Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài : “ Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình ”, không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác... Phép biến hình là một công cụ đơn giản,

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô, các bạn sinh viên trong khoa Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ hình học, các thầy cô trong khoa toán, các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên, đặc

biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Đinh Văn Thủy – Người

đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Mặc dù có cố gắng song do thời gian hạn chế và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em mong nhận được sự quan tâm, góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận của em hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Phạm Thị Mận

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập, ở bậc đại học

Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo

trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Đinh Văn Thủy

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài : “ Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình ”, không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác

MỤC LỤC

Nội dung……… Trang

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……… 2

Mục lục……… 3

A – Lời nói đầu……… 4

B – Nội dung……… 6

Chương I: Cơ sở lý thuyết……… 6

1.1 Các kiến thức liên quan……… 6

1.2 Phép biến hình đồng dạng……… 8

1.3 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình……… 14

Chương II : Ứng dụng……… 16

2.1 Các ví dụ……… 16

2.1.1 Ví dụ 1……… 16

2.1.2 Ví dụ 2 ……… 18

2.1.3 Ví dụ 3……… 20

2.1.4 Ví dụ 4……… 22

2.1.5 Ví dụ 5……… 25

2.2 Bài tập luyện tập……… 28

2.2.1 Đề bài……… 28

2.2.2 Hướng dẫn giải……… 29

Kết luận……… 46

Tài liệu tham khảo……… 47

A – LỜI NÓI ĐẦU

Có thể nói rằng, trong chương trình toán phổ thông cũng như trên bậc đại học, phép biến hình chiếm một vị trí quan trọng Phép biến hình là một công cụ đơn giản, nhưng đầy hiệu lực trong việc giải các bài toán hình học sơ cấp như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh,…

Trong các phép biến hình thì không thể không nói tới phép biến hình đồng dạng, nó chiếm một mảng lớn của toàn bộ phép biến hình

Đặc biệt khi giải quyết các bài toán dựng hình, nhiều bài toán nếu sử dụng các phương pháp thông thường nhiều khi gặp khó khăn, phức tạp, nhưng khi ta chọn phép biến hình đồng dạng vào giải quyết thì bài toán trở lên đơn giản, dễ dàng Áp dụng phép đồng dạng vào giải quyết các bài toán dựng hình được xem

là biện pháp khá tối ưu

Xuất phát từ những lí do trên, và qua quá trình học tập, nghiên cứu, kết hợp với lòng yêu thích môn hình học mà em đã chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình ” với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nội dung này,

và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương :

Chương 1 : Cơ sở lý thuyết

Chương này gồm 3 mục nhằm trang bị những kiến thức lý thuyết cơ bản

về phép đồng dạng; bài toán dựng hình và phương pháp áp dụng phép đồng dạng

vào giải bài toán dựng hình

Các kiến thức liên quan : Bài này nói về mặt phẳng định hướng; góc định hướng

giữa hai tia, hai đường thẳng; đường tròn Aplonius

1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài này nói về định nghĩa, tính chất, phân loại,

các định lí quan trọng của phép đồng dạng

1.2 Phép đồng dạng và bài toán dựng hình : Đề xuất bài toán dựng hình và

phương pháp giải nhờ phép đồng dạng

Chương 2 : Ứng dụng : Gồm hai mục :

2.1 Các ví dụ : Nêu các bài toán có hướng dẫn giải chi tiết

2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt bài tập và có gợi ý ở phần sau

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo, các tạp chí toán học và

các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Phạm Thị Mận

B – NỘI DUNG

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Các kiến thức liên quan

1.1.1 Mặt phẳng định hướng

Định nghĩa :

Trong mặt phẳng xét điểm O tùy ý Xung quanh O có hai chiều quay,nếu ta chọn chiều cùng chiều quay kim đồng hồ là chiều âm và chiều ngược lại là chiều dương, thì ta nói rằng mặt phẳng đã được định hướng

1.1.2 Góc định hướng giữa hai tia

1.1.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

a) Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a và b

TH1 : a b  0 Khi đó góc định hướng giữa hai đường thẳng đầu là a đường thẳng cuối là b, kí hiệu là  a, b là góc thu được khi quay đường thẳng đầu

a tới trùng với đường thẳng cuối b

b) Nhận xét

Gọi  là giá trị đầu thu được khi ta quay a theo góc hình học bé nhất quanh giao điểm hai đường thẳng a và b tới trùng b thì  a; b  

c) Hệ thức Chales

Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1,a2,…,an Khi đó ta có

hệ thức Chales như sau :

a a1 ; 2  a a2 ; 3 a n1 ;a n  a a1 ; nk kZ

d) Đường tròn Aplonius

Cho hai điểm A và B cố định, quỹ tích những điểm M mà MA k

MB  (không đổi) là đường tròn Aplonius

+) Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với

d) Phân loại

Phép đồng dạng Zk trong mặt phẳng được gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó là phép afin loại 1 hay phép afin loại 2 ( tức là hai tam giác xác định nó là cùng chiều hay ngược chiều )

e) Chú ý

+) Phép vị tự k

O

V là phép đồng dạng thuận tỉ số k +) Tất cả các phép dời hình đều là phép đồng dạng Z1 tỉ số k = 1

+) Phép đảo ngược của phép đồng dạng Zk là phép đồng dạng Z 1 k (k  0)

+) Tích của hai phép đồng dạng Z k1 và Z k2 là phép đồng dạng Zk với tỉ số

2 Nếu Zk không là phép vị tự thì điểm bất động xác định như sau :

+) Giả sử Zk được xác định bởi hai tam giác đồng dạng cùng chiều ABC

và A'B'C' và gọi O là điểm bất động cần tìm thì :

Vì Zk không là phép vị tự nên AB và A'B' không song song Gọi I =

' '

ABA B

B C A

C' B'

A'

I

O

Ta có hai tam giác OAB và O'A'B' đồng dạng và cùng chiều nên

'

IAOIA O

Suy ra tứ giác IOAA' nội tiếp

Tương tự tứ giác IOBB' nội tiếp

Vậy O chính là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác

B

A

2) Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phép đồng dạng nghịch

Ngược lại, trong mặt phẳng một phép đồng dạng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của mọi phép vị tự với một phép dời hình hoặc phản chiếu thứ tự tùy ý thuộc phép đồng dạng thuận hay nghịch

+) Định lý 2 :

Trong mặt phẳng :

1) Một phép đồng dạng thuận (kí hiệu ZT) không phải là đẳng cự hay vị tự đều có thể phân tích thành tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép quay (trong đó tâm vị tự và tâm quay bằng nhau ) nghĩa là :

Z T Q V O. O k V Q O k. O k Z O k , , 

2) Một phép đồng dạng nghịch (kí hiệu ZN) có thể phân tích thành tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng trục trong đó tâm vị tự

+) Bước 4 : Biện luận

Khẳng định khi nào thì bài toán không có nghiệm, khi nào thì bài toán có nghiệm và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm

1.3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép đồng dạng

Phép biến hình nói chung và phép đồng dạng nói riêng, tham gia chủ yếu

ở bước phân tích Bước phân tích của bài toán dựng hình có thể tóm tắt theo sơ

Để có hình Hn-1 ta đi dựng hình Hn Trong đó hình Hn phải là hình dễ dựng được nhờ các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng cơ bản hoặc có thể là đã cho trong giả thiết

Như vậy, để dựng được hình Hn trong quá trình phân tích ta dẫn tới dựng được hình H1, H2,…, Hn Quá trình đó có những lúc gặp nhiều khó khăn Ta sử dụng các thao tác đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa bằng cách thay đổi trường hợp điểm này ( hình này ) bằng trường hợp điểm khác ( hình khác) nhờ

sự hỗ trợ của phép biến hình

Ứng dụng phép đồng dạng với bài toán dựng hình là ta phải tìm ra phép đồng dạng thích hợp và làm theo các bước trên

CHƯƠNG II : ỨNG DỤNG

2.1 Các ví dụ

2.1.1 Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O), một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d và không thuộc (O) Hãy dựng một tam giác vuông cân ABC, vuông tại B sao cho đỉnh B trên d và đỉnh C thuộc (O)

A

B' O

+) Dựng điểm B là ảnh của C trong phép đồng dạng * 1 2 45o

Nhận xét :

Vì C O d' và d' Z d  nên ta có thể thay đường tròn (O) hoặc đường thẳng d bằng một đường thẳng hoặc một hình (H) bất kì nhưng không

chứa A Từ đó vẫn giữ nguyên yếu tố cần dựng, thay đổi giá trị theo hướng trên

ta sẽ có những bài toán mới với cách giải tương tự, chẳng hạn :

'' Cho hai đường thẳng a,b và một điểm O không nằm trên hai đường thẳng a, b Dựng tam giác AOB có OAB  ,OBA  sao cho Aa B, b ''

'' Cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) và điểm O không ở trên đó Dựng tam giác OAB vuông và có một góc bằng 30 o sao cho A (O1 ),BO2 ''

2.1.2 Ví dụ 2 : Cho hình bình hành ABCD hãy dựng 1 hình bình hành đồng dạng với ABCD sao cho chúng có cùng 1 đường chéo chung còn hai đường chéo còn lại cùng nằm trên một đường thẳng

Lời giải

a) Phân tích :

Giả sử đã dựng được hình bình hành BMDN đồng dạng với hình bình hành ABCD có đường chéo BD chung còn các đường chéo AC, MN cùng nằm trên một đường thẳng

Gọi O là giao điểm các đường chéo AC và BD, khi đó O cũng là tâm của hình bình hành BMDN

+) Dựng giao điểm O của hai đường chéo AC và BD

+) Dựng đường phân giác trong của góc AOB kí hiệu là d

Suy ra : ABD đồng dạng với MBN

Vậy hình bình hành ABCD đồng dạng với hình bình hành BMDN

Giả sử đã dựng được hai điểm M, M' thỏa mãn đầu bài

Lấy điểm I sao cho IOO' đồng dạng với IAA' và cùng hướng

M 1

x

x' K

M'

M 1 '

Gọi M'' Z M  ta có OAM đồng dạng O A M' ' ' và cùng hướng

Suy ra M" M'hay IMM' đồng dạng IOO' và cùng hướng

Suy ra IMM' IOO' và cùng hướng

Không giảm tổng quát giả sử tứ giác ABCD có hướng dương, đặt

b) Cách dựng

+) Dựng đoạn CD có độ dài bằng c

+) Trên tia đối của tia DC dựng C' sao cho DC = db

a +) Dựng điểm A như sau :

Từ (3) và (4) suy ra ADCABC 180o

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp

Nhận xét : Khó khăn lớn nhất của bài toán này là tìm số giao điểm của đường

Giả sử đã dựng được đường thẳng m thỏa mãn điều kiện đầu bài

Không giảm tổng quát, giả sử phép quay  0; 180o

O

Q     thực hiện theo chiều dương của mặt phẳng

Gọi m1 = Q O m và m2 = Sd(m1)

Suy ra  

 

1 2

kích thước Phép đồng dạng còn có ứng dụng đặc biệt trong việc dựng những hình có dạng cụ thể như: tam giác vuông cân, tam giác vuông có một góc nhọn

 cho trước, hình bình hành, hình thoi, tứ giác nội tiếp

2.2 Bài tập luyện tập

2.2.1 Đề bài

Bài 1 Cho hai đường thẳng a, b và một điểm O không nằm trên hai đường

thẳng Dựng OAB vuông cân tại A, biết Aa B, b

Bài 2 Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 song song, điểm B1 trên d2 và một tam giác ABC Dựng các điểm A1, C1 lần lượt nằm trên d1, d3 sao cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A1B1C1

Bài 3 Dựng hình thoi ABCD có hướng dương biết BAD 0o    90o, đỉnh A cho trước còn hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên 2 đường tròn (O1) và (O2) cho trước không qua A

Bài 4 Dựng tam giác BAC vuông cân tại A, có C là một điểm cho trước còn hai

đỉnh A, B lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước

Bài 5 Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy và tiếp xúc với đường

tròn (C) cho trước

Bài 6 Dựng một tam giác nội tiếp một tam giác cho trước và có các cạnh song

song với các cạnh của một tam giác cho trước

Bài 7 Dựng tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng t (t < 180o) và tổng của đáy với đường cao thuộc đáy là a cho trước

Bài 8 Cho ba đường thẳng a, b,c đôi một song song Hãy dựng tam giác ABC

vuông ở A có ABC 60o sao cho A, B, C lần lượt nằm trên a, b, c

Bài 9 Cho hai đường tròn (O1, R1), (O2, R2) và điểm A không thuộc cả hai đường tròn Hãy tìm trên đường tròn (O1, R1) điểm B, trên đường tròn (O2, R2) điểm C sao cho AO O1 2 ABC và AO O2 1ACB

Bài 10 Dựng tam giác biết độ dài ba đường cao

Bài 11 Dựng tứ giác ABCD biết B C   , BC = b, CD = c, DA = d,

Bài 12 Cho tam giác ABC tìm trong tam giác điểm X sao cho khoảng cách từ

điểm đó tới các cạnh BC, CA, AB tỉ lệ với n, m, p cho trước

Bài 13 Cho tam giác ABC với điểm P  AB Hãy dựng tam giác PXY đồng dạng với LMK cho trước sao cho XAC Y, BC

45o

Giả sử đã dựng được tam giác AOB thỏa mãn đề bài Khi đó :

2

45o

OB OA AOB

o

o

OA OB OB

AOB OA

Do đó có thể xảy ra các trường hợp sau :

TH1 : Nếu a' và a'' cắt b thì bài toán có hai nghiệm hình

TH2 : Nếu a' (hay a'') song song với b thì bài toán có một nghiệm hình TH3 : Nếu a' (hay a'') trùng với b thì bài toán có vô số nghiệm hình

Khi đó dễ dàng nhận được phép biến hình đồng dạng

O

 / 2



2 2

Z Z A   

+) Nối AC

+) Dựng D là ảnh của B qua phép đối xứng trục SAC

+) Nối AB, AD, DB, CD ta được hình thoi ABCD cần dựng

Tứ giác ABCD có giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường, hơn nữa 2 đường chéo này lại vuông góc với nhau nên nó là hình thoi Vậy hình thoi ABCD vừa dựng ở trên thỏa mãn các điều kiện của đề bài

B C

A'

B'

-π/4

Qua phép vị tự V tâm A biến (B) thành (C) và các cạnh Ox, Oy biến thành các tiếp tuyến O'x' và O'y' của (C)

Do phép vị tự bảo tồn phương của đường thẳng nên O'x' // Ox, O'y' // Oy Ngoài ra do V(O) = (O') nên OO' đi qua A hay A là giao điểm của các đường thẳng OO' với (C)

Lại có : x O y' ' ' xOy (phép vị tự bảo tồn độ lớn của góc )

Dễ có (B) tiếp xúc với Ox, Oy, ngoài ra A là tâm vị tự biến (C) thành (B)

mà A lại thuộc (C) nên A cũng thuộc vào (B) và (B), (C) tiếp xúc nhau tại A

Biện luận :

Bài toán có một nghiệm hình

Bài 6 :

Phân tích :

Giả sử tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC ( M, N, P thứ tự nằm trên các cạnh

BC, CA, AB ) sao cho các cạnh MN, NP, PM thứ tự song song với các cạnh B'C', C'A', A'B' của một tam giác A'B'C' cho trước

C

B

P' N'

+) Dựng tam giác cân bất kì AB'C' sao cho B'C' thứ tự trên Ox, Oy

+) Hạ AH' vuông góc với B'C', giả sử độ dài của B'C' và AH' cộng lại là

b

Ta xét phép vị tự

a b A

C C'

a''

60o

o 60

Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì có hai phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2)

và Z2 = Z(A, 60o, 2) biến a tương ứng thành a', a''

Bài 9 :

Giả sử B và C là hai điểm đã tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán

Tam giác AO1O2 và tam giác ABC đồng dạng, do đó ta có 1

C B

+) Dựng tam giác A''B''C'' có các cạnh là a', b', c' suy ra xác định được

độ dài các đường cao của tam giác này tương ứng là h h h a' , b', c'

+) Dựng tam giác ABC đồng dạng thuận với tam giác A''B''C'' theo tỉ số

đồng dạng a'

a

h

h Nếu ha¸hb, hc là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì bài toán có duy nhất một nghiệm hình

Trường hợp ngược lại thì bài toán vô nghiệm

Giả sử ABC có A  ,B  ,C  và dựng được điểm X sao cho AM :

XN : XP = m : n : p với M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ X xuống các cạnh BC, CA, AB

Khi đó : PXN     ;NXM     ;DXM    

Trong mặt phẳng chọn điểm O bất kì Dựng các tia OM', ON', OP' sao

cho