Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

LèI CÁM ƠN Tác giá xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành tói thay PGS.TS Khuat Văn Ninh, ngưòi thay truyen thu kien thúc hưóng dan t¾n tình tác giá hồn thành lu¾n văn Tam gương nghiên cúu khoa hoc nghiêm túc sn chí báo ân can cna thay Khuat Văn Ninh suot q trình tác giá viet lu¾n văn giúp cho tác giá có ý thúc trách nhi¾m quyet tâm cao hồn thành lu¾n văn cna Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành lòng biet ơn thay giáo day cao hoc chuyên ngành Tốn giái tích, Ban giám hi¾u, Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i truyen thu kien thúc, đóng góp ý kien giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p, nghiên cỳu v hon thnh luắn ny H Nđi, thỏng năm 2013 Hoc viên Tran Manh Cưòng LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh Trong nghiên cúu lu¾n văn, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Mđt so ket quỏ ó at oc luắn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, tháng năm 2013 Hoc viên Tran Manh Cưòng Mnc lnc Má đau N®i dung M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xa co 1.1.1 Không gian đ%nh chuan 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Nguyên lý ánh xa co 1.2 Toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz khơng gian Banach 10 1.3 Tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz không gian Hilbert, L2 ] 1.4 13 Phương trình loai hai vói tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz 17 1.4.1 Phương trình loai hai vói tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz 17 1.4.2 Phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai .21 1.4.3 Phương trình tích phân Fredholm phi tuyen loai hai 24 Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tN loai hai không gian L2] 26 ii 2.1 iii Đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m 27 2.2 Giái xap xí phương trình tốn tú loai hai bang phương pháp thác trien theo tham so 31 2.2.1 Hai bưóc theo tham so (N = 2) 32 2.2.2 Ba bưóc theo tham so (N = 3) 33 2.3 Ưóc lưong toc đ® h®i tu 35 Úng dnng cúa phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tN loai hai khơng gian L2] 3.1 39 Phương trình tích phân Fredholm loai hai không gian L2 ] 39 3.1.1 Ton tai nhat nghi¾m cna phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai .39 3.1.2 Ton tai nhat nghi¾m cna phương trình tích phân Fredholm phi tuyen loai hai 42 3.2 Úng dung phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tú loai hai 43 3.2.1 Giái phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai vói hach suy bien 43 3.2.2 Giái phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai vói hach khơng suy bien 62 3.2.3 Giái xap xí tốn biên phi tuyen 65 Ket lu¾n 81 Tài li¾u tham kháo 82 BÁNG KÝ HIfi C T¾p so phúc C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc [a, b] D[a;b] T¾p tat cá hàm so xác đ%nh có đao hàm liên tuc đen cap k k [a, b] l2 T¾p tat cá nhung dãy so thnc (phúc) x = {xn} cho chuoi ∞ |xn| hđi tu L2 n=1 N N Tắp tat cá hàm đo đưoc, bình phương tích [a; b] T¾p so tn nhiên T¾p so tn nhiên khác khơng R T¾p so thnc Rk Khơng gian thnc k chieu Ø T¾p hop rong ∞ Dương vơ (tương úng vói +∞) −∞ Âm vơ θ "." Q Phan tú không Chuan Ket thúc chúng minh [a;b] Mé ĐAU Lý chon đe tài Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tú đưoc nhieu nhà khoa hoc nghiên cúu Trong phan lón cơng trình nghiên cúu tìm nghi¾m cna phương trình tốn tú loai hai x + Ax = f vói tốn tú A đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz tác dung không gian Banach tùy ý X Phương pháp ny sỳ dung quỏ trỡnh lắp, thụng qua mđt so huu han bưóc theo tham so ε moi bưóc đưoc thnc hi¾n nhò phương pháp ánh xa co Trong tốn cu the yeu to biet khơng thu¾n loi cho vi¾c tìm nghi¾m xác, nên nhieu cơng trình t¾p trung nghiên cúu tìm nghi¾m xap xí cna phương trình tốn tú loai hai Vói mong muon tìm hieu sâu ve úng dung cna phương pháp nói vào vi¾c giái gan phương trình tốn tú loai hai dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh chon đe tài: “Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tN loai hai khơng gian L2[a;b ” ] Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve lý thuyet phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tú loai hai úng dung cna phương pháp Nhi¾m nghiên cNu - Nghiên cúu lý thuyet phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình loai hai vói tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz không gian L2[a;b ] - Nghiên cúu úng dung cna phương pháp nói đe giái phương trình tốn tú loai hai khơng gian L2[a;b ] Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp thác trien theo tham so úng dung đe giái phương trình tốn tú loai hai không gian L2[a;b ] Phương pháp nghiên cNu Phương pháp phân tích tong hop tài li¾u ó cú tự ú hắ thong mđt so van e lý thuyet liên quan đen đe tài, áp dung lý thuyet vo bi Chng Mđt so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xa co 1.1.1 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan) M®t khơng gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng K (K = R ho¾c K = C) vói m®t ánh xa X → R, đưoc goi chuan ký hi¾u "." thóa mãn tiên đe sau: 1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) "αx" = |α| "x"; 3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cúa vector x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan X Các tiên đe 1), 2), 3) goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Sn h®i tu khơng gian đ%nh chuan) Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X đưoc goi h®i tn tói điem x ∈ X neu: lim "xn − x" = n →∞ Ký hi¾u lim xn = x hay xn → x (n → ∞) n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Dãy bán) Dãy điem {xn} không gian đ%nh chuan X đưoc goi dãy bán neu: lim m,n→∞ "xn − xm " = Neu X moi dãy bán đeu h®i tn, túc "xn − xm" → (n, m → ∞) kéo theo sn ton tai x0 ∈ X cho xn → x0 Thì X đưoc goi không gian đú 1.1.2 Không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach) Không gian đ%nh chuan X đưoc goi goi không gian Banach neu moi dãy bán X đeu h®i tn Ví dn 1.1.1 Xét khơng gian L2[a;b = ] ¸b f : [a; b] → R| a |f (t)| dt < ∞ , f hàm đo đưoc, xác đ%nh [a; b] ¸ b 2 |f (t)| dt Khi L [a;b khơng gian Banach Đ¾t "f" = a ] Th¾t vắy, - L[a;b] l mđt khụng gian %nh chuan ¸b 2 |f (t)| dt 1) ∀f ∈ L2[a;b , "f" ≥ 0, a ] = 2) ∀f ∈ L2 "f" = ⇔ |f (t)| = h k n ⇔ f (t) = h k n đoan [a; b] ∈ R ta có: ¸ b 2 |αf (t)| dt "αf" =| [a;b ,∀α ] 3) ∀f, g ∈ L2 [a;b] = ta có: a ¸ b 2 |f (t)| dt = |α| "f" a α| ¸b |f (t) + g (t)| dt "f + g" = a 1 ¸ b ¸ b 2 ≤ |f (t)| dt + |g (t)| dt a a Suy "f + g" ≤ "f" + "g" m®t khơng gian đn - L[a;b] Giá sú {fn} m®t dãy bán L2[a;b túc "fn − fm" → n, m → ∞ Ta ] chon tù {fn} m®t dãy {fnk } h®i tu hau khap nơi ve m®t hàm f Vì {fn} dãy bán, nên ta co đ%nh ε > bat kì đoi vói moi k l đn lón se có: b ¸ |fnk (t) − fnl (t)| dt < ε a Chuyen qua giói han l → ∞ bat thúc ta nhắn oc: áb |fnk (t) f (t)| dt < ε a → f Vì dãy bán chúa m®t dãy h®i tu cá Tù suy f ∈ L2 [a;b ] dãy hđi tu ve giúi han ay fnk áb 2 l mđt khụng gian Banach Vắy [a;b] |f (t)| dt vói chuan "f" a L = Ví dn 1.1.2 Xét khơng gian lp = vói ≤ p < ∞ Khi ∞ p x = {xi} |xi| < ∞ i=1 | lp vói chuan đưoc đ%nh nghĩa bói "x" = Banach |xi| p ∞ i=1 lp mđt khụng gian p Thắt vắy, lp l mđt khụng gian vector vói phép c®ng dãy so thnc phép nhân dãy so vói m®t so đ%nh nghĩa sau: x = (x1, x2, , xn, ) ; y = (y1, y2, , yn, ) ∈ lp, x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn, ) , αx = (αx1, αx2, , αxn, ) Tù bat thúc Minkowski’s thúc: ∞ |xi| p < ∞ |yi| p < ∞, ∞, i=1 i=1 Ta có: ∞ |yi|p .∞ |xi + yi| p |xi| p ≤ i=1 + i=1 ∞ i=1 Đieu cho thay: x + y ∈ lp Tù thúc ∞ i=1 p |αxi| = | p p ∞ |x | < ∞ vói moi so α, ta suy αx ∈ l i p i=1 α| De dàng thú lai tiên đe cna không gian vector Ta kiem tra tiên đe cna chuan, vói chuan đưoc đ%nh nghĩa bói: ng lp |xi| "x" = tr ∞ p o i=1 Rõ ràng "x" ≥ 0, ∀x ∈ lp "x" = ⇔ |xi| p p = ∀i ⇔ xi = ∀i ⇔ x = θ 74 sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): 74 for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): od; u1 = −0.01403185881 u2 = −0.02557966130 u3 = −0.03473389827 u4 = −0.04168520422 u5 = −0.04671352404 u6 = −0.05015637702 u7 = −0.05236783049 u8 = −0.05367627900 u9 = −0.05434655386 u10 = −0.05455019784 u11 = −0.05434655386 u12 = −0.05367627900 u13 = −0.05236783049 u14 = −0.05015637702 u15 = −0.04671352404 u16 = −0.04168520422 u17 = −0.03473389827 u18 = −0.02557966130 u19 = −0.01403185881 + Vói k = 1, m = 1: > for i from to 19 u[1, m, i] := subs(sols, u[i]): od; u1,m,1 = −0.01403185881 u1,m,2 = −0.02557966130 u1,m,3 = −0.03473389827 u1,m,4 = −0.04168520422 u1,m,5 = −0.04671352404 u1,m,6 = −0.05015637702 u1,m,7 = −0.05236783049 u1,m,8 = −0.05367627900 u1,m,9 = −0.05434655386 u1,m,10 = −0.05455019784 u1,m,11 = u1,m,12 = −0.05367627900 −0.05434655386 u1,m,14 = −0.05015637702 u1,m,13 = u1,m,16 = −0.04168520422 −0.05236783049 u1,m,18 = −0.02557966130 u1,m,15 = −0.04671352404 u1,m,17 = −0.03473389827 u1,m,19 = −0.01403185881 75 > for i from to 19 3 b[i] := h2 400 (u[1, m, i]) + 400 (u[1, k, i]) + : 75 od: u[0] := : u[20] := 0: for i from to 19 eqn[i] := u[i − 1] − 2.u[i] + u[i + 1] = b[i]: od: sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): od; u1 = −0.02205866798 u2 = −0.04162264593 u3 = −0.05871867062 u4 = −0.07339458480 u5 = −0.08570794741 u6 = −0.09571380464 u7 = −0.1034568139 u8 = −0.1089686127 u9 = −0.1122688870 u10 = −0.1133679303 u11 = −0.1122688870 u12 = −0.1089686127 u13 = −0.1034568139 u14 = −0.09571380464 u15 = −0.08570794741 u16 = −0.07339458480 u17 = −0.05871867062 u18 = −0.04162264593 u19 = −0.02205866798 + Vói k = 1, m = 2: > for i from to 19 u[2, m, i] := subs(sols, u[i]): od; u2,m,1 = u2,m,2 = −0.04162264593 −0.02205866798 u2,m,4 = −0.07339458480 u2,m,3 = u2,m,6 = −0.09571380464 −0.05871867062 u2,m,8 = −0.1089686127 u2,m,5 = −0.08570794741 u2,m,7 = −0.1034568139 76 u2,m,9 = −0.1122688870 u2,m,10 = −0.1133679303 u2,m,11 = −0.1122688870 u2,m,12 = −0.1089686127 u2,m,13 = −0.1034568139 u2,m,14 = −0.09571380464 u2,m,15 = u2,m,16 = −0.07339458480 −0.08570794741 u2,m,18 = −0.04162264593 u2,m,17 = −0.05871867062 u2,m,19 = −0.02205866798 > for i from to 19 3 b[i] := h2 400 (u[2, m, i]) + 400 (u[1, k, i]) + : od: u[0] := : u[20] := 0: for i from to 19 eqn[i] := u[i − 1] − 2.u[i] + u[i + 1] = b[i]: od: sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): od; u1 = −0.01622862756 u2 = −0.02997053574 u3 = −0.04129986232 u4 = −0.05036962897 u5 = −0.05739976887 u6 = −0.06265006524 u7 = −0.06638818393 u8 = −0.06885880990 u9 = −0.07025717281 u10 = −0.07070886066 u11 = −0.07025717281 u12 = −0.06885880990 u13 = −0.06638818393 u14 = −0.06265006524 u15 = −0.05739976887 u16 = −0.05036962897 u17 = −0.04129986232 u18 = −0.02997053574 u19 = −0.01622862756 77 + Vói k = 2, m = 0: > for i from to 19 u[2, k, i] := subs(sols, u[i]): od; u2,k,1 = −0.01622862756 u2,k,2 = −0.02997053574 u2,k,3 = −0.04129986232 u2,k,4 = −0.05036962897 u2,k,5 = −0.05739976887 u2,k,6 = −0.06265006524 u2,k,7 = −0.06638818393 u2,k,8 = −0.06885880990 u2,k,9 = −0.07025717281 u2,k,10 = −0.07070886066 u2,k,11 = u2,k,12 = −0.06885880990 −0.07025717281 u2,k,14 = −0.06265006524 u2,k,13 = u2,k,16 = −0.05036962897 −0.06638818393 u2,k,18 = −0.02997053574 u2,k,15 = −0.05739976887 u2,k,17 = −0.04129986232 u2,k,19 = −0.01622862756 > for i from to 19 b[i] := h2 od: 400 i.h (i.h − + 400 (u[2, k, i]) + : 1) u[0] := : u[20] := 0: for i from to 19 eqn[i] := u[i − 1] − 2.u[i] + u[i + 1] = b[i]: od: sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): 78 for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): 78 od; u1 = −0.01301419418 u2 = −0.02354605894 u3 = −0.03169596923 u4 = −0.03767540780 u5 = −0.04179463913 u6 = −0.04442696201 u7 = −0.04596281331 u8 = −0.04676308166 u9 = −0.04711784652 u10 = −0.04721452095 u11 = −0.04711784652 u12 = −0.04676308166 u13 = −0.04596281331 u14 = −0.04442696201 u15 = −0.04179463913 u16 = −0.03767540780 u17 = −0.03169596923 u18 = −0.02354605894 u19 = −0.01301419418 + Vói k = 2, m = 1: > for i from to 19 u[1, m, i] := subs(sols, u[i]): od; u1,m,1 = −0.01301419418 u1,m,2 = −0.02354605894 u1,m,3 = −0.03169596923 u1,m,4 = −0.03767540780 u1,m,5 = −0.04179463913 u1,m,6 = −0.04442696201 u1,m,7 = −0.04596281331 u1,m,8 = −0.04676308166 u1,m,9 = −0.04711784652 u1,m,10 = −0.04721452095 u1,m,11 = u1,m,12 = −0.04676308166 −0.04711784652 u1,m,14 = −0.04442696201 u1,m,13 = u1,m,16 = −0.03767540780 −0.04596281331 u1,m,18 = −0.02354605894 u1,m,15 = −0.04179463913 u1,m,17 = −0.03169596923 u1,m,19 = −0.01301419418 > for i from to 19 3 b[i] := h2 400 (u[1, m, i]) + 400 (u[2, k, i]) + : 79 od: u[0] := : u[20] := 0: 79 for i from to 19 eqn[i] := u[i − 1] − 2.u[i] + u[i + 1] = b[i]: od: sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): od; u1 = −0.02132502917 u2 = −0.04015653664 u3 = −0.05652801898 u4 = −0.07050178847 u5 = −0.08215682856 u6 = −0.09157399214 u7 = −0.09882474707 u8 = −0.1039652008 u9 = −0.1070344119 u10 = −0.1080550233 u11 = −0.1070344119 u12 = −0.1039652008 u13 = −0.09882474707 u14 = −0.09157399214 u15 = −0.08215682856 u16 = −0.07050178847 u17 = −0.05652801898 u18 = −0.04015653664 u19 = −0.02132502917 + Vói k = 2, m = 2: > for i from to 19 u[2, m, i] := subs(sols, u[i]): od; u2,m,1 = −0.02132502917 u2,m,2 = −0.04015653664 u2,m,3 = −0.05652801898 u2,m,4 = −0.07050178847 u2,m,5 = −0.08215682856 u2,m,6 = −0.09157399214 u2,m,7 = −0.09882474707 u2,m,8 = −0.1039652008 u2,m,9 = −0.1070344119 u2,m,10 = −0.1080550233 u2,m,11 = −0.1070344119 u2,m,12 = −0.1039652008 u2,m,13 = u2,m,14 = −0.09157399214 −0.09882474707 80 u2,m,15 = u2,m,16 = −0.07050178847 −0.08215682856 u2,m,18 = −0.04015653664 u2,m,17 = −0.05652801898 u2,m,19 = −0.02132502917 > for i from to 19 3 b[i] := h2 400 (u[2, m, i]) + 400 (u[2, k, i]) + : od: u[0] := : u[20] := 0: for i from to 19 eqn[i] := u[i − 1] − 2.u[i] + u[i + 1] = b[i]: od: sols := evalf (solve(eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19])): for i from to 19 u[i] = subs(sols, u[i]): od; u1 = −0.01606899015 u2 = −0.02965195211 u3 = −0.04082658892 u4 = −0.04975230061 u5 = −0.05665623435 u6 = −0.06180382263 u7 = −0.06546523516 u8 = −0.06788440153 u9 = −0.06925379961 u10 = −0.06969621737 u11 = −0.06925379961 u12 = −0.06788440153 u13 = −0.06546523516 u14 = −0.06180382263 u15 = −0.05665623435 u16 = −0.04975230061 u17 = −0.04082658892 u18 = −0.02965195211 u19 = −0.01606899015 81 KET LU¾N Rat nhieu tốn cu the dan đen vi¾c nghiên cúu giái phương trình tốn tú loai hai x + Ax = f Nhieu phương pháp đòi, đien phương pháp phân tích Adomian, phương pháp bien phân l¾p, phương pháp tính tốn trnc tiep, phương pháp xap xí liên tiep, phương pháp chuoi, Dna tư tưóng cna phương pháp xap xí liên tiep nhà tốn hoc đưa phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tú vói tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz Xuat phát tù m®t xap xí ban đau tương đoi tot bang phương pháp thác trien theo tham so có the tìm đưoc nghi¾m gan gan vói nghi¾m cna phương trình ban đau, vói toc đ® h®i tu cao Lu¾n văn sâu nghiên cúu úng dung cna phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tích phân Fredholm loai hai, phương trình tốn biên phi tuyen vói tốn tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz Thiet l¾p thu¾t tốn giái xap xí tốn biên phi tuyen bang phan mem Maple Vói pham vi cna lu¾n văn thòi gian có han, lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Tác giá mong nh¾n đưoc sn chí báo, góp ý cna thay ban đoc đe van đe nghiên cúu đưoc hồn thi¾n v luắn trú thnh mđt ti liắu khoa hoc huu ích Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giái tích so, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [2] Phan Đúc Chính (1978), Giái tích hàm, Nhà xuat bán hoc v Trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [3] Nguyen Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuat Văn Ninh (1992), Giái xap xs phương trình tốn tú, Nhà xuat bán Khoa hoc v Ky thuắt H Nđi [4] Nguyen Minh Chng, Nguyen Văn Khái, Khuat Văn Ninh, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng (2000), Giái tích so, Nhà xuat bán Giáo duc [5] Pham Huy Đien (2002),Tính tốn, L¾p trình giáng day toán hoc Maple, Nhà xuat bán Khoa hoc Ky thuắt H Nđi [6] Nguyen Phu Hy (2006), Giỏi tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc Ky thu¾t Hà N®i [7] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [8] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Applications, Springer [9] Abul Has An Siddiqi (2004), Applied Functional Analysis, Marcel Dekker 82 83 [10] C Corduneanu (1991), Integral equations and applications, Cambridge University Press [11] Christopher Heil (2011), A Basis Theory Primer, Birkhauser [12] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I: Fixed-Point Theotems, Translated by Peter R Wadsack, Springer- Verlag [13] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, II/B: Nonlinear Monotone Operators,Translated by the Author and by Leo F Boront, Springer- Verlag [14] Eberhard Zeidler (1989), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, III: Variational Methods and Optimization,Translated by Leo F Boron, SpringerVerlag [15] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [16] H Gajewski, K Greger, K Zacharias (1978), Nonlinear operator equations and operator differential equations, Publishing World Moscow [17] I P Natanson (1964), Theory of Functions of A Real Variable, Translated from the Russian by Leo F Boron, Frederick Ungar Publishing Co New York [18] Kung-Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer [19] Khuat V N (2011), A method of extending by parameter for approximate solutions of operator equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No [20] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications Third Edition, Elsevier Academic Press [21] L M Delves, J L Mohamed (1988), Computational methods for integral equations, Cambridge University Press [22] M Rahman (2007), Integral Equations and their Applications, Wit Press 84 [23] Pavel Drábek, Jaroslav Milota (2007), Methods of Nonlinear Analysis Applications to Differential Equations, Birkhauser [24] Siegfried Prossdorf, Bernd Silbermann (1990), Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations, Springer- Verlag [25] Yury V Shestopalov, Yury G Smirnov (2002), Integral Equations, Karlstad Uni- versity [26] Yu L Gaponenko (1986), The parameter-extension method for an equation of the second kind with a Lipschitz-continuous and monotone operator, USSR Com- putational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 26, Issue , Pages 104-110 [27] Klaus Schmitt, Russell C Thompson (2004), Nonlinear Analysis and Differential Equations, An Introduction, Department of Mathematics and Statistics Utah State University ... tài: Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tN loai hai khơng gian L2[a;b ” ] Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve lý thuyet phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình. .. phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình tốn tN loai hai khơng gian L2] 3.1 39 Phương trình tích phân Fredholm loai hai không gian L2 ] 39 3.1.1 Ton tai nhat nghi¾m cna phương trình. .. cna phương pháp nói đe giái phương trình tốn tú loai hai khơng gian L2[a;b ] Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp thác trien theo tham so úng dung đe giái phương trình tốn tú loai hai không