Cấu trúc đại số sắp thứ tự cấu trúc tự do đại số hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn thầy cô khoa Toán giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu dƣới mái trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vƣơng Thông tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua Cuối em xin cảm ơn thầy cô tổ Đại Số bạn tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Ngƣời thực Nguyễn Thị Xen Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết em trình học tập nghiên cứu vừa qua, dƣới hƣớng dẫn thầy Vƣơng Thông Em xin cam đoan luận văn đề tài “ Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” không trùng với luận văn khác Hà Nội, tháng năm 2010 Ngƣời thực Nguyễn Thị Xen Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Mục lục Mở đầu Nội dung Chƣơng 1: Cấu trúc đại số thứ tự 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép toán đại số n tính chất 1.1.2 Quan hệ n 1.2 Cấu trúc thứ tự 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Ví dụ 11 Chƣơng 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt 14 2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt 14 2.1.1 Nhóm tự 14 2.1.2 Nhóm Abel tự 19 2.1.3 NhómAbel hữu hạn sinh 24 2.1.4 Nhóm đồng cấu nhóm 38 2.1.5 Nhóm giải đƣợc 41 2.2 Một số lớp vành đặc biệt 43 2.2.1 Miền nguyên 43 2.2.2 Vành Gauss 46 2.2.3 Vành 47 2.2.4 Vành Ơclit 48 2.2.5 Vành nguyên tố nửa nguyên tố 49 2.2.6 Vành nguyên thủy nửa nguyên thủy 50 2.2.7 Vành địa phƣơng nửa địa phƣơng 51 2.3 Một số lớp môđun đặc biệt 52 Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 2.3.1 Môđun 52 2.3.2 Môđun tự 52 2.3.3 Môđun nội xạ môđun xạ ảnh 56 Chƣơng 3: Đại số hữu hạn chiều 58 3.1 Định nghĩa ví dụ 58 3.1.1 Định nghĩa 58 3.1.2 Ví dụ 58 3.2 Xét số K_ Đại số 59 3.2.1 Đại số tenxơ 59 3.2.2 Đại số 62 3.2.3 Đại số đối xứng 67 3.3 K_Đại số hữu hạn chiều 71 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Mở đầu Lý chọn đề tài Đại số chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng khoa học toán học.Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại.Tuy nhiên để sâu nghiên cứu môn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc Đại số Vì em mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” với giúp đỡ thầy Vƣơng Thông, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu môn Đại số Mục đích nghiên cứu Đƣa số lớp cấu trúc đại số đặc biệt mối quan hệ chúng, với kiến thức phổ thông, từ góp phần làm phong phú thêm lớp cấu trúc đại số Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tƣợng nghiên cứu: - Các nhóm - Vành - Môđun + Phạm vi nghiên cứu: Đọc tài liệu có liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu sâu nhóm, vành, môdun Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán NỘI DUNG CHƢƠNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép toán đại số n tính chất a Định nghĩa Cho X   , ta gọi phép toán đại số (PTĐS) xác định X ánh xạ f: X  X  X Thay cho cách viết f(x,y) ta viết xfy Thƣờng ký hiệu: +, ,  , o, … Ta mở rộng cho phép toán đại số m ngôi, ánh xạ f: X m  X Thƣờng viết f(x1,x2,x3,…xm) Nếu X tập hữu hạn có n phần tử ta tính đƣợc: Số phép toán đại số xác định X là: nn Số phép toán đại số xác định X là: nn m b Ví dụ Đối tƣợng số: Trên  : Xét quy tắc      (a,b)  a+b (là PTĐS ngôi)  ab (là PTĐS ngôi)  a-b (không PTĐS ngôi)  a  b (không PTĐS ngôi) b  a (không PTĐS ngôi)  Max a, b (là PTĐS ngôi)  Min a, b (là PTĐS ngôi)  (a,b): USCLN (không PTĐS ngôi)  [a,b]: BSCNN (không PTĐS ngôi) Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Tóm lại  có vô số PTĐS Tƣơng tự tập số khác  ,  [ ],  [ n ],…  ,  ,  , K :số siêu phức, ta có nhiều phép toán đại số Đối tƣợng số nguyên đồng dƣ theo môđun n  n = { ,1 ,… n  } Có PTĐS thƣờng dùng: i + j = i  j i j  i j Cần chứng minh: i+j≥ n i  j = k , k  {0,1,…n-1} i.j≥ n i j  k , k  {0,1,…n-1} Đối tƣợng đa thức R[x]: f(x)+ g(x) f(x).g(x) Tổng quát A[x], với A vành giao hoán, có đơn vị Nhận xét: Các ví dụ 2, xuất phát từ PTĐS đối tƣợng biết ta xây dựng đƣợc PTĐS đối tƣợng Đối tƣợng tập hợp Các phép toán:  ,  , \,  Đối tƣợng phép đặc biệt S3 6.Đối tƣợng ma trận Matn(  ) 7.X tập khác rỗng Xét phép toán  sau mà mà thƣờng gọi luật nuốt trái (phải) a, b  a  b= b (nuốt trái) Nếu x =  giao hoán Nếu x >  không giao hoán Phép toán  có kết hợp Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Phép toán  có đơn vị x = Nếu x >1  có nhiều đơn vị trái mà đơn vị phải 8.Xuất phát từ tập X biết ta xây dựng đƣợc nhiều phép toán đối tƣợng Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân số thực ta xây dựng đƣợc phép toán Matn(X), X[x] Tổng quát : Cho X vành giao hoán, có đơn vị, ta xây dựng đƣợc phép cộng, nhân Matn(X), X[x] - Từ phép toán mệnh đề : , , ,  ta xây dựng đƣờc phép toán tƣơng ứng đại số vị từ n xác định tập X , : Xn  M Ta có    x     x    x  ,    x     x    x     x     x    x  ,    x     x    x  - Cho (X,+) nhóm giao hoán Kí hiệu End(x) = { f: X  X tự đồng cấu X } Xác định phép cộng End (x) nhƣ sau: x  X f,g  End(x), (f+g)(x) = f(x)+g(x) x, y  X ,f,g  End(x), (f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = [f(x)+g(x)]+ [f(y)+g(y)] = (f+g)(x)+(f+g)(y) Suy (f+g)  End(x) 9.Thể Quarternion: (Còn gọi số siêu phức) Số siêu phức, dim   =2, dim  K =4 Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d   } Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán -Phép cộng :  =a+bi+cj+dk ‟ ‟ ‟ ‟  =a +b i+c j+d k Suy    =(a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k -Phép nhân vectơ sở cho dƣới bảng sau: i j k 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 Chú ý Để nhớ bảng nhân cần hoán vị vòng quanh phản hoán vị (trừ d 1,c1) cụ thể : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j -Căn vào bảng nhân ta thực đựơc phép nhân phần tử K Giả sử  =a+bi+cj+dk ‟ ‟ ‟ ‟  =a +b i+c j+d k Suy    = (a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k = aa‟+ab‟i+ac‟j+ad‟k -bb‟+ba‟i-bd‟j+bc‟k -cc‟+cd‟i+ca‟j-cb‟k -dd‟-dc‟i+db‟j+da‟k = (aa‟-bb‟-cc‟-dd‟)+(ab‟+ba‟+cd‟-dc‟)i+(ac‟+ca‟-bd‟+db‟)j +(ad‟+bc‟-cb‟+da‟)k -Mỗi phần tử khác nghịch đảo Giả sử  K*  a2+b2+c2+d2  Ta biến đổi nhƣ sau: 1 = a  bi  cj  dk (a  bi )  (cj  dk ) Nguyễn Thị Xen Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán = (a  bi )  (cj  dk ) (a  b  2abi )  (c  d  2cdi) = (a  bi  cj  dk ) (a  b  c  d )  2(ab  cd )i = (a  bi  cj  dk ) (a  b  c  d )  2(ab  cd )i K (a  b  c  d )  4(ab  cd ) 2 2   Phép nhân không giao hoán  (K,+,.) Không lập thành trƣờng, ta gọi K thể -Nhân vô hƣớng : r  , r  =ra+(rb)i+(rc)j+(rd)k K Ta có (K,+) với nhân vô hƣớng lập thành  - không gian vectơ Vậy (K,+,., nhân vô hƣớng với  )  - đại số không giao hoán Đại số có chiều Ta có     K 10 Lập bảng toán cho tập X có n phần tử - Lập bảng toán X có n phần tử: số ánh xạ f:X  X  X: nn phép toán - Tổng quát: số bảng toán m X có m phần tử m số ánh xạ f:Xm  X: nn phép toán c Tính chất Ta viết phép toán theo lối nhân  Kết hợp:  x, y, z  X: (xy)z=x(yz)  Giao hoán:  x, y X: xy=yx  Tồn trung hoà (đơn vị):  X: +x=x  x X e X: e x=x  x X  Mỗi x X,  phần tử đối - x X, phần tử nghịch đảo x-1 X Nguyễn Thị Xen 10 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 3.2 Xét số K- đại số 3.2.1 Đại số Tenxơ a Định nghĩa Gỉa sử R vành giao hoán đợn vị Môđun R Ta gọi đại số Tenxơ môđun M, đại số kết hợp T R với đơn vị với đồng cấu môđun f : M T cho , với đồng cấu môđun g :M  X từ M vào đại số kết hợp X R với đơn vị , tồn đồng cấu đại số h :T  X thỏa mãn điều kiện h 1 đơn vị X quan hệ giao hoán h f g xảy tam giác sau: M f g T h X b Định lí Định lí Nếu đại số T R với đồng cấu môđun f : M T đại số Tenxơ môđun M, f  M   1 sinh đại số T Định lí (Định lí tính nhất) Nếu T , f  T ' , f '  đại số tenxơ môđun M R , tồn đẳng cấu đại số Nguyễn Thị Xen 64 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Định lí (Định lí tồn ) Với môđun tùy ý cho trƣớc M R , tồn đại số tenxơ M Chứng minh Trong phép toán chứng minh này, tất tích tenxơ vành cho R Vì ta thay ký hiệu  R ký hiệu đơn giản  Với số nguyên không âm n  , ta định nghĩa môđun Tn R nhƣ sau: Trƣờng hợp n  , ta lấy T0  R Trƣờng hợp n > , ta lấy Tn tích tenxơ n môđun đồng với M Xét tổng trực tiếp  T   Tn n 0 Khi T môđun R với số nguyên n  , Tn đồng hóa với môđun T tổng trỏ thành phân tích T thành tổng trực tiếp Để biến T thành đại số ta phải định nghĩa phép nhân T Vì môđun T đƣợc sinh 1T0  R , tích tenxơ x1  x2   xn Tn phần tử xi M , với tất n> 0, nên ta việc định nghĩa tích phần tử T Muốn , ta đặt 1( x1  x2   xn )= x1  x2   xn =( x1  x2   xn )1, ( u1   u p )( v1   vq )= u1   u p  v1   vq Có thể dễ dàng thử nghiệm điều mở rộng thành phép nhân T phép nhân làm cho T trở thành đại số kết hợp với đơn vị Nguyễn Thị Xen 65 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TpTq  Tpq Vì ta có: Theo định nghĩa phép nhân , nên ta suy T đại số chia bậc quy R Để định nghĩa đồng cấu f : M T , ta để ý M= Tn môđun T Do ta định nghĩa f đồng cấu bao hàm môđun M= Tn T vào môđun T Để thử nghiệm T , f  đại số tenxơ M, ta gọi g : M  X đồng cấu môđun cho trƣớc M vào đại số kết hợp X R với đơn vị e Ta dễ dàng thử nghiệm tƣơng ứng x1  x2   xn  g  x1  g  x2  g  xn  Cùng với  e mở rộng thành đồng cấu đại số h :T  X thỏa mãn h 1 = e h  f  g Cuối , tính h suy từ điều kiện h 1 = e h  f  g với kiện f  M   1 sinh đại số T Do T , f  đại số tenxơ M Nhƣ môđun M R xác định đại số tenxơ chủ yếu T , f  Đại số kết hợp T đƣợc ký hiệu : TR  M  gọi đại số tenxơ môđun M R Nhƣ ta thấy phép chứng minh định lí 3, f đơn cấu Do đó, ta đồng hóa M với ảnh f  M  TR  M  xét M nhƣ môđun TR  M  Nguyễn Thị Xen 66 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 3.2.2 Đại số a Định nghĩa Gỉa sử R vành giao hoán với đơn vị M môđun R Ta gọi đại số môđun M, đại số kết hợp E R với đơn vị vối đồng cấu môđun f :M  E Thỏa mãn hai điều kiện sau: (EA1)  f  x   , x M (EA2) Với mọi đồng cấu môđun g : M  X từ M vào đại số kết hợp X R với đơn vị thỏa mãn  g  x    x M , tồn đồng cấu đại số h :E  X Thỏa mãn điều kiện h 1 đơn vị vủa X cho quan hệ giao hoán xảy tam giác sau: M f g E h X b Định lí Định lí Nếu đại số E R với đồng cấu môđun f : M  E đại số môđun M , f  M   1 sinh đại số E Định lí (Định lí tính nhất) Nếu (E, f) (E‟,f‟) đại số môđun M R, tồn đẳng cấu đại số j : E  E ' cho j  f  f ' Nguyễn Thị Xen 67 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Định lí (Định lí tồn tại) Với môđun tùy ý cho trƣớc M R, tồn đại số M Chứng minh Xét đại số tenxơ  T  TR  M    Tn n 0 Trên R môđun M Gọi A iđean sinh đại số T sinh tập S x  x | x M   T2  T Do A iđean thừa nhận đƣợc T có phân tích thành tổng trực tiếp  A   An , n An  Tn  A Hơn nữa, A đƣợc sinh phần tử bậc 2, nên ta có A0  A1  Bây ta xét đại số thƣơng E T A với phép chiếu tự nhiên p :T  E Và E đại số chia bậc R với phân tích thành tổng trực tiếp  E   En , n 0 En  p Tn   Tn An Vì A0  A1  nên p đƣa T0 T1 đẳng cấu với lên E0 E1 theo thứ tự Do ta có E0  R, E1  M Vậy E đại số chia bậc quy R với đơn vị p 1 Ta định nghĩa f : M  E đồng cấu hợp thành f  p  i bao hàm i : M T1 T phép chiếu tự nhiên p :T  E Thế f đơn cấu môđun với f  M   E1  f  x   p  x  x   , Nguyễn Thị Xen  x M 68 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Để thử nghiệm  E , f  đại số M, gọi g : M  X đồng cấu môđun tùy ý cho trƣớc M vào đại số kết hợp X R với đơn vị e cho  g  x   0, x M Vì T đại số tenxơ R M, nên g mở rộng thành đồng cấu đại số k :T  X Sao cho k 1  e Với x M  T , ta có k  x  x   k  x    g  x   2 Điều chứng tỏ k  S   Vì A iđean T sinh bở S, nên ta có k  A  Vậy k cảm ứng đồng cấu đại số h :E  X Sao cho h  p  k Do h chuyển đơn vị p 1 E lên e thỏa mãn h f g Tính h: Gỉa sử có h‟: h ' f  h  f  g  h  pi   h '  pi    hp  i   h ' p  i Do tính k nên hp  h ' p , lại p toàn cấu nên h  h ' (đpcm) Nhƣ môđun M R xác định đại số chủ yếu  E , f  Đại số kết hợp E đƣợc kí hiệu là: ER  M  gọi đại số môđun M R Nhƣ ta thấy phép chứng minh định lí 3, f đơn cấu Do ta đồng hóa M với ảnh f  M  ER  M  xét M nhƣ môđun ER  M  Nguyễn Thị Xen 69 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Với số nguyên n> 1, môđun En  p Tn  ER  M  gọi lũy thừa thứ n môđun M R Với phần tử tùy ý x1 , x2 , , xn M, phần tử p  x1  x2   xn  En đƣợc kí hiệu x1  x2   xn Và gọi tích phần tử x1 , x2 , , xn Môđun En đƣợc sinh tích Bổ đề Với phần tử tùy ý x, u, v môđun M, ta có x  x 0 u  v   v  u  Chứng minh Quan hệ x  x  hệ trực tiếp định nghĩa đại số Để chứng minh quan hệ thứ hai, ta xét đẳng thức (u  v)   v  u   Xem nhƣ phép nhân ER  M  , tích song tuyến tính Khai triển vế trái sử dụng u  u  v  v  , ta đƣợc (u  v)   v  u   Điều kéo theo quan hệ thứ hai (đpcm) Bổ đề Nếu điểm x1 , x2 , , xn M khác tất cả, ta có x1  x2   xn  Bổ đề Nếu  y1 , y2 , , yn  hoán vị phần tử  x1 , x2 , , xn  , ta có y1  y2   yn    x1  x2   xn  , Trong  1 hoán vị chẵn    hoán vị lẻ Nguyễn Thị Xen 70 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Định lí Đại số ER  M  môđun M R phản hoán; tức với hai phần tử x, y ER  M  với deg  x   m deg  y   n , ta có xy   1 yx mn Chứng minh Vì phép nhân đại số song tuyến tính, nên việc thử nghiệm quan hệ trƣờng hợp x, y phân tích đƣợc Do ĐL4 suy từ BĐ3 (đpcm) Nguyễn Thị Xen 71 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 3.2.3 Đại số đối xứng a Định nghĩa Giả sử R vành giao hoán với đơn vị M môđun R Ta gọi đại số đối xứng môđun M, đại số kết hợp S R với đơn vị với đồng cấu môđun f :M  S Thỏa mãn hai điều kiện sau: (SA1) Các phần tử f  M  giao hoán đƣợc với S (SA2) Với đồng cấu môđun g :M  X Từ M vào đại số kết hợp X R với đơn vị cho phần tử g  M  giao hoán đƣợc với X, tồn đồng cấu đại số h :S  X Thỏa mãn điều kiện h 1 đơn vị vủa X cho quan hệ giao hoán xảy tam giác sau: M f S g h X b Định lí Định lí Nếu đại số S R với đồng cấu môđun f : M  S đại số đối xứng môđun M f  M  1 sinh đại số S Nguyễn Thị Xen 72 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Định lí (Định lí tính nhất) Nếu  S , f   S ', f ' đại số đối xứng môđun M R, tồn đẳng cấu đại số j : S  S ' cho j  f  f ' Định lí (Định lí tồn tại) Với môđun tùy ý cho trƣớc M R, tồn đại số đối xứng M Chứng minh Xét đại số tenxơ  T  TR  M   Tn n 0 Trên R môđun M Gọi A iđean đại số T sinh tập C x  y  y  x | x, y M  T2 T Ta có A iđean thừa nhận đƣợc T có phân tích thành tổng trực tiếp  A   An , An  Tn  A n 0 Hơn nữa, A đƣợc sinh phần tử bậc 2, nên ta có A0  A1  Bây ta xét đại số thƣơng S T A với phép chiếu tự nhiên p :T  S Mà S đại số chia bậc R với phân tích thành tổng trực tiếp  S   Sn , Sn  p Tn  Tn A n 0 Vì A0  A1  , nên p đƣa T0 T1 đẳng cấu lên S S1 theo thứ tự Do ta có S  R, S1  M Vậy S đại số chia bậc quy R với đơn vị p 1 Nguyễn Thị Xen 73 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Ta định nghĩa f : M  S đồng cấu hợp thành f  pi bao hàm i : M T1 T phép chiếu tự nhiên p :T  S Thế f đơn cấu môđun với f  M   S1 Với hai phần tử x, y M , ta có f  x f  y   f  y  f  x  p  x  y  y  x  Điều kéo theo điều kiện (AS1) Để thử nghiệm  S , f  đại số đối xứng M, gọi g : M  X đồng cấu môđun tùy ý cho trƣớc M vào đại số kết hợp X R với đơn vị e cho phần tử g  M  giao hoán đƣợc với X T đại số tenxơ R M, nên g mở rộng thành đồng cấu đại số k :T  X Sao cho k 1  e Với hai phần tử x, y M  T , ta có k  x  y  y  x  g  x g  y   g  y  g  x 0 Điều chứng minh k  C   Vì A iđean T sinh C, nên ta có k  A  Vậy k cảm ứng đồng cấu đại số h :S  X cho hp= k đó, h chuyển đơn vị p 1 S lên e thỏa mãn hf  g Tính h giả sử có h‟: h ' f  hf  g  h  pi   h '  pi    hp  i   h ' p  i Do tính k nên hp= h‟p, lại p toàn cấu nên h= h‟.(đpcm) Nhƣ môđun M R xác định đại số đối xứng chủ yếu  S , f  Đại số kết hợp S đƣợc ký hiệu SR  M  gọi đại số đối xứng môđun M R nhƣ ta thấy phép chứng minh ĐL3, Nguyễn Thị Xen 74 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán f đơn cấu ta đồng hóa M với ảnh f  M  SR  M  xét M nhƣ môđun SR  M  Với số nguyên n> 1, môđun Sn  p Tn  SR  M  gọi lũy thừa đối xứng thứ n môđun M R Hệ Đại số đối xứng SR  M  môđun M R đại số chia bậc quy R với phân tích thành tổng trực tiếp  S R  M    Sn , n 0 Trong S0= R, S1= M, Sn lũy thừa đối xứng thứ n môđun M R với n> Mọi đồng cấu môđun g : M  X vào đại số kết hợp X R với đơn vị e cho phần tử g  M  giao hoán đƣợc với X mở rộng thành đồng cấu đại số h : SR  M   X với h 1  e Nguyễn Thị Xen 75 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 3.3 Xét K- đại số hữu hạn chiều Giả sử có K – đại số hữu hạn chiều X, Giả sử X có sở ei i 1 n n Khi  x  X , x   ei | K i 1 n  y  X , y   bje j | bj K j 1 n  n  n  xy    ei    b j e j    aib j ei e j  i 1   j 1  i , j 1 Suy tích xy đƣợc xác định n2 tích vectơ sở ei e j  Nguyễn Thị Xen 76 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán KẾT LUẬN Khóa luận Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” phần tiếp cận đƣợc số vấn đề đại số đại phần cấu trúc quan trọng đại số nhƣ toán học Khóa luận có ý nghĩa quan trọng việc nghien cứu sâu vấn đề đại số, làm tài liện tham khảo Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhƣng khả thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong đƣợc bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài đƣợc hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn hƣớng dẫn tận tình thây Vƣơng Thông nhƣ thầy cô giáo giup em thực khóa luận Nguyễn Thị Xen 77 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Nguyễn Tự Cƣờng (2000) Đại số đại NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 2, Trần Trọng Huệ (2001) Đại số đại cƣơng NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 3, Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999) Đại số đại cƣơng NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 4, Nguyễn Tiến Quang (2007) Cơ sở lý thuyết trƣờng Galoa NXB ĐH Sƣ Phạm HN 5, Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001) Cơ sở lý thuyết Môđun Vành NXB Giáo Dục HN 6, Hoàng Xuân Sính (2000) Đại số đại cƣơng NXB Giáo Dục HN Nguyễn Thị Xen 78 [...]... tiền thứ tự đƣợc dùng rộng rãi hơn Nguyễn Thị Xen 14 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 1.2 Cấu trúc sắp thứ tự 1.2.1.Định nghĩa Gọi là cấu trúc đại số sắp thứ tự một bộ (X,  ,  ) trong đó X là tập nền khác rỗng,  là tập các phép toán đại số với số ngôi khác nhau,  là tập quan hệ thứ tự toàn phần trên X Thoả mãn một số điều kiện nào đó Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cấu trúc sắp thứ tự (X,... có thì đƣợc kí hiệu là inf(A) Tƣơng tự có cận trên và sup(A) -Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật - Hai tập sắp thứ tự đẳng cấu: +Cho hai tập sắp thứ tự (X,  1) (X‟,  2) +Nếu tồn tại song ánh f:X  X‟ sao cho  a,b X, a  1 b thì f(a)  2f(b) Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X,  1) đẳng cấu với (X‟,  2) Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản... là nhóm Aben tự do xác định trên S thì f là đơn ánh và F= Chứng minh Tƣơng tự trong phần nhóm tự do c Tồn tại nhóm Aben tự do xác định trên tập S Định lí2 (Tồn tại duy nhất ) Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là hai nhóm Aben tự do xác định trên S Khi đó ! đồng cấu j: F  F‟ sao cho jf1=f‟ ! đồng cấu k: F‟  F sao cho kf‟=f Chứng minh Tƣơng tự phần nhóm tự do Định lí 3 (Tồn tại nhóm tự do Aben) Cách... kf‟=f=1Fg, Do (f,F) là nhóm tự do   ! đồng cấu từ F  F để tam giác ngoài cùng giao hoán  kj=1F  j là toàn cấu Tƣơng tự xét sơ đồ: f‟ S f F‟ k f‟ F jk j F‟ Nguyễn Thị Xen 20 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Coi (f‟,F‟) trong sơ đồ trên nhƣ cặp(g,X) trong định nghĩa Theo trên jkf‟=j(kf‟)=jf=f‟=1F‟f‟, do (f‟,F‟) là nhóm tự do   ! đồng cấu từ F‟  F để tam giác ngoài cùng giao hoán  jk=1F‟  j là toàn cấu. .. 1Ff=f 1F=k do (f, F) là tự do   ! đồng cấu từ k cũng thỏa mãn kf=(iAh)f=iAg=f F  F ' là toàn ánh k=iAh là toàn ánh do 1A là toàn ánh  iA là toàn ánh  A=F  F=, tức là f(S) là tập sinh của nhóm F Định lí 2 (Tồn tại duy nhất nhóm tự do xác định trên tập S) Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là nhóm tự do cùng xác định trên tập S Khi đó  đẳng cấu j: F  F‟ sao cho jf=f‟ và hoán:  đẳng cấu k: F‟ ... Xyclic nguyên sơ, p là số nguyên tố Từ các định lý trên ta đi đến kết luận: 1, Một nhóm Xyclic không tầm thƣờng là không phân tích đƣợc  nó vô hạn hoặc nguyên sơ (tức là có cấp pm, m    , p là số nguyên tố) 2,  nhóm Xyclic cấp hữu hạn là phân tích đƣợc thành tổng trực tiếp của các nhóm Xyclic nguyên sơ  Nhóm Aben hữu hạn sinh Nhóm hữu hạn sinh là nhóm có tập sinh là tập hữu hạn Nguyễn Thị Xen 32... 1: Nhóm sắp thứ tự là (X,  ,  ) trong đó X   ,  gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà  một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phần tử một PTĐS 2 ngôi: a+b Hệ tiên đề của nhóm sắp thứ tự: 1 PTĐS 2 ngôi + có tính chất kết hợp 2 PTĐS 2 ngôi + có tính chất giao hoán 3  a X , +a=a 4 a  X ,  a‟ X: a+a‟=  5  a,b X, giả sử a  b thì a+c  b+c Chẳng hạn : Nhóm sắp thứ tự (  ,+,... với cộng : a(b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca 7 Quan hệ thứ tự toàn phần tƣơng thích đối với hai phép toán, nghĩa là:  a,b  X, giả sử a  b thì a+c  b c ,  c  X a.c  b.c ,  c  X+ a.c  b.c ,  c  XX+ ={x X | x   }, X- ={x X| x   } Chẳng hạn ta có các vành số sắp thứ tự (  ,+,.,  ) , (  ,+,.,  ) , (  ,+,.,  ) Ví dụ 3 Trƣờng sắp thứ tự : (X,  ,  ) trong đó X  gồm 2 PTĐS 0 ngôi :... ngoài cùng giao hoán  jk=1F‟  j là toàn cấu Vậy j là đẳng cấu  k=j-1 cũng là đẳng cấu Định lí 3 (Tồn tại nhóm tự do ) Với mọi tập S luôn tồn tại nhóm tự do trên S Chứng minh  Xác định nhóm F - Xác định tập F: Kí hiệu T=S  {1,-1} Thay cho cách viết (a,1) bằng a1, (a,-1) bằng a-1, a S Đƣa vào khái niệm “ chữ” Chữ w là một tích hình thức hữu hạn những phần tử của T, tức là dạng: a11 a2 2 ak k ,... có hữu hạn phần tử bằng cách tìm các sự phân hoạch khác nhau có thể có trên X Ý nghĩa : Có một quan hệ tƣơng đƣơng ~ trên X Khi đó với x,y  X, nếu x~y thì theo quan hệ ấy ta coi x và y là nhƣ nhau( x  y  x  y )  Quan hệ thứ tự - Định nghĩa: Quan hệ 2 ngôi có 3 tính chất : phản xạ, phản xứng, bắc cầu gọi là quan hệ thứ tự bộ phận Thƣờng kí hiệu là:  (  ) Khi đó ta nói X là tập đƣợc sắp thứ tự ... tr-ớc hai đồng cấu nhóm g : B B Khi i ánh xạ B) Hom(f, g): Hom(A, B) Hom(A, đ h ghf đồng cấu nhóm ii iii Hom(1A, 1B)= 1Hom(A, Nếu f: A A, f: A A B) g: B B, g: B B đồng cấu nhóm Hom (ff,... g) Chứng minh i Cần giải thích quy tắc Hom(f, g) ánh xạ nghĩa Hom(f, g)(h)=ghf tích đồng cấu suy đồng cấu h, h Hom(A, B) cần chứng minh Hom(f, g)(h+h)= Hom(f, g)(h)+ Hom(f, g)(h) g(h+h)f=... trc tip A B Vỡ th nờn gi l s phõn tớch trờn l phõn tớch thnh tớch trc tip Cho A,B l hai nhúm tựy ý, theo trờn ta cúi A(A)=A {eB}, iB(B)={eA} B, iA, iB l cỏc n cu nờn ng nht A=iA(A), B=iB(B)