Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna thay giáo PGS TS Khuat Văn Ninh Sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn giúp tác giá trưóng thành rat nhieu cỏch tiep cắn mđt van e múi Tỏc giá xin bày tó lịng biet ơn, lịng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin trân cám ơn Ban giám hi¾u trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phịng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưịng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân thành cám ơn Phịng GD – ĐT huy¾n Sóc Sơn, Ban giám hi¾u, thay giáo, đong nghi¾p trưịng THCS Nam Sơn gia đình, ngưịi thân, ban bè giỳp ừ, đng viờn v tao ieu kiắn thuắn loi đe tác giá hồn thành khóa hoc Thac sĩ hon thnh luắn ny H Nđi, ngy 25 thỏng 11 năm 2013 Tác giá Hàn Th% M¾n LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai Hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS TS Khuat Văn Ninh Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Tôi xin cam đoan rang thông tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2013 Tác giá Hàn Th% M¾n Mnc lnc Lài cám ơn i Lài cam đoan ii Báng ký hi¾u v Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 M®t so khơng gian cna giái tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Khơng gian tuyen tính 1.1.3 Không gian đ%nh chuan không gian Banach 1.1.4 Không gian Hilbert 1.2 Tốn tú tuyen tính 10 1.2.1 Tốn tú tuyen tính khơng gian đ%nh chuan 10 1.2.2 Tốn tú tuyen tính khơng gian Hilbert 12 1.3 Sai phân tính chat 16 1.3.1 Đ%nh nghĩa .16 1.3.2 Tính chat cna sai phân 16 iii Phương pháp giái toán biên đoi vái phương trình tốn tN vi phân thưàng tuyen tính 18 2.1 Phương trình vi phân thưịng tuyen tính cap n 18 2.1.1 Mđt so khỏi niắm ve phng trình vi phân thưịng 18 2.1.2 Phương trình vi phân tuyen tính .20 2.2 M®t so phương pháp cu the giái tốn biên đoi vói phương trình tốn tú vi phân thưịng tuyen tính 26 2.2.1 Giái toán biên .26 2.2.2 Phương pháp sai phân 29 2.2.3 Phương pháp khú l¾p 30 2.2.4 Phương pháp ban 33 2.2.5 Phương pháp Ritz (phương pháp bien phân) 34 2.2.6 Phương pháp Galerkin 43 Úng dnng cúa m®t so phương pháp giái tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng tuyen tính 45 3.1 Giái tốn biên 45 3.2 Úng dung cna phương pháp sai phân giái toán biên 48 3.3 Úng dung cna phương pháp khú l¾p giái toán biên 50 3.4 Úng dung cna phương pháp ban giái toán biên 51 3.5 Úng dung cna phương pháp Ritz giái toán biên 54 3.6 Úng dung cna phương pháp Galerkin giái tốn biên 59 Ket lu¾n 65 Tài li¾u tham kháo 66 iv BÁNG KÝ HIfi N N∗ T¾p so tn nhiên T¾p so tn nhiên khác khơng R T¾p so thnc R+ T¾p so thnc dương C T¾p so phúc K T¾p so thnc ho¾c phúc Rn Không gian Euclide n - chieu C[a;b] Không gian hàm so thnc liên tuc đoan [a; b] Cn[a;b] Khơng gian hàm xác đ%nh có đao hàm liên tuc đen cap n [a, b] L2[a;b] Khơng gian hàm bình phương tích [a; b] L2[0;1] Khơng gian hàm bình phương tích [0; 1] Lp [a, b] Khơng gian hàm b¾c p tích [a; b] L (X, Y ) Q Khơng gian tốn tú tuyen tính liên tuc tù X vào Y Ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Phương trình tốn tú vi phân m®t nhung lĩnh vnc quan cna tốn hoc hi¾n đai Rat nhieu van đe cna tốn hoc, v¾t lý, đeu dan đen vi¾c giái phương trình tốn tú vi phân Tù th¾p ký 70, ngưịi ta ý nhieu đen vi¾c xây dnng lí thuyet ve tốn biên đoi vói phương trình tốn tú vi phân Nhieu phương pháp khác đưoc đưa sú dung van đe này.Thí du: lý thuyet tốn tú Fredholm, phương pháp tham so nhó, phương pháp Tơpơ, Tù quan điem đương thịi, có the nói rang phương pháp giái tích hàm phương pháp Tơpơ nhung phương pháp huu dung nhat Qua nhung úng dung có tính h¾ thong cna phương pháp này, só lí thuyet ve tốn biên cho m®t lóp r®ng phương trình tốn tú vi phân đưoc xây dnng Vói mong muon tìm hieu sâu ve tốn biên đoi vói phương trình tốn tú vi phân, đieu ki¾n có han, ó lu¾n văn tơi xin trình bày: “Phương pháp giái toán biên đoi vái phương trình tốn tN vi phân tuyen tính” Mnc ớch nghiờn cNu Luắn nghiờn cỳu ve mđt so phương pháp giái tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưịng tuyen tính, úng dung giái m®t so tốn biên cu the Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu m®t so phương pháp giái giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưịng tuyen tính Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp giái toán biên đoi vói phương trình vi phân thưịng tuyen tính Phương pháp sai phân Phương pháp khú l¾p Phương pháp ban Phương pháp Ritz Phương pháp Galerkin DN kien đóng góp mái Đe tài trình bày m®t cách có h¾ thong phương pháp giái tốn biên đoi vói phương trình tốn tú vi phân thưịng tuyen tính Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc, phương pháp cna Đai so tuyen tính,Giái tích hàm, Giái tích so Sưu tam, nghiên cúu tài li¾u liên quan Suy lu¾n logic, phân tích, tong hop h¾ thong hố Chương Kien thNc chuan b% 1.1 M®t so khơng gian cúa giái tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X l mđt hop tựy ý v X ƒ= φ Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t metric X l mđt ỏnh xa d:XìX R thúa cỏc ieu ki¾n sau: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z X Tắp hop X v mđt metric X goi l mđt khụng gian metric, ký hiắu l (X, d) So d (x, y) goi khoáng cách giua điem x y Ví dn 1.1.1 Vói hai phan tú bat kỳ x, y ∈ R ta đ¾t: d (x, y) = |x − y| (1.1) Dna vào tính chat giá tr% tuy¾t đoi t¾p so thnc R ta de dàng kiem tra đưoc (1.1) xác đ%nh m®t metric R Khơng gian tương úng đưoc ký hi¾u R1 Ta goi metric (1.1) metric tn nhiên 10 Ví dn 1.1.2 Ta ký hi¾u C[a,b] t¾p tat cá hàm so giá tr% thnc xác đ%nh liên tuc [a, b], (−∞ < a < b < +∞).Vói hai hàm so bat kỳ x (t) , y (t) ∈ C[a,b] ta đ¾t: d (x, y) = max |x(t) − y(t)| (1.2) a≤t≤b Vì hàm so x (t) , y (t) liên tuc [a, b], nên hàm so |x(t) − y(t)| liên tuc [a, b] H¾ thúc (1.2) xác đ%nh mđt ỏnh xa tự C[a,b] ì C[a,b] vo so thnc R Ánh xa (1.2) thoá mãn tiên đe ve metric Khơng gian metric tương úng van ký hi¾u C[a,b] Đ%nh nghĩa 1.1.2 Dãy điem {xn} không gian metric (X, d) đưoc goi h®i tn tói điem x X neu lim d (xn, x) = ∈ n→∞ Ký hi¾u lim x = x hay x → x n → ∞ n n n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.3 M®t dãy điem {xn} khơng gian metric (X, d) đưoc goi dãy bán ( hay dãy Cauchy ) neu lim d (xm, xn) = m,n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) đưoc goi đay đú neu moi dãy bán X đeu h®i tn tói m®t phan tú cúa X Đ%nh lý 1.1.1 Moi t¾p đóng khơng gian metric đay đú không gian metric đay đú Chúng minh Giỏ sỳ F l mđt úng khụng gian metric đay đn (X, d) Giá sú {xn} m®t dãy bán F túc lim d (xm, xn) = m,n→∞ Suy {xn} m®t dãy bán X Do X không gian đay đn nên dãy {xn} h®i tu, túc ∃x0 ∈ X : xn → x0 , n → ∞ Như v¾y (xn) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F t¾p đóng nên x0 ∈ F V¾y F khơng gian metric đay đn f hàm so xác đ%nh liên tuc trên(−∞, +∞) dưói dang n y(x) = ϕ0(x) + i=1 ciϕi(x) n hspace*1cm Xét không khóp R(x, c1, c2, , cn) = L(ϕ0 )+ ckL(ϕk) − f (x) k=1 Tìm ck(k = 1, n) cho R(x, c1, c2, , cn) trnc giao vói ϕi, i = 1, n Tương đương vói ¸b R(x, c1, c2, , cn)ϕi(x)dx =0, i = 1, n b ¸b n ϕi(x)dx +¸ [L(ϕ0) − f (x)]ϕi(x)dx = ⇔ L(ϕa k)c k ab k=1 n ¸b ¸ ck = [−L(ϕ0) + f (x)]ϕi(x)dx a ⇔k=1 L( ) (x)dx k i a a áb aik = L(ϕk )ϕi(x)dx, i, k = 1, n a b bi = ¸ a [f (x) − L(ϕ0)]ϕi(x)dx, i = 1, n Ta có h¾ phương trình tuyen tính n aikck = bi, i = 1, n Giá sú đ%nh k=1 thúc cna h¾ khác khơng, xác đ%nh nhat ck(k = 1, n) Tù nghi¾m y(x) có dang n y(x) = ϕ0(x) + k=1 nghi¾m nhat cna tốn ckϕk(x) Chương Úng dnng cúa m®t so phương pháp giái tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng tuyen tính 3.1 Giái tốn biên Bài tốn 3.1 Giái tốn biên xyrr − yr = x2 vói (3.2) y(0) = 2; y(1) −5 = Giái Phương trình thuan nhat tương úng (3.1) xyrr − yr = có the viet dưói dang yrr yr = x Suy yr = C1x y= C1 x2 + C2 (3.1) 45 69 nghi¾m tong quát cna phương trình thuan nhat Tù ta suy có h¾ nghi¾m bán y1 = 1, y2 = x2 Ta tìm nghi¾m riêng cna (3.1) dưói dang y∗(x) = C2(x)x2 + C1(x) C1(x), C2(x) thố mãn h¾ phương trình 1.Cr1(x) + Cr2(x)x2 = 0.Cr1(x) + 2xCr2(x) = x2 Giái h¾ ta đưoc C1r(x) = − x3 Do ; Cr 2(x) = x −x4 C1(x) = ; C2(x) =x Nên y∗(x) = x4 − x4 = x4 8 Nghi¾m tong quát cna phương trình (3.1) x4 y(x) = C1 + C2x2 + (C1, C2 hang so) Thay đieu ki¾n biên (3.2) vào (3.3) ta đưoc   C1 =   y(0) = C1 + C2.0 + =  y(1) = C1 + C2.1 + 14 ⇔ =− V¾y nghi¾m cna tốn biên (3.1) – (3.2) y(x) = − Bài toán 3.2 Giái toán biên 2x 57 x x +8  C2 = −57 (3.3) 70 yrr + − x2 yr − 1− x2 y = −1 − x2 (3.4) y(0) = 3; y(1) = (3.5) Giái Phương trình thuan nhat tương úng vói (3.4) yrr + 2x yr 12− x − y=0 (3.6) 1− x2 Ta thay y1 = x l mđt nghiắm cna phng trỡnh (3.6) Theo %nh lý Liouville nghi¾m y2 đưoc tính sau 2x y2 = x dx = ¸ ¸ ln|1−x2 | − e − x2 x ¸ e x dx dx x2 ¸ 1− x =x − dx = = −1 − x dx = x − − 2 x x x x x Do ú nghiắm tong qt cna phương trình (3.6) có dang y¯ = C1 x + C2 (−1 − x2) C1, C2 hang so Sú dung phương pháp bien thiên hang so Lagrange coi C1 = C1(x), C2 = C2(x) Khi nghi¾m tong qt cna phương trình (3.4) có dang y = C1(x)x + C2(x)(−1 − x2) suy yr = C r (x)x + C1(x) + C r (x)(−1 − x2) − 2xC2(x) Chon C1(x), C2(x) cho Cr 1(x)x x Khi ta có r + C2(x)(−1 − ) = (3.7) yr = C1(x) ⇒ yrr = Cr1(x) − 2C2(x) − 2xCr2(x) − 2xC2(x) Thay vào phương trình (3.4) y1(x), y2(x) nghi¾m cna (3.6) nên ta có r r C 1(x)x − C 2(x) −1 − x = Cr 1(x) − 2xCr2(x) = − x2 Cr 1(x)x − 2x2Cr 2(x) = x − x3 ⇒ ⇒ ⇒ 2 C 2(x) − x = − x r x x2 Cr1(x) − 2xCr2(x) = − Cr 2(x) = x Cr 2(x) = x Cr 1(x) = − x2 + 2x2  ⇒  C1(x) = x + x ⇒ Cr1(x)x − Cr 2(x) −1 − x =0 Cr 1(x) = + x2 + c1  C2(x) = x + c2 Do nghi¾m tong qt cna phương trình (3.4) + c2 y(x) = x + x3 + c1 x + −1 − x2 x2 Thay đieu ki¾n biên (3.5) vào y(x) ta đưoc    c2 = −3  c2 (−1) = ⇒ −19  c1 =   43 + c1 − 2 + c2 V¾y nghi¾m cna toán biên (3.4)- (3.5) 19 y(x) = x + x − x + −1 − x2 x2 − 3.2 Úng dnng cúa phương pháp sai phân giái toán biên Bài toán 3.3 Giái toán biên x2yrr + xyr = (3.8) y(1) = 0; y(1, 4) = 0, 0566 Giái Chia đoan [1; 1, 4] thành đoan bang vói h = 0, 1, xi = + 0, 1i Đ¾t x = xi thay (3.8) bang tý sai phân ta đưoc       ⇔   yi+2 − 2yi+1 + yi yi+1 − yi x +x =1 0, 01 0, i y0 = y(1) = 0; y4 =i y(1, 4) = 0, 0566 2 + 0, 1x y − (2x + 0, 1x )y + xi yi−1 = 0, 01, i = 1, 2, i i+1 i i i i x2 y0 = y4 = 0, 0566 Thay x1 = 1, 1; x2 = 1, 2; x3 = 1, vào h¾ ta đưoc  1, 12 + 0, 1.1, y2 − (2.1, + 0, 1.1, 1)y + 1, y0 = 0, 01  12 1  2  1, + 0, 1.1, y3 − (2.1, + 0, 1.1, 2)y2 + 1, y1 = 0, 01  1, + 0, 1.1, y + 1, = 0, 01 (2.1, 32 + 0, 1.1,  − 3)y3 y2 y0 =    y4 = 0, 0566  1, 21y0 2, 53y1 + 1, 32y2= 0, 01  −  1, 44y1 − 3y2 + 1, 56y3= 0, 01    ⇔ 1, 69y2 − 3, 51y3+1, 82y4= 0, 01   y0 =   y4 = 0, 0566 Giái ta đưoc : y0 = 0; y1 ≈ 0, 0049; y2 ≈ 0, 0171; y3 ≈ 0, 0347; y4 = 0, 0566 Nghi¾m xác cna tốn (3.8) y(x) = ln x có giá tr% : y0 = 0; y1 = 0, 00454; y2 = 0, 0166; y3 = 0, 0344; y4 = 0, 0566 3.3 Úng dnng cúa phương pháp khN l¾p giái tốn biên Bài tốn 3.4 Giái toán biên (3.9) yrr − 2xyr − 2y = −4x y(0) − yr(0) = 0; y(1) = + e = 3, 718 Giái Chia đoan [0; 1] thành 10 phan bang vói h = 0, Đ¾t x = xi vói xi = 0, 1i Thay (3.9) bang h¾ phương trình sai phân  y − 2yi+1 + yi yi+1 − yi  i+2 −  0, 01 − 2yi = −4xi 2xi 0, y1 − y0  y = 0; y10 = 3, 718 − 0, (3.10) ⇒ yi+2 − 2yi+1 + yi − 0, 2xi (yi+1 − yi) − 0, 02yi = −0, 04xi ⇒ yi+2 − (2 + 0, 2xi) yi+1 + (0, 98 + 0, 2xi) yi = −0, 04xi Ta đ¾t mi = − (2 + 0, 2xi) ; ki = (0, 98 + 0, 2xi) ; fi = −4xi(i = 0, 1, , 8) Ta có α0 = 1, α1 = −1, A = 0, β0 = 1, β1 = 0, B = 3, 718 Ket tính đưoc báng 3.1 xi i mi ki fi 0,0 Q trình thu¾n Q trình ngh%ch y(xi) ci di yi -0,9016 0,0 -2,00 0,98 0,0000 1,117 1,000 0,1 -2,02 1,00 -0,4 -0,8941 -0,0040 1,229 1,110 0,2 -2,04 1,02 -0,8 -0,8865 -0,0117 1,363 1,241 0,3 -2,06 1,04 -1,2 -0,8787 -0,0228 1,521 1,394 0,4 -2,08 1,06 -1,6 -0,8706 -0,0372 1,704 1,574 0,5 -2,10 1,08 -2,0 -0,8623 -0,0550 1,916 1,784 0,6 -2,12 1,10 -2,4 -0,8536 -0,0761 2,164 2,033 0,7 -2,14 1,12 -2,8 -0,8446 -0,1007 2,455 2,332 0,8 -2,16 1,14 -3,2 -0,8354 -0,1290 2,800 2,696 0,9 3,214 3,148 10 1,0 3,718 3,718 Báng 3.1 3.4 Úng dnng cúa phương pháp ban giái toán biên Bài toán 3.5 Giái toán biên (3.11) yrr = 302(y − + 2x), y(0) = 1; y(2) = −3 Giái Nghi¾m xác cna tốn (3.11) y = 2x − Đe giái tốn (3.11) bang phương pháp ban, trưóc het ta giái toán Cauchy sau yrr = 302(y − + 2x), y(0) = 1; yr(0) = yrr = 302y, y(0) = 0; yr(0) = Nghi¾m xác cna toán (3.12) y1(x) = 1−2x+ 30 (3.12) (3.13) 30 x −e−30x) (e Nghi¾m xác cna toán (3.13) y2(x) = (e30x 60 − e−30x) Khi nghi¾m cna tốn (3.11) −30x 30x y(x) = − 2x + e 30 = − 2x + 30 e = − 2x + 30 e e 30 x − −30x − e−30x yrr(x) = 2x yr(x) 1+ − x2 60 e −3 + − e60 − + e−60 30 − −2· = − 2x Bài toán 3.6 Giái toán biên · y2(2) 30 x −30x x 30 + −e −3 − y1(2) (e 60 60 e30x −e · 30 60 ex − e−30x e−60) − e−30x 60 1+ x2 y(0) = 1, 25; y(4) = −0, 95 y(x) + 1, x ∈ [0, 4] (3.14) Giái Đe giái toán (3.14) bang phương pháp ban, trưóc het ta giái hai toán Cauchy sau urr(x) = 2x ur(x) 1+ − x2 u(0) = 1, 25; ur(0) = vrr(x) = 1+ x2 2x vr(x) 1+ − x2 v(0) = 0; vr(0) = u(x) + 1, x ∈ [0, 4] 1+ x2 v(x), x ∈ [0, 4] (3.15) (3.16) Sú dung phương pháp Runge – Kutta b¾c vói bưóc h = 0, đe tìm nghi¾m so ui(x), (i = 0, 1, 2, , 20) cna tốn (3.15) Ket q nghi¾m gan {ui} cna u(x) đưoc tính c®t thú hai báng (3.2) Khi u(4) ≈ u20 = −2, 893535 Ta thay v(x) = x nghi¾m cna tốn (3.16) nên nghi¾m so vi(x) = xi Vì v¾y v(4) = v20 = 0, 95 − u(4) v(4) vi = 0, 485884vi Đ¾t wi = − Khi nghi¾m so gan yi(x) cna y(x) cna toán (3.14) {yi} = {ui + wi} đưoc tính báng 3.2 xi ui wi yi = ui + wi 0,0 1,250000 0,000000 1,250000 0,2 1,220131 0,097177 1,317308 0,4 1,132073 0,194353 1,326426 0,6 0,990122 0,291530 1,281652 0,8 0,800569 0,388707 1,189276 1,0 0,570844 0,485884 1,056728 1,2 0,308850 0,583061 0,891911 1,4 0,022522 0,680237 0,702759 1,6 -0,280424 0,777413 0,496989 1,8 -0,592609 0,874591 0,281982 2,0 -0,907039 0,971767 0,064728 2,2 -1,217121 1,068944 -0,148177 2,4 -1,516639 1,166121 -0,350518 2,6 -1,799740 1,263297 -0,536443 2,8 -2,060904 1,360474 -0,700430 3,0 -2,294916 1,457651 -0,837265 3,2 -2,496842 1,554828 -0,942014 3,4 -2,662004 1,652004 -1,010000 3,6 -2,785960 1,749181 -1,036779 3,8 -2,864481 1,846358 -1,018123 4,0 -2,893535 1,943535 -0,950000 báng 3.2 So sánh lòi giái bang so đat đưoc bang phương pháp ban tuyen tính vói bưóc h = 0, h = 0, nghi¾m cna toán biên (3.14) y(x) = 1, 25 + 0, 4860896526x − 2, 25x + 2xarctan(x) − x ln(1 + x2) ta đưoc ket cho bói báng 3.3 ln(1 + x2) + ... cúu phương pháp giái tốn biên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính tiep theo ta tìm hieu m®t so van đe ve phương trình vi phân tuyen tính 2.1.2 Phương trình vi phân tuyen tính Các phương trình. .. ve phương trình vi phân thưịng tuyen tính 2.1 2.1.1 Phương trình vi phân thưàng tuyen tớnh cap n Mđt so khỏi niắm ve phng trình vi phân thưàng Đ%nh nghĩa 2.1.1 Phương trình vi phân phương trình. .. so phương pháp giái giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưịng tuyen tính Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp giái tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưịng tuyen tính Phương