Toán tử định vị trong không gian biến điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƯỜNG Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn nhiệt tình TS Bùi Kiên Cường Thầy tận tình hướng dẫn cho tác giả lời khuyên quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán tổ Giải tích quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn UBND Tỉnh Yên Bái, sở GD&ĐT Tỉnh Yên Bái, Ban giám hiệu trường THPT Trần Nhật Duật Tỉnh Yên Bái Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện cho giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà iii Mục lục Bảng kí hiệu viết tắt v Mở đầu x Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian hàm suy rộng 1.1.1 Không gian hàm D(Ω) 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.3 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) 1.1.4 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) Biến đổi Fourier 1.2.1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược 1.2.2 Biến đổi Fourier đạo hàm 1.2.3 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 14 1.2.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 16 Không gian Sobolev 20 1.3.1 Không gian Sobolev cấp nguyên 21 1.3.2 Không gian Sobolev cấp thực 23 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng 25 1.4.1 Không gian hỗn hợp chuẩn 25 1.4.2 Hàm trọng 27 1.4.3 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng 30 iv 1.5 Không gian biến điệu Toán tử định vị không gian Lp 2.1 2.2 37 Toán tử giả vi phân Tσ 39 2.1.1 Một số định nghĩa ví dụ 39 2.1.2 Tính bị chặn toán tử giả vi phân 43 2.1.3 Toán tử giả vi phân không gian Sobolev 52 Biến đổi Weyl 56 2.2.1 Định nghĩa 56 2.2.2 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc Lp (R2n ), ≤ p≤2 66 2.2.3 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L∞ (R2n ) 69 2.2.4 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc Lp (R2n ), < p ta có phép nhúng (rp ) ,(rq ) rp,rq Mm → Mm , với p, q toán tử định vị có vai trò phép chiếu quy (rp ) ,(rq ) ∗ (rp) ,(rq) rp ,rq rp,rq ∗ ) = M1/m (Mm ) = M1/m1 c) Ta biết (Mm2 với giả thiết tương tự Mệnh đề 3.2.1 toán tử định vị (rp) ,(rq) rp ,rq LFφ,ψ : M1/m → M1/m1 bị chặn Mệnh đề 3.2.1 thu nhiều hệ ta thay đổi số điều kiện biểu trưng F hàm cửa sổ Mệnh đề 3.2.3 Cho F ∈ L∞ (R2n ) m1 (z), m2 (z) hàm trọng cho m2 (z) ∈ L∞ (R2n ) m1 (z) p,q p,q Thế toán tử định vị LFφ,ψ : Mm → Mm bị chặn với ≤ p, q ≤ +∞ trừ trường hợp (p, q) = (1, ∞) (p, q) = (∞, 1) Hơn ta có LFφ,ψ ≺ F L∞ 93 Chứng minh Vì F (z) ∈ L∞ (R2n ) m2 (z) m1 (z) ∈ L∞ (R2n ) nên F (z)m2 (z) ∈ L∞ (R2n ) m1 (z) Do áp dụng Mệnh đề 3.2.1 với r = ∞ ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.4 Cho F ∈ L1 (R2n ) m1 (z), m2 (z) hàm trọng cho m2 (z) ∈ L∞ (R2n ) m1 (z) p1 ,q1 Khi đó, với p1 , q1 , p2 , q2 ∈ [1, +∞] toán tử LFφ,ψ bị chặn từ Mm (Rn ) p2 ,q2 tới Mm (Rn ) LFφ,ψ ≺ F L1 Chứng minh Theo Mệnh đề 1.5.3 có phép nhúng liên tục p1 ,q1 ∞,∞ p1 ,q1 ∞,∞ Mm (Rn ) → Mm (Rn ) Mm (Rn ) → Mm (Rn ) 1 2 ánh xạ đồng id Mặt khác theo Mệnh đề 3.2.1 với r = ta có ∞,∞ 1,1 LFφ,ψ : Mm (Rn ) → Mm (Rn ) p1 ,q1 Do ta có toán tử id.LFφ,ψ id toán tử định vị bị chặn từ Mm (Rn ) p2 ,q2 tới Mm (Rn ) Hơn id.LFφ,ψ id ≤ LFφ,ψ ≺ F L1 Mệnh đề chứng minh Từ hai mệnh đề sử dụng phép nội suy ta có: Mệnh đề 3.2.5 Cho F ∈ Lr (R2n ), r ∈ [1, +∞] m1 (z), m2 (z) hàm trọng cho m2 (z) m1 (z) ∈ L∞ (R2n ) Khi đó, với p, q ∈ [1, +∞] trừ trường hợp (p, q) = (1, ∞) (p, q) = (∞, 1) LFφ,ψ bị chặn từ p,q p,q Mm (Rn ) vào Mm (Rn ) ta có LFφ,ψ ≺ F (z)m2 (z) m1 (z) Lr 94 p,q p,q Chứng minh Đặt B(Mm , Mm ) không gian toán tử tuyến tính bị p,q p,q chặn từ Mm vào Mm Theo Mệnh đề 3.2.3 ánh xạ LF : F → LFφ,ψ p,q p,q tuyến tính liên tục từ L∞ (R2n ) tới B(Mm , Mm ) trừ trường hợp (p, q) = (1, ∞) (p, q) = (∞, 1) Mặt khác theo Mệnh đề 3.2.4 p,q p,q ánh xạ LF tuyến tính liên tục từ L1 (R2n ) tới B(Mm , Mm ) Do theo phép nội suy ta có LF tuyến tính liên tục từ Lr (R2n ) p,q p,q tới B(Mm , Mm ) Mệnh đề đươc chứng minh Mệnh đề 3.2.6 Với giả thiết tương tự Mệnh đề 3.2.5, LFφ,ψ toán tử định vị bị chặn không gian biến điệu: ∞,∞ r ,r a) LFφ,ψ : Mm → Mm r,r 1,1 b) LFφ,ψ : Mm → Mm Chứng minh Bằng lý luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.2.5 ta có điều phải chứng minh Sau ta xét tính bị chặn bình phương toán tử định vị Áp dụng kết có Mệnh đề 3.2.6 ta có Mệnh đề 3.2.7 a) Cho m1 , m2 hai hàm trọng tương đương Giả sử tồn r ∈ [1, 2] cho ∞,∞ F (z) ∈ Lr (R2n ) Khi ta có toán tử (LFφ,ψ )2 : Mm1 → Mm bị chặn b) Nếu m(z) hàm trọng v-ôn hòa mà tồn C > cho ∞ C ≤ m(z) toán tử (LFφ,ψ )2 : Mm → M11,1 Chứng minh 95 m2 (z) ∞ 2n m1 (z) ∈ L (R ) Theo phần a) Mệnh đề 3.2.6 ∞,∞ r ,r Mm → Mm bị chặn Lại m1 ≺ m2 nên ta có a) Do m2 ≺ m1 nên ta có LFφ,ψ : m1 (z) ∈ L∞ (R2n ) m2 (z) 1,1 r,r bị chặn → Mm Áp dụng tiếp phần b) Mệnh đề 3.2.6 ta có LFφ,ψ : Mm Mặt khác r ∈ [1, 2] ⇒ r ≤ r ta có phép nhúng liên tục r ,r r,r Mm → Mm ∞,∞ 1,1 Từ kết ta có (LFφ,ψ )2 : Mm → Mm bị chặn b) Chọn m1 = m2 = theo phần a) ta có (LFφ,ψ )2 : M1∞,∞ → M11,1 bị chặn Mặt khác theo giả thiết ≺ m nên ta có phép nhúng liên tục ∞,∞ M1∞,∞ → Mm Từ ta suy điều phải chứng minh Một lớp không gian quan trọng không gia Sobolev Theo Mệnh đề 1.5.5 ta thấy rõ ràng không gian Sobolev trường hợp đặc biệt không gian biến điệu Sau ta mở rộng kết tính bị chặn toán từ định vị loại không gian Sobolev 3.3 Tính bị chặn Toán tử định vị không gian Sobolev Trong mục ta cố định hàm trọng v-ôn hòa σ(z) xét không gian biến điệu Mσp,q s , s ∈ R Khi Mệnh đề 3.2.5 phát biểu sau: 96 Mệnh đề 3.3.1 Cho r ∈ [1, +∞], k ∈ R giả sử p,q F (z)σ(z)−k ∈ Lr (R2n ), toán tử LFφ,ψ : Mσp,q s → M s−k bị chặn với σ s ∈ R Đặt Γkρ (R2n ), k ∈ R, ρ ∈ (0, 1] lớp hàm a(z) ∈ C ∞ (R2n ) cho với đa số γ ∈ N2n tồn số dương Cγ thỏa mãn |∂zγ a(z)| ≤ Cγ z k−ρ|γ| , (z ∈ R2n ) (3.9) Mệnh đề 3.3.2 Giả sử F ∈ Γkρ , k ∈ R toán tử Weyl OpFW bị p,q n chặn từ Mσp,q s tới M s−k với ≤ p, q ≤ +∞ đặc biệt từ Qs (R ) σ tới Qs−k (Rn ) Chứng minh Ta có, theo định lý liên hệ toán tử Weyl toán tử anti-Wick OpFW = LFg,g + R LFg,g toán tử anti-Wick với biểu trưng F thuộc vào lớp Γkρ (R2n ) R phép chiếu quy từ S (Rn ) vào S(Rn ), xem thêm [15] Mà theo Mệnh đề 1.5.6 ta có p,q n n n n phép nhúng Mσp,q s (R ) → S (R ), S(R ) → M s−k (R ) ánh σ xạ đồng Do R xem ánh xạ tuyến tính p,q n n k bị chặn từ Mσp,q s (R ) vào M s−k (R ) Mặt khác F ∈ Γρ suy F z σ bị chặn, hay F z −k −k ∈ L∞ (R2n ) Từ theo Mệnh đề 3.3.2 LFp,q bị chặn p,q n n từ Mσp,q s (R ) vào M s−k (R ) σ Suy điều phải chứng minh Ta ý trường hợp s = có kết biết tính liên tục toán tử Weyl không gian L2 Ta có Mệnh đề 3.2.1 mở rộng từ toán tử Weyl Vì biểu trưng chúng b(z) viết dạng b = F ∗ W (φ, ψ) với F, φ, ψ hàm thỏa mãn (3.4) toán tử Weyl Wb đồng với toán tử định vị LFφ,ψ Bây xét không gian vị Bessel H s,p Ta biết n H s,p (Rn ) → M p,∞ s (R ), s ∈ R w (3.10) 97 ta có s,p n M p,1 (Rn ) → M p,∞ s → H s (R ), s ∈ R w w (3.11) Từ ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.3.3 Cho F ∈ L∞ (R2n ) ta có toán tử bị chặn n LFφ,ψ : H s,p (Rn ) → M p,∞ s (R ), ω LFφ,ψ n s,p n (3.12) : M ω s (R ) → H (R ) với p ∈ [1, ∞] s ∈ R Chứng minh Theo giả thiết F ∈ L∞ (R2n ) nên theo Mệnh đề 3.2.1 LFφ,ψ n bị chặn M p,∞ s (R ) Mặt khác từ (3.10) suy w n LFφ,ψ : H s,p (Rn ) → M p,∞ s (R ) bị chặn ω n F ∗ F Do LFφ,ψ : H s,p (Rn ) → M p,∞ s (R ) bị chặn, suy (L φ,ψ ) = Lψφ bị chặn ω từ (M pw,∞s )∗ vào H −s,p Vì M pw,1−s ⊂ (M pw,∞s )∗ nên LFψ,φ : M pw,1−s → H −s,p bị chặn, từ suy LFφ,ψ : M ω s (Rn ) → H s,p (Rn ) bị chặn, F, p, s tùy ý Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.3.4 Cho F (z) ω −k ∈ L1 (R2n ), k ∈ R với p1 , p2 ∈ [1, ∞] s ∈ R ta có toán tử định vị bị chặn LFφ,ψ : H s,p1 (Rn ) → H s−k,p2 (Rn ) (3.13) Chứng minh Ta có phép nhúng sau ánh xạ đồng n H s,p1 (Rn ) → M pw1 ,∞ s (R ) M 1,1 s−k (Rn ) → M p2 ,1s−k (Rn ) → H s−k,p2 (Rn ) w w 1,1 n n Hơn nữa, theo Mệnh đề 3.2.1 LFφ,ψ bị chặn từ M pw1 ,∞ s (R ) vào M s−k (R ) w từ suy mệnh đề chứng minh 98 Mệnh đề 3.3.5 Cho F ∈ Γkρ , ρ ∈ (0, 1] Mệnh đề 3.3.3 Mệnh đề 3.3.4 với toán tử Weyl OpFW k ≤ k < −2n Chứng minh Ta có OpFW = LFφ,ψ + R tương tự chứng minh Mệnh đề 3.3.2 Nếu k ≤ F ∈ L∞ (R2n ) Nếu k < −2n F ∈ L1 (R2n ) Do trường hợp LFψ,φ bị chặn không gian kết luận Mệnh đề 3.3.3 Mệnh đề 3.3.4 Tương tự chứng minh Mệnh đề 3.3.2 R bị chặn không gian kết luận Mệnh đề 3.3.3 Mệnh đề 3.3.4, ta có điều phải chứng minh 3.4 Toán tử định vị compact Trong mục ta xét hàm cửa sổ φ, ψ ∈ Mv1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) hàm trọng v-ôn hòa m Mệnh đề 3.4.1 Cho p, q ∈ (1, ∞) giả sử m ∈ Lp,q (R2n ) m−1 ∈ Lp ,q (R2n ) Khi r ∈ [1, +∞) F ∈ Lr (R2n ) toán tử p,q LFφ,ψ compact Mm (Rn ) Lp,q < ∞ p,q Mm (Rn ) Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử m Xét dãy uj ∈ S(Rn ), j = 1, 2, hội tụ yếu Xét trường hợp supp F compact p,q Với p, q ∈ (1, ∞) không gian Mm (Rn ) phản xạ, S(Rn ) p,q trù mật Mm (Rn ) nên để chứng minh LFφ,ψ compact ta cần chứng minh LFφ,ψ uj p,q Mm → j → ∞ 99 Trường hợp r = ta có LFφ,ψ uj p,q Mm (Rn ) = Vg (LFφ,ψ uj ) Lp,q m = m(ω).Vg (LFφ,ψ uj ) |F (z)|| uj , φz || ψ, gω |dz ≤ m(ω) R2n Lp,q |F (z)|| uj , φz | ψz ≤ m(ω) R2n = ψ g L2 Lp,q L2 gω L2 dz Lp,q m L2 |F (z)|| uj , φz |dz Lp,q R2n (3.14) p,q Do uj hội tụ yếu tới Mm (Rn ), nên uj bị chặn Nghĩa tồn C > cho uj p,q Mm ≤ C, (3.15) p,q ∗ với v ∈ (Mm ) ta có v(uj ) = Vg uj , Vg v Vì m(z) v-ôn hòa (v(z) = z ) m(z) → L2 (3.16) v-ôn hòa nên m(z) ≺ v(z), từ suy p ,q Mm −1 ≺ Mvp ,q (3.17) Từ (3.15) (3.17) hàm | uj , φz | tích phân cuối (3.14) bị chặn Tức ta có | uj , φz | ≤ uj p,q Mm φz p ,q M1/m ≺ φz Mvp ,q ≺ φz Mv1,1 ≺ φ Mv1,1 (3.18) φz Mv1,1 ∼ φ Mv1,1 z lấy tập suppF compact Mặt khác ta lại có uj , φz = Vg uj , Vg φz L2 = φz (uj ) → j → Do | uj , φz | hội tụ điểm tới j → ∞ Theo định lý miền hội tụ tích phân ta có |F (z)|| uj , φz |dz → 0, j → ∞ R2n 100 Trường hợp r > 1, cách tương tự với trường hợp r = ta có LFφ,ψ uj p,q Mm = Vg (LFφ,ψ uj ) Lp,q m |F (z)|| uj , φz ||ψz , gω |dz ≤ m(ω) R2n Lp,q 1/r ≤ F Lr r | uj , φz | m(ω) supp F ψz rL2 gω rL2 dz Lp,q 1/r = F Lr ψ L2 g L2 m | uj , φz |r dz Lp,q supp F (3.19) Tương tự trường hợp r = Từ suy LFφ,ψ uj p,q Mm supp F | uj , φz |r dz → j → ∞ → j → ∞ p,q (Rn ) Vậy supp F compact LFφ,ψ compact Mm Trường hợp supp F không compact Gọi Lr0 (Rn ) tập hàm F ∈ Lr (Rn ) có giá compact Lr0 trù mật Lr Do với F ∈ Lr (Rn ) có dãy Fk ∈ Lr0 (Rn ), j = 1, 2, 3, cho Fk → F k → ∞ p,q k Do supp Fk compact nên ta có LFφ,ψ (Rn ) compact Mm p,q Mặt khác, ánh xạ LF : F → LFφ,ψ liên tục từ Lr (R2n ) vào B(Mm (Rn )) k Do LFφ,ψ → LFφ,ψ k → ∞ LFφ,ψ compact Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.4.2 Cho p, q ∈ (1, ∞) giả sử m ∈ Lp,q (R2n ) m−1 ∈ Lp ,q (R2n ) Giả sử thêm F ∈ L∞ (R2n ) lim|z|→∞ F (z) = p,q toán tử LFφ,ψ compact Mm (Rn ) Chứng minh Lý luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.4.1, ta cần chứng minh LFφ,ψ uj 2n Lp,q m (R ) p,q Mm → 0, với uj dãy hội tụ yếu 101 Xét trường hợp F có giá compact Ta có LFφ,ψ uj p,q Mm = Vg (LFφ,ψ uj ) Lp,q m |F (z)|| uj , φz ||ψz , gω |dz ≤ m(ω) supp F Lp,q | uj , φz | ψz ≤ esssupz∈R2n |F (z)| supp F ≤ F = F L∞ supp F ψ L2 g L2 gω dz L2 Lp,q |(uj , φz )| ψz m(ω) L∞ L2 L2 gω L2 dz Lp,q m Lp,q | uj , φz |dz supp F (3.20) Tương tự ta có supp F | uj , φz |dz → j → ∞, suy LFφ,ψ uj p,q Mm →0 p,q hay LFφ,ψ compact Mm (Rn ) Bây supp F không tập compact, C0∞ (R2n ) trù mật tập hợp hàm L∞ (R2n ) có giới hạn ∞ Vậy nên tương tự lập luận chứng minh Mệnh đề 3.4.1 ta có LFφ,ψ compact Mệnh đề chứng minh Tiếp tục sử dụng phép nội suy ta có kết sau Mệnh đề 3.4.3 Với giả thiết Mệnh để 3.4.1 Mệnh p˜,˜ q đề 3.4.2 toán tử LFφ,ψ compact Mm 1−2s p˜ = 1−s p + ps , q˜ = 1−s q + s q với s ∈ [0, 1] Mệnh đề 3.4.4 Cho p, q ∈ (1, ∞), giả sử tồn m(z) ≺ z − z > cho ≺ m(z) Nếu r ∈ [1, +∞), F ∈ Lr (R2n ) F ∈ L∞ (R2n ) lim|z|→∞ F (z) = toán tử LFφ,ψ compact p,q n Mm 1−2t (R ) với t ∈ [0, 1] Chứng minh Giả sử m(z) ≺ z − Khi tồn k > cho m(z)k ≺ z − k ∈ L1 (R2n ) 102 m(z)k ∈ Lp1 ,q1 (R2n ) với p1 , q1 ∈ [1, ∞) p,q Theo Mệnh đề 3.4.1 Mệnh đề 3.4.2 LFφ,ψ compact Mm k p,q p ,q F Mm k Suy Lφ,ψ compact Mm−k p,q Do đó, theo phép nội suy, LFφ,ψ compact không gian Mm k(1−2s) với s ∈ [0, 1] Chọn s = k−1 2k s = k+1 2k p,q ta có LFφ,ψ compact Mm p,q F Mm −1 Tiếp tục sử dụng phép nội suy lần nữa, ta có Lφ,ψ compact p,q Mm 1−2t với t ∈ [0, 1] Bây z ≺ m(z) tồn k > cho m(z)−k ≺ z − k ∈ L1 (R2n ), m(z)−k ∈ Lp1 ,q1 (R2n ) với p1 , q1 ∈ [1, ∞) p,q p,q Tương tự ta suy LFφ,ψ compact Mm −k Mmk Lại sử dụng phép nội suy ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề 3.4.5 Với m(z) thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 3.4.4 F ∈ Γkρ , ρ ∈ (0, 1], k < p,q Thế toán tử Weyl OpFW compact không gian Mm 1−2t với p, q ∈ (1, ∞) với t ∈ [0, 1] Chúng ta thấy Mệnh đề 3.4.1 Mệnh đề 3.4.5 với tính compact toán tử giả vi phân toán tử Weyl L2 (Rn ) không gian Sobolev Qs (Rn ) Như vậy, trao đổi số tính chất toán tử định vị không gian biến điệu Một số lớp không gian biến điệu thay đổi thành không gian có tên gọi khác ta chọn hàm trọng khác Hơn toán tử định vị phụ thuộc vào việc ta chọn hàm biểu trưng Các tính chất thay đổi ta thay đổi lớp hàm biểu trưng Do có nhiều vấn đề liên quan đến tính chất toán tử định vị lớp không gian khác Nội dung chương trình bày phần nhỏ vấn đề 103 Kết luận Luận văn đạt nội dung sau: Trình bày có hệ thống kiến thức chuẩn bị cho luận văn như: Lý thuyết hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier Một số không gian quan trọng: Không gian hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian hỗn hợp chuẩn, không gian hỗn hợp chuẩn có trọng, không gian biến điệu Luận văn trình bày có hệ thống phù hợp với nội dung nghiên cứu toán tử: toán tử giả vi phân, phép biến đổi Weyl, toán tử định vị Cuối luận văn nêu số tính chất toán tử định vị tác động không gian biến điệu số lớp không gian Sobolev Tính bị chặn, tính compact toán tử định vị chứng minh lớp không gian biến điệu tổng quát Với thời gian ngắn lượng kiến thức luận văn lớn nên luận văn tránh thiếu sót Một số vấn đề đưa chưa giải cách triệt để Tác giả mong đóng góp quý Thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện 104 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung(2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng(2006), Phương trình đạo hàm riêng, Phần 2, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy(2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Hội Nghĩa(2004), Hàm suy rộng , NXB Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh [5] Đặng Anh Tuấn(2005), Lý thuyết Hàm suy rộng không gian Sobolev, http://datuan5pdes.wordpress.com [6] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [7] W Arveson(2002), A Short Course on Spectral Theory, Springer [8] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro(2009), "Generalized Spectrograms and τ -Wigner Transforms", Proceeding of Vaxio University, Sweden 105 [9] P Boggiatto, G D Donno and A Oliaro(2003), Localization operators with Lp symbols on modulation spaces, Preprint N7/2003, University of Turin, Italy [10] P Boggiatto, A Oliaro and M W Wong(2006), Lp boundedness and compactness of localization operators, Elsevier, journal of Mathematical Analysis and application, Canada [11] L Debnath and P Mikusi´ nski(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi [12] K Gr¨ochenig(2001), Foundation of Time-Frequency Analysis, Birkh¨auser Boston, USA [13] G Grubb(2009), Distributions and Operators, Springer, New York, USA [14] W Rudin(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi [15] M A Shubin(2001), Pseudodifferential Operators and Spectral Theory,second editon, Springer [16] M.W Wong(1999), An troduction to Pseudo-differential Operators, second editon, World Scientific, Singapore [17] M W Wong(1998), Weyl transform, Springer-Verlag New York, Inc [18] M.W Wong(2002), Wavelet Transform and Localization Operators, Birkh¨auser Boston, USA [19] C Zuily(1988), Problems in Distributions and Partial Differential Equations, North-Holland Mathematics studies 143