Toán tử định vị trong không gian biến điệu

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HO HÁI HÀ TỐN TÚ Đ±NH V± TRONG KHƠNG GIAN BIEN LU¾N VĂN THAC SY Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 60 46 01 Hà N®i-2011 ĐIfiU B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HO HÁI HÀ TỐN TÚ Đ±NH V± TRONG KHƠNG GIAN BIEN ĐIfiU LU¾N VĂN THAC SY Chun ngành: Tốn giái tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS BÙI KIÊN CƯèNG Mã so: 60 46 01 H Nđi-2011 LốI CM N Luắn ny đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc S pham H Nđi dúi sn húng dan nhiắt tình cna TS Bùi Kiên Cưòng Thay t¾n tình hưóng dan cho tác giá nhung lòi khun q báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay luụn đng viờn v khớch lắ e tỏc giỏ lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn UBND Tính n Bái, só GD&ĐT Tính n Bái, Ban giám hi¾u trưòng THPT Tran Nh¾t Du¾t Tính n Bái Tác giá xin đưoc cám ơn gia đình, ban bè đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n cho giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Hà N®i, ngày 25 tháng năm 2011 Tác giá Ho Hái Hà LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 25 tháng năm 2011 Tác giá Ho Hái Hà Mnc lnc Báng kí hi¾u viet tat v Má đau x Kien thNc chuan b% 1.1 1.2 1.3 1.4 Khơng gian hàm suy r®ng 1.1.1 Không gian hàm bán D(Ω) 1.1.2 Không gian hàm suy r®ng Dr(Ω) 1.1.3 Không gian hàm giám nhanh S(Rn) 1.1.4 Không gian hàm suy rđng tng chắm S r (Rn) Bien oi Fourier 1.2.1 Bien đoi Fourier bien đoi Fourier ngưoc 1.2.2 Bien đoi Fourier đao hàm 1.2.3 Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng 14 1.2.4 Bien đoi Fourier thòi gian ngan 16 Không gian Sobolev 20 1.3.1 Không gian Sobolev cap nguyên 21 1.3.2 Không gian Sobolev cap thnc 23 Khơng gian hon hop chuan có .25 1.4.1 Không gian hon hop chuan 25 1.4.2 Hàm 27 1.4.3 Không gian hon hop chuan có 30 1.5 Khơng gian bien đi¾u 34 Tốn tN đ%nh v% khơng gian Lp 2.1 37 Toán tú giá vi phân Tσ 39 2.1.1 M®t so đ%nh nghĩa ví du 39 2.1.2 Tính b% ch¾n cna toán tú giá vi phân .43 2.1.3 Tốn tú giá vi phân khơng gian Sobolev 52 2.2 56 Bien đoi Weyl 2.2.1 Đ%nh nghĩa .56 2.2.2 2.2.3 p≤2 Bien đoi Weyl vói bieu trưng thu®c L∞(R2n) 2.2.4 2.2.5 2.3 ≤ 66 69 < p < ∞ 71 Phép bien đoi Weyl Compact 76 Toán tú đ%nh v% 78 2.3.1 Đ%nh nghĩa .79 2.3.2 Tốn tú đ%nh v% b% ch¾n 80 2.3.3 Toán tú đ%nh v% phép bien đoi Weyl 85 2.3.4 Toán tú đ%nh v% compact 86 Tốn tN đ%nh v% khơng gian bien đi¾u 88 3.1 Đ%nh nghĩa tốn tú đ%nh v% khơng gian bien đi¾u 88 3.2 Tính b% ch¾n cna toán tú đ%nh v% 89 3.3 Tính b% ch¾n cna Tốn tú đ%nh v% khơng gian Sobolev 95 3.4 Tốn tú đ%nh v% compact 98 Ket lu¾n 103 Tài li¾u tham kháo 104 Báng kí hi¾u viet tat N: N∗ : |α| : T¾p hop so tn nhiên T¾p hop so nguyên dương B¾c cna đa chí so α, n |α| = αi, α = (α1, , αn) ∈ N∗ i=1 R: Rn : C: T¾p hop so thnc Khơng gian Ơclit n chieu T¾p hop so phúc z, |z| : So phúc liên hop, mô đun cna so phúc z Dα f : Đao hàm cap α cna f, Dαf = (−1) |α| α ∂ f ∂αu : Đao hàm riêng cap α cna u, (∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ) C∞ : Không gian hàm vi vô han (Ω) : T¾p hop hàm vi vô han giá compact C∞ C0(Rn) : Không gian hàm liên tuc có giá compact D (Ω) : S (Rn) : Không gian hàm bán Không gian hàm giám nhanh S r (Rn) : Không gian hàm tăng ch¾m T xf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f, Txf (t) = f (t − x) Mω f : Sn đieu bien theo ω cna hàm f, Mωf (t) = e2πit·ωf (t) f∗ : Phép đoi hop cna f, f ∗ (x) = f (−x) f˜ : Phép đoi xúng cna f, f (x) = f (−x) (f ∗ g)(x) : Tớch chắp cna f v g, f (y)g(y x)dy (f ∗ g)(x) Rn = fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f F −1 (f ) , fˇ : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f F, fˆ : Liên hop cna bien đoi Fourier f X αf (x) : Toán tú nhân, Xα f (x) = xαf (x) span{A} : Bao tuyen tính cna t¾p A Ap : Hang so Babenko-Beckner, Ap = 1/ 1/2 p p (pr)1/p r V gf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói hàm cúa so g, ¸ Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πit·ωdt Rn F2 : Bien đoi Fourier cna hàm F theo bien thú 2, ¸ F (x, t)e−2πit·ωdt F2F (x, ω) = Rn vii Lp : Không gian hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu han "f"Lp (Ω) p  ¸ |f (x)| dx =  p Ω Hs(Rn) : Không gian Sobolev cap s, s Hs(Rn) = {u ∈ Sr(Rn)| (ξ) Fu(ξ) ∈ L2(Rn)} Hs,p(Ω) : Hm (Ω) : H Không gian hàm Lp-Sobolev cap s Lp,q(Rn) : Không gian hon hop chuan ∞ m Bao đóng cna C0 (Ω) (Ω) n p,q (R ), "F "Lp,q : Chuan không gian q L ¸ ¸ p p dω q Rn "F "Lp,q |F (x, ω)| dx Rn = Lp,q(R ) : m Khơng gian hon hop chuan có 2n "F "Lp, q m : "F "Lp,m q p,q Chuan khơng gian Lm (R2n), ¸ ¸ q p p =( m(x, dx)p dω) q |F (x, ω) ω)| ( Rn Rn ): M p,q m (R Không gian bien đi¾u, n M p,q(R ) = {u ∈ m S r (Rn n "u"M mp,q (Rn) )"Vgu ∈ Lp,q(R2n )} m : Chuan không gian M p, q p,q m n vii n (R ), "u" p,q M m (Rn) Tσ : Tσϕ(x) = "Vgu" , u ∈ Mm (R ) p, q Lm (R2n) Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ, ¸ −n/2 = (2π) eix·ξ σ(x, ξ)ϕˆ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ) Rn ta có p,1 M s ‹→ H s,p(Rn) ‹→ M (w) p,∞ (Rn), s ∈ R s (3.11) (w) Tù ta có m¾nh đe sau: M¾nh đe 3.3.3 Cho F ∈ L∞(R2n) ta có tốn tú b% ch¾n φ,ψ L ) : H s, (R p n F p,∞ M n → R (ω) ), (3.12) ( s n n s, s L φ,ψ : M(ω) (R ) → H p (R ) F vói moi p ∈ [1, ∞] s ∈ R Chúng minh Theo giá thiet F ∈ L∞(R2n) nên theo M¾nh đe 3.2.1 LFφ, p,∞ ψ b% ch¾n M s (Rn) M¾t khác tù (3.10) suy (w) φ,ψ L : H s, (R ) p p,∞ n n ) b% ch¾n ( → (ω)s R p,∞ : H s,p(Rn) → M s (Rn) b% ch¾n, suy (LF F Do LF φ,ψ p ,∞ ∗ ,1 tù p(M M r M (w) (ω) ) vào H−s,pr Vì r s (w) (M LF −s b% ch¾n, tù suy LFφ, : ψ M(ω) r ) nên s ψ,φ (w) ⊂ s φ,ψ p ,∞ ∗ )∗ = LF : pr ,1 M (w) b% ch¾n ψφ −s → H−s,p r (Rn) → Hs,p(Rn) b% ch¾n, F, p, s tùy ý M¾nh đe đưoc chúng minh M¾nh đe 3.3.4 Cho F (z) (ω) −k ∈ L1(R2n), k ∈ R vói moi p1, p2 ∈ [1, ∞] s ∈ R ta có tốn tú đ%nh v% b% ch¾n φ,ψ L : H s,p (R ) → H s−k,p (R ) n F n (3.13) Chúng minh Ta có phép nhúng sau bang ánh xa đong nhat H s,p1 (Rn ) ‹→ M n p1 ,∞ s (w) (Rn ) M 1,1 (R (w) s−k ) ‹→ M p2,1 ) ‹→ n s−k (R (w) Hơn nua, theo M¾nh đe 3.2.1 LF φ,ψ H s−k,p b%1,1 ch¾n tù M M tù suy m¾nh đe đưoc chúng minh (Rn) p1 ,∞ (w) s (Rn) vào ( w) (Rn) s−k M¾nh đe 3.3.5 Cho F ∈ Γk,ρρ ∈ (0, 1] M¾nh đe 3.3.3 M¾nh đe 3.3.4 van vói toán tú Weyl OpFW neu k ≤ k < −2n Chúng minh Ta có OpFW minh M¾nh đe 3.3.2 = L F˜ φ, ψ + R tương tn chúng Neu k ≤ ∈ L∞ (R2n) Neu k < −2n F˜ F˜ ∈ L1(R2n) Do ˜ F b% ch¾n khơng gian trong moi trưòng hop Lψ, φ ket lu¾n cna M¾nh đe 3.3.3 M¾nh đe 3.3.4 Tương tn chúng minh M¾nh đe 3.3.2 R b% ch¾n khơng gian ket lu¾n cna M¾nh đe 3.3.3 M¾nh đe 3.3.4, ta có đieu phái chúng minh 3.4 Tốn tN đ%nh v% compact Trong muc ta xét hàm cúa so φ, ψ ∈ M 1(Rn) ∩ L2(Rn) v hàm v-ơn hòa m M¾nh đe 3.4.1 Cho p, q ∈ (1, ∞) giá sú m ∈ Lp,q(R2n) ho¾c m−1 ∈ Lpr,qr (R2n) Khi neu r ∈ [1, +∞) F ∈ Lr(R2n) tốn tú LF φ,ψ p,q n compact Mm (R ) Chúng minh Khơng mat tính tong qt, giá sú rang "m"Lp,q < ∞ p,q Xét dãy uj ∈ S(Rn), j = 1, 2, h®i tu yeu ve M (Rn ) m Xét trưòng hop supp F compact Vói p, q ∈ (1, ∞) khơng gian Mmp,q (Rn) phán xa, nua S(Rn) p,q trù (Rn) nên đe chúng minh compact ta chí can F m¾t M L chúng minh LF m φ,ψ u m j M p,q → j → ∞ φ,ψ Trưòng hop r = ta có φ,ψuj LF m (Rn) = M p,q F F p,q Vg( φ,ψuj m( ).V (Lφ,ψuj Lp,q = ω g ) L ) Lm ¸ ≤ m(ω) |F (z)|| (uj, φz) || (ψ, gω) |dz R2 ≤ m(ω) ¸ Lp,q n |F (z)|| (uj, φz) | "ψz"L2 "gω"L2 dz ¸ "g"L2 |F (z)|| (uj, φz) | R2 R2 n = "ψ"L2 n "m"Lp,q dz Lp,q (3.14) Do uj h®i tu yeu tói M p,q (Rn ), nên uj b% ch¾n Nghĩa ton tai m C > cho "uj"M p,q ≤ C, (3.15) m vói moi v ∈ (M p,q )∗ ta m có v(uj ) = (Vguj, Vgv)L2 → Vì m(z) v-ơn hòa (v(z) = (z)) vàm(z v-ơn hòa nên ) "."M pr,qr ≺ "."M pr,qr tù suy (3.16) m(z ) ≺ v(z), (3.17) v m− Tù (3.15) (3.17) hàm | (uj, φz) | tích phân cuoi cna (3.14) b% ch¾n đeu Túc ta có | (uj, φz) | ≤ "uj"M p,q "φz" m pr,qr M1/m ≺ "φz"M ≺ "φz"M 1,1 ≺ "φ"M 1,1 pr,qr v v v (3.18) ó "φz"M 1,1 ∼ "φ"M z chí lay t¾p suppF compact 1,1 v v M¾t khác ta lai có (uj, φz) = (Vguj, Vgφz)L2 = φz (uj ) → j → Do | (uj, φz) | h®i tu điem tói j → ∞ Theo đ%nh lý ve mien h®i tu cna tích phân ta có ¸ R2n |F (z)|| (uj, φz) |dz → 0, j → ∞ 100 Trưòng hop r > 1, bang cách tương tn vói trưòng hop r = ta có φ,ψuj L F = ( φ,ψ uj ) Vg L ¸ Mqp, m F ≤ m(ω) R2 Lp, q m |F (z)|| (uj, φz) ||ψz, gω|dz Lp,q n ¸ ≤ "F "Lr m(ω) | (uj, φz) | r supp F r = "F "Lr "ψ"L2 "g"L2 "m"Lp,q Tương tn trưòng hop r = | Tù suy LF u φ,ψ 1/rr "g "Lr " ψz"L2 ω r dz rr ¸ rr supp F ¸ supp F Lp,q 1/r r | (uj, φz) | dz (3.19) | (uj, φz)rr dz → j → ∞ → j → ∞ j p,q Mm V¾y neu supp F compact LF φ, ψ compact M p,q (Rn ) m Trưòng hop supp F khơng compact Goi Lr (Rn) t¾p hàm F ∈ Lr(Rn) có giá compact Lr trù m¾t Lr Do vói moi F ∈ Lr(Rn) có m®t dãy Fk ∈ L0r (Rn), j = 1, 2, 3, cho Fk → F k → ∞ p,q n Do supp Fk compact nên ta có φ, compact M m (R ) Fk ψ L n M¾t khác, ánh xa LF : F ›→ Lφ,F liên tuc tù Lr(R2n) vào B(M p,q m (R )) ψ F F Do L φ,k → φ,ψ k → ∞ LFφ, compact ψ ψ L chúng minh M¾nh đe đưoc M¾nh đe 3.4.2 Cho p, q ∈ (1, ∞) giá sú m ∈ Lp,q(R2n) F (z) = ho¾c m−1 ∈ Lpr,qr (R2n) Giá sú thêm nua F ∈ L∞(R2n) lim |z|→∞ p,q tốn tú LFφ, compact M m (Rn ) ψ 100 Chúng minh Lý lu¾n tương tn chúng minh M¾nh đe 3.4.1, ta chí can chúng minh → 0, vói j m®t dãy h®i tu yeu ve LF u u m Lp,q(R2n) φ, ψ p,q Mm j 175 Xét trưòng hop F có giá compact Ta có F φ,ψuj L ( = L φ,ψ ¸ uj ) Vg Mqp, m F ≤ m(ω) Lp, q m supp F |F (z)|| (uj, φz) ||ψz, gω|dz ≤ esssupz∈R2n |F (z)| ≤ "F "L∞ m(ω) ¸ supp F ¸ supp F supp F "m"Lp,q ¸ supp F hay compact Lp,q | (uj, φz) | dz (3.20) | (uj, φz) |dz → j → ∞, suy φ,ψuj LFφ, ψ | (uj, φz) | "ψz"L2 "gω"L2 dz |(uj, φz )| "ψz"L2 "gω"L2 dz Lp,q ¸ = "F "L∞ "ψ"L2 "g"L2 Tương tn ta có Lp,q F p,qL n M m (R ) p,q Mm → Bây giò neu supp F khơng t¾p compact, the C∞(R2n) trù m¾t t¾p hop hàm cna L∞(R2n) có giói han tai ∞ V¾y nên tương tn l¾p lu¾n chúng minh M¾nh đe 3.4.1 ta L có F φ,ψ compact M¾nh đe đưoc chúng minh Tiep tuc sú dung phép n®i suy ta có ket q sau M¾nh đe 3.4.3 Vói giá thiet M¾nh đe 3.4.1 ho¾c M¾nh đe 3.4.2 tốn tú LF p˜ = p˜,q˜ φ, 1−s ψ s −s compact M 1−2 m s s p = + pr , q˜ q + qr vói moi s ∈ [0, 1] M¾nh đe 3.4.4 Cho p, q ∈ (1, ∞), giá sú ton tai s > cho m(z) ≺ (z) −s s ho¾c (z) ≺ m(z) Neu r ∈ [1, +∞), F ∈ Lr(R2n) ho¾c F ∈ L∞(R2n) lim|z|→∞ F (z) = tốn tú Lφ,F compact ψ (Rn ) vói moi t ∈ [0, 1] p, m1−2t M q 176 Chúng minh Giá sú rang m(z) ≺ (z) −s Khi ton tai k > cho m(z)k ≺ (z) −sk ∈ L1(R2n) p,q m(z)k ∈ Lp1,q1 (R2n) vói moi p1, q1 ∈ [1, ∞) compact M m k Theo M¾nh đe 3.4.1 M¾nh đe 3.4.2 Lφ,F ψ M pr ,q r p,q F Suy Lφ,ψ compact Mm−k p,q Do đó, theo phép n®i suy, LFφ, compact moi khơng gian M k(1−2 mk vói s ∈ [0, 1] Chon s = k k−1 M F ta có L k+1 k p,q m−1 Tiep p,q 1−2 tm vói m ψ s = s) compact M p,q m F φ, ψ tuc sú dung phép n®i suy lan nua, ta có Lφ,ψ compact moi t ∈ [0, 1] M s Bây giò neu (z) ≺ m(z) ton tai k > cho −sk m(z)−k m(z)−k ≺ (z) ∈ L1(R2n), ∈ Lp1,q1 (R2n) vói moi p1, q1 ∈ [1, ∞) Tương tn ta suy LFφ, compact M p,q M p,q Lai ψ m− sú dung phép n®i suy ta suy đieu phái chúng minh k m k M¾nh đe 3.4.5 Vói m(z) thóa mãn đieu ki¾n cúa M¾nh đe 3.4.4 F ∈ Γk, ρ ∈ (0, 1], k < ρ The tốn tú Weyl Op F W compact khơng gian M vói p, q ∈ (1, ∞) vói moi t ∈ [0, 1] p,q m1−2 t Chúng ta có the thay rang M¾nh đe 3.4.1 M¾nh đe 3.4.5 vói tính compact cna toán tú giá vi phân toán tú Weyl L2(Rn) không gian Sobolev Qs(Rn) Nh vắy, chỳng ta ó trao oi mđt so tính chat cna tốn tú đ%nh v% khơng gian bien iắu Mđt so lúp cỏc khụng gian bien iắu có the thay đoi thành khơng gian có tên goi khác ta chon hàm khác Hơn nua tốn tú đ%nh v% phu thuđc vo viắc ta chon cỏc hm bieu trng Cỏc tính chat thay đoi ta thay đoi lóp hàm bieu trưng Do có rat nhieu van đe liên quan đen tính chat cna tốn tú đ%nh v% lóp khơng gian khác N®i dung chương trình bày m®t phan nhó van đe Ket luắn Luắn ó at oc nhung nđi dung sau: Trình bày có h¾ thong ve kien thúc chuan b% cho lu¾n văn như: Lý thuyet hàm suy r®ng, phép bien đoi Fourier M®t so khơng gian quan trong: Khụng gian cỏc hm suy rđng tng chắm, không gian Sobolev, không gian hon hop chuan, không gian hon hop chuan có trong, khơng gian bien đi¾u Lu¾n văn trình bày có h¾ thong phù hop vói n®i dung nghiên cúu ve tốn tú: tốn tú giá vi phân, phép bien đoi Weyl, toán tú đ%nh v% Cuoi cựng luắn ó nờu oc mđt so tính chat bán cna tốn tú đ %nh v% tỏc đng khụng gian bien iắu v mđt so lóp khơng gian Sobolev Tính b% ch¾n, tính compact cna tốn tú đ%nh v% đưoc chúng minh lóp khơng gian bien đi¾u tong qt Vói thòi gian ngan lưong kien thúc lu¾n văn rat lón nên lu¾n văn khơng the tránh đưoc nhung thieu sót M®t so van đe đưa chưa đưoc giái quyet mđt cỏch triắt e Tỏc giỏ rat mong oc sn đóng góp cna q Thay ban hoc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Minh Chương (chn biên), Hà Tien Ngoan, Nguyen Minh Trí, Lê Quang Trung(2002), Phương trình đao hàm riêng, NXB Giáo duc, Hà N®i [2] Nguyen Manh Hùng(2006), Phương trình đao hàm riêng, Phan 2, NXB Đai hoc Sư pham, Hà N®i [3] Nguyen Phu Hy(2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v Ky thuắt, H Nđi [4] Nguyen H®i Nghĩa(2004), Hàm suy r®ng , NXB Đai hoc quoc gia, Thành Ho Chí Minh [5] Đ¾ng Anh Tuan(2005), Lý thuyet Hàm suy r®ng khơng gian Sobolev, http://datuan5pdes.wordpress.com [6] Hồng Tuy(2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [7] W Arveson(2002), A Short Course on Spectral Theory, Springer [8] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro(2009), "Generalized Spectrograms and τ -Wigner Transforms", Proceeding of Vaxio University, Sweden [9] P Boggiatto, G D Donno and A Oliaro(2003), Localization operators with Lp symbols on modulation spaces, Preprint N7/2003, University of Turin, Italy [10] P Boggiatto, A Oliaro and M W Wong(2006), Lp boundedness and compactness of localization operators, Elsevier, journal of Mathematical Analysis and application, Canada [11] L Debnath and P Mikusin´ski(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi [12] K Groăchenig(2001), Foundation of Time-Frequency Analysis, Birkh user Boston, USA a [13] G Grubb(2009), Distributions and Operators, Springer, New York, USA [14] W Rudin(1985), Funtional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi [15] M A Shubin(2001), Pseudodifferential Operators and Spectral Theory,second editon, Springer [16] M.W Wong(1999), An troduction to Pseudo-differential Operators, second editon, World Scientific, Singapore [17] M W Wong(1998), Weyl transform, Springer-Verlag New York, Inc [18] M.W Wong(2002), Wavelet Transform and Localization Operators, Birkh user Boston, USA a [19] C Zuily(1988), Problems in Distributions and Partial Differential Equations, North-Holland Mathematics studies 143 ... thòi gian ngan 16 Không gian Sobolev 20 1.3.1 Không gian Sobolev cap nguyên 21 1.3.2 Không gian Sobolev cap thnc 23 Không gian hon hop chuan có .25 1.4.1 Không gian. .. 1.4 Khơng gian hàm suy r®ng 1.1.1 Không gian hàm bán D(Ω) 1.1.2 Khơng gian hàm suy r®ng Dr(Ω) 1.1.3 Không gian hàm giám nhanh S(Rn) 1.1.4 Khụng gian cỏc hm... (−1)|α|u(∂αϕ) C∞ : Không gian hàm vi vô han (Ω) : T¾p hop hàm vi vơ han giá compact C∞ C0(Rn) : Khơng gian hàm liên tuc có giá compact D (Ω) : S (Rn) : Không gian hàm bán Không gian hàm giám nhanh