Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, tôi đC mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều”.. Nghiên cứu một số toán tử tuyến tính trong

Luận này được hoàn thành vào tháng 10 năm 2009 với sự giúp đỡ nhiệt

tình và chỉ bảo tận tâm của TS Trần Văn Vuông, các thầy, cô giáo trong Khoa

Toán, Phòng Sau đại học, và các bạn học viên trong lớp cao học Toán giải tích

khoá 11 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Trần Văn

Vuông, người đC nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành các thầy, cô trong Phòng Sau đại học,

Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban Giám

hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Trường THCS Đại Đồng, Phòng Giáo dục và

Đào tạo Huyện Vĩnh Tường, các bạn học viên lớp cao học Toán giải tích khoá

11, gia đình và đồng nghiệp đC tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi

học tập và nghiên cứu tại trường

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn mặc dù tôi hết sức

nghiêm túc và cố gắng tìm tòi, song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức,

nên không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý nhiệt thành của các

thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Bùi Hoàng Phúc

Lời CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự cố gắng tìm tòi,

nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của TS Trần Văn Vuông

cũng như các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Luận văn này không trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án hoặc công

trình nghiên cứu nào khác

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Bùi Hoàng Phúc

Môc Lôc

1.4 Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu 9

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán

học cơ bản và ứng dụng Môn học về lĩnh vực này đC được giảng dạy từ lâu

cho sinh viên các năm cuối ở khoa Toán các trường Đại học Sư phạm và Đại

học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt các lớp chất lượng cao của khoa Toán

Không gian Banach và các toán tử trong không gian Banach là một

phần quan trọng của giải tích hàm nói riêng và chuyên nghành toán giải tích

nói chung Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, tôi đC mạnh dạn

nghiên cứu đề tài: “Toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn

chiều”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều

Nghiên cứu một số toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu

hạn chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều

Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của toán tử tuyến tính trong

không gian Banach hữu hạn chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu không gian Banach hữu hạn chiều và toán

tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều Luận văn gồm phần, mục lục, mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu

tham khảo

Trong đó:

Chương 1: Không gian Banach hữu hạn chiều

Chương 2: Một số toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

Phân tích tổng hợp kiến thức và vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ich cho sinh viên, học viên cao học và người yêu thích toán về toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

CHƯƠNG 1 KHôNG GIAN BANACH HỮU HẠN CHIỀU

1.1. Không gian tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp X được gọi là một không gian tuyến tính trên

trường Ρ ( Ρ là trường số thực
hoặc trường số phức  ) nếu:

a) ứng với mỗi cặp phần tử ,x y của X ta có, theo một quy tắc nào đó,

một phần tử của X gọi là tổng của x với y , và được kí hiệu x y+ ; ứng với

mỗi x∈ X và α∈ Ρ ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi

là tích của x với α và được kí hiệu αx.

b) Các quy tắc trên thoả mCn 8 tiên đề sau:

i) Tính chất giao hoán: x+ = +y y x,∀x y, ∈X

ii) Tính chất kết hợp: (x+y)+ = +z x (y+z),∀x y z, , ∈X

iii) Tồn tại phần tử θ (vectơ - không) sao cho x+ =θ x, ∀ ∈x X • iv) Vectơ đối: ∀ ∈x X, tồn tại x Xư ∈ sao cho x+ ư( x)=θ v) Tính kết hợp của phép nhân với đại lượng vô hướng:

(α βx)=(αβ) ,x ∀α β, ∈Ρ , ∀ ∈x X

vi) Tính phân phối đối với phép cộng vô hướng:

(α β+ )x=αx+βx, ∀α β, ∈Ρ , ∀ ∈x X.vii) Tính phân phối đối với tổng vectơ:

(α x+y)=αx+αy, ∀ ∈Ρ α , ∀ ∈x X

viii) Phép nhân với đơn vị: 1x=x, ∀ ∈x X

Phần tử của không gian tuyến tính thường được gọi là vectơ Không

gian tuyến tính cũng còn gọi là không gian vectơ

Không gian tuyến tính trên trường
gọi là không gian tuyến tính thực

Không gian tuyến tính trên trường  gọi là không gian tuyến tính phức 1.1.2 Ví dụ a)
là một không gian tuyến tính thực với các phép toán cộng

1.2.1 Định nghĩa Cho X là không gian tuyến tính trên trường P, Tập con M⊂

X, M ≠ ∅, gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ hữu hạn {x1, x2, , xn}⊂

∑ trong đó xk∈X với k = 1, n và αk∈P với k = 1, n, gọi là một

tổ hợp tuyến tính của các vectơ xk∈X với k = 1, n

1.2.3 Định lí Cho M là một tập độc lập tuyến tính trong không gian tuyến tính X trên trường P Nếu y∈X là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của M,

Vì M độc lập tuyến tính nên αk = β j = 0 với k = 1, n và j = 1, m Nh− vậy y là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của M với tất cả các hệ số bằng 0

Nếu có xk = yj thì bằng cách đánh số lại các vectơ xk, yj và bổ sung các

Vì M độc lập tuyến tính nên αk - βk = 0 với k = 1, p hay là αk = βk với

k = 1, p Nh− vậy y là tổ hợp tuyến tính duy nhất của các vectơ của M

1.2.4 Định nghĩa Một tập con của không gian tuyến tính X không độc lập tuyến tính gọi là phụ thuộc tuyến tính

1.2.5 Định lí Để tập con M của không gian tuyến tính X là phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ là tồn tại một phần tử của M là tổ hợp tuyến tính của các phần

đó xk∈M với k = 1, n Vì M độc lập tuyến tính nên phải có chỉ số k sao cho

αk ≠ 0 Không làm giảm tính tổng quát, ta có thể cho rằng αn ≠ 0 Khi đó

1.3.1 Định nghĩa Một tập con B của không gian tuyến tính X gọi là cơ sở của X nếu B là độc lập tuyến tính và mọi vectơ của X đều là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của B

1.3.2 Định lí Để tập con B của không gian tuyến tính X là cơ sở của X, cần

và đủ B là tập độc lập tuyến tính tối đại, nghĩa là B là độc lập tuyến tính và nếu M là tập độc lập tuyến tính của X mà B⊂M thì M = B

1.3.3 Định lí Trong một không gian tuyến tính X bất kì, mọi tập độc lập tuyến tính đều được chứa trong một cơ sở của X Nếu B và C là hai cơ sở của

X thì B và C là hai tập hợp tương đương (cùng lực lượng)

1.3.4 Định lí Mọi không gian tuyến tính X ≠ {θ} đều có cơ sở Không gian tuyến tính X = {θ} không có cơ sở

1.4 Không gian hữu hạn chiều

1.4.1 Định nghĩa Nếu một cơ sở của không gian tuyến tính X có n vectơ (n∈ *) thì ta nói rằng số chiều của X là n và viết dimV = n Ta quy ước nói rằng số chiều của không gian tuyến tính X = {θ} là 0 và cũng viết dimV = dim{θ}= 0

1.4.2 Định nghĩa Không gian tuyến tính X gọi là không gian hữu hạn chiều nếu dimX = n∈

1.5.1 Định nghĩa Tập con Y của không gian tuyến tính X gọi là một không

gian tuyến tính con, hay ngắn gọn là không gian con, của X nếu Y là một

không gian tuyến tính với các phép toán của V

1.5.2 Định lí Tập con Y ≠ ∅ của không gian tuyến tính X là không gian con của X khi và chỉ khi Y đóng kín với các phép toán của X, nghĩa là:

x + y∈Y với ∀x, y∈Y; αx ∈Y với ∀α∈P và ∀x∈Y

Chứng minh Vì Y ≠ ∅ nên có vectơ z∈Y Với α = - 1∈P ta có – z = (-1)z ∈Y Do đó θ = z + (- z) ∈Y Các tính chất của các phép toán trong

X đ−ợc chuyển tự nhiên thành tính chất của các phép toán trong Y

1.6 Không gian định chuẩn

1.6.1 Định nghĩa Một không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X

trên trường P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là và

đọc là chuẩn, thỏa mCn các tiên đề sau:

1) (∀ ∈x X) x ≥ 0, x = ⇔ = 0 x θ

2) (∀ ∈x X) ( ∀α ∈P x) = α x .

3) (∀x y, ∈X) +x y ≤ x + y

Số x gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng ký hiệu không gian định

chuẩn là X Các tiên đề 1, 2, 3, gọi là hệ tiên đề chuẩn

i i

j j

i i

định chuẩn 3 chiều đối với phép cộng đa thức, phép nhân đa thức với số thực

và chuẩn x = max{a , b , c} {t2, t, 1} là một cơ sở của T3

1.6.4 Ví dụ Đặt S2 = {x(t) = asint + bcost | a, b, t∈
} S2 là không gian đinh chuẩn 2 chiều đối với phép cộng các hàm số, phép nhân hàm số với số thực và chuẩn x = max{a , b} {sint, cost} là một cơ sở của S2

1.6.5 Định nghĩa Hai chuẩn 1và 2trên không gian tuyến tính X gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại hai số dương ,α β sao cho:

x ≤ ⇒ ≤r Hiển nhiên hệ thức này đúng cả với x = θ

Tiếp tục xét hình cầu mở S1*(θ,1 =) S1* Vì *

nghĩa là hai chuẩn , 1 2 tương đương

1.6.8 Định lí Hai chuẩn bất kì trên không gian hữu hạn chiều X đều tương

Chứng minh Nếu tất cả các dCy toạ độ α ∞

=

(k){ i }k 1 hội tụ tới αi , i

=1, n , thì hiển nhiên dCy vectơ { }

Nếu dCy vectơ { }

1

x

k k

∞

= hội tụ tới vectơ x mà X chỉ có một chiều thì

hiển nhiên dCy toạ độ { }

i k 1 hội tụ tới αi , i =1, n 1 Khi đó −

Nh− vậy dCy toạ độ {α(k)}∞=

n k 1 cũng hội tụ tới αn Vậy nếu dCy vectơ { }

{ i }k 1 hội tụ tới αi , i =1, n

1.6.11 Định nghĩa DCy vectơ { }

1

x

k k

∞

= trong không gian định chuẩn X gọi

là dCy Cauchy nếu lim 0

Dễ thấy mọi dCy hội tụ trong không gian định chuẩn X đều là dCy

Cauchy Tuy nhiên, điều ng−ợc lại nói chung không đúng

1.6.12 Định nghĩa Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu

mọi dCy Cauchy của X đều là dCy hội tụ

1.6.13 Định lí Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian

Banach

Chứng minh Ta biết rằng hai chuẩn bất kì trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X đều tương đương với nhau Vì vậy ta chỉ cần chứng minh rằng X là không gian Banach đối với một chuẩn bất kì trong X

Ta hCy xét X với cơ sở {e1, e2, , en}

Với x = ∑ α

=

ne

Như vậy X là không gian Banach

1.6.14 Định nghĩa Không gian Banach X mà X là không gian hữu hạn chiều gọi là không gian Banach hữu hạn chiều

1.6.15 Ví dụ n
và n là những không gian Banach n chiều với chuẩn

1

2 21

Chương 2 Toán tử tuyến tính trong không gian

Banach hữu hạn chiều

2.1 Toán tử tuyến tính

2.1.1 Định nghĩa Cho không gian tuyến tính X Một ánh xạ :A X →X gọi

là toán tử tuyến tính trong X nếu :

X Tập hợp R(A) = {y ∃x∈X, y = Ax} gọi là miền giá trị của toán tử tuyến tính A Tập hợp N(A) = {x Ax = θ} gọi là hạt nhân của toán tử tuyến tính A 2.1.3 Định lí Miền giá trị và hạt nhân của toán tử tuyến tính A trong không gian tuyến tính X là các không gian con của X

Chứng minh Nếu x, y∈R(A) và α∈P thì có u, v∈X sao cho x = Au và

y = Av Do đó

x + y = Au + Av = A(u + v) ∈R(A) và αx = αAu = A(αu) ∈R(A) Vì vậy R(A) là không gian con của X

Nếu x, y∈N(A) và α∈P thì Ax = θ và Ay = θ Do đó

A(x + y) = Ax + Ay = θ + θ = θ và A(αx) = α(Ax) = αθ = θ

Vì vậy N(A) là không gian con của X

2.1.4 Định lí Cho X là không gian định chuẩn n chiều (n ≥ 1) và {e1, e2, , en} là một cơ sở của X Mỗi toán tử tuyến tính A trong X có một

an1 n2a ann(aij ∈P với mọi =i 1, n và =j 1, n ) sao cho = ∑ ∑ α

an1 n2a ann(aij ∈P với mọi =i 1, n và =j 1, n ) thì khi đặt = ∑ ∑ α

i 1 ∈X ta đ−ợc A là toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X

và với mọi =i 1, n ta đều có Aei= ∑

=

n

a e j i j

j 1Chứng minh Ta có Aei∈X mà {e1, e2, , en} là một cơ sở của X nên

có duy nhất các số a1i, a2i, , ani ∈P sao cho Aei= ∑

i 1 ∈X Kiểm tra trực tiếp ta thấy ngay A là toán tử tuyến tính trong X

và với mọi =i 1, n ta đều có Aei= ∑

=

n

a e j i j

j 12.1.5 Định nghĩa Cho X là không gian định chuẩn n chiều (n ≥ 1) và {e1, e2, , en} là một cơ sở của X Ma trận

an1 n2a anntương ứng với toán tử tuyến tính A trong X gọi là ma trận của toán tử A và kí

an1 n2a ann

2.1.6 Ví dụ Trong T3 ta đặt Ax(t) = x’(t), tức là nếu x(t) = at2 + bt + c

thì Ax(t) = 2at + b Dễ thấy rằng A là toán tử tuyến tính trong T3. Cần xác

định ma trận A’ đối với cơ sở {t2, t, 1}

Đặt e1 = t2, e2 = t, e3 = 1 Ta có

Ae1 = 2t = 0.e1 + 2.e2 + 0.e3,

Ae2 = 1 = 0.e1 + 0.e2 + 1.e3,

Ae3 = 0 = 0.e1 + 0.e2 + 0.e3

Đặt e1 = sint, e2 = cost Ta có

Ae1 = cost = 0.e1 + 1.e2,

Ae2 = - sint = - 1.e1 + 0.e2

2.2 Toán tử liên tục

2.2.1 Định nghĩa Cho X là không gian định chuẩn ánh xạ A : X → X

gọi là liên tục tại x0 nếu x k →x0 luôn luôn kéo theo Ax k →Ax0 ánh xạ

A : X →X gọi là toán tử liên tục nếu nó liên tục tại mọi x∈X

2.2.2 Định lí Mọi toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

đều là toán tử liên tục

Chứng minh Nếu X = {θ} thì kết luận của định lí là hiển nhiên

Giả sử {e1, e2, , en} là một cơ sở của X Nếu A là toán tử tuyến tính trong không gian Banach n chiều X thì = ∑ ∑ α

Vậy toán tử tuyến tính A là liên tục

2.3 Toán tử bị chặn

2.3.1 Định nghĩa Cho X là không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính

A: X → X gọi là toán tử bị chặn nếu tồn tại số C > 0 sao cho

Ax ≤ C x , x X ∀ ∈

2.3.2 Định lí Mọi toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn

đều là toán tử bị chặn

Chứng minh Nếu A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian

định chuẩn X thì với ε = 1 > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi x∈ X mà x < δ ta đều

δ với mọi x∈ X nên A là toán tử bị chặn

2.3.3 Định lí Mọi toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

2.3.5 Ví dụ Tính chuẩn của toán tử tuyến tính A trong không gian
2nếu chuẩn của x = (x1, x2) ∈ 2

Nếu x = (x1, x2) ∈
2 mà x ≤ 1 thì có α∈
và t∈[0; 1] sao cho x1

= tcosα và x2 = tsinα Khi đó

Ax 10x1 20x2 28x x1 2 t (10 cos 20sin 28cos sin )

= t2(15 + 14sin2α - 5cos2α) ≤ (15 + 221)t2 Với α = 1arcsin 14

Nếu x(t) = t2 thì Ax(t) = 2t nên Ax = 2 = 2 x

Vậy A = 2

2.3.7 Ví dụ Tính chuẩn của toán tử tuyến tính A trong không gian S2 nếu Ax(t) = x’(t) và chuẩn của x(t) = asint + bcost ∈ S2 là x =max{a , b} Vì Ax(t) = acost - bsint nên Ax =max{ b , a}− = x với mọi x(t) ∈ S2

Vậy A = 1

2.4 Toán tử compắc

2.4.1 Định nghĩa Cho X là không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính

A : X → X gọi là toán tử compắc nếu từ mọi dCy bị chặn {x }k k 1∞= ⊂X đều rút ra đ−ợc dCy con {xkm}m 1∞= sao cho dCy {Axkm}m 1∞= hội tụ

2.4.2 Định lí Mọi toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều

đều là toán tử compắc

Chứng minh Nếu A là toán tử tuyến tính trong không gian Banach hữu hạn chiều X và ∞ ⊂

={x }k k 1 X là dCy bị chặn thì {Ax }k k 1∞= cũng là dCy bị chặn trong X Vì X là không gian hữu hạn chiều nên dCy bị chặn {Ax }k k 1∞=phải chứa dCy con hội tụ Do đó A là toán tử compắc

2.5 Tổng và tích các toán tử tuyến tính

2.5.1 Định nghĩa Cho A và B là hai toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X ánh xạ C: X → X gọi là tổng của A và B, kí hiệu là C = A + B, nếu Cx = Ax + Bx, ∀x∈X

2.5.2 Định lí Tổng của hai toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X

là một toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X

Chứng minh Cho A và B là hai toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính X và C = A + B Với mọi x, y∈X và mọi λ∈P ta có

C(x + y) = A (x + y) + B(x + y) = Ax + Ay + Bx + By

= Ax + Bx + Ay + By = Cx + Cy

C(λx) = A(λx) + B(λx) = λAx + λBx = λ(Ax + Bx) = λCx

Vậy C = A + B là toán tử tuyến tính trong X

2.5.3 Định lí Nếu A và B là hai toán tử tuyến tính trong không gian Banach n chiều X thì ma trận của toán tử A + B là tổng của hai ma trận của A và B, tức

là (A + B)’ = A’ + B’