Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

Lời cảm ơn Luận đợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2009 với giúp đỡ nhiệt tình bảo tận tâm TS Trần Văn Vuông, thầy, cô giáo Khoa Toán, Phòng Sau đại học, bạn học viên lớp cao học Toán giải tích khoá 11 Trờng Đại học S phạm Hà Nội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Văn Vuông, ngời đ nhiệt tình giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích Khoa Toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, Ban Giám hiệu Trờng ĐHSP Hà Nội 2, Trờng THCS Đại Đồng, Phòng Giáo dục Đào tạo Huyện Vĩnh Tờng, bạn học viên lớp cao học Toán giải tích khoá 11, gia đình đồng nghiệp đ tạo nhiều điều kiện thuận lợi thời gian học tập nghiên cứu trờng Trong trình thực hoàn thành luận văn nghiêm túc cố gắng tìm tòi, song hạn chế thời gian kiến thức, nên không tránh khỏi thiếu sót, kính mong góp ý nhiệt thành thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn đợc hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Bùi Hoàng Phúc Lời CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn đợc hoàn thành cố gắng tìm tòi, nghiên cứu thân dới hớng dẫn bảo TS Trần Văn Vuông nh thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích Khoa Toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội Luận văn không trùng lặp với luận văn, luận án công trình nghiên cứu khác Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Bùi Hoàng Phúc Mục Lơc Trang Lêi cam ®oan Mơc lơc Më đầu Chơng Không gian Banach hữu hạn chiều 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Độc lập tuyến tính 1.3 Cơ sở không gian tuyến tính 1.4 Không gian hữu hạn chiều 1.5 Không gian 11 1.6 Không gian định chuẩn 12 Chơng Một số toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều 21 2.1 Toán tử tuyến tính 21 2.2 Toán tử liên tục 24 2.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 25 2.4 Toán tử compăc 26 2.5 Tổng tích toán tử tuyến tính 27 2.6 Toán tử nghịch đảo 31 2.7 Phổ toán tử tuyến tính 33 2.8 Phơng trình tuyến tính 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt toán học ứng dụng Môn học lĩnh vực đ đợc giảng dạy từ lâu cho sinh viên năm cuối khoa Toán trờng Đại học S phạm Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt lớp chất lợng cao khoa Toán Không gian Banach toán tử không gian Banach phần quan trọng giải tích hàm nói riêng chuyên nghành toán giải tích nói chung Với mong muốn tìm hiểu sâu lĩnh vực này, đ mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều Nghiên cứu số toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều Nghiên cứu định nghĩa, tính chất toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều Đối tợng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều Luận văn gồm phần, mục lục, mở đầu, hai chơng, kết luận tài liệu tham khảo Trong đó: Chơng 1: Không gian Banach hữu hạn chiều Chơng 2: Một số toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều Phơng pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo Phân tích tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm toán học, nâng lên thành đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo hữu ich cho sinh viên, học viên cao học ngời yêu thích toán toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều CHNG KHôNG GIAN BANACH HU HN CHIU 1.1 Không gian tuyn tính 1.1.1 Định nghĩa Một hp X đợc gọi không gian tuyến tính trờng ( trờng số thùc » hc tr−êng sè phøc » ) nÕu: a) ứng với cặp phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phn tử X gäi lµ tỉng cđa x víi y , v đợc kí hiệu x + y ; ứng với x X ta có, theo quy tắc đó, mt phn t X gäi lµ tÝch cđa x víi α vµ đợc kí hiệu x b) Các quy tắc thoả m n tiên đề sau: i) Tính cht giao ho¸n: x + y = y + x, ∀x, y ∈ X ii) TÝnh chất kết hợp: ( x + y ) + z = x + ( y + z ), ∀x, y, z ∈ X iii) Tồn phần tử (vectơ - không) cho x + θ = x, ∀x ∈ X ã iv) Vectơ đối: x X , tồn − x ∈ X cho x + (− x) = θ v) TÝnh kết hợp phÐp nh©n víi đại lượng v« hướng: α (β x) = (αβ ) x, ∀α , β ∈Ρ, ∀x ∈ X vi) Tính phân phi i vi phép cng vô hng: (α + β ) x = α x + β x, ∀α , β ∈Ρ, ∀x ∈ X vii) TÝnh ph©n phối tổng vectơ: α ( x + y ) = α x + α y, ∀α , x X viii) Phép nhân với đơn vị: 1x = x, x X Phần tử không gian tuyến tính thờng đợc gọi vectơ Không gian tuyến tính gọi không gian vectơ Không gian tuyến tính trờng ằ gọi kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc Kh«ng gian tuyÕn tính trờng ằ gọi không gian tuyến tính phức 1.1.2 Ví dụ a) ằ không gian tuyến tính thực với phép toán cộng nhân số thực thông thờng b) ằ không gian tuyến tính phức với phép toán cộng nhân số phức thông thờng c) ằ không gian tuyến tính thực với phép toán cộng nhân số phức thông thờng 1.2 Độc lập tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính trªn tr−êng P, TËp M⊂ X, M ≠ ∅, gọi độc lập tuyến tính với hệ hữu hạn {x1, x2, , xn} M hệ {1, 2, , n} P, từ đẳng thức n x k k = suy đợc k =1 αk = víi k = 1, n 1.2.2 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính trờng P Biểu thức có dạng n x k k , ®ã xk∈X víi k = 1, n vµ αk∈P víi k = 1, n , gäi k =1 tổ hợp tuyến tính vectơ xkX với k = 1, n 1.2.3 Định lí Cho M tập độc lập tuyến tính không gian tuyến tính X trờng P Nếu yX tổ hợp tuyến tính vectơ cđa M, tøc lµ y = n ∑α x k k , xk∈M víi k = 1, n , th× tổ hợp tuyến tính k =1 Chøng minh Gi¶ sư y = n ∑α x k k = k =1 m ∑β y víi xk, yj ∈M j j + ∑ (−β )y j =1 NÕu xk yj đôi khác =yy= n ∑α x k k =1 k m j j =1 j Vì M độc lập tuyến tính nªn αk = β j = víi k = 1, n vµ j = 1, m Nh− vËy y tổ hợp tuyến tính vectơ M với tất hệ số Nếu có xk = yj cách đánh số lại vectơ xk, yj bổ sung hệ số ta đợc y = p x k k = k =1 p ∑β x k k Do ®ã k =1 θ=y–y= p ∑ (α k − β k )x k k =1 V× M ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn αk - βk = víi k = 1, p hay lµ αk = βk víi k = 1, p Nh− vËy y lµ tổ hợp tuyến tính vectơ M 1.2.4 Định nghĩa Một tập không gian tuyến tính X không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính 1.2.5 Định lí Để tập M không gian tuyến tính X phụ thuộc tuyến tính, cần đủ tồn phần tử M tổ hợp tuyến tính phần tử lại M Chứng minh Giả sử M phô thuéc tuyÕn tÝnh Ta xÐt n ∑α x k k = θ , k =1 ®ã xk∈M với k = 1, n Vì M độc lập tuyến tính nên phải có số k cho k Không làm giảm tính tổng quát, ta cã thĨ cho r»ng αn ≠ Khi ®ã xn =  αk   x k Nh− vËy xn tổ hợp tuyến tính vectơ xk víi k =1  n  n −1 ∑− α k = 1, n − Gi¶ sư cã vect¬ x∈M cho x = n ∑α x k k , ®ã xk∈M víi k = 1, n k =1 Khi ®ã θ = - 1.x + n x k k nên M không độc lập tun tÝnh, tøc lµ M phơ thc k =1 tun tính 1.3 Cơ sở không gian tuyến tính 1.3.1 Định nghĩa Một tập B không gian tuyến tính X gọi sở X B độc lập tuyến tính vectơ X tổ hợp tuyến tính vectơ B 1.3.2 Định lí Để tập B không gian tuyến tính X sở X, cần đủ B tập độc lập tuyến tính tối đại, nghĩa B độc lập tuyến tính M tập độc lập tuyến tính X mà BM M = B 1.3.3 Định lí Trong không gian tuyến tính X bất kì, tập độc lập tuyến tính đợc chứa sở X Nếu B C hai sở X B C hai tập hợp tơng đơng (cùng lực lợng) 1.3.4 Định lí Mọi không gian tuyến tính X {} có sở Không gian tuyến tính X = {} sở 1.4 Không gian hữu hạn chiều 1.4.1 Định nghĩa Nếu sở không gian tuyÕn tÝnh X cã n vect¬ (n∈ » * ) ta nói số chiều X n vµ viÕt dimV = n Ta quy −íc nãi r»ng sè chiỊu cđa kh«ng gian tun tÝnh X = {θ} lµ vµ cịng viÕt dimV = dim{θ}= 1.4.2 Định nghĩa Không gian tuyến tính X gọi không gian hữu hạn chiều dimX = n ằ ( ) 1.4.3 Ví dụ Đặt R n = {x = x , x , , xn / xi ∈ R, i = 1, 2, , n} Ta đa vào R n hai phép toán đợc xác định c«ng thøc: ) ( ) ( ( ) a) x + y = x + y , x + y , , x + y , ∀ x ∈ R n , ∀y = y ∈ R n n n i i 1 2 ( ) b) αx = αx , αx , , αxn , ∀x = ( xi ) ∈ R n , ∀α∈» Khi R n hai phép toán không gian tuyến tính trờng R ThËt vËy 10 ) ( ) ( ∀x = x , x , , xn , y = y , y , , yn ∈ R n ta ®Ịu cã: 2 x j + y j = y j + x j , ∀j = 1, n ⇒ x + y = y + x, ∀x, y ∈ R n ) ( ) ( ) ( ∀x = x , x , , xn , y = y , y , , yn , z = z , z , , zn ∈R n , 2 ta ®Ịu cã:  x + y  + z = x +  y + z  , ∀j = 1, n  j j  j j  j j   ⇒ ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , ∀x, y, z Rn ( ) Đặt = ( 0,0, ,0 ) ∈Rn Víi ∀x = x , x , , xn ∈R n , ta lu«n cã: + x j = x j , ∀j = 1, n ⇒ θ + x = x, ∀x ∈ R n ) ( ∀x = x , x , , xn ∈R n , tồn phần tử ) ( x = − x , − x , , − xn ∈R n ta cã: x j +  − x j  = 0, ∀j = 1, n   ⇒ x + ( − x ) = θ , ∀x ∈ R n ) ( ∀x = x , x , , xn ∈ R n , ∀α, β ∈ R ta ®Ịu cã: α  βx j  = ( αβ ) x j , ∀j = 1, n   ⇒ α (β x ) = ( αβ ) x, ∀x ∈ Rn , ∀α, β∈ R ( ) ∀x = x , x , , xn ∈ R n , ∀α, β∈ R ta ®Ịu cã: ( α + β) x j = αx j + βx j , ∀j = 1, n ( α +β ) x = αx + βx, ∀x ∈ R n , , R 27 2.4.1 Định nghĩa Cho X không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X X gọi toán tử compắc từ d y bị chặn {x } X ®Ịu k k =1 rót ®−ỵc d y {x }∞ cho d y {Ax }∞ héi tô km m=1 km m=1 2.4.2 Định lí Mọi toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều toán tử compắc Chứng minh Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều X {x } X d y bị chặn {Ax } d y bị k k =1 k k =1 chặn X Vì X không gian hữu hạn chiều nên d y bị chặn {Ax } k k =1 phải chứa d y hội tụ Do A toán tử compắc 2.5 Tổng tích toán tử tuyến tính 2.5.1 Định nghĩa Cho A B hai toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X ánh xạ C: X → X gäi lµ tỉng cđa A vµ B, kÝ hiƯu lµ C = A + B, nÕu Cx = Ax + Bx, xX 2.5.2 Định lí Tổng hai toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X toán tử tuyến tính không gian tuyÕn tÝnh X Chøng minh Cho A vµ B hai toán tử tuyến tính không gian tuyến tÝnh X vµ C = A + B Víi mäi x, y∈X vµ mäi λ∈P ta cã C(x + y) = A (x + y) + B(x + y) = Ax + Ay + Bx + By = Ax + Bx + Ay + By = Cx + Cy C(λx) = A(λx) + B(λx) = λAx + λBx = λ(Ax + Bx) = λCx VËy C = A + B toán tử tuyến tính X 2.5.3 Định lí Nếu A B hai toán tử tuyến tính không gian Banach n chiều X ma trận toán tử A + B tổng hai ma trËn cđa A vµ B, tøc lµ (A + B)’ = A’ + B’ 28 n n n n Chøng minh Ta cã Ax = ∑ ∑ a α e vµ Bx = ∑ ∑ b α e nªn i=1j=1 ji j i i=1j=1 ji j i n n n n n n Ax + Bx = ∑ ∑ a α e + ∑ ∑ b α e = ∑ ∑ (a + b )α e ji j i i=1j=1 ji j i i=1j=1 ji j i i=1j=1 ji Do ®ã (A + B)’ = A’ + B 2.5.4 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính ánh xạ O: X X xác định Ox = , xX, gọi toán tử không 2.5.5 Định lí Toán tử không toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X Với toán tư tun tÝnh A kh«ng gian tun tÝnh X ta ®Ịu cã A + O = O + A = A 2.5.6 Định lí Ma trận toán tử không không gian Banach hữu hạn chiều ma trận mà phần tử số 2.5.7 Định nghĩa Cho A toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X P ánh xạ B: X X gọi tích vµ A, kÝ hiƯu lµ B = αA, nÕu Bx = (Ax), xX 2.5.8 Định lí Tích P toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X toán tử tuyến tính không gian tuyÕn tÝnh X Chøng minh KiÓm tra trùc tiÕp theo định nghĩa toán tử tuyến tính 2.5.9 Định lí Ma trận toán tử A không gian Banach hữu hạn chiều tích ma trận cđa to¸n tư A: (αA)’= αA’ Chøng minh KiĨm tra trùc tiÕp theo c¸ch biĨu diƠn n n Ax = ∑ ∑ a α e i=1j=1 ji j i 2.5.10 Định nghĩa Cho A B hai toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X ánh xạ C: X X gọi tích A vµ B, kÝ hiƯu lµ C = BA, nÕu Cx = B(Ax), xX 29 2.5.11 Định lí Tích hai toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X toán tử tuyến tính không gian tuyÕn tÝnh X Chøng minh KiÓm tra trùc tiÕp theo định nghĩa toán tử tuyến tính 2.5.12 Định lí Nếu A B hai toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiễu X ma trận toán tử BA tích ma trận cđa A víi ma trËn cđa B: (BA)’= A’.B’ Chøng minh Ta cã n n n n n n Ax = ∑ ∑ a α e víi x = ∑ α e vµ By = ∑ ∑ b β e víi y = ∑ β e i=1j=1 ji j i i=1j=1 ji j i i=1 i i i=1 i i n n n NÕu y = Ax th× βi = ∑ a α = ∑ a α nªn βj = ∑ a α Do ®ã j=1 ji j k =1 ki k k =1 kj k n n n n n (BA)x = B(Ax) = ∑ ∑ b β e = ∑ ∑ b ∑ a α e i=1j=1 ji j i i=1j=1 ji k =1 kj k i n n n n n n = ∑ ∑ ∑ a b α e = ∑ ∑ ∑ a b αe i=1 j=1k =1 kj j i k i i=1 j=1k =1 jk k i j i n Nếu gọi c phần tử ma trận A.B th× ta cã c = ∑ a b ij ij k =1 ik kj n n n n n V× vËy (BA)x = = ∑ ∑ ∑ a b α e = ∑ ∑ c α e i=1 j=1k =1 jk k i j i i=1 j=1 ji j i Điều chứng tỏ A.B ma trận toán tử BA 2.5.13 Định lí Nếu A toán tử bị chặn không gian định chuẩn X P A toán tử bị chặn không gian định chuẩn X A = A Chứng minh Vì A toán tử bị chặn X nên có C > cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X Do ®ã víi ∀x∈X ta cã αAx = α Ax ≤ α C x ≤ ( α + 1)C x Vậy A toán tử bị chặn X 30 Víi ∀x∈X, x ≠ θ, ta cã αA = sup x∈X, x ≤1 αAx α Ax nªn = x x αAx α Ax Ax = sup = α sup = α A x x∈X, x ≤1 x x∈X, x ≤1 x 2.5.14 Định lí Nếu A B hai toán tử bị chặn không gian định chuẩn X A + B, AB BA toán tử bị chặn không gian định chuẩn X A + B ≤ A + B , AB ≤ A B , BA ≤ A B Chøng minh Víi mäi x∈ X ta cã (A + B)x = Ax + Bx ≤ Ax + Bx ≤ A x + B x = ( A + B ) x Do A + B toán tử bị chặn X A+B = sup (A + B)x ≤ sup Ax + sup Bx = A + B x∈X, x ≤1 x∈X, x ≤1 x∈X, x ≤1 Víi mäi x∈ X ta cã (AB)x = A(Bx) ≤ A Bx ≤ A B x Do AB = AB toán tử bị chặn X sup (AB)x sup ( A Bx ) = A sup Bx = A B x∈X, x ≤1 x∈X, x ≤1 x∈X, x Đổi vai trò A B cho ta đợc BA toán tử bị chặn X vµ BA ≤ B A = A B 2.5.15 Định nghĩa Tập hợp tất toán tử bị chặn không gian định chuẩn X đợc kí hiệu L(X) 2.5.16 Định lí Nếu X không gian Banach n chiều L(X) không gian Banach n2 chiỊu (víi phÐp céng c¸c to¸n tư, phép nhân toán tử với số P, chuẩn toán tử) Chứng minh Mỗi toán tử tuyến tính A L(X) tơng øng víi mét ma trËn nhÊt 31  a a a 1n   11 12  a a a  2n  A’ =  21 22   a a a nn n1 n2 Đặt Eij (i =1, n j =1, n ) toán tử tuyến tÝnh øng víi ma trËn Eij’ chØ cã phÇn tư aij = phần tử khác Dễ dàng thấy n2 toán tử Eij độc lập tuyến tính lập thành sở L(X) Do L(X) không gian n2 chiều 2.6 Toán tử nghịch đảo 2.6.1 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính ánh xạ I: X → X cho bëi Ix = x, ∀x∈X, gäi lµ toán tử đơn vị 2.6.2 Định lí Toán tử đơn vị toán tử tuyến tính không gian định 1 X ≠ {θ} chuÈn X vµ I =   X = {θ} Chøng minh Víi mäi x, y∈X vµ mäi α∈P ta cã I(x + y) = x+ y = Ix + Iy vµ I(αx) = x = Ix Do I toán tử tuyÕn tÝnh Víi mäi x∈X ta cã Ix = x Do ®ã I = 1 X ≠ {θ} sup Ix = sup x =  X = {} xX, x xX, x 2.6.3 Định lí Ma trận toán tử đơn vị không gian Banach n chiỊu lµ 1 i = j ma trận đơn vị: phần tử I aij = δ =  ij  i ≠ j Chøng minh KiĨm tra trùc tiÕp theo c¸ch biĨu diÔn n n Ax = ∑ ∑ a α e i=1j=1 ji j i 32 2.6.4 Định nghĩa ánh xạ B: X X gọi toán tử nghịch đảo toán tử tuyến tính A không gian ®Þnh chn X nÕu víi mäi x∈X ta ®Ịu cã A(Bx) = B(Ax) = x KÝ hiÖu: B = A- 2.6.5 Định lí Nếu toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X có toán tử nghịch đảo AA-1 = A-1A = I Chứng minh Kiểm tra trực định nghĩa tơng ứng 2.6.6 Định lí Toán tử nghịch đảo toán tử tuyến tính A không gian định chuẩn X to¸n tư tun tÝnh X Chøng minh Cho A toán tử tuyến tính không gian định chuẩn X có toán tử nghịch đảo A-1 Với x, yX ta đặt u = A-1x v = A-1y x = Au y = Av Khi x + y = Au + Av = A(u + v) Do ®ã A-1(x + y) = A-1A(u + v) = u + v = A-1x + A-1y NÕu α∈ P A(u) = Au = x Do A-1 A(αu) = A-1(αx) hay lµ A-1(αx) = αu = αA-1x Vậy A-1 toán tử tuyến tính X 2.6.7 Định lí Toán tử tuyến tính A không gian định chuẩn X có toán tử nghịch đảo chØ R(A) = X vµ N(A) = {θ} Chøng minh Cho A toán tử tuyến tính không gian định chuẩn X Nếu A có toán tử nghịch đảo A-1 với yX ta có x = A-1y X Ax = y nên R(A) = X Nếu A có toán tử nghịch đảo A-1 với x N(A) có Ax = nên x = A-1Ax = A-1θ = θ V× vËy N(A)= {θ} Nếu R(A) = X N(A) = {} A vừa toàn ánh vừa đơn ánh nên A có ánh xạ nghịch đảo, tức A có toán tử nghịch đảo 33 2.6.8 Định lí Nếu toán tử tuyến tính A không gian Banach hữu hạn chiều X có toán tử nghịch đảo ma trận A-1 ma trận nghịch đảo ma trận cđa A: (A-1)’ = (A’) -1 Chøng minh Ta ® biÕt r»ng AA-1 = AA-1 = I vµ A’.(A-1)’ = (A-1).A = I Do (A-1) ma trận nghịch đảo ma trận A 2.6.9 Định lí Toán tử tuyến tính A không gian Banach hữu hạn chiều X có toán tử nghịch đảo định thức ma trận A khác 0, tức det (A) Chứng minh Nếu toán tử tuyến tính A có toán tử nghịch đảo ma trận A có ma trận nghịch đảo Ta biết A có ma trận nghịch đảo det (A) Do toán tử tuyến tính A có toán tử nghịch đảo det (A) Ngợc lại, det (A) A có ma trận nghịch đảo Đặt B = (A) -1 ta có toán tử tuyến tính B tơng ứng X Vì B.A = I = A B nên AB = BA = I Do B toán tử nghịch đảo toán tử A, tức A có toán tử nghịch đảo 2.7 Phổ toán tử tuyến tính 2.7.1 Định nghĩa Số P gọi giá trị riêng toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X có vectơ xX, x ≠ θ, cho Ax = λx Vect¬ x gọi vectơ riêng toán tử A tơng ứng với giá trị riêng 2.7.2 Định lí Số P giá trị riêng toán tử tuyến tính A không gian Banach hữu hạn chiều X nghiệm phơng trình det ((A - λI)’) = Chøng minh NÕu det ((A - I)) có toán tử (A - I) -1 Do phơng trình Ax = x tơng đơng với phơng trình (A - I)x = hay lµ 34 x = (A - λI) -1θ = θ nên giá trị riêng A Vì giá trị riêng A det ((A - I)) = Giả sử nghiệm phơng trình det ((A - I)) = Khi phơng trình Ax = x tơng đơng với hệ n phơng trình tuyến tính n ẩn P Vì định thức hệ phơng trình det ((A- I)) = nên hệ phơng trình có nghiệm x = n e i i Nghiệm vectơ riêng A i =1 tơng ứng với giá trị riêng 2.7.3 Định lí Mỗi toán tử tuyến tính không gian Banach thực n chiều có không n giá trị riêng Mỗi toán tử tuyến tính không gian Banach phức n chiều có n giá trị riêng Chứng minh Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach n chiều trờng P det ((A - I)) = phơng trình bậc n Phơng trình có nhiều n nghiệm P P = ằ có n nghiƯm (kĨ c¶ béi) nÕu P = » 2.7.4 Ví dụ Tìm giá trị riêng toán tử tuyến tính A không gian định chuẩn chiỊu X nÕu ma trËn cđa nã lµ A’ =    −3  Ta cã det ((A - λI)’) = ⇔ 1− λ −3 4−λ = ⇔ λ − 5λ + 10 = Nếu P = ằ phơng trình vô nghiệm nên toán tử A không gian định chuẩn thực chiều X giá trị riêng Nếu P = ằ phơng trình có hai nghiệm = i 15 nên toán tử A không gian định chuẩn phức chiều X có hai giá trị riêng = i 15 35 2.7.5 Ví dụ Tìm giá trị riêng vectơ riêng toán tử tuyến tính A không gian định chuẩn chiỊu X víi A’ =   2  Ta cã det ((A - λI)’) = ⇔ 1− λ = ⇔ λ − 6λ − = ⇔ λ = ± 10 Vậy toán tử tuyến tính A có hai giá trị riêng = 10 Nếu {e1, e2} sở X vectơ riêng ứng với giá trị riêng = + 10 lµ x = c[e1+ λ = − 10 lµ x = c[e1+ + 10 e2], c 0; vectơ riêng ứng với giá trị riêng − 10 e2], c ≠ 2.7.6 Ví dụ Tìm giá trị riêng vectơ riêng to¸n tư tun tÝnh T3 nÕu Ax(t) = x’(t) Ta đ biết xét sở {t2, t, 1} ma trận A 0  A’ = 2 0    −λ 0 Ta cã det ((A - λI)’) = ⇔ − λ = ⇔ −λ = ⇔ λ = 0 Vậy A có giá trị riêng = Vectơ riêng tơng ứng x(t) = c, c số khác 2.7.7 Ví dụ Tìm giá trị riêng vectơ riêng toán tử tuyến tính S2 nÕu Ax(t) = x’(t) Ta ® biÕt r»ng nÕu xÐt sở {sint, cost} ma trận A  − 1 A’ =   1  36 Ta cã det ((A - λI)’) = ⇔ −λ −1 = ⇔ λ + = Vậy A giá trị riêng vectơ riêng 2.7.8 Định lí Nếu P giá trị riêng toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X toán tử A - I toán tử nghịch ®¶o Chøng minh Ta cã Ax = λx ⇔ (A - λI)x = θ NÕu to¸n tư A - λI có toán tử nghịch đảo (A - I)x = θ ⇔ x = (A - λI)-1θ = θ §iỊu chứng tỏ giá trị riêng A Vì vậy, P giá trị riêng toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X toán tử A - I toán tử nghịch đảo 2.7.9 Định nghĩa Số P gọi điểm quy toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X toán tử A - I có toán tử nghịch đảo 2.7.10 Định nghĩa Phổ toán tử tuyến tính A không gian tuyến tính X tập hợp P \ {điểm quy A} kí hiệu (A) 2.7.11 Định lí Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều phổ A tập hợp tất giá trị riêng A Chứng minh Nếu giá trị riêng A A - I toán tử nghịch đảo nên không đểm quy A Do (A) Nếu (A) không đểm quy A nên A - I toán tử nghịch đảo Do det ((A- I)) = Vì có vectơ x cho (A- I)x = nên giá trị riêng A 2.8 Phơng trình tuyến tính 2.8.1 Định nghĩa Nếu A toán tử tuyến tính không gian tuyến tính X phơng trình Ax = x + y, P số cho trớc, yX vectơ cho trớc xX vectơ cần tìm, gọi phơng trình tuyến tính 37 2.8.2 Định lí Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều X P không giá trị riêng A phơng trình Ax = x + y cã nghiƯm nhÊt lµ x = (A - αI)-1 y Chøng minh Ta cã Ax = αx + y ⇔ (A - αI)x = y NÕu α kh«ng giá trị riêng A toán tử A - I có toán tử nghịch đảo nên (A - αI)x = y ⇔ x = (A - αI)-1 y Vậy phơng trình Ax = x + y cã nghiƯm nhÊt lµ x = (A - αI)-1 y 2.8.3 Ví dụ Giải phơng trình Ax = x + y không gian định chuẩn 2 chiỊu X nÕu ma trËn cđa A lµ A’ =    −2  Tr−íc hÕt ta tìm giá trị riêng A Ta có det ((A - λI)’) = ⇔ 1− λ = ⇔ λ − 6λ + = ⇔ λ = −2 − λ VËy to¸n tư A có giá trị riêng kép = Nếu phơng trình Ax = αx + y cã nghiƯm nhÊt lµ x = (A - αI)-1 y NÕu α = th× phơng trình đ cho trở thành phơng trình Ax = 3x + y Giả sử {e1, e2} së cđa X Khi ®ã x = α1e1 + α2e2, y = β1e1 + β2e2, Ax = (α1 + 2α2)e1 + (-21 + 52)e2 phơng trình Ax = 3x + y tơng đơng với hệ phơng trình + 2α = β  − α + α =β  2 NÕu hệ phơng trình vô nghiệm nên phơng trình Ax = 3x + y vô nghiƯm 38 NÕu β1 = β2, tøc lµ y = 2s(e1 + e2) với sP, hệ phơng trình có vô số nghiệm = t  β α = t +  (t P) nên phơng trình Ax = 3x + y có vô số nghiệm x = te +  t +  e = te + (t + s)e , t ∈ P  2   2.8.4 VÝ dụ Giải phơng trình Ax = x + y không gian T3 Ax(t) = x(t) Ta đ biết A có giá trị riêng = Do phơng tr×nh Ax = αx + y cã nghiƯm nhÊt lµ x = (A - αI)-1 y NÕu y(t) = a1t2+ b1t + c1 nghiệm a 2a + αb 2a + αb + α2 c 1 1 t− x(t) = − t − α α α NÕu α = phơng trình đ cho trở thành phơng tr×nh 2at + b = a1t2 + b1t + c1 Nếu a1 phơng trình vô nghiệm Nếu a1 = phơng trình có vô sè nghiƯm lµ b x(t) = t + c t + c , ®ã c số 2.8.5 Ví dụ Giải phơng trình Ax = x + y không gian S2 Ax(t) = x(t) Ta đ biết A không giá trị riêng nên phơng trình Ax = x + y luôn có nghiệm x = (A - αI)-1 y 39 NÕu y(t) = a1sint + b1cost nghiệm b αa αb + a sin t − 1 cos t x(t) = α2 + α2 + 40 KẾT LUẬN chung Trong trình nghiên cứu, phân tích đề tài: “To¸n tư tun tÝnh không gian Banach hữu hạn chiều, vi mc ớch ra, luận văn thu kết thể qua hai chơng sau: Chơng đề cập đến số kiến thức bản: Định nghĩa không gian tuyến tính, độc lập tuyến tính, sở không gian tuyến tính, không gian hữu hạn chiều, không gian con, không gian định chuẩn lấy ví dụ minh hoạ Chơng đề cập đến toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều: Một đa đợc định nghĩa tính chất toán tử tuyến tính, toán tử liên tục, toán tử bị chặn, toán tử compăc, tổng tích toán tử tuyến tính, toán tử nghịch đảo, phổ toán tử tuyến tính, phơng trình tuyến tính, mối liên hệ tính liên tục tính bị chặn toán tử tuyến tính, mối liên hệ tính compăc tính liên tơc cđa to¸n tư tun tÝnh, kh¸i niƯm, vÝ dơ số định lý Hai giải phơng trình tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều ta nghiên cứu khái niệm, tính chất, lấy ví dụ minh hoạ toán tử không gian hai chiều, ba chiều tài liệu tham khảo 41 [1] Phan Đức Chính (1974), Giải tích hàm, Tập 1, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Minh Chơng, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phơng trình toán tử, Nxb Khoa học kỹ thuật [3] A N Cônmôgôrốp, x v fômin (1971), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập 1, Nxb Giáo dục [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa häc kü tht [5] Ngun Phơ Hy, Hoµng Ngäc Tn, Nguyễn Văn Tuyên (2006), Bài tập giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật [6] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đăc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sơ lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập 1, Nxb Giáo duc [7] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập 2, Nxb Giáo dục [8] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [10] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục [11] Đoàn Quỳnh, Hà Huy Khoái, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Đình Trí (2007), Từ điển toán học, Nxb Giáo dục [12] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hµ Néi ... số toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều 21 2.1 Toán tử tuyến tính 21 2.2 Toán tử liên tục 24 2.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 25 2.4 Toán tử compăc 26 2.5 Tổng tích toán tử tuyến tính. .. Ví dụ T3 không gian Banach chiều S2 không gian Banach chiều 21 Chơng Toán tử tuyến tính không gian Banach hữu hạn chiều 2.1 Toán tử tuyến tính 2.1.1 Định nghĩa Cho không gian tuyến tính X Một... đầu Chơng Không gian Banach hữu hạn chiều 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Độc lập tuyến tính 1.3 Cơ sở không gian tuyến tính 1.4 Không gian hữu hạn chiều 1.5 Không gian 11 1.6 Không gian định chuẩn