Một số phương pháp giải phương trình toán tử

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo nhà trưòng thay giáo giáng day chun ngành Tốn Giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia ỡnh, ban bố, ong nghiắp ó đng viờn v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hồn thnh bỏn luắn ny H Nđi, thỏng 10 nm 2009 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình cna nghiên cúu cna riêng tơi Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2009 Tác giá Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan 1.1.1 Khái ni¾m khơng gian đ%nh chuan 1.1.2 Sn h®i tu không gian đ%nh chuan 1.2 Tốn tú tuyen tính khơng gian đ%nh chuan 10 1.2.1 Tốn tú tuyen tính 10 1.2.2 Tốn tú tuyen tính liên tuc 11 1.3 Phép tính vi phân không gian đ%nh chuan 14 1.3.1 Đao hàm Fréchet không gian đ%nh chuan 14 1.3.2 Đao hàm Gateaux không gian đ%nh chuan 15 1.3.3 M®t so tính chat bán cna phép tính vi phân khơng gian đ%nh chuan 15 1.4 Không gian Hilbert 20 Chương M®t so phương pháp giái phương trình tốn tN 21 2.1 Phương pháp Ritz giái phương trình tuyen tính 21 2.2 Phương pháp Newton – Kantorovich 25 2.2.1 N®i dung phương pháp 2.2.2 Sn h®i tu cna phương pháp Chương M®t so Nng dnng 3.1 Các úng dung cna phương pháp Ritz 25 26 32 32 3.1.1 Giái toán biên tuyen tính đoi vói phương trình vi phân thưòng 32 3.1.2 Giái tốn biên đoi vói phương trình vi phân elliptic 35 3.1.3 Tìm giá tr% riêng cna tốn tú tn liên hop xác đ%nh dương 37 3.2 Các úng dung cna phương pháp Newton – Kantorovich 41 3.2.1 Giái phương trình đai so 41 3.2.2 Giái phương trình tích phân phi tuyen 44 Tài li¾u tham kháo 54 Mé ĐAU Lí chon đe tài Nhieu van đe, toán khoa hoc tn nhiờn, kinh te, ky thuắt, cuđc song cú the dan đen vi¾c nghiên cúu phương trình có dang Ax = y, (1) A m®t tốn tú tù t¾p X đen t¾p Y , x ∈ X, y ∈ Y Phương trình có dang (1) đưoc goi “ phương trình tốn tú ” Đã có nhieu nhà khoa hoc noi tieng đe c¾p đen phương trình tốn tú dưói dang tong qt (1) như: Brezis H.R., Browder F.E., Nirenberg L., ho¾c nhung dang đ¾c bi¾t, cu the A tốn tú vi phân thưòng, tốn tú đao hàm riêng, tốn tú tích phân Lions J.L., Tốn tú A có the tuyen tính ho¾c phi tuyen tính, đơn tr% ho¾c đa tr% Mien xác đ%nh cna A có the đa tap Euclid ho¾c khơng Euclid, Chính v¾y mà pham vi úng dung cna lý thuyet phương trình tốn tú rat r®ng lón Pham vi úng dung r®ng rãi có hi¾u lnc trưóc sn phát trien nhanh chóng cna máy tính đi¾n tú vói sn phát trien manh me cơng trình nghiên cúu xap xí phương trình dang (1) Có rat nhieu phương pháp đe nghiên cúu xap xí phương trình dang (1) dưói dang tong qt ho¾c A tốn tú đ¾c bi¾t Tuy nhiên, phương pháp thưòng đưoc sú dung ho¾c đưoc biên, phát trien thêm phương pháp l¾p, phương pháp sai phân, phương pháp đieu (tham bien bé), phương pháp phan tú huu han mà tong quát phương pháp chieu, phương pháp Newton, Chính nhung lý trên, tơi chon đe tài nghiên cúu “M®t so phương pháp giái phương trình tốn tN” làm đe tài lu¾n văn cna Mnc ớch nghiờn cNu Nhắn oc mđt so phương pháp giái xap xí “ phương trình tốn tú ” tuyen tính, phi tuyen tính úng dung cna chỳng Nhiắm nghiờn cNu Nghiờn cỳu mđt so phương pháp giái gan phương trình tốn tú úng dung cna chúng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp Ritz (phương pháp bien phân), Phương pháp Newton – Kantorovich m®t so úng dung Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài liắu tham khỏo e tong hop nđi dung cỏc van đe nghiên cúu NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Đưa m®t so ví du cu the cho úng dung cna phương pháp Newton - Kantorovich Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Khơng gian đ%nh chuan Khái ni¾m khơng gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng P (P = R ho¾c P = C) vói m®t tốn tú tù X vào t¾p hop so thnc R, ký hi¾u ||.|| đoc chuan, thoá mãn tiên đe sau (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ; (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) "αx" = |α| "x" (tính thuan nhat cúa chuan); (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" (bat thúc tam giác) So ||x|| goi chuan cúa phan tú x Ta ký hi¾u không gian đ%nh chuan X Các tiên đe 1), 2), 3), goi h¾ tiên đe chuan Ví dn 1.1 Các khơng gian tuyen tính Rk, C[a,b], C L [a,b] đ%nh chuan, vói chuan sau: ‚ k R : "x" = , k đeu không gian ξi , i=1 C[a,b] : "x" = max |x(t)|, a≤t≤b ¸b L C[a,b] |x(t)|dt : "x" = a Ví dn 1.2 Khơng gian Dk , gom tat cá hàm x(t) xác đ%nh đoan [a,b] [a, b] có đao hàm liên tuc đen cap k, khơng gian đ%nh chuan: phép tốn tuyen tính C[a,b], chuan đưoc xác đ%nh bói , , "x" = |x(t)| , |xt(t)| , , , x(k)(t) max a≤t≤b ( x(i)(t) đao hàm cap i cna x(t)) 1.1.2 SN h®i tn khơng gian đ%nh chuan Vì khơng gian đ%nh chuan trưòng hop riêng cna khơng gian metric nên tat cá sn ki¾n chúng minh cho khơng gian metric đeu cho khơng gian đ%nh chuan Nhưng tam quan cna không gian đ%nh chuan nên can nhac lai mđt so sn kiắn ay v phỏt bieu theo chuan (thay cho metric) 1)xn → x0 (dãy xn h®i tu tói x0 n → ∞) có nghĩa "xn − x0" → n → ∞, ρ(xn, x0) ó "xn − x0" 2)Neu xn → x0 n → ∞ "xn" → "x0" , n → ∞ nói cách khác chuan ||x|| m®t hàm so liên tuc cna x Đe chúng minh đieu này, trưóc het ta ý rang ∀x, y ta có |"x" − "y"| ≤ "x − y" (1.1) Th¾t v¾y, theo bat thúc tam giác "x" ≤ "x" + "x − y", hay "x" − "y" ≤ "x − y", thay đoi vai trò cna x y ta lai có "y" − "x" ≤ "y − x", tù suy (1.1) Áp dung cơng thúc (1.1), ta có |"xn" − "x0"| ≤ "xn − x0" V¾y neu "xn − x0" → phái có |"xn" − "x0"| → 0, đieu khang đ%nh 3)Moi dãy h®i tu đeu b% ch¾n, túc neu xn dãy hđi tu thỡ (K) (n) "xn" K Thắy vắy, giá sú xn−x0 → 0, n → ∞ Theo "xn" → "x0" , n → ∞ (∃n0) (∀n ≥ n0) "xn" ≤ "x0" + Đ¾t K so lón nhat so "x1" , "x2" , , , "xn" + 1, rõ ràng (∀n) "xn" ≤ K 4)Neu xn → x0, yn → y0 xn + yn → x0 + y0, neu xn → x0, αn → α0 αnxn → α0x0 Nói cách khác, phép toán x + y, αx liên tuc Th¾t v¾y, "(xn + yn) − (x0 + y0)" ≤ "xn − x0" + "yn − y0" → 0, "αnxn − α0x0" = "(αnxn − αnx0) + (αnx0 − α0x0)" ≤ |αn| "xn − x0" + |αn − α0| "x0" → 5)M®t dãy bán khơng gian đ%nh chuan X m®t dãy xn X cho lim { } m,n→∞ "xn − xm" = Neu không gian đ%nh chuan ⊂ moi dãy bán đeu h®i tu, túc "xn − xm" → kéo theo sn ton tai X m®t x0 ∈ X, khơng gian ay đưoc goi đn (theo đ%nh nghĩa trưóc ve khơng gian metric đn) Vì ngưòi đau tiên xây dnng lý thuyet khơng gian đ%nh chuan Banach (nhà tốn hoc Ba Lan) nhieu nhat không gian đn nên ngưòi ta thưòng goi khơng gian đ%nh chuan đn khơng gian Banach M®t khơng gian đ%nh chuan X khơng đn bao giò có the bo sung (thêm nhung phan tú mói) thành m®t khơng gian Banach Muon the ngưòi ta xem m®t khơng gian metric khơng đn đe bo sung thành m®t khơng gian metric đn Xˆ ,sau phép tốn đai so chuan đưoc mó r®ng cho phan tú mói đe bien thành khơng gian đ%nh chuan Xˆ đn Ta khơng sâu vào van đe 6)M®t đieu mói khơng gian đ%nh chuan so vói khơng gian metric khơng gian tuyen tính, khơng gian đ%nh chuan ta có the xét chuoi vơ t¾n x1 + x2 + · · · + xn + · · · (1.2) Chuoi goi hđi tu neu cỏc tong bđ phắn sn = x1 + x2 + · · · + xn cna lắp thnh mđt dóy hđi tu Trong trũng hop ú giói han cna sn se goi tong cna chuoi (1.2) Chuoi (1.2) goi l hđi tu tuyắt oi neu chuoi so "x1" + "x2" + · · · + "xn" + · · · h®i tu Đáng ý là: Trong khơng gian Banach, moi chuoi h®i tu tuyắt oi eu hđi tu v ta xk ∞ "xk" có ưóc lưong k= k=1 ≤ Th¾t v¾y, vói n > m ta có "sn − sm" = "xn+1 + + xm" ≤ "xn+1" + + "xm" , neu chuoi "x1" + "x2" + · · · + "xn" + · · · h®i tu dãy sn dãy bán khơng gian đn nên sn phái có giói han, nghĩa chuoi (1.2) h®i tu Ta có (∀n) "sn" = n n xk "xk" k= k=1 Cho qua giói han n → ∞ bieu thúc ta đưoc ưóc lưong nói 1.2 Tốn tN tuyen tính khơng gian đ%nh chuan Giá sú X, Y hai khơng gian đ%nh chuan 1.2.1 Tốn tN tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.2 M®t tốn tú A : X → Y goi m®t tốn tú tuyen tính neu A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), (∀x1, x2 ∈ X) ; A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ P ) é đe cho gon ta viet Ax thay cho A(x) đe chí phan tú úng vói x tốn tú A Dĩ nhiên hai đieu ki¾n 1) 2) tương đương vói A(α1x1 + α2x2 + + αnxn) = α1Ax1 + α2Ax2 + + αkAxk, (∀x1, x2, , xk ∈ X, ∀α1, α2, , αk ∈ P ) Neu X = Y ta nói A m®t tốn tú X Ta ký hi¾u ImA mien giá tr% (hay pham vi) cna toán tú A, túc t¾p tat cá y ∈ Y cho y = Ax, ∀x ∈ X Rõ ràng neu yn+1 = yn − [f t(x0)] f (yn) − t Ta có f (x0) [h] = h − Đ¾t ¸1 K(t, s)gtu (s, x0(s))h(s)ds t [f (x0)] (y −1 f n) = ϕn f (yn) = f t(x0) [ϕn] , Có nghĩa túc t ¸1 K(t, s)gu (s, xn(s))ϕn(s)ds = f (yn)(t); ϕn(t) − ¸ K1(t, s)ϕn(s)ds = f (yn)(t), ⇔ ϕn(t) − vói K1(t, s) = K(t, s)gu t (s, xn(s)) Đây phương trình tích phân tuyen tính đoi vói ϕn b Giái phương trình tích phân phi tuyen Xét phương trình tích phân T x(t) = ¸ K [t, s, x(s)] ds, (3.16) K [t, s, x] (t, s ∈ [0, T ] , "x − x0" ≤ r) hàm so ba bien liên tuc, có đao hàm b¾c hai theo bien x liên tuc Áp dung phương pháp Newton – Kantorovich đe giái phương trình T K [t, s, x(s)] ds giá sú x0 xap xí ban đau, ta có Đ¾t f (x) = x(t) − ¸ T ¸ f t (x0 )x(t) = x(t) − Ktx[t, s, x0(s)] x(s)ds; T ¸ f tt (z)x(t)y(t) = tt Kx2 [t, s, z(s)] x(s)y(s)ds − Đe tìm Γ0y = [f t(x0)] −1 (y) ta chí can xác đ%nh nghi¾m cna phương trình tích phân tuyen tính Fredholm T ¸ x(t) = Ktx [t, s, x0(s)] x(s)ds + y(t) Giá sú hach K(t, s) = Ktx [t, s, x0(s)] có giái thúc R(t, s) T ¸ |R(t, s)| ds ≤ R0, ∀t ∈ [0, T ] (3.17) Khi T ¸ x(t) = Γ0y(t) = y(t) + R(t, s)y(s)ds, "Γ0" ≤ + R0 Ta có Đ%nh lí sau đe giái phương trình (3.16) Đ%nh lý 3.5 Giá sú hàm so K [t, s, x(s)] (t, s ∈ [0, T ] , "x − x0" ≤ r) liên tnc, có đao hàm b¾c hai liên tnc đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn: Hach K(t, s) = Ktx [t, s, x0(s)] có giái thúc R(t, s), nua thóa mãn đieu ki¾n (3.17) 2 h = (1 + R0 ) T k0 k1 ≤ r≥ √ (1 + R0)k0, 1− 1− , 2h h ¸T k0 = max 0≤t≤T K [t, s, x0(s)] ds − x.0 , T k1 = max ¸ tt K [t, s, x0(s)] x 0≤t≤T "x−x "≤r 0 ds Khi đó, ton tai nghi¾m x∗ cúa phương trình (3.16) dãy xap xí đưoc xây dnng theo phương pháp Newton – Kantorovich: xn+1 = xn(t) + ϕn(t), n = 0, 1, 2, T ¸ ϕn(t) = εn(t) + (3.18) Kt [t, s, xn(s)] ϕn(s)ds; (3.19) x T ¸ Kt [t, s, xn(s)] s − xn(t) εn(t) = (3.20) x Theo công thúc Newton – Kantorovich biên cơng thúc (3.19) đưoc thay bói cơng thúc T ¸ Kt [t, s, xn(s)] ϕn(s)ds x ϕn(t) = εn(t) + Toc đ® h®i tn đưoc xác đ%nh theo công thúc 2n η "x∗ − xn" ≤ n √ η "x∗ − yn" ≤ (2h) h n+1 h Ví dn 3.2 Giái phương trình (1 − − 2h) y(x) = ¸ xsy (s)ds − 12 ; , (h < ) x + Lòi giái Ta có hach K [x, s, y(s)] = xsy2(s) nên suy Kxt [x, s, y(s)] = 2xsy(s) Chon xap xí ban đau vói nghi¾m cna phương trình y0 = áp dung cơng thúc (3.20) ta có 1 ¸ ¸ x + − y0(x) ε0(x) xsy20 ds 12 xsds = = − − 12 x+1−1= 12 x Theo công thúc (3.19) ta có ¸ ϕ0(x) = ε0(x) + ¸ xsϕ0(s)ds (3.21) 2xsy0(x)ϕ0(s)ds = ε0(x) + Đe tìm ϕ0(x) ta áp dung phương pháp nhân suy bien đe giái phương trình (3.21) Tính tích phân ¸ α11 = s ds = , f1 12 = Giái phương trình 1 ¸s ds = 36 c= c+ 36 ⇔ c = 12 Nghi¾m cna phương trình (3.21) x x + = x ϕ0(x) = 12 12 Theo cơng thúc (3.18) xap xí thú nhat đoi vói nghi¾m cna phương trình y1(x) = y0(x) + ϕ0(x) = +x Tiep tuc xây dnng xap xí thú hai y2(x) vói nghi¾m cna phương trình cho ¸ xsy21(s)ds ε1(x) = − 12 x + (1 − y1(x)) ¸ = + xs(1 ) ds − 12 s x+1−1− ¸ xsy1(s)ϕ1(s)ds ϕ1(x) = ε1(x) + = x 64 ¸1 +2 x x= 64 s xs(1 + )ϕ1 (s)ds Giái phương trình bang phương pháp nhân suy bien ta đưoc ϕ1(x0) = 40 x Suy x y2(x) = y1(x) + ϕ1(x) = + + 40x 13 =1+ 40 x≈1+ x Tiep tuc xây dnng xap xí thú ba y3(x) đoi vói nghi¾m cna phương trình cho ta có ¸ xsy22(s)ds ε2(x) = − 12 x + − y2(x) ¸ = s xs(1 ) ds + x − (1 + x) + 12 − ¸ s = x s(1 ) ds − x + ¸ xs(1 + s )ϕ (s)ds ¸ xsy2(s)ϕ2(s)ds = ϕ2(x) = ε2(x) + 0 Giái phương trình ta đưoc ϕ2(x) = 0, y2(x) = y3(x) V¾y nghi¾m gan cna phương trình cho y(x) = + x KET LU¾N Lu¾n văn trình bày hai phương pháp giái gan phương trình tốn tú úng dung cna chúng Đó phương pháp Ritz phương pháp Newton - Kantorovich, phương pháp Ritz cho ta cách giái gan phương trình tốn tú tuyen tính, phương pháp Newton Kantorovich cho ta cách giái gan phương trình tốn tú phi tuyen Có the nói phương pháp Newton - Kantorovich sn sáng tao cna Kantorovich vi¾c nghiên cúu phương pháp Newton hay nói cách khác sn mó r®ng cna phương pháp Newton Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c úng dung phương pháp đe giái quyet tốn đ¾t thnc te, khoa hoc tính tốn giái lóp phương trình tốn tú can đưoc nghiên cúu sâu đe tìm đưoc nhung ket gan tot nhat Tài li¾u tham kháo [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giái tích so, NXB ĐHQG Hà N®i [2] Nguyen Bưòng (2001), Hi¾u chsnh tốn phi tuyen bang phương pháp toỏn tỳ n iắu, NXB HQG H Nđi [3] Nguyen Buong (2003), Convergence Rates in Regularization under Arbitrarily Perturbative Operators, Zh Vychisl Math i Math Fiz SSSR, 43, 323–327 [4] Nguyen Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuat Văn Ninh (1992), Giái xap xs phương trình tốn tú, NXB Khoa hoc ky thuắt H Nđi [5] Phan Vn Hap (1978), Cỏc phng pháp giái gan đúng, NXB Đai hoc THCN [6] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v ky thuắt H Nđi [7] Hong Tuy (2005), Hm thnc giái tích hàm, NXB ĐHQG Hà N®i [8] E.Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications II/B: Nonlinear Monotone Operators, Springer-Verlag, New York h ... Chương M®t so phương pháp giái phương trình tốn tN 21 2.1 Phương pháp Ritz giái phương trình tuyen tính 21 2.2 Phương pháp Newton – Kantorovich 25 2.2.1 N®i dung phương pháp ... đưoc biên, phát trien thêm phương pháp l¾p, phương pháp sai phân, phương pháp đieu (tham bien bé), phương pháp phan tú huu han mà tong quát phương pháp chieu, phương pháp Newton, Chính nhung... so phương pháp giái gan phương trình tốn tú úng dung cna chúng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp Ritz (phương pháp bien phân), Phương pháp Newton – Kantorovich m®t so úng dung Phương pháp