Phép đồng dạng trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THANH HẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG KHÔNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THANH HẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS Đinh Thị Kim Thúy HÀ NỘI – 2018 ✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❚❤s✳ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ❧➔ ♥❣÷í✐ trỹ t ữợ õ ổ t t ữợ t t➟♣ ❞÷đt ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➯♥ ❝↕♥❤ ✤â ❝ỉ ✤➣ sû❛ ❝❤ú❛ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât ❝❤♦ ❡♠ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tê ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❳✉➙♥ ❍á❛✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❞♦ ❡♠ ❧➔♠✱ ✤â ❧➔ ❦➳t q✉↔ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➙♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ự ữợ sỹ ữợ ❚❤s ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ✈➔ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➯♥ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❡♠ ✤➣ sû ❞ö♥❣✱ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝✳ ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶ ✶ ❈ì sð ❧➼ ❧✉➟♥ ✸ ✶✳✶ ✣à♥❤ ữợ tr ổ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷ ✣↕✐ ❝÷ì♥❣ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷✳✶ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✺ ✶✳✷✳✷ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❛❢✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✷✳✸ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✤➥♥❣ ❝ü ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸ P ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ỗ t ổ P ỗ t ự ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷ P ỗ t q t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸ P ỗ t ỹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✹ ❇➔✐ t➟♣ ✸✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ✹✺ ✐✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ❚r♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝✱ ♥➳✉ ✤↕✐ sè ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❦➼ tü t♦→♥ ❤å❝✱ ❤➺ t❤è♥❣ sè ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳✳✳✱ ❝á♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳✳✳ t❤➻ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❧↕✐ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❝➙✉ ❤ä✐ tữợ tr tữỡ ố ❝→❝ ❤➻♥❤ ❦❤è✐✱ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❧➔ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝ ❦❤â ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ❜↕♥ ❤å❝ s✐♥❤ ②➯✉ t♦→♥✱ ♠é✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ t❤❡♦ ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ →♣ ❞ư♥❣ ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ tr♦♥❣ ✤â ♣❤↔✐ ❦➸ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤✲ ✤➙② ❧➔ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❦❤→ ♠↕♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ r ữỡ tr tổ s ợ ữợ q ợ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✱ ✈➻ ✈➟② ✤➸ ❧➔♠ s→♥❣ tä ❤ì♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜➡♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❞↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✧ P ỗ õ ỗ ữỡ ✶ ✧❈ì sð ❧➼ ❧✉➟♥✧ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ q ữợ t❤è♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr ổ ữỡ ỗ ❞↕♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✧ ✱ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥â✐ ✤➳♥ ✈✐➺❝ sü ỗ t ự ♠✐♥❤ ❤➻♥❤ ❤♦❝✱ q✉ÿ t➼❝❤✱ ❞ü♥❣ ✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❤➻♥❤ q✉❛ ❤➺ t❤è♥❣ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✈➔ ❜➔✐ t➟♣✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ♥❣♦➔✐ sü ❝è ❣➢♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❡♠ ❝á♥ ✤÷đ❝ sü ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ổ ú ỳ ỵ õ ❣â♣ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➣ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ ❝❤♦ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ◗✉❛ ✤➙② ❡♠ ①✐♥ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝ỉ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔②✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ỡ s ữợ tr ổ r ổ ữớ t ữợ ❳✉♥❣ q✉❛♥❤ ✤➣ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ s➩ ❝â ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ q✉❛②✳ ◆➳✉ t❛ ❝❤å♥ ♠ët ❝❤✐➲✉ ❧➔ ❞÷ì♥❣✱ ♠ët ❝❤✐➲✉ ❧➔ t t õ r t ữợ ữủ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✭●â❝ ✤❛ ❞✐➺♥✮ ●â❝ ✤❛ ởt t ủ s tự tỹ ỗ ởt số ỳ õ õ ữợ A1 SA2 , A2 SA3 An SA1 ❝ò♥❣ ❝❤✉♥❣ ✤➾♥❤✱ s➢♣ ①➳♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s❛♦ ❝❤♦ ❝↕♥❤ ❝✉è✐ ❝õ❛ ♠é✐ ❣â❝ ❧➔ ❝↕♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❣â❝ ❧✐➲♥ s❛✉ ✈➔ ❝↕♥❤ ❝✉è✐ ❝õ❛ ❣â❝ s❛✉ ❝ò♥❣ trò♥❣ ✈â✐ ❝↕♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❣â❝ ✤➛✉ t✐➯♥✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ ●â❝ ✤❛ ❞✐➺♥ ✤➾♥❤ S ❧➔ S.A1 A2 A3 An ✳ ❚r♦♥❣ ✤â✿ S ❧➔ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❣â❝ ✤❛ ❞✐➺♥✳ A1 A2 , A2 A3 , An A1 ❧➔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❣â❝ ✤❛ ❞✐➺♥✳ A1 SA2 , , An SA1 ❧➔ ❝→❝ ♠➦t ❝õ❛ ❣â❝ ✤❛ ❞✐➺♥✳ ✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ✭●â❝ t❛♠ ❞✐➺♥✮ ●â❝ ✤❛ ❞✐➺♥ t↕♦ ❜ð✐ ❜❛ ♠➦t ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣â❝ t❛♠ ❞✐➺♥✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ Oxyz ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ✭●â❝ t ữợ õ t Oxyz tr➯♥ t✐❛ Ox, Oy, Oz ❧➜② ❧➛♥ ❧÷đt ❜❛ ✤✐➸♠ A, B, C ✈➔ t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ tø A −→ B C ữợ t ABC ♣❤➼❛ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤ù❛ ♥â✳ ●â❝ t❛♠ ❞✐➺♥ Oxyz ❧➔ ➙♠ ❤❛② ❞÷ì♥❣ tị② t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ A −→ B −→ C ❧➔ ➙♠ ❤❛② ❞÷ì♥❣ ✭t❛ ❝❤å♥ ❝❤✐➲✉ q✉❛② t ữủ ỗ ỗ ữỡ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ➙♠✮✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ♥â✐ r➡♥❣ õ t Oxyz ữủ ữợ õ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ✶✳✷ ✣↕✐ ❝÷ì♥❣ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ✶✳✷✳✶ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ✭P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤✮ ●✐↔ sû T (T = ∅) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ▼ët s♦♥❣ →♥❤ f : T −→ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ t➟♣ T ✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ⑩♥❤ ỗ t tr t T ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ✭P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ t➼❝❤✮ ●✐↔ sû f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ t➟♣ T ✤➣ ❝❤♦✳ f :T −→ T M −→ M g :T −→ T M −→ M ❑❤✐ ✤â →♥❤ ①↕ t➼❝❤ ❝õ❛ f ✈➔ g ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ ✤✐ tø T ✈➔♦ T ✳ ❚❛ ❣å✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✤â ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ f ✈➔ g ✳ ✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❤ñ♣ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ M N ✱ ❦❤✐ M ✈➔ N t❤❛② ✤ê✐✳ ❇➔✐ ✽✿ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ S.ABCD ❝â ✤→② ABCD ❧➔ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✈➔ SA ổ õ ợ (ABCD) M tở ữớ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ SBC ✱ ❣å✐ N ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) q✉❛ M ✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ BC ✱ K ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) ✈➔ (ABCD) s❛♦ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ M N K ❝➙♥ t↕✐ N ✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ AK ❦❤✐ M ❞✐ ✤ë♥❣ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ SBC ✳ ❇➔✐ ✾✿ ❈❤♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d ✈➔ d ❝❤➨♦ ♥❤❛✉✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ AB ❝â ❤❛✐ ✤➛✉ ♠ót ❞✐ ❝❤✉②➸♥ tr➯♥ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤➣ ❝❤♦✳ ❇➔✐ ✶✵✿ ❈❤♦ ♠➦t ❝➛✉ S(O, R) ❝â B, C ❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ ♠➦t ❝➛✉ ✈➔ ❆ ❧➔ ✤✐➸♠ ❞✐ ✤ë♥❣ tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉✳ ●å✐ G ❧➔ trå♥❣ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✱ I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✤♦↕♥ BC ✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ H ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ G q✉❛ I ✳ ❇➔✐ ✶✶✿ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ ✤➲✉ SABCD✱ ❤➣② ❞ü♥❣ ♠ët ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ s❛♦ ❝❤♦ ♠ët ♠➦t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠➦t ✤→② ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤â♣✱ ♠➦t ✤è✐ ❞✐➺♥ ❝â ✹ ✤➾♥❤ ♥➡♠ tr➯♥ ❜è♥ ❝↕♥❤ ❜➯♥ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤â♣✳ ✸✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tốt ữợ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ❇➔✐ ✶✿ ●✐↔ sû tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ✈➔ A B C D ❝â t➙♠ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ O ✈➔ O ✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✿ ◆➳✉ ABCD ✈➔ A B C D ♥➡♠ ❝ị♥❣ tr➯♥ ♠ët ♠➦t • ♣❤➥♥❣✱ ❦❤✐ ✤â✿ P❤➨♣ tà♥❤ t✐➳♥✿ T : O −→ O ABCD −→ A0 B0 C0 D0 P❤➨♣ q✉❛② ❧➔✿ Q : A0 B0 −→ A1 B1 , A1 B1 //A B P❤➨♣ ✈à tü t➙♠ O✱ t➾ sè k = AB A1 B1 V :A1 −→ A B1 −→ B C1 −→ C D1 D õ tỗ t ỗ Z = V ◦ Q ◦ T : ABCD −→ A B C D ◆❤÷ ✈➟② ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD ✈➔ A B C D ỗ ợ t số k = ✸✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ AB A1 B = ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ AB AB ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✿ ◆➳✉ ABCD ✈➔ A B C D ♥➡♠ tr➯♥ ❤❛✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ • s♦♥❣ s♦♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✿ P❤➨♣ tà♥❤ t✐➳♥ T1 ❜✐➳♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD t❤➔♥❤ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ A B C D ✱ ✈➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ABCD q✉❛ T1 ❧➔ A0 B0 C0 D0 t tỹ ữợ tữỡ tỹ ữ tr trữớ ủ t ữủ ỗ Z = V ◦ Q ◦ T ◦ T1 : ABCD −→ A B C D ◆❤÷ ✈➟② ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD ỗ ợ ổ A B C D t❤❡♦ t✛ sè k = AB AB ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✸✿ ◆➳✉ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD ✈➔ A B C D • ♥➡♠ tr➯♥ ❤❛✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝➢t ♥❤❛✉ t❤❡♦ ❣✐❛♦ t✉②➳♥ ❞✳ ❑❤✐ ✤â✿ P❤➨♣ q✉❛② Q1 q✉❛♥❤ ❞ ❜✐➳♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD t❤➔♥❤ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ A B C D ✈➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ABCD q✉❛ Q1 ❧➔ A1 B1 C1 D1 ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ữợ tữỡ tỹ ữ trữớ ủ t ữủ ỗ Z = V Q T ◦ Q1 : ABCD −→ A B C D ❉♦ ổ ABCD ỗ ợ ổ A B C D t❤❡♦ t✛ sè k = AB AB ❱➟② tø ❜❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tr➯♥ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✸✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❇➔✐ ✷✿ ●✐↔ sû ✤➣ ❝❤♦ ❤❛✐ ❤➻♥❤ tù ❞✐➺♥ ✤➲✉ ABCD ✈➔ A1 B1 C1 D1 ự tỗ t ỗ t t tỗ t ❞í✐ ❤➻♥❤ F ❜✐➳♥ tù ❞✐➺♥ ✤➲✉ ABCD t❤➔♥❤ tù ❞✐➺♥ ✤➲✉ A1 B C D s❛♦ ❝❤♦ B t❤✉ë❝ t✐❛ A1 B1 , C t❤✉ë❝ t✐❛ A1 C1 , D t❤✉ë❝ t✐❛ A1 D1 ✳ P❤➨♣ ✈à tü✿ VAk1 :B −→ B1 C −→ C1 D −→ D1 ❱➟② ỗ Z = VAk1 F : ABCD −→ A1 B1 C1 D1 ❇➔✐ ✸✿ ●å✐ ABCD.A B C D ✈➔ A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 ❧➔ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tỗ t ỗ ữỡ ABCD.A B C D t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 t ỗ t ởt ♣❤➨♣ ❞í✐ ❤➻♥❤ F ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ A1 B2 C2 D2 tr♦♥❣ ✤â B2 t❤✉ë❝ t✐❛ A1 B1 ❀ A1 D2 t❤✉ë❝ t✐❛ A1 D1 ✈➔ A1 C2 t❤✉ë❝ t✐❛ A1 C1 ✳ ❱➻ AA ⊥ (ABCD) ♥➯♥ ↔♥❤ ❝õ❛ A ❧➔ A2 t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ A1 A1 ✳ ✸✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ õ tỗ t ❤➻♥❤ D : A2 −→ A2 ∈ t✐❛ A1 A1 B −→ B2 ∈ t✐❛ A1 B1 C −→ C2 ∈ t✐❛ A1 C1 D −→ D2 ∈ t✐❛ A1 D1 P❤➨♣ ✈à tü t➙♠ A1 V : B2 −→ B1 A1 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 −→ A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 ❱➟② ♣❤➨♣ ỗ Z = V D F : ABCD.A B C D −→ A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 ỗ t D✿ SAB −→ S A1 B1 s❛♦ ❝❤♦ A1 ∈ S A , B1 ∈ S B ✳ P❤➨♣ ✈à tü✿ VSk : ∆S A1 B1 −→ ∆S A B õ ỗ Z = V D : SAB S A B ợ t số ỗ ❞↕♥❣ k ✳ ✸✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ▼➦t ❦❤→❝ S.ABC ✈➔ S A B C ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥➯♥✿   SA = SB = SC, AB = AC = BC S A = S B = S C , A B = A C = B C ❚÷ì♥❣ tü t õ ỗ Z = V D : ∆SAC −→ ∆S A C ❙✉② r❛ ♣❤➨♣ ỗ Z = V D : SABC S A B C ợ t số ỗ k sỷ õ ỗ ❞↕♥❣ ❧➔ S.ABC ✈➔ S A B C ✳ ❚❤❡♦ t t tỗ t ỗ Z : S.ABC −→ S A B C ❚❛ ❣å✐ D ❧➔ ♣❤➨♣ ❞í✐ ❤➻♥❤ s❛♦ ❝❤♦ D : S.ABC −→ S A1 B1 C1 ❱ỵ✐ A1 ∈ S A , B1 ∈ S B , C1 ∈ S C ✈➔ t❤➸ t➼❝❤ VS.ABC = VS A1 B1 C1 ✭✶✮ P❤➨♣ ✈à tü VSk : A1 −→ A , k > S A1 B1 C1 −→ S A B C ✸✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ●å✐ S, h ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❤↕ tø S ①✉è♥❣ (A1 B1 C1 ) ●å✐ S , h ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A B C ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❤↕ tø ✤➾♥❤ S ①✉è♥❣ (A B C )✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ S = k S, h = k.h ❙✉② r❛✿ VS A B C = S h = k S.h = k VS A1 B1 C1 = k VS.ABC ✭✷✮ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛ ♥➳✉ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ❝❤â♣ t ỗ t t số t t ú ữỡ t số ỗ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ M ❧➔ ✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ M q✉❛ (P )✳ ❉♦ ✤â ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P ) ✿ ✣P : M −→ M ♥➯♥ ✣P : d −→ d ✸✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❍❛② d ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ❞ q✉❛ ♣❤➳♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✣P ✳ ❱ỵ✐ I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ OM ✈➔ O ❧➔ ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ ♥➯♥ t❛ ❝â ♣❤➨♣ ✈à tü✿ VO2 : M −→ I d −→ d ỗ Z = VO2 P : M −→ I ❚â♠ ❧↕✐ t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠ I ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ d q✉❛ ♣❤➨♣ ỗ Z I tr ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ M N ✳ ◆➳✉ ✤✐➸♠ M ❝è ✤à♥❤ ❦❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ✈à tü✿ VM2 : N −→ I ✸✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ✣✐➸♠ N ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉ (O) ♥➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠ I ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝➛✉ (O ) ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ (O) q✉❛ ♣❤➨♣ ✈à tü VM2 ✳ ❚➙♠ O ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ (O ) ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✤♦↕♥ OM ✳ ❙✉② r❛✿ VO2 : M −→ O ❑❤✐ M t❤❛② ✤ê✐ tr♦♥❣ (P ) t❤➻ t➟♣ ❤ñ♣ O ❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P )//(P )✳ ❉♦ ✤â t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠ I ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠➦t ❝➛✉ (O ) ✈ỵ✐ O t❤✉ë❝ (P )✳ ❚➟♣ ❤đ♣ ✤â ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➡♠ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ (P ) ✈➔ ❝→❝❤ (P ) ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❜➡♥❣ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ (O )✳ ❇➔✐ ✽✿ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ SBC t❛ ❝â✿ SB ⊥ BC ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✿ N ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) q✉❛ M ✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ ✹✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ BC ♥➯♥✿ M N ⊥ BC ⇒ M N//SB KN ∈ (α)✱ (α) ⊥ BC ♥➯♥ KN ⊥ BC ⇒ KN//AB ❉♦ ✤â✿ (M N, KN ) = (M N, N K) = (BS, BA) = ϕ ▼➔ M KN ❝➙♥ t↕✐ N ♥➯♥ M N = KN ✳ P❤➨♣ q✉❛② QϕBC : M −→ K(∗) I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AK ✳ P❤➨♣ ✈à tü VA2 : K −→ I(∗∗) ❚ø (∗), (∗∗) s✉② r❛ ♣❤➨♣ ỗ Z = VA2 QBC : M −→ I ❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ I ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ SBC q ỗ õ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ●å✐ H ❧➔ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ a ✈➔ b tr➯♥ a(H ∈ a)✳ ◗✉❛ B ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ c s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ a✳ ●å✐ I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛  ✤♦↕♥ AB ✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â HI ∩ c = {J}✳   IAH = IBJ   ❳➨t AIH = BIJ ✈➻ IA = IB    IHA = IJB ❙✉② r❛✿ HI = JI ✳ ❉♦ ✤â ♣❤➨♣ ✈à tü VH : J −→ I ❱➻ a//c ✈➔ b, c ⊂ (α)//a✳ ❙✉② r❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α) ❝è ✤à♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝ J ∈ (α) ♥➯♥ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ I s➩ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P ) ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ (α) q✉❛ ♣❤➨♣ ✈à tỹ VH2 ữủ ợ I t ý tở ♠➦t ♣❤➥♥❣ (P )✱ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (I, b) ❝➢t a t↕✐ ✤✐➸♠ A✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ AI ❝➢t b t↕✐ B ✈➔ I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AB ✳ ❇➔✐ ✶✵✿ ❉♦ B, C ❝è ✤à♥❤ ♥➯♥ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ I ❝õ❛ ✤♦↕♥ BC ❝è ✤à♥❤✳ ✹✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❱➻ G ❧➔ trå♥❣ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ −→ − → IG = IA P❤➨♣ ✈à tü VI3 : A −→ G ▼➦t ❦❤→❝ H ❧➔ ✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈ỵ✐ G q✉❛ ✤✐➸♠ I ♥➯♥ t❛ ❝â ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ t➙♠ I I : G H õ ỗ ❞↕♥❣ Z = ✣I ◦ VA3 : A −→ H ❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ H ❧➔ ♠➦t ❝➛✉ S (O , 31 R) ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ S(O, R) q ỗ t số k = 13 ✳ ✹✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣ ❇➔✐ ✶✶✿ ❉ü♥❣ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ABCD.A B C D ♥➡♠ ❦❤→❝ ♣❤➼❛ ✈ỵ✐ ✤➾♥❤ S q✉❛ ♠➦t ✤→② ABCD ●å✐ A1 ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ SA ✈ỵ✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ABCD✱ ❦❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ✈à tü t➙♠ S ❜✐➳♥ A t❤➔♥❤ A1 ✱ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ABCD.A B C D t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❝➛♥ ❞ü♥❣✳ ✹✹ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❡♠ ✤➣ ✤÷❛ t➟♣ tr✉♥❣ ự ỗ ự ỗ ởt số t ❤å❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❡♠ ✤➣ ❞↕t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❧➔ ✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝ì s ữợ tr ổ t ỗ r ự ỗ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ✈➟♥ ❞ư♥❣✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✱ rt ữủ sỹ õ ỵ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝ỉ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❚❤ó② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ữợ t õ ✹✺ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❇ò✐ ❱➠♥ ❇➻♥❤ ✲ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❱↕♥✳ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ t➟♣ ✶✱✷ ✲ ✣❍❙P❍◆✷ ✲✶✾✾✸✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❈❤÷ì♥❣ ✲ ▲➯ ✣➻♥❤ ❚❤✐ ✲ ◆❣✉②➵♥ ❈ỉ♥❣ ◗ó②✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❝➜♣ ✲ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝ ✶✾✻✽✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ◆❣å❝ ✲ ❈→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✶✷ ✲ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ộ ỡ ỗ ữù s ❣✐ä✐ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✭ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✮ ✲ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✺❪ ✣é ❚❤❛♥❤ ❙ì♥ ✲ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✶✷ t❤❡♦ ❝❤õ ✤➲ ✲ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ✹✻ ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THANH HẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG KHÔNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS