c ' +) Dựng tam giác ABC đồng dạng thuận với tam giác A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng h a' Nếu ha¸hb, hc độ dài cạnh tam giác tốn có nghiệm hình Trường hợp ngược lại tốn vơ nghiệm Bài 11 : Thực phép đồng dạng : Z Z    A, B□AD,  a  Suy : ABC đồng dạng với d  :BD CC' ADC '  DC ', AD  BC, AB  AD, DC  DC ', AD  AD, DC   BC, AB Hay  □ABC □ADC  DC ', DC  d : DC ' BC d Vậy tam giác CDC' dựng a a b C'  A D  C B Lại có : AC ' d A  d   D, d A CC ',  AC a (trong     A d  CC ',  a  Aplonius ứng với đoạn CC' theo tỉ số  d a a đường tròn   ) Suy dựng tứ giác ABCD Bài 12 : Phân tích : Giả sử A có □A , B□ BC  , C□  dựng điểm X cho AM : XN : XP = m : n : p với M, N, P chân đường vng góc hạ từ X xuống cạnh BC, CA, AB Khi : P□XN  ; N□XM ; D□XM  Trong mặt phẳng chọn điểm O Dựng tia OM', ON', OP' cho C A' P' B' y N P x O X A M N' M' B C' M□ 'OP ' , P□ON ' , N□'OM '  Trên tia đặt OM' = m, ON' = n, OP' = p Qua M', N', P' dựng đường thẳng vng góc với OM, ON, OP chúng cắt A', B', C' Ta thấy tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC (g.g.g) tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác XAB ( suy từ cặp tam giác đồng dạng ON'P' đồng dạng với tam giác XNP; tam giác OM'P' đồng dạng với tam giác XMP ) Cách dựng : +) Dựng A ' B 'C ' với điểm O Trong tam giác ABC : □ □ • Qua A dựng đường thẳng Ax cho B AX B ' A 'O • Qua B dựng đường thẳng By cho □ABX □A ' B 'O Giao Ax By điểm X cần tìm Bài 13 : P có điểm X, Y nằm đường chứa Giả sử dựng XY cạnh AC, BC thỏa mãn điều kiện toán A K P L B Y X M C Đặt LM k  ,  LK , LM LK  Z =Z (P, α, k ) : Y  X BC  d Suy : X d AC Suy Y Z 1 Y  Từ ta suy cách dựng KẾT LUẬN Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn dựng hình ” em thấy phép biến hình nói chung phép đồng dạng nói riêng cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học sơ cấp Cụ thể phép đồng dạng áp dụng vào giải toán dựng hình giúp giải tốn dựng hình cách đơn giản, dễ dàng Việc nghiên cứu phép đồng dạng cho ta hiểu biết cụ thể phép biến hình rộng tồn mơn hình học Thấy ứng dụng phép đồng dạng vào tốn dựng hình Do hạn chế mặt thời gian lực mà vấn đề hình học không gian chưa đề cập đến Hi vọng vấn đề để bạn sinh viên u thích mơn hình học tiếp tục quan tâm sau Với bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô giáo bạn để khóa luận hồn thiện Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy bảo, hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thiện đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Tài liệu tham khảo Bùi văn Bình (1993) – Bài tập hình học sơ cấp – ĐHSP Hà Nội 2 Bùi văn Bình – Nguyễn Văn Vạn (1993) – Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, tập – ĐHSP Hà Nội Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Lê Tất Tôn - Đặng Quang Viễn (1996) – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 10 – NXB Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2004) - Các phép biến hình mặt phẳng tập NXB Giáo Dục Đỗ Thanh Sơn (2004) - Phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo Dục ... dạng Z k Zk phép đồng dạng Zk với tỉ số k = k1.k2 f) Sự đồng dạng hình +) Định nghĩa : Nếu hình H ' ảnh hình H qua phép đồng dạng Zk hình H ' hình đồng dạng với hình H với tỉ số đồng dạng k +)... ý +) Phép vị tự V k O phép đồng dạng thuận tỉ số k +) Tất phép dời hình phép đồng dạng Z1 tỉ số k = +) Phép đảo ngược phép đồng dạng Zk phép đồng dạng Z1 (k 0) k +) Tích hai phép đồng dạng. .. ta dựng điểm bất động phép đồng dạng h) Dạng tắc phép đồng dạng +) Định lý 1: Trong mặt phẳng : 1) Tích phép vị tự phép dời hình phép đồng dạng thuận 2) Tích phép vị tự phép phản chiếu phép đồng