Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn thầy khoa Tốn giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu dƣới mái trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vƣơng Thơng tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua Cuối em xin cảm ơn thầy cô tổ Đại Số bạn tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Ngƣời thực Nguyễn Thị Xen Nguyễn Thị Xen LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết em trình học tập nghiên cứu vừa qua, dƣới hƣớng dẫn thầy Vƣơng Thông Em xin cam đoan luận văn đề tài “ Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” không trùng với luận văn khác Hà Nội, tháng năm 2010 Ngƣời thực Nguyễn Thị Xen Mục lục Mở đầu Nội dung Chƣơng 1: Cấu trúc đại số thứ tự 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép tốn đại số n ngơi tính chất 1.1.2 Quan hệ n .7 1.2 Cấu trúc thứ tự 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Ví dụ 11 Chƣơng 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt 14 2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt .14 2.1.1 Nhóm tự 14 2.1.2 Nhóm Abel tự 19 2.1.3 NhómAbel hữu hạn sinh .24 2.1.4 Nhóm đồng cấu nhóm 38 2.1.5 Nhóm giải đƣợc 41 2.2 Một số lớp vành đặc biệt 43 2.2.1 Miền nguyên 43 2.2.2 Vành Gauss 46 2.2.3 Vành 47 2.2.4 Vành Ơclit 48 2.2.5 Vành nguyên tố nửa nguyên tố .49 2.2.6 Vành nguyên thủy nửa nguyên thủy .50 2.2.7 Vành địa phƣơng nửa địa phƣơng 51 2.3 Một số lớp môđun đặc biệt .52 2.3.1 Môđun 52 2.3.2 Môđun tự 52 2.3.3 Môđun nội xạ môđun xạ ảnh 56 Chƣơng 3: Đại số hữu hạn chiều 58 3.1 Định nghĩa ví dụ 58 3.1.1 Định nghĩa 58 3.1.2 Ví dụ 58 3.2 Xét số K_ Đại số 59 3.2.1 Đại số tenxơ 59 3.2.2 Đại số 62 3.2.3 Đại số đối xứng 67 3.3 K_Đại số hữu hạn chiề u 71 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo .73 Mở đầu Lý chọn đề tài Đại số chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng khoa học tốn học.Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại.Tuy nhiên để sâu nghiên cứu mơn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc Đại số Vì em mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” với giúp đỡ thầy Vƣơng Thơng, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu môn Đại số Mục đích nghiên cứu Đƣa số lớp cấu trúc đại số đặc biệt mối quan hệ chúng, với kiến thức phổ thơng, từ góp phần làm phong phú thêm lớp cấu trúc đại số Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tƣợng nghiên cứu: - Các nhóm - Vành - Mơđun + Phạm vi nghiên cứu: Đọc tài liệu có liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu sâu nhóm, vành, mơdun Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá NỘI DUNG CHƢƠNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép toán đại số n ngơi tính chất a Định nghĩa Cho X , ta gọi phép toán đại số (PTĐS) xác định X ánh xạ f: X X X Thay cho cách viết f(x,y) ta viết xfy Thƣờng ký hiệu: +, , , o, … Ta mở rộng cho phép tốn đại số m ngơi, ánh xạ f: X m X Thƣờng viết f(x1,x2,x3,…xm) Nếu X tập hữu hạn có n phần tử ta tính đƣợc: Số phép tốn đại số xác định X là: n n n Số phép tốn đại số ngơi xác định X là: n m b Ví dụ Đối tƣợng số: Trên  : Xét quy tắc    (a,b)  a+b (là PTĐS ngôi)  ab (là PTĐS ngôi)  a-b (không PTĐS ngôi)  a b (không PTĐS ngôi) b  a (không PTĐS ngôi)  Max a,b (là PTĐS ngôi)  Min a,b (là PTĐS ngôi)  (a,b): USCLN (không PTĐS ngơi)  [a,b]: BSCNN (khơng PTĐS ngơi) Tóm lại  có vơ số PTĐS ngơi Tƣơng tự tập số khác  ,  [ ],  [ n ],…  , , , K :số siêu phức, ta có nhiều phép tốn đại số Đối tƣợng số nguyên đồng dƣ theo môđun n  n = { ,1,… n 1 } Có PTĐS ngơi thƣờng dùng: i + j = i j i j i j Cần chứng minh: i+j≥ n j = k , k{0,1,…n-1} i i.j≥ n i j k , k {0,1,…n-1} Đối tƣợng đa thức R[x]: f(x)+ g(x) f(x).g(x) Tổng quát A[x], với A vành giao hốn, có đơn vị Nhận xét: Các ví dụ 2, xuất phát từ PTĐS đối tƣợng biết ta xây dựng đƣợc PTĐS đối tƣợng Đối tƣợng tập hợp Các phép toán: , , \,  Đối tƣợng phép đặc biệt S3 6.Đối tƣợng ma trận Matn(  ) 7.X tập khác rỗng Xét phép toán sau mà mà thƣờng gọi luật nuốt trái (phải) a, b  a b= b (nuốt trái) Nếu x = giao hốn Nếu x > khơng giao hốn Phép tốn có kết hợp Phép tốn có đơn vị x = Nếu x >1 có nhiều đơn vị trái mà khơng có đơn vị phải Xuất phát từ tập X biết ta xây dựng đƣợc nhiều phép tốn đối tƣợng Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân số thực ta xây dựng đƣợc phép toán Matn(X), X[x] Tổng quát : Cho X vành giao hốn, có đơn vị, ta xây dựng đƣợc phép cộng, nhân Matn(X), X[x] - Từ phép toán mệnh đề : , ,,  ta xây dựng đƣờc phép toán tƣơng ứng đại số vị từ n xác định tập X ,  n X M : Ta có x x x  x   x   x  , x x  x x x x  , - Cho (X,+) nhóm giao hốn Kí hiệu End(x) = { f: X X tự đồng cấu X } Xác định phép cộng End (x) nhƣ sau: x  X f,g End(x), x, y X ,f,g End(x), (f+g)(x) = f(x)+g(x) (f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = [f(x)+g(x)]+ [f(y)+g(y)] = (f+g)(x)+(f+g)(y) Suy (f+g)End(x) Thể Quarternion: (Còn gọi số siêu phức) Số siêu phức, dim  =2, dim K =4   Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d  } Vậy E đại số chia bậc quy R với đơn vị Ta định nghĩa f :M E đồng cấu hợp thành f i :M T1 T phép chiếu tự nhiên môđun với f M  E f  x   p 1  p bao hàm i p :T E Thế f đơn cấu p x  x 0 , x M Để thử nghiệm  E, f đại số M, gọi g :M  X  đồng cấu môđun tùy ý cho trƣớc M vào đại số kết hợp X R với đơn vị e cho  g  0,x M Vì T đại số tenxơ R x  M, nên g mở rộng thành đồng cấu đại số k :T X Sao cho k e Với x M ta có   T , k x x   g  x  0 k  x  Điều chứng tỏ k S 0 Vì A iđean T sinh bở S, nên ta có k A0 Vậy k cảm ứng đồng cấu đại số h :E X Sao cho h  p k Do h chuyển đơn vị p 1của E lên e thỏa mãn h  g f Tính h: Gỉa sử có h‟: h' f h f g h pih'  pi Do tính k nên  hp  i   h' p  i hp h ' p , lại p toàn cấu nên h h ' (đpcm) Nhƣ môđun M R xác định đại số chủ yếu  E, f  Đại số kết hợp E đƣợc kí hiệu là: ER  M  gọi đại số ngồi mơđun M R Nhƣ ta thấy phép chứng minh định lí 3, f đơn cấu Do ta đồng hóa M với ảnh f  M E  M và xét M nhƣ môđun R  ER  M  Với số nguyên n> 1, môđun En  ER  M gọi lũy thừa p T n   thứ n môđun M R Với phần tử tùy ý x , x , , x M, phần tử p x1 x2  xn của En đƣợc kí hiệu n x1 x2  xn Và gọi tích ngồi phần tử x , x , , x Môđun E đƣợc sinh n n tích ngồi Bổ đề Với phần tử tùy ý x,u,v mơđun M, ta có x x 0 u v v u  Chứng minh Quan hệ x x 0 hệ trực tiếp định nghĩa đại số Để chứng minh quan hệ thứ hai, ta xét đẳng thức (u v)  v u 0 Xem nhƣ phép nhân ER  M  , tích ngồi song tuyến tính Khai triển vế trái sử dụng u u v v 0 , ta đƣợc 0 (u v)  v u 0 Điều kéo theo quan hệ thứ hai (đpcm) Bổ đề Nếu điểm x , x , , x M khác tất cả, ta có n Bổ đề Nếu x1 x2  xn 0 y , y , , y là hoán vị phần tử x , x , , x , n n ta có y1 y2  yn x1 x2  xn  , Trong 1nếu hốn vị chẵn 1 hốn vị lẻ Định lí Đại số ngồi E M mơđun M R phản hoán;  R tức với hai phần tử deg y n , ta có x, y ER  M với deg xm  xy 1mn yx Chứng minh Vì phép nhân đại số song tuyến tính, nên việc thử nghiệm quan hệ trƣờng hợp từ BĐ3 (đpcm) x, y phân tích đƣợc Do ĐL4 suy 3.2.3 Đại số đối xứng a Định nghĩa Giả sử R vành giao hoán với đơn vị M môđun R Ta gọi đại số đối xứng môđun M, đại số kết hợp S R với đơn vị với đồng cấu môđun f :M S Thỏa mãn hai điều kiện sau: (SA1) Các phần tử f  M giao hoán đƣợc với S (SA2) Với đồng cấu môđun g :M X Từ M vào đại số kết hợp X R với đơn vị cho phần tử g  M giao hoán đƣợc với X, tồn đồng cấu đại số  h :S X Thỏa mãn điều kiện h 1là đơn vị vủa X cho quan hệ giao hoán xảy tam giác sau: M f S g h X b Định lí Định lí Nếu đại số S R với đồng cấu môđun f :M  S đại số đối xứng môđun M f  M  1sinh đại số S Định lí (Định lí tính nhất) Nếu  S, f và  S ', f đại số ' đối xứng mơđun M R, tồn đẳng cấu đại số j  f ' f j :S S ' cho Định lí (Định lí tồn tại) Với mơđun tùy ý cho trƣớc M R, tồn đại số đối xứng M Chứng minh Xét đại số tenxơ T TR  M   T n0 n Trên R môđun M Gọi A iđean đại số T sinh tập C x y y x | x, y M  T T Ta có A iđean thừa nhận đƣợc T có phân tích thành tổng trực tiếp  A  An , An Tn A n0 A0 0 Hơn nữa, A đƣợc sinh phần tử bậc 2, nên ta có A1 0 Bây ta xét đại số thƣơng S T A với phép chiếu tự nhiên p :T S Mà S đại số chia bậc R với phân tích thành tổng trực tiếp  S   S n , Sn p Tn Tn A n0 Vì A 0 A 0 , nên p đƣa T T đẳng cấu S S theo thứ tự lên 1 Do ta có S R, S1 M Vậy S đại số chia bậc quy R với đơn vị p  Ta định nghĩa i :M T1 T môđun với f :M đồng cấu hợp thành  f S pi bao hàm phép chiếu tự nhiên p :T S Thế đơn cấu f f  M S1 Với hai phần tử x, y M , ta có f x f y f y f  x p  x y y x  0 Điều kéo theo điều kiện (AS1) Để thử nghiệm  S, f đại số đối xứng M, gọi g :M X  đồng cấu môđun tùy ý cho trƣớc M vào đại số kết hợp X R với đơn vị e cho phần tử g  M giao hốn đƣợc với  X T đại số tenxơ R M, nên g mở rộng thành đồng cấu đại số k :T X Sao cho k 1e Với hai phần tử x, y M T , ta có k  x y y xg  x g y g y g  x 0 Điều chứng minh k C 0 Vì A iđean T sinh C, nên ta có k A0 Vậy k cảm ứng đồng cấu đại số h :S X cho hp= k đó, h chuyển đơn vị Tính h giả sử có h‟: p 1của S lên e thỏa mãn hf g h ' hf g f h pih' pi   hp  i  h' p i Do tính k nên hp= h‟p, lại p toàn cấu nên h= h‟.(đpcm) Nhƣ môđun M R xác định đại số đối xứng chủ yếu  S, f  Đại số kết hợp S đƣợc ký hiệu SR  M gọi đại số đối  xứng môđun M R nhƣ ta thấy phép chứng minh ĐL3, f đơn cấu ta đồng hóa M với ảnh f M   SR  M xét M nhƣ môđun SR  M   SR  M gọi lũy thừa Với số nguyên n> 1, môđun Sn  đối xứng thứ n môđun M R p  Tn   Hệ Đại số đối xứng S M môđun M R đại R  số chia bậc quy R với phân tích thành tổng trực tiếp SR  M   S n , n0 Trong S0= R, S1= M, Sn lũy thừa đối xứng thứ n môđun M R với n> Mọi đồng cấu môđun g :M vào đại số kết  X hợp X R với đơn vị e cho phần tử g M giao hoán đƣợc với   X mở rộng thành đồng cấu đại số với h1e h :SR  M  X 3.3 Xét K- đại số hữu hạn chiều Giả sử có K – đại số hữu hạn chiều X, Giả sử X có sở i e n Khi x X , x   n a e i ii |a K i1 n y X , y   b j e j | bj K j 1 n  n  a ne   xy  i i  b j e j aibjeiej i1 j  i , j 1 1 Suy tích xy đƣợc xác định n tích vectơ sở e e  i KẾT LUẬN Khóa luận Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều” phần tiếp cận đƣợc số vấn đề đại số đại phần cấu trúc quan trọng đại số nhƣ tốn học Khóa luận có ý nghĩa quan trọng việc nghien cứu sâu vấn đề đại số, làm tài liện tham khảo Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhƣng khả thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong đƣợc bảo, đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để đề tài đƣợc hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn hƣớng dẫn tận tình thây Vƣơng Thơng nhƣ thầy giáo giup em thực khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Nguyễn Tự Cƣờng (2000) Đại số đại NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 2, Trần Trọng Huệ (2001) Đại số đại cƣơng NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 3, Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999) Đại số đại cƣơng NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội 4, Nguyễn Tiến Quang (2007) Cơ sở lý thuyết trƣờng Galoa NXB ĐH Sƣ Phạm HN 5, Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001) Cơ sở lý thuyết Mơđun Vành NXB Giáo Dục HN 6, Hồng Xn Sính (2000) Đại số đại cƣơng NXB Giáo Dục HN ... đề tài “ Cấu trúc đại số thứ tự Cấu trúc tự Đại số hữu hạn chiều với giúp đỡ thầy Vƣơng Thơng, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu mơn Đại số Mục đích nghiên cứu Đƣa số lớp cấu trúc đại số đặc biệt... Chƣơng 1: Cấu trúc đại số thứ tự 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép tốn đại số n ngơi tính chất 1.1.2 Quan hệ n .7 1.2 Cấu trúc thứ tự 11 1.2.1 Định... hợp, đánh giá NỘI DUNG CHƢƠNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Phép tốn đại số n ngơi tính chất a Định nghĩa Cho X , ta gọi phép tốn đại số (PTĐS) ngơi xác định X ánh