Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)
Trang 1Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn câc thầy cô trong khoa Toân đê giúp đỡ em trong quâ trình học tập vă nghiín cứu dưới mâi trường Đại Học Sư Phạm Hă Nội 2
Đặc biệt em xin bảy tỏ lòng biết ơn sđu sắc tới thầy Vương Thông đê tận tình chỉ bảo vả giúp đỡ em trong suốt thời gian qua
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Luận văn năy lă kết quả của em trong quâ trình học tập vă nghiín cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông
Em xin cam đoan luận văn về đề tăi “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn năo
khâc
Hă Nội, thâng 5 năm 2010 Người thực hiện
Trang 3Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Mục lục
MUG AU 1
ee 2 Chương 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự 2-2 sce+s+eszxczsreee 2
1.1 Cđu trúc đại SỐ si ca tt 33118 5155511381515 E58 EEecsrrerscees 2
1.1.1 Phĩp toân đại số n ngôi vă tính chất 2-2-2 sssezsxcse 2 1.1.2 Quan h€ n 1QO1 00.0 7 1.2 Cau trite sap thir ty ec ccsescsscsescsscsesscsssesssscscesssessssssssesssstseesesen 11 I9) i0 0 11 Zến .A 11 Chương 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt 2 222cc cxevsrxee 14 2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt + 2 2s zE+E+EE£ESEEEevxrxerereeri 14 “| .ỒẦ 14 2.1.2 Nhóm Abel tự dO - 5-5 5c Ăn ưng 19 2.1.3 NhómAbel hữu hạn sinh .- (2 c2 33x eces 24 2.1.4 Nhóm câc đồng cđu nhóm 2 + + +EE£E+EE£xevxreerereeri 38 2.1.5 i82 ï 6o 1 41 2.2 Một số lớp vănh đặc biệt 52s rkerxrrererre 43 2.2.1 Miền nguyÍn - - + t1 3E SE 2E gc gưccrvg 43 2.2.2 Vănh aU§S .- ng ng 46 Ji 2 0 47 “SA 090i 1n 48
2.2.5 Vănh nguyín tô vă nửa nguyín tỐ . 2- se czceerscre 49 2.2.6 Vănh nguyín thủy vă nửa nguyín thủy . «-‹ 50 2.2.7 Vănh địa phương vă nửa địa phương . - -.-« «<< + 51 2.3 Một số lớp môđun đặc biệt 22-2 s SE cxeExck xe, 52
Trang 4
2.3.1 MơƠđun - . sọ ng ng 52
2.3.2 MOGUn ty dO oo ccccessessscccccceeeesssecceceeeessvscscseseesseeessesseseneesnscs 52 2.3.3 Môđun nội xạ vă môđun xạ ảnh - - =5 << 5c s2 56
Chương 3: Đại số hữu hạn chiều .- 2-2 xe eEE£eezsreceee 58 SN?) iẽi i :a chan 58
3.1.1 Dinh 0n 58
3.1.2 Vi dU 58 3.2 Xĩt một số K _ Đại SỐ 2G: 2s cv cv re rerxee 59 3.2.1 Dai $6 tenxO cccccccccesecsssscscssesesescscscececsecscscacscecseecaracsesesarecseaseceess 59 3.2.2 Dai 86 godin ccceccccsscsesscsssescevsesecsssesecsverssvsesesscsesecavsesecevsnsecaes 62 3.2.3 Đại số đối xứng Le TH HT 111011111 1g re 67
3.3 K_Dai s6 boty han chigu a eecsessssecsneeesssceseeeceseesneeesneeeseeesseeenseess 71
Trang 5Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Mớ đầu
1 Lý do chọn đề tăi
Đại số lă một chuyín ngănh chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toân học.Nó góp phần thúc đđy sự phât triển của toân học hiện đại.Tuy nhiín để đi sđu nghiín cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một câch sđu sắc về cấu trúc Đại số
Vì vậy em đê mạnh dạn chọn dĩ tai “ Cấu trúc dai số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vương
Thông, với mong muốn được tìm hiểu sđu hơn về bộ môn Đại số
2 Mục đích nghiín cứu
Đưa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt vă mỗi quan hệ giữa chúng, với câc kiến thức ở phô thông, từ đó góp phần lăm phong phú thím câc lớp cầu trúc đại số
3 Đối tượng, phạm vi nghiín cứu + Đối tượng nghiín cứu: - Câc nhóm
- Vănh - Môđun
+ Phạm vị nghiín cứu: Đọc câc tăi liệu có liín quan 4 Nhiệm vụ nghiín cứu
+ Tìm hiểu sđu hơn về câc nhóm, câc vănh, câc môdun 5 Phương phâp nghiín cứu
Phương phâp đọc sâch, tra cứu tải liệu, phđn tích, tổng hợp, đânh giâ
Trang 6
NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CĐU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ 1.1 Cđu trúc đại số 1.1.1 Phĩp toân đại số n ngôi vă tính chất a Định nghĩa Cho Xzø, ta gọi lă phĩp toân đại số (PTĐS) 2 ngôi xâc định trín X lă một ânh xạ f: XxX-> X
Thay cho cach viĩt f(x,y) ta viết xfy Thường ký hiệu: +,., *, O,
Ta mở rộng cho phĩp toân đại số m ngôi, đó lă ânh xạ f: X” ->X Thuong viĩt f(x1,x2,X3, Xm)-
Nếu X lă tập hữu hạn có n phan tử ta có thĩ tính được:
Số phĩp toân đại số 2 ngôi xâc định trín X lă: n"ˆ
Số phĩp tôn đại số 2 ngơi xâc định trín X lă: nh b Ví dụ 1 Đối tượng lă số: Trín :Xĩtcdcquytac x > (a,b) › a+b (lă PTĐS 2 ngôi) E>ab (lă PTĐS 2 ngôi)
> a-b (không lă PTĐS 2 ngôi) > a+b (không lă PTĐS 2 ngôi) -> a” (không lă PTĐS 2 ngôi)
b+» Max {a,b} (lă PTDS 2 ngôi) > Min {a,b} (lă PTDS 2 ngôi)
Trang 7Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Tóm lại trín có vô số PTĐS 2 ngôi
Tương tự trín câc tập số khâc , [v2] [M2] , , K:số siíu phức,
ta có nhiều phĩp toân đại số 2 ngôi
2 Đối tượng lă câc số nguyín đồng dư theo môđun n
„= {0,1, n—1}
Có 2 PTĐS 2 ngôi thường dùng: ¡+ j= j + j
Lj=Í.j
Cần chứng minh: itj> n thi i+ j= k,ke {0,1, n-1} ijen thi ij=k,ke {0,1, n-1} 3 Đối tượng lă đa thức
R[x]: f(x)+ g(x)
f(x).g(x)
Tổng quât A[x], với A lă vănh giao hoân, có đơn vị bất ki
Nhận xĩt: Câc ví dụ 2, 3 xuất phât từ câc PTĐS 2 ngôi trín câc đối tượng đê biết ta xđy dựng được câc PTĐS 2 ngôi trín câc đối tượng mới
4 Đối tượng lă tập hợp
Câc phĩp tôn: \2, ¬, \, ®
5 Đối tượng lă phĩp thế đặc biệt S: 6.Đối tượng lă ma trận Matp( ) 7.X lă tập khâc rỗng
Xĩt câc phĩp toân * sau mă mả thường gọi lă luật nuốt trâi (phải) a, be a*b= b (nuốt trâi)
Nếu |x|= 1 thì + giao hoân Nếu |x|> 1 thì * không giao hoân
Phĩp toân * có kết hợp
Trang 8
Phĩp toân * có đơn vị nếu lx| =1
Nếu |x|>1 thì * có nhiều đơn vị trâi mă không có đơn vị phải
8.Xuất phât từ tập X đê biết ta có thể xđy dựng được nhiều phĩp toân trín câc đối tượng mới
Ví dụ: -Từ phĩp cộng, nhđn câc số thực ta xđy dựng được câc phĩp toân
trĩn Mat,(X), X[x]
Tổng quât : Cho X lă vănh giao hoân, có đơn vị, ta xđy dựng được câc phĩp
cộng, nhđn trĩn Mat,(X), X[x]
- Từ câc phĩp toân trín câc mệnh đề : A,v.,—=,<> ta cũng xđy dựng đườc câc phĩp toân tương ứng trín câc đại số vị từ n ngôi cũng xâc định trín tập X bất kì
ø,j: X" ->M
Ta có (pAW)(x)=ø(z)Aw() ›: (p=V)(x)=ø(x)=>w(z) (ovự)(x)=ø(x)vw) › (p=v)(z)=ø(x)<v(>)
- Cho (X,+) lă nhóm giao hoân
Kí hiệu End(x) = { f: X—> X lă tự đồng cấu của X } Xâc định phĩp cộng trín End (x) như sau:
VxeX f,ge End(x), (f+g)(x) = Í(x)+g(x)
Vx, y EX ,f,ge End(x), (f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y)
=fŒ)+fy)+g(x)+g0)
= [fx)>g(Œ)]+ [f)+g0)]
= đ+g)(x)+d+g)0)
Suy ra (Í+g)ceEnd(x)
9.Thể Quarternion: (Còn gọi lă số siíu phức)
Số siíu phic,dim =2,din K =4
Trang 9Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân -Phĩp cộng : z =a+bi+cJ+dk 8=a +b i+c j+dk Suyra ø+/=(a+a”)+(b+b”)i+(c+cˆ”)j+(d+d”)k -Phĩp nhđn câc vectơ cơ sở cho dưới bảng sau: 1 fi dj 1 |1 |1 dj i fi [2a [k |5 j ij Jk Ja fi k {k lj li f-1 ,”#
Chú ý Để nhớ bảng nhđn cđn hoân vị vòng quanh vă phản hoân vị (trừ d¡,c¡)
cụ thể lă : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j
-Căn cứ văo bảng nhđn trín ta thực hiện đựơc phĩp nhđn giữa câc phần tử của K Gia sw œ7=a+bi+cj+dk B=a+bi+c j+dk Suyra a+f=(ata’)+(btb’)it(cte’)jt+(d+d’)k = aa’t+ab’it+ac’j+ad’k -bb’+ba’i-bd’j+be’k -cc’+cd’i+ca’j-cb’k -dd’-de’i+db’j+da’k = (aa’-bb’-cc’-dd’)+(ab’+ba’+ced’-de’)i+(ac’+ca’-bd’+db’)j +(ad’+be’-cb’+da’)k
-Mỗi phđn tử khâc không đều có nghịch đảo
Giả sử zeK* =a”+bf+c”+d”+0
Trang 10(a + bi) — (cj + dk) (a’ —b? + 2abi) —(—c* —d* + 2cdi) (a+ bi-—cj —dk) (a? —b? +c? +d’) +2(ab—-cd)i _(atbi-cj —dk) (a? —b? +c? +d”) -2(ab - cd)i| (a* —b? +c? +d’)? +4(ab-cd)’ eK Phĩp nhđn không giao hoân => (K,+,.) Khong lap thanh mt truong, ta gọi K lă một thí
-Nhđn vô hướng :rc ,rzra+(rb)i+(rc)J+(rd)keK
Ta có (K,+) cùng với nhđn vô hướng trín lập thănh - không gian vectơ Vậy (K,+,, nhđn vô hướngvới )lă - đại số khơng giao hôn Đại số năy có 4 chiều Tacó c cK 10 Lập câc bảng toân cho tập X có n phần tử - Lập bảng tôn 2 ngơi trín X có n phđn tử: bằng số câc ânh xạ f:XxX-›X: nh phĩp toân - Tổng quât: số bảng toân m ngôi trín X có m phần tử băng số câc ânh xạ f:X"_›X: nh phĩp toân c Tính chất
Ta viết phĩp toân theo lỗi nhđn
e Kếthợp: Vx, y,z eX: (xy)z=x(yZ) e Giaohoân: Vx,yeX: xy=yx
e Tôn tại trung hoă (đơnvị: ƠeX:Ø+x=x VxeX deeX:ex=x Vxex
Trang 11Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Ví dụ.trín xâc định phĩp toân *: a*b=a”+b”+ab phĩp toân * có tính chất giao hôn khơng có tính chất kết hợp
Tim don vi: gia su e lă đơn v1:
ec ĩ€ (1)
=> o>
e*a=a,Vae e+a+ea=a_ (2) Cach 1: Gan cho a mot số gia tri chang han a=0_—® ›e=0>e=0e
cho a=2—>0*2=0”+2”+2.0=4z+2— không có đơn vị Câch 2: Xem (2) như đa thức của biếnae :a”+(e—1).a+e?=0
1=0
© e=1 vô nghiệm
e?=0
Câch 3: Xem (2) lă phĩp toân bậc 2 với e, chọn a=2=> e* +2e+2=0 c6 A =1-2=-1— phương trình không có nghiệnmc —>(2) không đúng với a=2
1.1.2 Quan hệ n ngôi
a ĐN - Ta gọi lă quan hệ 2 ngôi xâc định trín XxY một bộ phận Rc X xŸ Nếu (x,y)e R ta viết xRy vă nói x có quan hệ R với y;
Xĩt theo quan hệ bao hăm thì ø lả hẹp nhất, Xx Y lă rộng nhất:
Kí hiệu : R,S,<.=.,=,~
-Nếu X=Y lă nói gọn R lă quan hệ 2 ngôi xâc định trín X
-Mở rộng ta gọi bộ phận Re X,x X;x xX, lă quan hệ n ngôi xâc định trín X,x X; x x X,
b VD
1 X lă tập người, Y=
xR¡n nếu n lă tuổi của x tính đến năm năo đó
xRạn nếu n > tuôi của x
XR3n nĩu n< tudi cua x
Trang 12
xR„n nếu x sinh năm n, có thí dẫn ra nhiều quan hệ R tương tự
2 X lă tập người Xĩt câc quan hệ R sau:
xRy nếu x lă bố đẻ của y
xRy nếu x lă bạn cùng tuôi với y xRy nếu x lă cùng giới với y
xRy nếu x lả cùng trình độ học vấn với y 3.Trĩn câc số tự nhiín xĩt câc quan hệ sau:
xRy nĩu x < y xRy nĩu x|y xRy nếu (x-y):4 xRy nếu x: y 4.X lă tập câc tam giâc AazcR A esc > Agape = Ange > Nag ® Agee S Nuc Ngee c.Tinh chat
Cho R lă quan hệ 2 ngôi xâc định trín X
1 Tinh chat phan xa : Ta noi R có tính chat phan xa nếu VxeX, xRx
2 Tính chất đối xứng: Vx,ye X, Nếu xRy thì yRx
3 Tính chất phản xứng: V x,ye X Gia sử xRy vă yRx suy ra X=y 4 Tính chất bắc cầu: Vx,y,ze X Gia sử xRy vă yRz suy ra xRz d Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt
> Quan hệ tương đương
-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đôi xứng, bac cau la quan hĩ tuong duong
Trang 13Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
x,ye X Nếu x~y theo quan hệ tương đương ~ thì ta xem x vă y lă như nhau, điều năy giúp rất nhiều trong hoạt động thực tiễn của con người -Tính chất : Lớp tương duong x={ y eX ly x}, x=y oxy Định lí 1 ¡ VxeX,xzó ii Vx,yeX, x¬y= hoặc x=y ii X=|Jz xeX Tập thương X/~={xlxe X }
Sự phđn hoạch: Chia X z ø ra thănh câc bộ phận khâc rỗng vă rời nhau
từng đôi, khi đó ta có sự phđn hoạch tập X Định lí 2
Có sự tương tng (1-1) gitta su phan hoạch trín X với câc quan hệ tương đương xâc định trín X
Từ kết quả năy cho phĩp ta tìm được câc quan hệ tương đương trín X Khi X có hữu hạn phần tử bằng câch tìm câc sự phđn hoạch khâc nhau có thí có trín X
Trang 14x,yeX, gọi lă so sânh được với nhau nếu x<y hoặc y<x
Tập sắp thứ tự bộ phận (X,<) gọi lă toăn phần nếu Vx,y e X đều so sânh được với nhau
- Có 4 loại phần tử trong tập sắp thứ tự bộ phận (X,<)
+Tối thiểu(TT):aeX gọi lă phần tử TT nếu VxeX giả sử x<a thì x = a +Bĩ nhất(BN): aeX gọi lă phần tử BN nếu Vxe X a< x
+T6i dai(TD): ae X gọi lă phần tử TÐ nếu VxeX giả sử a< x thì x = a +Lớn nhất(LN):aeX gọi lă phần tr LNnĩu VxeXx<a
Ta có : Nếu ae X lă phần tử BN thì a lă TT, ngược lại nói chung không đúng Nếu ae X lă phần tử LN thì a lă TÐ, ngược lại nói chung không đúng Nếu có nhiều TT thì không có BN
Nếu có nhiều TÐ thì không có LN - Inf(A) , Sup(A)
ChoA c X
x € X dugc goi la can dudi cua A nếu x< a với mọi ae A Phần tử lớn
nhất trong câc cận đưới của A gọi lă cận dưới đúng của A, Nếu có thì được kí
hiĩu la inf(A)
Tương tự có cận trín vă sup(A)
-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật - Hai tập sắp thứ tự đăng cấu:
+Cho hai tập sắp thứ tự @X,<¡) Œ,¿)
+Nếu tồn tại song ânh f:X—>X” sao cho Va,beX, a<; b thì f(a)<z›f(b) Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X, <¡) đẳng cấu với (X”, <¿)
Trang 15Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
1.2 Cấu trúc sắp thứ tự 1.2.1.Định nghĩa
Gọi lă cầu trúc đại số sắp thứ tự một bộ (X,©,<) trong đó X lă tập nền khâc rỗng, O@ lă tập câc phĩp toân đại số với số ngôi khâc nhau, < lă tập quan hệ thứ tự toăn phan trĩn X
Thoả mên một số điều kiện năo đó
Câc điều kiện năy gọi lă hệ tiín đề của cẫu trúc sắp thứ tự (X,O,<)
1.2.2 Ví dụ
Ví dụ 1: Nhom sap thir ty 14 (X,Q,<) trong do XƠÂ ,
O gồm một PTĐS 0 ngôi phĩp lấy phần tử trung hoă Ø
một PTĐS 1 ngôi phĩp lấy phần tử đối của mỗi phđn tử một PTĐS 2 ngôi: a+b Hệ tiín đề của nhóm sắp thứ tự: 1 PTĐS 2 ngôi + có tính chất kết hợp 2 PTĐS 2 ngôi + có tính chất giao hoân 3 VaeX ,O+a=a
4aeX ,Ja’e X: ata’=9
5Va,be X, giả sử a<b thì atc<b+%c
Chăng hạn : Nhóm sắp thứ tự( ,„+,<),( ,+,<),( ,+,<),( ,+,S) Ví dụ 2 Vănh sắp thứ tự lả(X,O,<) , trong đó Xzđ,
O gồm một PTĐS 0 ngôi lấy phần tử 2
Trang 163 Vaex, O+a=a 4 Mỗi ac X,3a°e X: ata'=Ø 5 PTĐS hai ngôi “.” có tính chất kết hợp 6ó Nhđn có tính chất phđn phối đối với cộng : a(b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca
7 Quan hệ thứ tự toăn phần tương thích đối với hai phĩp toân, nghĩa lă:
Trang 17Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân 7.VaeX:ea=a
8 Mỗi ae X”,3aeX: a a=e
9 phĩp nhđn phđn phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac 10 < tương thích đôi với 2 phĩp toân , nghĩa lă
Va,beX, giả sử a < b thì a+c < b+c Vce X
ac< be Vcex, ac>b.c Vcex
Chang hạn có câc trường sắp thứ tự: ( ,+,„ <),( y+, <) Còn
(_ ,+,.,<) không trở thănh trường sắp thứ tự theo nghĩa :
Giả sử trín xâc định được quan hệ < cũng tương thích đối với hai phĩp
toân Khi đótacó Vxe Šx>0vìxc “nếux>0
= x’> 0, Nĩux<0 > -x>0 = (-x)(-x) = x’>0
Tacó Cc ,Tamuốnquanhệ <trín khithuhepvĩ vẫn giữ nguyĩn Khi đó gặp mđu thuẫn sau :x=ie “nhưng = -1 <0 (mđu thuẫn)
Trang 18CHƯƠNG 2: MỘT SỐ LỚP CTĐS ĐẶC BIỆT 2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt
2.1.1 Nhóm tự do
a ĐN Cho SŠ lă tập tùy ý, ta gọi lă nhóm tự do xâc định trín tap S la cap (F,f) trong đó F lă một nhóm, f: SF la anh xạ, sao cho với V cặp (x,g), trong đó ø: S->X, X lă nhóm thì3! đồng cấu h: F-›X sao cho hf=g, tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoân :
S —f
Có thể xuất phât từ câc trường hợp : - Dĩng cau cảm sinh
- Vanh da thirc A[x]
Để người ta khâi quât hóa ngoăi lý do dưới đđy giải thích cho thuật ngữ “Tự đo” b Tính chất Định lí 1 Nếu (F,Ð lă nhóm tự do xâc định trín tập S thì ânh xạ f lă đơn ânh vă f(S) sinh ra nhóm F Chứng mình e flă đơn ânh:
Va,be S,a¥ b: Chọn X lă nhóm có nhiều hơn một phần tử Chon g: S—X sao cho g(a)# g(b)
Theo định nghĩa nhóm tự do thi 3! dĩng cau h: F+X sao cho hf=g =h[f(a)]= (h)(@)= g(a)# g(b)= (hf)(b)= h[f(b)]
> f(a)# f(b) vi h la anh xa
Trang 19Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
phĩp nhúng g: ŠS->A ,lạ: A->F
a E>Í(a)
ro rang iag=f, ânh xạ f vă g cùng tập xâc định, nhưng khâc nhau TT
Theo định nghĩa 3!h: F —>A sao cho hf=g, cần chứng minh ¡ah lă toăn ânh Xĩt sơ đồ: S ——_Ỉ ‘\ 7 với k=lhh (chọn k=iah) F § —F—~*F \ 3!h“ !k=iah “í in ! v F Ta có la cũng thỏa mên lgÍ=f lg=k do (f, F) lă tự do > 3! đồng cầu từ
k cting thoa man kf=(i,h)f=i,g=f » => F' la toan anh
k=i,h 14 toăn ânh do 1a lă toăn ânh —1a lă toăn ânh—> A=FFÐ =F=<f(S)>, tức
lă £(S) lă tập sinh của nhóm E
Định lí 2 (Tồn tai duy nhđt nhóm tự do xâc định trín tập S) Gia su (F,f) va (F’,f) la nhom ty do cung xac định trín tap S Khi do 4 dang cau j: FF’ sao cho jf
Trang 20Ching minh Do (£,F) lă nhóm tự do xâc định trín S nín 3! đồng cđu nhóm i: F—>E” sao cho jÍ=F, tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoân
S —f—_> F
Do (f’,F’) 1a nhom ty do xac dinh trĩn S nĩnJ! dĩng c4u nhĩm k: F’ >F sao cho kf =£, tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoân S—t— F' Nă alk FP Xĩt sơ đồ sau: ve \ / ự ys 4 # / , FY + l l I ik f A 'kj từ F
Coi (f,F) trong sơ đồ trín như cặp (ø,X) trong định nghĩa
Theo trĩn kjf= k(jf)= kf’=f1pg, Do (f,F) 14 nhom ty do => J! đồng cấu từ FF để tam giâc ngoăi cùng giao hoân =kj=1z =j lă toăn cấu
Trang 21Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân Coơi (f,F') trong sơ đồ trín như cặp(g,X) trong định nghĩa
Theo trín jkf=j(kf)=jf=f=lz:F, do (f,F?) lă nhóm tự do— 3! đồng cấu từ F?—>F để tam giâc ngoăi cùng giao hoân =>jk=1y: —j lă toăn cấu
Vậy j lă đăng cđu — k=j cũng lả đẳng cấu Định lí 3 (Tồn tai nhóm tự do ) Với mọi tập S luôn tôn tại nhóm tự do trín S Chung minh e Xac dinh nhom F - _ Xâc định tập E: Kí hiệu T=Sx {1,-1} Thay cho cach viĩt (a,1) bang a’, (a,-1) bang a, ae S Đưa văo khâi niệm “ chữ” Chữ w lă một tích hình thức hữu hạn những phđn tử của T, tức lă dang: ¡145? đ,*, a €S Vi=Lk , có thể trùng nhau, ¢, e{1,—1}.Vi=l,k
Chữ w được gọi lă rút gọn nếu trong biểu diễn của w không xảy ra trường hợp
a’ đứng cạnh a’, VaeS
Đưa vảo kí hiệu e thay cho chữ rỗng tức lă chữ không có phan tr nao cta S Kí hiệu F lả tập gồm câc chữ rút gọn vă phần tử e
F={w, e}
- _ Xâc định phĩp toân đại số 2 ngôi x trĩn F:
Vx,veF Nếu x=e thìuv=ev=v
Nếu v=e thì uv=ue=u
Nếu x#e, vze thì uv lă viết kế tiếp tích hình thức như trín, trong uv ta xóa đi câc tích dạng a'a†, a†a! níu có mặt — uv lă chữ rút gon, xoa hĩt thi coi uv=e
- Dĩ dang kiĩm tra duoc F cing vĩi phĩp toan trĩn 14p thănh một nhóm
Trang 22
e Xâc định ânh xạ f: S—> F a->a! e CM(F,Ð lă nhóm tự do Giả sử (X,g), X lă nhóm bất kì, f: S—> F lă ânh xạ bất kỳ - _ Xâc định quy tắc h: F—>X
e L>h(e) lă phần tử đơn vị của X: h(e)=1x
w=4,`4,° 4," E>[g(ai)] & [g(a2)] oo [g(an)] fn ể, e{1,-1}, Vi =Ln
- _ Ta có quy tắc h lă một đồng cấu nhóm
- _ Vae#, (hf(a)=h[f(a)]=h(a!)=g(a)'=g(a) =hf=g tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoan
A? „h
x’
- 3! đồng cđu h: F—>X sao cho hf=g Giả sử 1 đồng cẫu k: F—>X sao cho kf=g Khi đó VweF' w=a¡1a4°°? a”
k(w) = [k(ai)]' [k(a¿)]'2 [k(an)]” = [k(a’s)] [k(a’2)]? [k@’a)]
= [f(a)]]”* [k[f(az)]]“? [k[fan)]]”” = [&f(a)]'^ [ŒkÐ(a2)] 2 [&kÐ(a,)]” = [g(ai)]'ˆ [g(az)]”2 [g(an)]”~ =h(w)
>k=h Nhận xĩt:
Trang 23Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
2.1.2 Nhóm Aben tự do
a ĐN Cho 5 lă một tập hợp Ta gọi nhóm Aben tự do trín tập S, một nhóm Aben F cùng với một ânh xạ f: Š—>F sao cho với mọi ânh xạ g: S—>X, X lă nhóm Aben thì 3! đồng cấu h: F—>X sao cho hf=g, tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoân S_f ,F \ r ath x x b Tinh chat Dinh li 1 Gia str (F,f) la nhom Aben tự do xâc định trín S thi fla don anh va F=<f(s)>
Chứng minh Tương tự trong phần nhóm tự do c Tôn tại nhóm Aben tự do xâc định trín tập S
Định H2 (Tồn tai duy nhđt) Giả sử (F,Ð vă (F”,Ÿ) lă hai nhóm Aben tự do xâc định trín S Khi đó 3! đồng cấu j: F —> E? sao cho jP=f
3! đồng cấu k: F°—> F sao cho kf=f Chứng minh Tương tự phần nhóm tự do Định lí 3 (Tồn tai nhóm tự do Aben)
Câch 1 Đưa văo khâi niệm: hoân tử của 2 phần tử:
Cho a,be X lă nhóm, gọi phđn tử aba ”b” lă hoân tử của 2 phần tử a, b
Kí hiệu T'(x) =({aba"'b',a,b eX }) lă nhóm con của X được sinh bởi tập câc
hoân tử của X, gọi lă nhóm con hoân vị của nhóm X Ta cũng có nhóm thương Xf (x) lă nhóm Aben
Trang 24
e Xâc định nhóm Aben F - Cho S lă tập bất kỳ, giả sử G lă (G.j) lă nhóm tự do xâc định trín S Khi đó ô1 nhóm Aben Te G) =F; D: G—> F lă phĩp chiếu chính tắc e Chon anh xa f= Pj: S— F e CM (F,f) la Aben ty do Giâ sử g: S—> X lă ânh xạ từ S đến nhóm Aben bất kỳ X Vì G lă nhóm tự do trín S nín 3 đồng cấu k: G—> X sao cho kj= g Eì >G = S 0 a Kgy= F Nă xế» X Vì X lă nhóm Aben — K chuyển nhóm con hoân tử T(G) văo trung hòa 0,=X Vì VxeI(G)—>x=aj*4? 4”,a¡,n e Vi=l.m
=> K(x) = K(a"a” a™) =[K(a,)I"[K(a,)]” [K(a,,)]™ , a 1a hoân tử
= a, =aba'b',a,beG= k(a,) =k(a)k(b)k(a)k(b") =k(a)k(a" )k(b)k(b") =0y =>k(a,)"0, Vi=1,m => k(a)=0,
Khi đó k sinh ra đồng cấu k”=h: F—› X sao cho hp=k
( Tông quât: Cho đồng cấu f: X -› Y, AAX = 3 nhóm thương Xf, nĩu
Ac Kerf thi f sinh ra dĩng cau f': X/, > Y
XA b> f(x) quy tắc f` xâc định khắp nơi
Trang 25Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân có ngay f” lă đồng cầu có ngay fp=f vì VxeX, (p)(x)= Ể [p&)]= f (KA)=f(x)) Ta cũng có hf =hpJ=kJ=g Ta còn chứng minh h lă duy nhất: giả sử h”: F—> X sao cho h”£g CM: k=k'
Khi đó đồng cấu k°=h”p: G_› X cũng thỏa mên kˆj=h'pj=h =g Do tích duy nhất của đông cđu tir G->X (kj=g=k’j >k’=k) Khi đó Vze#ˆ >ø =xr(Œ) = p(x),xcŒ CM : h=h’ Khi đó h(z }=h[p(x)]F(hp)(x)=k(x)=k'(x)=(h'p)(x)=h'[p(x)] =h(xI'XG)=h'(z) >h=h' eXđy dựng nhóm Aben F: - Xay dung tap F Câch 2 Cho(_ ,+) lă nhóm cộng câc số nguyín Kí hiệu F={ø: S—> sao cho ø(s)=0 hầu hết Vs Š } - Xâc định phĩp toân cộng trong F Vợ, c€F,seö5,(ø+W)(s) = Ø(s) + W(s)
Trang 26lkhit = s Ms) = loạn, “8
e CM (F,f) 1a nhom Aben ty do Tôn tại đồng cấu h
- _ Giả sử g: S—> X lă ânh xạ tùy ý từ S đến nhóm Aben X Xâc định ânh xạ h: F X p> h(g)= > 9(s)g(s),g(s) lă số nguyín vă bằng 0 ses hau hĩt — 3) 9(s)g(s) seS Ta có h lă đông cầu nhóm: Vợø,/eF, h(+w)=> (o+W)(s)g()= (0G) +())g(s) ses ses =5_.0(s)8(s)+(s)g()=3_ø()8(s)+ _ự()8(s) = h(@) + h/) seS seS seS Vey <F, (hf)(s)=h[f(s)l= >) f(s)()g@ =1.8@) = g(s) teS —> hƒ =§ - đồng cđu h: gia su h’: F +X sao cho h’f=g Gia st pEF > 9=> G(s) f(s) ses
Vi VOM FNO=LleOFMO= Yeo Oe! ses seS ses
ø(s) lă sô nguyín, f{s) lă ânh xạ từ $S—> được xâc định ở trín
H’ la dong cầu = h'ø) =h'(Ò ;ø(s)ƒ()) = 3 ,ø(s)h'Iƒ(9]
=> ø@)(Œ'ƒX$)=3_ø()g(3) = h(Ø)
Trang 27Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân Nhận xĩt: Vì f: S—> F lă đơn ânh — đồng nhất S với f{s) vă F=<S> vă vơi mọi ânh xạ g: S —> X đều mở rộng duy nhất thănh đồng cấu h: F—> X
Do đó nói gọn F lă nhóm Aben tự do xâc định trín §
Tập S được gọi lă cơ sở của nhóm Aben tự do § Gọi |S| lă hạng của nhóm Es Kí hiệu lă r(Fs) (range)
Trang 28
2.1.3 Nhóm Aben hữu hạn sinh e« Tích trực tiếp:
- Cho 2 nhóm A,B Trín tập tích Đề câc P=AxB xâc định phĩp toân
sau:
(a,b).(c,d)=(ac,bd)
Khi đó P lă nhóm gọi lă tích trực tiếp của A vă B
- Có2 đơn cấu iA: A > AxB ,Íg B —> AxB
ab> (a, Cp) b (ca,b)
gọi lă phĩp nhúng tự nhiín
Có 2 toăn cđu PA: Axð>A ,Ps AXBOB
(ab) ba (a,b) yb
Gọi lă câc toăn cầu (phĩp chiếu ) tự nhiín
Do iạ, is lă câc phĩp nhúng nín đồng nhất A với i(A), b với i(B) do đó coi
A, B lă câc nhóm con chuẩn tắc của P (A= KerPg, B= KerPa)
Phan tich: Cho A,BAX , Nĩu X= AB vă A í\ B={e} thì ta nói X phđn tích
được thănh tích trực tiếp của 2 nhóm con A, B
Định lí 1 Nếu X phđn tích được thănh tích trực tiếp của 2 nhóm con chuẩn tặc A, B thì vơi moi phần tử của A giao hoân được vơi moi phần tử của B vă vơi moi phđn tử của X biểu diễn duy nhất dưới dạng ab, ae A, beB
Chứng minh -VaceA, VbeB Xĩt hoân tử c=aba 'b'=(aba”)b” e B vì BA xX
=a(ba”b”) eAviA AX
>ceAf\B={e}>c=e> aba'b' => ab = ba - VxeX, gia su x=ab-uv, aueA, b,veB
nhđn trai vĩi a", phải với v'= au=bv' e A nB={e} = au=e —b= v Ví dụ: Cho X=<a>s, chon A=<a’>3, B=<a’>>
Trang 29Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Định lí 2 Giả sử X phđn tích được thảnh tích trực tiếp của 2 nhóm con A,B P=A xB lă tích trực tiếp của 2 nhóm A,B Khi đóX P
Chung minh
Xĩt ânh xạ f: P=AxB -›X (a,b) E>ab
That vay V (a;,b1),(a2,b2) € P,
f((a1,b1),(a2,b2))= f((aiaz , bib2))= ajagb;b2
Do X lă phđn tích thănh tích trực tiếp của A,B = f lă toăn ânh, f lă đơn ânh (giả sử (a,b) c Kerf >f(a,b)=ab=e=ee => (a,b)= (e,e)
Từ đó ta đồng nhất nhóm X với tích trực tiếp AxB Vì thế nín gọi lă sự phđn tích trín lă phđn tích thănh tích trực tiếp
eCho A,B lă hai nhóm tùy ý, theo trín ta cóiA(A)=Ax{eg},
ip(B)={eq} xB, ia, ís lă câc đơn cầu nín đồng nhất A=ia(A), B=ip(B)
Ta có P phđn tích được thănh tích trực tiếp của 2 nhóm con chính tâc ia(A) vă ip(B) Với sự đồng nhất trín ta cũng nói P phđn tích được thănh tích trực tiếp
của 2 nhóm con A,B; p=AB
Ta có thí mở rộng khâi niím nảy cho một họ bắt kỳ câc nhóm
Thật vậy: Cho họ câc nhóm {X;}; € I
Kí hiệu P= IT X; lă tích Đề câc của chúng: P= X, x X¿ x X,
Xâc định phĩp toân : ( x, ),- ier —=(X,y;);.; phĩp nhần theo từng thănh phần, khi đó P lă một nhóm
Ki higu W={(x;),_, € Pl x, =e,, hau hĩt}, tacĩ WAP W goi la tich truc
tiếp yếu của họ {Xi}; € I Nếu I lă tập hữu hạn thì W=P
e Tổng trực tiếp yếu lă tông trực tiếp của câc nhóm, thường kí hiệu lă :
Trang 30
X,đX,âđ đX,=(đX, i=] MôIi1 € I taco cac anh xa sau: ly +X; >P xE>(%)„„ iel, % =X, neuk=1,k# 1 thi xu=ei ty: P>X, (X;)ie7 2%;
Lă câc đơn cấu, toăn cấu, gọi lă phĩp nhúng, chiếu thứ ¡
Định lí 3 Cho họ câc nhóm X; cho cấp vô hạn {X;};e¡
Trang 31Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân
Bồ đề 1 Nhóm (_ ,+) lă không phđn tích được
CM: giả sử ngược lạ > =A@B, AfB={0}, A #{0}, Bz {0} => dacA,az0bcBbz0
Xĩt abcA vì ab= a+a+ +a
b
abce AfìB— ab=0—hoặc a=0 abcB vì ab= b+b+ +b hoặc b= 0 — mđu thuẫn
"—— -Nhóm Xyclic cấp hữu hạn
Bồ đề 2 P lă số nguyín tố,me 7, khi đó nhóm Xyclic ( „›+) lă không phđn tích được
Chứng minh giả sử ngược lại
Trang 32Via,Be ”— hoặc œz< 8 hoặc B<a
Nếu œz</Ø — p?=p®*p“ e< p“> >BcA
=> Af)B=B+{0}=> mđu thuẫn Bo dĩ 3 Nĩu n= pq, (p, q)= 1 thi 1 p® : Định lí 4 Giả sử n= Ø;*722 2,* lă sự phđn tích tiíu chuđn của n 1 1 #2 k p Khđó „ „ CĐ „m2 € @ m Pi Px k Chung minh quy nap theo k - K=1: mĩnh dĩ ding - _ Giả sử mệnh đề đúng với k-1 Đặt p= 7¡'72” D¿1` ,dq=P¿* = (p)=l Theo gia tri quy nap > P Pi m @ pm @® @® me —1 PR-i Theo BD3 => np @® q pr „ € pm? @ Đ gạ (đpcm)
Nhóm Xyclic cấp p” gọi lă nhóm Xyclic nguyín sơ, p lă số nguyín tó Từ câc định lý trín ta đi đến kết luận:
1, Một nhóm Xyclic không tầm thường lă không phđn tích được ©> nó vơ hạn hoặc nguyín sơ (tức lă có cấp p",me_ *, p lă số nguyín tô)
2, V nhóm Xyclic cấp hữu hạn lă phđn tích được thănh tổng trực tiếp của câc nhóm Xyclic nguyín sơ
e Nhóm Aben hữu hạn sinh
Trang 33Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân Bồ đề 4 V nhóm Aben với n phần tử sinh đều đăng cấu với một nhóm thương của một nhóm Aben tự do hạng n Chung minh Gia su X=<S={X),X, ,X,}> va la Aben Giả sử (F,Ð lă nhóm Aben tự do sinh bởi A >r(F)=n Lẫy g: S —› X lă đơn ânh chính tắc, tức lă phĩp nhúng chính tắc X¡ L> xị Vi=l,n —= 1! đông cấu h: F —> X sao cho hf=g, tức lă sơ đồ tam giâc sau giao hoân — >5F g ⁄ Din Ta cần chứng minh h lă một toăn ânh Thật vậy ta có f(s)c F » Mat khac S=g(s) (do g la phĩp nhtng) =(hf)(s)=h[f(s)] S=h[f(s)] ¢ h(F) » X=<s> Xc h(P) Tat nhiĩn h(F) c X » h(F)=X
=> h lă một toăn ânh > X EY eth (theo DL co ban vĩ dĩng cau nhóm) Bồ đề 4 Vơi moi G lă nhóm con của nhóm Aben tự do F hạng n đều lă nhóm Aben ty do hang r(G) < n
Hơn nữa trong F có co s6 @ = {u,,Uy, ,U, }
Trang 34Chung minh Quy nap theo n:
- n=0 thi F={0} >G={0} r(F)=I(G)=1, chonte * batky tức lă
mệnh đề đúng
- _ Giả sử mệnh đề đúng với n-1:
+ B¡ xđy dựng 2 hệ phần tử zeƑ' vă đ@eŒG
e Vir(F)=n => gid su ý={X,,X,, X„} lă cơ sở năo đó củaF,G €
=> VgeG, g có sự biểu diễn duy nhất dưới đạng:
G=k)x;+ +k.x, » ke Vi=ln
Mỗi cơ sở ý chọn số A(E), mỗi geG cho bĩ phan {k;,k2, k,} c , do do khi đê cô định cơ sở ý thì trong câc tổ hợp tuyến tính của câc phần tử của G cho một bộ phđn khâc đ câc số tự nhiín khâc 0 vì geG thi -g eG —>3 câc số tự nhiín khâc 0 —= có số bĩ nhất, giả sử lă A(ĩ) Lại giả sử 3 cơ sở ĩ để
Đ(£) nhỏ nhất trong câc số đê chọn ở trín
Chọn vị
Đặt tị= A(E) —3v,eG sao cho vj=t)x)+k, xot +k, x, (chon phan tử tương ứng với số nguyín t¡ lă x; cho tiện, vì nếu cđn chỉ số hóa lại câc phần tử của
co sd €)
Ta chia kị cho tị , gia SỬ kị =tq:+T¡, O<r<tVi= 2n Chon uj
Đặt u;=xị+qazXz†+ +qnạXạ thì ={U),X2, ,X,} la cơ sở của F (giỗng như trong
không gian tuyến tính)
Trang 35Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân n n =t(Xị+ 3 4x) + Ă nă, =t,X,+HX,+ +7,%,) i=2 i=2
Voi O<7, <t,,Vi=2,n Do cach chon t, 6 trĩn > r=0 Vi=2,n> Vv, =ty, e Giast HC F duoc sinh bĩi n-1 phan tit {x, ,x,} => H lă nhóm Aben tu do hang n-1 Xĩt nhĩ6m con K=H{)G K CH, theo gia thiĩt quy nap K 14 nhom Aben ty do va cĩ hang r(K)=m-1 <r(H)=n-1 > m<n Theo gia thiĩt quy nap c6 co sĩ {Uy, ,Un} cla H (đến u„ vì của H lă n-1) có
CƠ SỞ ÍV¿, ,Vmụ} của K sao cho v¡=tu¡,t€ ”, Vị= 2m Vă ti¿1:/,„ Vĩ = 2,m7— Ì
Ta cần chứng minh tạ : tị, chia tạ cho tị: tạ=tigi+rị, Sn <f; Đặt w¡=u¡-q;uạ —> {Wi,M; H,„ cũng lă cơ sở của F Ta có v;-vị EG V¿-V¡= tạu¿-t¡u¡= fzu;+t¡(W¡+g¡u2)=(-t¡)W¡+(f2-f¡gi)02 = ( t)W¡†r¡U; Do câch chon th > 7, =0—:;:í, +B2: CM a, lă cơ sở của F,G, chứng minh G lă tông trực tiếp của hai nhóm con của nó Dat J=<vy>00, Vi=tyUy, Uy cấp œ =v, cũng cấp vô hạn (u lă phan tử cơ sở của F),tacầnCM G=J ® K,vịieG> J Cũ
Vì r={ui,Xa, ,Xn} lă cơ SỞ của F
{Xs, ,Xa} lă cơ sở của H » Jn H={0}
{vi=tu¡} lă cơ sở cua J » JIAK ={0}
Ta có J 1K c J0 (H1 G) co JVNGNHAHc INA
VWVg cG, vì ]J lă một cở sở của F — g =cj, + c„w; + +c„M,„c,6 ,Vi=l1,n non?
Chia c; cho t; ta duge c;=tiqtr voi O<r <t,
Trang 36
Xĩt phần tử k=g=qV=c¡Xị+c¿Xz+ TCnXn-gf1Un =(c¡-gt)u1+caXz†+ +CnXn =TU1+C¿X¿?+ TCnXn Do cach chon th >r=O>k=c,x,+ +¢,x, €H Ta cũng có k=g=qvịe G » keH[ì\G=K Từ đó ta có g=qvị+k c.J + K Do đó G= /@K Ta cũng có r(G)=m<n
Ta có {ua, ,ua} lă cơ sở của H
{vi} lă cơ sở của J *Âz={u,,u,, ,u,} lă cơ sở của F
Theo chtng minh trĩn G=J ®K >VgeG,AlxeJ vă yeK sao cho g=x+y
VỚI X=dIVị, dđ,c ,y=d;v; + +đ,v.„ Vì {Va; ,Vm} lă cơ sở của K 3!d,e Vi=2,m
=> g=dy,+d,v,+ +d,v,, => 8 ={Vv,,V;, V„} lă cơ sở của G
Bo dĩ 5 Voi moi nhóm Aben voi n phđn tử sinh đều đẳng cấu với tổng trực
tiếp của n nhóm Xyclic cập tị,tạ, ,fạ sao cho Í<ứ, <f, < <f, <Sf_ Vă f, :Ĩ,
nếu t,.¡ lă hữu hạn
Chung minh Chả sử X=<{X\.X¿, ,Xa}> lă nhóm Aben > VX 1 VỚI F lă BD4
nhóm Aben tự do hạng n, GARF => G cũng la Aben ty do va r(G)=m< n
Ngoăi ra có một cơ sở {u,}_, CF Vă CƠ SỞ {w,},cœG sao cho v¡=f(U;
Vị =1,m.t, :f,Vi= 2,m ¿+1 "”¡ — Ì
- _ Xđy dựng n nhóm Xyclic như sau : Vi =lLn
Với 1<¡<m thì kí hiệu C= <ế >, | â lă phđn tử năo đó
n>¡>m thì kí hiệu C=<ế, >„ | (nhóm Xyclic cấp tị có thể lă( ,,+)) (nhóm Xyclic cấp œ có thể lă( ,+))
Trang 37Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân - _ ta chứng minh 1 $œ: + ta đê biết peO> 9: {1,2 n} C=C, UG V UC, E>ø eCŒ,Vi =l,n + Xâc định ânh xạ h: F —œ
Với xeFS x= kixi+kaxzt +k„x„ lă biểu diễn duy nhất của x,k;e Vi=Lø
cho ứng với h(x)e® mă h(x) :{1,2, ,n} —>c
i>kế Vi=ln
h(x)()=k¡ĩ e
+ta có h lă một toăn cấu vì :
Vx,y€F — giả sử y=kịu + k„u,+ +k)w„ với ke Vi=l,n vă
K+Y= Dk, +k,
=((x+ y))0) =(Œ, + k,)ĩ, = kế, + kế, = (ADO + AND
= (h(x)+h(y))@) => h(x+ y)= h()+ h(y)
H lă toăn ânh vì Vb C = 3i =1,n để b eC, >b = kế,,3i — 1,nk, c => chon a=k;x;=0u;+0u,+0u;,,+ +0u, « F Va (h(a))(i)=k; € =h(a)(j)=0 Vi #i > h(a) =k,E =b + Kerh={xe F |h(x)=6 }=G VgeG>ge= SY n¥on, € ,v,=tu,>g= S(t, = S (ng, + x Ku, ¡=1 = ¡=1 i=m+1 k=1 — Vi {1,2, n},(h()))=(n,t,)ĩ = ø vì ord ¿ =/,(<m thì kị=0) —>ŒC- Kcth Ngược lại: Vy e Kerh , giả sử y=Ÿ"k„,, ke Vi=l,n i=l (hy) @M=k,g, =o > kt Vi=1,n
Nếu i>m thì ord ế =œ=r, —>k¿ =0
Trang 38Dinh li 5 (phan tich): Voi moi nhóm Aben hữu hạn sinh đều phđn tích được thănh tong truc tiĩp của một số hữu hạn nhóm Xyclic không phđn tích được Sự phđn tích ấy sai khâc một đẳng cấu
Nhóm Xyclic không phđn tích được hoặc lă Xyclic cấp vô hạn hoặc lă nhóm Xyclic có cấp lă lũy thừa của số nguyín tố p
(tức lă thănh phần p- nguyín sơ) Chứng minh
+Tồn tai sự phđn tích
-_ Giả sử X lă nhóm Aben có n phần tử sinh
theo BĐS thì 3m< n sao cho
xX OC, voi Ci=< 6, >, nếu 1<¡<m Cị=< >, nếu m<i<n Theo DL4 thi voi 1<i<m my Gia t= p™ pm .p te k Ta có C¡ „ €CĐ €Ð iy ¬= Mix 7 me tj k mn Do đó X &_ ¬——> ca ¡=( ,+) x;—=1.& P,.? i=m-+1 , ‘ i=1,m J
Trong thực hănh ta sắp xếp câc hạng tử như sau:
Xuất phât từ thănh phần nguyín sơ với sô mũ lớn nhất của số nguyín tô nhở nhất p, sau đó thănh phần nguyín sơ với số mũ lớn nhất còn lại của chính p (
nếu có vì câc nhóm con Xyclic C;,C; có cấp ti, t; co thể có chung nhđn tử
nguyín tô p với câc số mũ khâc nhau Vd: yy »® , vi20=275
Trang 39Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toân ) sau đó xĩt số nguyín tố bĩ nhất còn lại, tiếp tục như vậy cho hết câc thănh phần nguyín sơ lăm như thế lă liệt kí hết câc thănh phần của câc nhóm Xyclic cấp hữu hạn, cuối cùng lă liệt kí câc hạng tử Xyclic cấp vô hạn
Ta gọi sự phđn tích đó lă sự phđn tích tiíu chuẩn của nhóm Aben X e_ 1! sự phđn tích (sai khâc đăng cấu)
Ta đựa văo khâi niệm nhóm con xoắn: (tuần hoản)
Cho X lă nhóm Aben, Kí hiệu z(X)=X lă hai nhóm Aben hữu hạn sinh với câc sự phđn tích tiíu chuẩn
X= K,OX2 9X, Y=Y;9Y;@ ©Ym X Ythin=mvaX; Yj; Vi=Ln
Thật vậy giả sửh: x ——>Y' lă đăng cấu Vxer(X)=ord(x) =l —>x =ơ, => h(x) = oy => ord h(x)<+eo —> h(z(X)) e r(Y), như thế h sinh ra đăng cấu z(X)_ rŒ) =>h cảm ứng ra đồng cầu ñ`: VĂ r(X) > WA zữ) Có thí xĩt sơ đồ sau: X —k——>YV P| |P p.p’: toăn cầu chính tac xy 2œ)
Do h(z(X)C z(Y)) nín quy tắc xt z(X) ứng với h(x)+ z(Y) lă ânh xạ
Do đó số câc thănh phần Xyclic vô hạn lă như nhau
(z(Œ,) =(01= 4y) Lay xX, Y)
Trang 40
Nín ta chỉ còn xĩt câc thănh phần Xyclic cấp hữu hạn, tức lă r(X,) = X,
Ta lại đưa văo khâi niệm thănh phần p- nguyín sơ C,(X) Cho X lă nhóm Aben Kí hiĩu C,(X)={xe X lord(x)=p',G= }} X với p lă số nguyín tô nảo đó, gọi lă thănh phan p — nguyín sơ của X, p lă số nguyín tố bat ky
Do h la dang cầu nín VxeX thi ord(x)= ord (h(x)) > C,(X) =C,(Y) nín ta chỉ xĩt câc thănh phần p-nguyín sơ
tức lă CŒ) =X¡® X;® @® Xu C,(Y)= Y18 Y2® 8 Yn
nếu Cu) C,(Y) thin=m va X; Y; Vi=Ln
Ta co cp cla nhĩm xyclic Xlap*, ™ 2 Oy 2 2G, 21
r A ? r * ` › > > soem 7
Ta co cap cua nhóm xyclic Y; lă p?i 838 m
Ta cđn chứng minh m=n vă ø,=/,, Vi=l,n
Giả sử AC] C;(X) gồm câc phần tử có cấp p>A có cấp p" vì lă bội của câc p
cđp của câc phđn tử của A, sô mũ n vì có thănh phđn Xạ lă nhóm xyclic cap n p Tuong tu BO C,(Y) gồm câc phần tử có cấp p, B có cap p™, h thuc hiện tương ứng (1-1) câc phần tử cùng cấp— IA|=|B|—= p"=p”>n=m Ta chứng minh ø,=/, Vi =1,n Gia sử ngược lại 1k, l<k<» mă ø, # Ø, văz,=/Ø, Vi<k GIả sử ø,< /,
Đưa vảo khâi niệm phần tử xe X chia hết cho số n eZ* Nếu xe nX nghĩa lă 3yeX sao cho x=ny