Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy cô, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ hình học, thầy cô khoa toán, thầy cô trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy – Người tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng song thời gian hạn chế khả thân nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận quan tâm, góp ý, bảo thầy, cô giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Toán -1- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết thân em qua trình học tập, bậc đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Đinh Văn Thủy Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ”, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Toán -2- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình MỤC LỤC Nội dung………………………………………………………… Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………… Mục lục………………………………………………………………… A – Lời nói đầu………………………………………………………… B – Nội dung…………………………………………………………… Chương I: Cơ sở lý thuyết…………………………………………… 1.1 Các kiến thức liên quan……………………………………… 1.2 Phép biến hình đồng dạng…………………………………… 1.3 Phép đồng dạng toán dựng hình……………………… 14 Chương II : Ứng dụng………………………………………………… 16 2.1 Các ví dụ……………………………………………………… 16 2.1.1 Ví dụ 1…………………………………………………… 16 2.1.2 Ví dụ ………………………………………………… 18 2.1.3 Ví dụ 3…………………………………………………… 20 2.1.4 Ví dụ 4…………………………………………………… 22 2.1.5 Ví dụ 5…………………………………………………… 25 2.2 Bài tập luyện tập……………………………………………… 28 2.2.1 Đề bài…………………………………………………… 28 2.2.2 Hướng dẫn giải………………………………………… 29 Kết luận………………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… Phạm Thị Mận – k34A - Toán -3- 47 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình A – LỜI NÓI ĐẦU Có thể nói rằng, chương trình toán phổ thông bậc đại học, phép biến hình chiếm vị trí quan trọng Phép biến hình công cụ đơn giản, đầy hiệu lực việc giải toán hình học sơ cấp toán dựng hình, toán quỹ tích, toán chứng minh,… Trong phép biến hình không nói tới phép biến hình đồng dạng, chiếm mảng lớn toàn phép biến hình Đặc biệt giải toán dựng hình, nhiều toán sử dụng phương pháp thông thường nhiều gặp khó khăn, phức tạp, ta chọn phép biến hình đồng dạng vào giải toán trở lên đơn giản, dễ dàng Áp dụng phép đồng dạng vào giải toán dựng hình xem biện pháp tối ưu Xuất phát từ lí trên, qua trình học tập, nghiên cứu, kết hợp với lòng yêu thích môn hình học mà em chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ” với mong muốn tìm hiểu sâu nội dung này, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm chương : Phạm Thị Mận – k34A - Toán -4- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Chương : Cơ sở lý thuyết Chương gồm mục nhằm trang bị kiến thức lý thuyết phép đồng dạng; toán dựng hình phương pháp áp dụng phép đồng dạng vào giải toán dựng hình Các kiến thức liên quan : Bài nói mặt phẳng định hướng; góc định hướng hai tia, hai đường thẳng; đường tròn Aplonius 1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài nói định nghĩa, tính chất, phân loại, định lí quan trọng phép đồng dạng 1.2 Phép đồng dạng toán dựng hình : Đề xuất toán dựng hình phương pháp giải nhờ phép đồng dạng Chương : Ứng dụng : Gồm hai mục : 2.1 Các ví dụ : Nêu toán có hướng dẫn giải chi tiết 2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt tập có gợi ý phần sau Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Toán -5- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình B – NỘI DUNG CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Các kiến thức liên quan 1.1.1 Mặt phẳng định hướng Định nghĩa : Trong mặt phẳng xét điểm O tùy ý Xung quanh O có hai chiều quay,nếu ta chọn chiều chiều quay kim đồng hồ chiều âm chiều ngược lại chiều dương, ta nói mặt phẳng định hướng 1.1.2 Góc định hướng hai tia a) Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc Ox, Oy Góc định hướng tia đầu Ox, tia cuối Oy, kí hiệu Ox, Oy  góc thu quay tia đầu Ox xung quanh O tới tia cuối Oy + x - O y Phạm Thị Mận – k34A - Toán -6- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình b) Nhận xét Gọi  giá trị đầu góc định hướng, nghĩa giá trị góc định hướng ta quay góc hình học bé Khi :  Ox; Oy     k 2  k  Z  c) Hệ thức Chales Cho tia OA1, OA2, , OAn mặt phẳng định hướng, ta có hệ thức Chales sau : OA ; OA   OA ; OA    OA 2 n 1    ; OAn  OA1 ; OAn  k 2 (k  Z ) 1.1.3 Góc định hướng hai đường thẳng a) Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a b TH1 : a  b  0 Khi góc định hướng hai đường thẳng đầu a đường thẳng cuối b, kí hiệu a, b  góc thu quay đường thẳng đầu a tới trùng với đường thẳng cuối b a O b a / /b TH2 :  a  b ta quy ước Phạm Thị Mận – k34A - Toán  a; b   k -7- k  Z  Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình b) Nhận xét Gọi  giá trị đầu thu ta quay a theo góc hình học bé quanh giao điểm hai đường thẳng a b tới trùng b a; b    c) Hệ thức Chales Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a1,a2,…,an Khi ta có hệ thức Chales sau :  a ; a    a ; a     a 2 n 1    ; an  a1; an  k k  Z  d) Đường tròn Aplonius Cho hai điểm A B cố định, quỹ tích điểm M mà MA  k (không MB đổi) đường tròn Aplonius 1.2 Phép biến hình đồng dạng 1.2.1 Phép biến hình Định nghĩa : Phép biến hình mặt phẳng song ánh từ mặt phẳng vào 1.1.2 Phép biến hình đồng dạng a) Định nghĩa Phép biến hình E2 biến điểm M thành điểm M’ cho với cặp điểm M, N cặp ảnh tương ứng M’, N’ M 'N '  k (trong k > MN cho trước) gọi phép đồng dạng tỉ số k b) Tính chất +) Phép đồng dạng phép afin +) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng +) Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng Phạm Thị Mận – k34A - Toán -8- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình +) Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng với +) Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn c) Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng Định lí Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC A'B'C' đồng dạng với theo tỉ số k, nghĩa A' B '  kAB, B 'C '  kBC , C ' A'  kCA có phép đồng dạng f biến A thành A', B thành B', C thành C' Chứng minh Xét phép vị tự VAk tâm A tỉ số k biến ABC thành AB1C1 mà AB1 = k AB, B1C1 = k.BC, C1A = k CA Bởi vậy, AB1C1  A ' B ' C ' Gọi g phép dời hình biến A, B1,C1 thành A ' , B ' , C ' Như tích g0VAk phép đồng dạng biến A thành A', B thành B', C thành C' C1 B1 B C B A A B' C C' Giả sử có hai phép đồng dạng f h biến ABC thành A ' B ' C ' phép h 1 f đồng dạng biến ABC thành tức h-1 f phép đồng e hay h-1 f = e Vậy h = f Phạm Thị Mận – k34A - Toán -9- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình d) Phân loại Phép đồng dạng Zk mặt phẳng gọi phép đồng dạng thuận hay nghịch phép afin loại hay phép afin loại ( tức hai tam giác xác định chiều hay ngược chiều ) e) Chú ý +) Phép vị tự VOk phép đồng dạng thuận tỉ số k +) Tất phép dời hình phép đồng dạng Z1 tỉ số k = +) Phép đảo ngược phép đồng dạng Zk phép đồng dạng Z1 k (k  0) +) Tích hai phép đồng dạng Z k Z k phép đồng dạng Zk với tỉ số k = k1.k2 f) Sự đồng dạng hình +) Định nghĩa : Nếu hình H ' ảnh hình H qua phép đồng dạng Zk hình H ' hình đồng dạng với hình H với tỉ số đồng dạng k +) Nhận xét 1: Nếu hai đa giác A1A2…An B1B2…Bn có góc đỉnh A1, A2,…,An góc tương AA A1 A2 A2 A3    n  k B1 B2 B2 B3 Bn B1 ứng đỉnh B1,B2,…,Bn đồng thời (k gọi tỉ số đồng dạng hai đa giác) chúng đồng dạng với +) Nhận xét 2: Trong hình đồng dạng, đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, góc tương ứng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 10 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Bài 3: Phân tích : Giả sử dựng hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện đầu Khi :    AB, AC    AC  AB.cos     Suy phép đồng dạng    Z  Z  A, , cos  : B  C 2   O1    O1'   O'1 O2 C D O A Phạm Thị Mận – k34A - Toán /2 - 33 - O1 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Vì B   O1   C   O1'  Mà C   O2  (giả thiết ) nên C   O1'    O2      B  Z 1  C  ( Z 1  Z  A,  ,1 cos  ) 2  Cách dựng :   +) Dựng  O1'  ảnh (O1) qua phép đồng dạng Z  Z  A, , cos   2 +) Dựng C giao điểm  O1'  (O2) +) Dựng B ảnh C qua phép đồng dạng ngược Z    Z 1  Z  A,  ,1 cos  2  +) Nối AC +) Dựng D ảnh B qua phép đối xứng trục SAC +) Nối AB, AD, DB, CD ta hình thoi ABCD cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng dễ thấy B   O1  , C   O2    Do Z 1  Z  A,  ,1 cos  : C  B  2      AC , AB    AB, AC     AB   AC  AB.cos  AC  cos        1  2 Lại có SAC : B  D nên từ (1) suy BAD   Gọi O = AC  BD  OB  OD AO  AB.cos Từ (2) (3) suy : AO  AC Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 34 -  (3) Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Tứ giác ABCD có giao điểm hai đường chéo trung điểm đường, đường chéo lại vuông góc với nên hình thoi Vậy hình thoi ABCD vừa dựng thỏa mãn điều kiện đề Biện luận : Số nghiệm hình số giao điểm hai đường tròn  O1'  (O2) Bài 4: Phân tích : CB  2.CA Giả sử ABC tam giác cần tìm Ta có :    CA, CB      Vậy B ảnh A qua phép đồng dạng Z  Z  C , 2,    a' A A' a -π/4 C b B' Phạm Thị Mận – k34A - Toán B - 35 - 4 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Cách dựng :  +) Gọi a' ảnh a qua phép đồng dạng Z  Z  C , 2,   4  +) B = a ' b  +) Dựng A ảnh B qua phép đồng dạng nghịch Z 1  Z  C ,   ,  4 Ta có tam giác ABC cần dựng Biện luận : Vì lí đối xứng qua đường thẳng CI vuông góc với a b nên ta có tam giác CAB đối xứng qua CI thỏa mãn điều kiện toán Suy toán có nghiệm hình Bài : Phân tích : Giả sử đường tròn (B) tiếp xúc với hai cạnh góc xOy đường tròn tâm (C) dựng Gọi A tiếp điểm đường tròn (B) (C) Khi A tâm vị tự (B) (C) O' y' x B O A C y x' Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 36 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Qua phép vị tự V tâm A biến (B) thành (C) cạnh Ox, Oy biến thành tiếp tuyến O'x' O'y' (C) Do phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng nên O'x' // Ox, O'y' // Oy Ngoài V(O) = (O') nên OO' qua A hay A giao điểm đường thẳng OO' với (C) Lại có : x ' O ' y '  xOy (phép vị tự bảo tồn độ lớn góc ) Cách dựng : +) Ta tiến hành dựng tiếp tuyến O'x', O'y' (C) theo thứ tự song song Ox, Oy cho x ' O ' y '  xOy +) Dựng giao điểm A OO' với (C), xét phép vị tự tâm A biến O'x', O'y' thứ tự thành Ox, Oy +) Dựng ảnh (C) qua phép vị tự gọi ảnh (B) Ta có (B) đường tròn cần dựng Chứng minh : Dễ có (B) tiếp xúc với Ox, Oy, A tâm vị tự biến (C) thành (B) mà A lại thuộc (C) nên A thuộc vào (B) (B), (C) tiếp xúc A Biện luận : Bài toán có nghiệm hình Bài : Phân tích : Giả sử tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC ( M, N, P thứ tự nằm cạnh BC, CA, AB ) cho cạnh MN, NP, PM thứ tự song song với cạnh B'C', C'A', A'B' tam giác A'B'C' cho trước Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 37 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình x A A' C' P N N' y P' B' C M' M B Cách dựng : +) Dựng tam giác MNP sau : • Dựng đoạn M'N' // B'C' (M', N' thuộc BC, CA ) • Dựng tia M'x,N'y thứ tự song song A'B', C'A' • M'x  N'y P'  +) Dựng ảnh tam giác M'N'P' qua phép vị tự V  V  C ,  CP   CP '  tam giác MNP Tam giác MNP tam giác cần dựng Bài : Giả sử dựng tam giác cân ABC đỉnh A có A = t tổng độ dài đáy với đường cao thuộc đáy a Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 38 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình A A C' B' H' B C B C H x y Ta tiến hành dựng sau : +) Dựng xAy = t +) Dựng tam giác cân AB'C' cho B'C' thứ tự Ox, Oy +) Hạ AH' vuông góc với B'C', giả sử độ dài B'C' AH' cộng lại b a b A Ta xét phép vị tự V  V , lúc B'C' tương ứng biến thành BC Tam giác ABC tam giác cần dựng Bài : Sử dụng phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2) : A  C a  a' Suy dựng C = a'  c o  A  QB60  BC   a Suy tam giác ABC cần dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 39 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình a'' a' A' A 60 o 60 a o b B c C C' Bài toán có hai nghiệm hình có hai phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2) Z2 = Z(A, 60o, 2) biến a tương ứng thành a', a'' Bài : Giả sử B C hai điểm tìm thỏa mãn điều kiện toán Tam giác AO1O2 tam giác ABC đồng dạng, ta có k  AO1 AB  AO2 AC Thực phép đồng dạng Z =Z  A,  , k  (trong α góc quay tâm A biến tia AO1 thành tia AO2) biến B thành C Khi đường tròn (O1) biến thành (O') chứa C Điểm C điểm chung hai đường tròn (O') (O2) Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 40 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình C B O2 O1 A Bài toán có nghiệm đường tròn (O') (O2) có điểm chung Nếu đường tròn trùng , toán có vô số nghiệm Bài 10 : Giả sử dựng tam giác ABC có đường cao ha¸hb, hc tương ứng với cạnh a, b, c Suy : 1 : hb : hc  : : a b c A B' H2 H3 A'' hc hb C' A' B'' Phạm Thị Mận – k34A - Toán C'' - 41 - B H1 C Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Hay a : b : c = 1 : :  a ': b ': c ' hb hc Điều chứng tỏ tam giác ABC cần dựng đồng dạng với tam giác có cạnh a', b', c' mà a', b', c' chiều cao tam giác có cạnh ha¸hb, hc Từ ta có cách dựng : +) Dựng A'B'C' có cạnh ha¸hb, hc suy xác định độ dài đường cao tam giác đặt a', b', c' +) Dựng tam giác A''B''C'' có cạnh a', b', c' suy xác định ' ' ' độ dài đường cao tam giác tương ứng , hb , hc +) Dựng tam giác ABC đồng dạng thuận với tam giác A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng h a' Nếu ha¸hb, hc độ dài cạnh tam giác toán có nghiệm hình Trường hợp ngược lại toán vô nghiệm Bài 11 : d Thực phép đồng dạng : Z  Z  A, BAD,  : B  D  a C C' Suy :  ABC đồng dạng với ADC '       BC , AB    AD, DC    DC ', AD    AD, DC   BC , AB  DC ', AD d a Hay ABC  ADC   DC ', DC  : DC '  BC  d Vậy tam giác CDC' dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 42 - b a Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình C'  A D  C B Lại có : AC ' d d    A  A  CC ',    D, d  AC a a  Aplonius ứng với đoạn CC' theo tỉ số (trong d  A  CC ',  đường tròn a  d ) a Suy dựng tứ giác ABCD Bài 12 : Phân tích : Giả sử ABC có A   , B   , C   dựng điểm X cho AM : XN : XP = m : n : p với M, N, P chân đường vuông góc hạ từ X xuống cạnh BC, CA, AB Khi : PXN     ; NXM     ; DXM     Trong mặt phẳng chọn điểm O Dựng tia OM', ON', OP' cho Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 43 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình C A' P' B' y N P x O X A M N' M' B C' M ' OP '     , PON '     , N ' OM '     Trên tia đặt OM' = m, ON' = n, OP' = p Qua M', N', P' dựng đường thẳng vuông góc với OM, ON, OP chúng cắt A', B', C' Ta thấy tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC (g.g.g) tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác XAB ( suy từ cặp tam giác đồng dạng ON'P' đồng dạng với tam giác XNP; tam giác OM'P' đồng dạng với tam giác XMP ) Cách dựng : +) Dựng A ' B ' C ' với điểm O Trong tam giác ABC : • Qua A dựng đường thẳng Ax cho BAX  B ' A ' O • Qua B dựng đường thẳng By cho ABX  A ' B ' O Giao Ax By điểm X cần tìm Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 44 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Bài 13 : Giả sử dựng PXY có điểm X, Y nằm đường chứa cạnh AC, BC thỏa mãn điều kiện toán A K P L B Y X M C Đặt k  LM ,   LK , LM LK   Z =Z (P, α, k ) : Y  X BC  d Suy : X  d  AC Suy Y  Z 1 Y  Từ ta suy cách dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 45 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình KẾT LUẬN Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ” em thấy phép biến hình nói chung phép đồng dạng nói riêng công cụ hữu hiệu để giải toán hình học sơ cấp Cụ thể phép đồng dạng áp dụng vào giải toán dựng hình giúp giải toán dựng hình cách đơn giản, dễ dàng Việc nghiên cứu phép đồng dạng cho ta hiểu biết cụ thể phép biến hình rộng toàn môn hình học Thấy ứng dụng phép đồng dạng vào toán dựng hình Do hạn chế mặt thời gian lực mà vấn đề hình học không gian chưa đề cập đến Hi vọng vấn đề để bạn sinh viên yêu thích môn hình học tiếp tục quan tâm sau Với bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy bảo, hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thiện đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 46 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Tài liệu tham khảo Bùi văn Bình (1993) – Bài tập hình học sơ cấp – ĐHSP Hà Nội 2 Bùi văn Bình – Nguyễn Văn Vạn (1993) – Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, tập – ĐHSP Hà Nội Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Lê Tất Tôn - Đặng Quang Viễn (1996) – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 10 – NXB Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2004) - Các phép biến hình mặt phẳng tập NXB Giáo Dục Đỗ Thanh Sơn (2004) - Phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo Dục Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 47 - [...]... d ) 1.3 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình 1.3.1 Bài toán dựng hình Bài toán dựng hình là bài toán đi tìm sự tồn tại của một hình (H) thỏa mãn tính chất nào đó Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thỏa mãn các điều kiện của bài toán đó Bài toán dựng hình thông thường gồm 4 bước : +) Bước 1 :Phân tích : Giả sử đã có hình cần dựng từ đó thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố... một phép đồng dạng thuận 2) Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phép đồng dạng nghịch Ngược lại, trong mặt phẳng một phép đồng dạng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của mọi phép vị tự với một phép dời hình hoặc phản chiếu thứ tự tùy ý thuộc phép đồng dạng thuận hay nghịch Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 13 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình +)... ra cách dựng +) Bước 2 : Cách dựng Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng +) Bước 3 : Chứng minh Xác nhận hình đã dựng ở bước 2 thỏa mãn đầy đủ các yêu cầu của bài toán Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 14 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình +) Bước 4 : Biện luận Khẳng định khi nào thì bài toán không có nghiệm, khi nào thì bài toán. .. bài toán dựng hình nhờ phép đồng dạng Phép biến hình nói chung và phép đồng dạng nói riêng, tham gia chủ yếu ở bước phân tích Bước phân tích của bài toán dựng hình có thể tóm tắt theo sơ đồ sau : H : Hình cần dựng H  H1  H 2   H n 1  H n (trong đó H1, H2,…, Hn là các hình khác H) Có nghĩa là : Để có hình H ta đi dựng hình H1 Để có hình H1 ta đi dựng hình H2 Để có hình Hn-1 ta đi dựng. .. ( hình khác) nhờ sự hỗ trợ của phép biến hình Ứng dụng phép đồng dạng với bài toán dựng hình là ta phải tìm ra phép đồng dạng thích hợp và làm theo các bước trên Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 15 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình CHƯƠNG II : ỨNG DỤNG 2.1 Các ví dụ 2.1.1 Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O), một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d và không thuộc (O) Hãy dựng. .. tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình Bài 3: Phân tích : Giả sử đã dựng được hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện đầu bài Khi đó :    AB, AC  2   AC  2 AB.cos   2   Suy ra phép đồng dạng    Z  Z  A, , 2 cos  : B  C 2  2  O1    O1'   O'1 O2 C D O A Phạm Thị Mận – k34A - Toán /2 - 33 - O1 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình Vì B ... toán dựng hình c) Chứng minh Ta có phép đồng dạng : Z(O,k,d): O  O BM A B DN Suy ra : ABD đồng dạng với MBN Vậy hình bình hành ABCD đồng dạng với hình bình hành BMDN d) Biện luận Bài toán có một nghiệm hình duy nhất Nhận xét : Nếu thay hình bình hành bằng một hình khác bất kì ta sẽ được bài toán với cách giải tương tự, chẳng hạn : '' Dựng hai hình thoi đồng dạng với nhau sao cho chúng có cùng một...Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình g) Điểm bất động của phép đồng dạng Định lý Mọi phép đồng dạng khác đẳng cự đều có duy nhất một điểm bất động, người ta gọi điểm bất động này là tâm của phép đồng dạng Các cách xác định điểm bất động của phép đồng dạng Zk : 1 Nếu Zk là phép vị tự thì do k  1 nên tâm vị tự chính là điểm bất động duy nhất 2 Nếu Zk không là phép vị tự thì điểm... thì bài toán có hai nghiệm hình TH2 : Nếu a' (hay a'') song song với b thì bài toán có một nghiệm hình TH3 : Nếu a' (hay a'') trùng với b thì bài toán có vô số nghiệm hình Bài 2 : Phân tích : d'1 A1 A'1 A d1 d2 B'1= B1 d3 C B C1 C'1 Giả sử đã dựng được tam giác A1B1C1 đồng dạng với tam giác ABC Đặt   ABC và k  BC BA Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 31 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với các bài toán. .. xx' Dựng đoạn MM' song song với xx' sao cho M nằm trên (O); M' nằm trên (O') đồng thời các tam giác OAM, O'A'M' đồng dạng và cùng hướng Lời giải a) Phân tích Giả sử đã dựng được hai điểm M, M' thỏa mãn đầu bài Lấy điểm I sao cho IOO ' đồng dạng với IAA ' và cùng hướng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 20 - Khóa luận tốt nghiệp Đặt k  Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình R' và   IOO ' R Xét phép đồng ... 1.3 Phép đồng dạng toán dựng hình 1.3.1 Bài toán dựng hình Bài toán dựng hình toán tìm tồn hình (H) thỏa mãn tính chất Nghiệm toán dựng hình hình thỏa mãn điều kiện toán Bài toán dựng hình thông... Tất phép dời hình phép đồng dạng Z1 tỉ số k = +) Phép đảo ngược phép đồng dạng Zk phép đồng dạng Z1 k (k  0) +) Tích hai phép đồng dạng Z k Z k phép đồng dạng Zk với tỉ số k = k1.k2 f) Sự đồng. .. nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình KẾT LUẬN Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ” em thấy phép biến hình nói chung phép đồng dạng nói