Điểm bất động của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN THU PHƯƠNG ĐIEM BAT Đ®NG CÚA TỐN TÚ (K, u0 )LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHƠNG GIAN бNH CHUAN VéI HAI NĨN Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS.GVCC Nguyen Phn Hy HÀ N®I, 2013 Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy, ngưòi ó luụn quan tõm đng viờn v tắn tỡnh húng dan tơi q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin trân cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng Sau đai hoc, thay giáo, giáo cna Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i giúp đõ tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi suot q trình hoc t¾p, nghiên cúu hồn thành lu¾n văn Cuoi tơi xin cám ơn tói gia đình, ban bè giúp đõ đ®ng viên k%p thòi đe tơi hồn thành lu¾n văn Xn hòa, ngày 22 tháng năm 2013 Tác giá Nguyen Thu Phương Lài cam đoan Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy Tôi xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n lu¾n văn đưoc cám ơn thông tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Xuân Hòa, ngày 22 tháng năm 2012 Hoc viên Nguyen Thu Phương Mnc lnc Má đau .5 Chương Không gian Banach thNc nNa sap thN tN 1.1 Không gian đ%nh chuan thNc 1.2 Không gian Banach thNc nNa sap thN tN 1.2.1 Đ%nh nghĩa nón quan h¾ sap thú tn 1.2.2 Mđt so nún ắc biắt v moi quan hắ giua chúng 10 1.3 Không gian Eu0 13 1.3.1 Phan tú u0-đo đưoc không gian Eu0 13 1.3.2 M®t so đ%nh lí ve nón .18 1.4 Hai phan tN thơng ưác t¾p K (u0) 24 1.5 M®t so khơng gian Banach thNc nNa sap thN tN 24 1.5.1 Không gian c 24 1.5.2 Không gian L2 [a, b] 35 Chương Toán tN (K, u0)-lõm quy compact khơng gian Banach thNc nNa sap thN tN 48 2.1 Các đ%nh nghĩa 48 2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tN (K, u0)-lõm quy compact 49 2.3 Tốn tN (K, u0)-lõm quy, (K, u0)-lõm quy com- pact khơng gian c, L2 [a, b] 55 2.3.1 Tốn tú (K, u0)-lõm quy không gian L2 [a, b] 55 2.3.2 Tốn tú (K, u0) -lõm quy compact không gian c 57 Chương SN ton tai điem bat đ®ng cúa tốn tN (K, u0)-lõm quy compact không gian Banach thNc nNa sap thN tN 63 3.1 M®t so đ%nh lí 63 3.2 Áp dnng 67 3.2.1 Áp dung đ%nh lí 3.1 67 3.2.2 Áp dung đ%nh lí 3.2 69 Ket lu¾n 70 Tài li¾u tham kháo 71 Má đau Lí chon đe tài Nhà toán hoc Nga noi tieng M.A.Kraxnoxelxki nghiên cúu lóp tốn tú phi tuyen: tốn tú lõm tác dung khơng gian Banach thnc vói m®t nón co đ%nh (1956), sau mó r®ng cho tốn tú lõm tác dung khơng gian Banach thnc vói hai nón co %nh, ú mđt nún l cna nón lai (1962) GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cúu tốn tú (K, u0)-lõm tác dung khơng gian Banach thnc vói m®t nón co đ%nh (1975), mó r®ng cho tốn tú (K, u0)-lõm tác dung khơng gian Banach thnc vói hai nón co đ%nh giao khác rong (1984) Các lóp tốn tú mà GS Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cúu đeu có chung tính chat u0-đo đưoc Năm 1987, PGS-TS Nguyen Phu Hy mó r®ng ket q đoi vói lóp tốn tú lõm cho m®t lóp tốn tú phi tuyen mói tác dung khơng gian Banach thnc vói m®t nón co đ%nh: Tốn tú lõm quy, khơng u cau tốn tú có tính chat u0-đo đưoc Vói mong muon tìm hieu sâu ve lóp tốn tú phi tuyen này, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Thay giáo, PGS-TS-GVCC Nguyen Phu Hy tơi chon nghiên cúu đe tài:"Điem bat đ®ng cúa tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón” Mnc đích nghiên cNu Đe tài nham nghiên cúu điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0)lõm quy compact tác dung khơng gian Banach thnc vói hai nón co đ%nh giao khác rong, khơng u cau tốn tú có tính chat u0-đo đưoc Nhi¾m nghiên cNu • Tìm hieu ve khơng gian Banach thnc núa sap thú tn • Tìm hieu ve tốn tú (K, u0)-lõm quy compact • Tìm hieu ve điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Các kien thúc só can thiet, ket ve tốn tú (K, u0)-lõm quy compact, điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nún Phng phỏp nghiờn cNu Thu thắp ti liắu v cỏc bi bỏo ve iem bat đng cna tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón • Tong hop, phân tớch, hắ thong cỏc khỏi niắm, tớnh chat Tham kháo ý kien cna giáo viên hưóng dan NhĐng đóng góp cúa đe tài Trình bày m®t cách h¾ thong nhung kien thúc có liên quan đen "Điem bat đ®ng cúa tốn tú (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón" V¾n dung lý thuyet chung vào không gian Banach thnc c, L2 [a, b] Chương Không gian Banach thNc nNa sap thN tN 1.1 Không gian đ%nh chuan thNc Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan thnc (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan thnc) khơng gian tuyen tính X trưòng so thnc R vúi mđt ỏnh xa tự X vo so thnc R, ký hi¾u "." (đoc chuan) thóa mãn đieu ki¾n sau đây: C1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ(Phan tú không cúa không gian X); C2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) "αx" = |α| "x" ; C3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ™ "x" + "y"; So "x" goi chuan cúa véctơ x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan tương úng X Các tiên đe C1, C2,, C3 goi h¾ tiên đe chuan ∞ Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (xn) n= cúa khơng gian đ%nh chuan X đưoc goi h®i tn tói điem x ∈ X, neu: lim n→∞ "xn − x" = ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy điem (xn) n= không gian đ%nh chuan X goi dãy bán, neu: lim m,n→∞ "xn − xm " = Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach neu moi dãy bán X đeu h®i tn 1.2 1.2.1 Khơng gian Banach thNc nNa sap thN tN Đ%nh nghĩa nón quan h¾ sap thN tN Đ%nh nghĩa 1.5 Cho khơng gian Banach thnc E T¾p t¾p khác rong K ⊂ E goi m®t nón, neu K thóa cỏc ieu kiắn sau õy: N1) K l mđt t¾p đóng khơng gian E; N2) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K ⇒ x + y ∈ K; N3) ∀x ∈ K, ∀t ≥ ⇒ tx ∈ K; N4 ) ∀x ∈ K, x ƒ= θ ⇒ −x ∈/ K; Đ%nh nghĩa 1.6 Giá sú E không gian Banach thnc, K m®t nón khơng gian E.Ta đưa quan h¾ sap thú tn vào khơng gian E sau: Vói x, y ∈ E, ta viet x ≤ y, neu y-x ∈ K Khi quan hắ "" l mđt quan hắ sap thỳ tn trờn E Th¾t v¾y: +) (∀x∈E) x≤x, x-x = θ ∈ K ⇒Quan h¾ "≤" có tính chat phán xa +) (∀x,y,z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K Ta có: z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K ⇒ x≤z (k,p 1) k,p0 ) h®i tu tói z(0) ( Dãy z chúa dãy zp p0 − (k) p0 (k) Vói n ∈ I2 ta có zn = ⇒ lim zn = k→∞ (0) Đ¾t z(0) = zn ∞ n=1 (∀ε > 0) (∃v1 ∈ N∗ ) (∀ (k, 1) > v1 ) (k,1) z1 − z1 (0) 0) (∃v0 ∈ N∗ ) (∀ (k, p0 ) > z(k,p0) − z(0) < ε v0 ) p0 p0 Đ¾t v = max {v1, v2, , v0} ((∀k, j) “ v, j = 1, 3, , p0) (k,p0) (0) 0) " xn" = " Axn−1" ™ M " u0" Do A toán tú compact, nên dãy xn = Axn−1 (n = 1, 2, ) chúa dãy (xnk ) h®i tu tói x∗ khơng gian E De dàng thay x∗ = sup (xn) ∈ K0 (u0) Ta chúng minh Ax∗ = x∗ Hien nhiên, xn ™ x∗ (n = 1, 2, ) (3.1) M¾t khác, xn ™ xn−1 = Axn ™ Ax∗ (n = 1, 2, ) ⇒ x∗ ™ Ax∗ (3.2) Vì xn, x∗ ∈ K0 (u0) (n = 1, 2, ), nên ton tai α > 0, βn > cho x∗ ™ αu0, xn “ βnu0 ⇒ xn “ βnα−1x∗ ⇒ xn − βnα−1x∗ “ θ , βnα−1 > Ta thay βnα−1 ™ neu βnα−1 > βn > α xn “ βnα−1x∗ > x∗, mâu thuan vói h¾ thúc (3.1) Theo bo đe 2.1, ton tai so lón nhat tn ∈ (0, 1] cho: xn − tx∗ “ θ (n = 1, 2, ) Ta lai có: xn+1 “ xn “ tnx∗ ⇒ tn+1 “ tn (n = 1, 2, ) ∞ ⇒ (tn) n= khơng giám b% ch¾n nên ton tai lim tn = t ™ n→∞ So t = Th¾t v¾y: Giá sú so t < 1, Atx∗ > tAx∗ “ tx∗ ∃δ > cho A2tx∗ − tAx∗ “ δu0 “ δx∗ ⇒ A2tx∗ “ tAx∗ + δu0 “ (t + δ) x∗ ⇒ xn+2 = A2xn “ A2tnx∗ = A2 tnt−1tx∗ “ tnt−1A2tx∗ ∗ −1 ∗ −1 “ tnt (t + δ) x = tn + δt x (n = 1, 2, ) ⇒ tn+2 “ + δt−1 tn, (n = 1, 2, ) Đ¾c bi¾t, t2k+1 “ + “ “ 1+ −1 δt−1 t2k δt − t k Do đó, t = lim tn = lim t2k+1 = +∞, mâu thuan vói đieu giá sú t < V¾y, lim n→∞ tn = Tù h¾ thúc tnAx∗ ™ Atnx∗ ™ Axn = xn+1 ™ x∗ ) (n = 1, 2, Cho n → ∞ ta đưoc Ax∗ ™ x∗ Ket hop (3.2) (3.3) ta đưoc Ax∗ = x∗ Đ%nh lý 3.2 Giá sú đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn: K0 nón chuan tac; A tốn tú (K, u0)-lõm quy compact b% ch¾n dưói bói phan tú u0 nón K0; Ton tai y0 ∈ K0 (u0) cho Ay0 ™ y0; Khi tốn tú A có điem bat đ®ng thu®c K0 (u0) Chúng minh Theo giá thiet, (∃β > 0) βu0 “ y0 (3.3) L¾p dãy yn = Ayn−1 Ta có: βu0 “ y0 “ Ay0 = y1 “ y2 “ “ yn = Ayn−1 “ u0 (n = 1, 2, ) ⇒ (yn) ⊂ K0 (u0) Đong thòi (∃L > 0) "yn" ™ L (n = 1, 2, ) Vì A toán tú compact, nên dãy yn = Ayn−1 (n = 1, 2, ) chúa dãy (ynk ) h®i tu tói y∗ ∈ K0 (u0) Hien nhiên, y∗ = inf (yn) ⇒ yn “ y∗ , (n = 1, 2, ) (3.4) yn “ yn+1 = Ayn “ Ay∗ , (n = 1, 2, ) ⇒ y∗ “ Ay∗ (3.5) Vì yn, y∗ ∈ K0 (u0) (n = 1, 2, ), nên ∃λ > 0, ∃γn > cho y∗ “ λu0, yn ™ γnu0 (n = 1, 2, ) ⇒ γnλ−1y∗ − yn “ θ (n = 1, 2, ), γnλ−1 > De dàng thay γnλ−1 “ 1,vì neu γnλ−1 < yn ™ γnλ−1y∗ < y∗, mâu thuan (3.4) Xét ánh xa l:R→K t ›→ l (t) = ty∗ − yn (n = 1, 2, ) l liên tuc nhò tính liên tuc cna hai phép tốn c®ng hai phan tú nhân m®t so vói m®t phan tú Do K t¾p đóng khơng gian E, nên l−1(K) t¾p đóng khơng gian R Theo l¾p lu¾n trên, l “ Suy ra, l−1 (K) = τn “ M¾t khác, τny∗ “ yn “ yn+1 ⇒ τn+1 ™ τn (n = 1, 2, ) Do đó, ∃ lim τn = τ “ Giá sú, τ > Khi đó, Ay∗ = A τy ∗ > Aτ y ∗ ⇒ Ay∗ − Aτ y ∗ > θ τ τ Hien nhiên, Ay∗ Aτ y ∗ đeu thu®c K0 (u0) τ Nên ∃δ ∈ (0, β) cho A2y∗ −τ A2 τy ∗ “ δu0 Nhưng, A2y∗ βu , nên chon η = δ > ta đưoc β = ™ β−δ u0 “ η δ(1+η ) δ(1+η) η A2 y ∗ Suy ra, A2y∗ − “ A2 τ y ∗ A2y ∗ η ∗ ⇒ y 1+η A “ τ τ 1+η ∗ A τy τ τ ∗ ∗ τ y∗ ⇒ A2 τy ∗ ™1+ Ay 1+η Ay 1+η η 2 τn ∗ ⇒ yn+2 = A yn ™ A τnyn = A τy ™ ⇒ τn+2 ™ τ τn τ 1+ η (n = 1, 2, ) Đ¾c bi¾t, τ2k+1 ™ ™ ™ 1+ τ2k−1 A2 τy ∗ ™ τn y∗ 1+η τ1 k (1+η) η τn (k = 1, 2, ) Tù đó, τ = lim τn = lim τ2k+1 = 0, mâu thuan vói đieu giá sú τ > V¾y τ = lim τn = Ta lai có, y∗ ™ yn+1 = Ayn ™ Aτny∗ ™ τnAy∗ (n = 1, 2, ) Cho n → ∞ ta đưoc y∗ ™ Ay∗ (3.6) Ket hop (3.5) (3.6) ta có Ay∗ = y∗ 3.2 3.2.1 Áp dnng Áp dnng đ%nh lí 3.1 ∞ Xét nón K0 = {x = (xnn= ) ∈ c| x1 “ |x2| , xn “ 0, n “ 3, n ∈ N∗ } Ta chúng minh K0 nón chuan tac Th¾t v¾y, ∀e1, e2 ∈ K, e1 = (xn) ∞ n= e2 = (yn) ∞ n= cho "e1" = "e2" = Ta có , x1 “ |x2| , xn “ 0, n “ , y1 “ |y2| , yn “ 0, n “ x1 + y1 “ |x2| + |y2| “ |x2 + y2| |xn + yn| “ |xn| ∀n ƒ= M¾t khác: "e1 + e2" = sup |xn + yn| = sup {|x1 + y1| , |x2 + y2| , , |xn + yn| , } n = sup {|x1 + y1| , |x3 + y3| , , |xn + yn| , } ⇒ "e1 + e2" “ sup |xn| nƒ=2 Do x1 “ |x2| ⇒ |x1| “ |x2| ⇒ sup |xn| = sup |xn| n nƒ=2 ⇒ "e1 + e2" “ sup |xn| = "e1" = = δ n V¾y, K0 nón chuan 9  x n vói − tac Xét toán tú A:c→c n= n ∈ I1 ∞ x = (xn)n= ›→ Ax = (qn)∞ qn = vói n ∈ I2  Theo muc 2.3.2.1, A toán tú (K, u0) -lõm quy compact +) K0 nón chuan tac xn +) Ta có Ax = − ™ n ∞ Chon u0 = u n n=1 vói u0n = , n ∈ I1 Axn = 0, n ∈ I2   9  vói n ∈ I1 vói n ∈ I2 Khi đó, Ax ™ u0, u0 ∈ K0.Lúc đó, K0 (u0) = x = n= ∈.c : xn > vói n ∈ I1, xn = vói n ∈ I2 ∞ (xn)   vói n ∈ I1 0 +) vói x = ∞ Chon x0 = x n n=1 n  vói n ∈ I2 ⇒ Ax0 = v0 ∞ vói v = n n n=1   vói n ∈ I1  n ∈ I2 vói V¾y ∃x0 ∈ K0 (u0) đe x0 ™ Ax0 Theo đ%nh lí 3.1 tốn tú A có điem bat đ®ng z0 = ∞ z0 vói = zn0 3.2.2   vói  ∈ K0 (u0) n n=1 n ∈ I1 n ∈ I2 vói Áp dnng đ%nh lí 3.2 Các giá thiet ve K0, toán tú A muc 3.2.1 ta kiem tra đ%nh lí 3.2 +) K0 nón chuan tac +) M¾t khác, − = ™ Axn = 8 − , ∀n ∈ I1 x 8 n Vói n ∈ I2 Axn =  1 vói vói u0 = .Chon u0 = u0 ∞ n n n=1  n ∈ I1 vói n ∈ I2 Khi đó, u0 ™ Ax, u0 ∈ K0 Lúc đó, K0 (u0) = x = n= ∈.c : xn > vói n ∈ I1, xn = vói n ∈ I2 ∞ (xn)   vói n ∈ I1 +) vói y0 = ∞ Chon y0 = y n n n=1 vói ξ0 = ⇒ Ay0 = ∞ ξ0 n n=1 n    vói n ∈ I2 vói n ∈ I1  vói n ∈ I2 V¾y ∃y0 ∈ K0 (u0) đe Ay0 ™ y0 Theo đ%nh lí 3.2 tốn tú A có điem bat đ®ng z0 = ∞ z0   vói = zn0 n n=1 vói n ∈ I1  I2 vói n ∈ ∈ K0 (u0) Ket lu¾n - Lu¾n văn trình bày h¾ thong kien thúc ve khơng gian Banach thnc nỳa sap thỳ tn Giúi thiắu mđt so nón đ¾c bi¾t moi liên h¾ giua chúng - Giói thi¾u ve tốn tú (K, u0)-lõm, (K, u0)-lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón.M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K, u0) - lõm quy compact - M®t so đ%nh lí ve sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm quy compact - V¾n dung ket vào không gian Banach thnc c, L2 [a, b] Rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn cna tơi đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giỏi tớch hm, Nxb Khoa hoc k thuắt H Nđi [2] Nguyen Phu Hy (2007), Bài t¾p Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc k thuắt H Nđi [3] Nguyen Phu Hy (1987), "Các véctơ riêng cna tốn tú lõm quy", Tap chí tốn hoc, t¾p 15(so 2), (17-23) [4] Nguyen Phu Hy (1987), "Các điem bat đ®ng cna tốn tú lõm quy", Tap chí tốn hoc, t¾p 15(so 1), (27-32) [5] Nguyen Phu Hy (1991), "M®t so đ%nh lý ve nón khơng gian đ%nh chuan", Thơng tin khoa hoc trưòng ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (2-8) [6] Nguyen Phu Hy (1989), "Ve m®t lóp phương trình phi tuyen", Thơng tin khoa hoc trưòng ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (23-30) [7] Hoàng Tuy (2003), Hàm thnc giái tích hàm, Nxb Đai hoc quoc gia Hà N®i [8] Tran Th% Thúy Vân (2009), Moi liên h¾ giua tốn tú lõm tốn tú giá lõm, Lu¾n văn thac sĩ [9] Bakhtin M.A (1984),Các nghi¾m dương cúa phương trình phi tuyen vói tốn tú lõm, Vơrơnegiơ, (tieng Nga) [10] Kraxnôxelxki M.A (1956), Các phương pháp tôpô lý thuyet phương trình tích phân, Matxcơva, (tieng Nga) ... tốn tN (K, u0) -lõm quy compact 49 2.3 Toán tN (K, u0) -lõm quy, (K, u0) -lõm quy com- pact không gian c, L2 [a, b] 55 2.3.1 Toán tú (K, u0) -lõm quy khơng gian L2 [a, b]... (K, u0) -lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón Mnc đích nghiên cNu Đe tài nham nghiên cúu điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0 )lõm quy compact tác dung khơng gian Banach thnc vói hai nón. .. tú (K, u0) -lõm quy compact khơng gian đ%nh chuan vói hai nón" V¾n dung lý thuyet chung vào khơng gian Banach thnc c, L2 [a, b] Chương Không gian Banach thNc nNa sap thN tN 1.1 Không gian đ%nh