Một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

Một số khái niệm của giải tích hàm Nghiên cứu bài toán ñặt không chỉnh dạng phương trình toán tử trong ñó A là một toán tử ánh xạ từ một không gian metric X vào khônggian metric Y nào ñ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS Nguyễn Văn Hùng,người ñã tận tình hướng dẫn và giúp ñỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu vàthực hiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong Khoa toán, Phòng sauñại học ñã tạo mọi ñiều kiện giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn ñồng nghiệp, các bạn học viên K14 Toángiải tích ñã giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Học viên

Hoàng Thị Thu Hường

LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu, tôi ñã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa ñược công bố trên bất kỳ côngtrình nào khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Học viên

Hoàng Thi Thu Hường

Lời cảm ơn

Lời cam ñoan

MỤC LỤC

Mở ñầu 5

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm của giải tích hàm 7

1.2 Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn 10

1.3 Sự hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert 14

1.4 Toán tử trong các không gian 17

Chương 2: Các ví dụ và nghiệm của bài toán ñặt không chỉnh 2.1 Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh 27

2.2 Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh cho phương trình tuyến 27

2.3 Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh 28

2.3.1 Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu 28

2.3.2 Bài toán tìm ñạo hàm của hàm số 30

2.3.3 Phương trình tích phân Fredolm loại I 31

2.3.4 Chuỗi Fourier 33

2.3.5 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34

2.3.6 Bài toán cực tiểu 35

Chương 3 Các phương pháp giải bài toán ñặt không chỉnh 36

3.1 Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng 36

3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Phillps-Tikhonov 38

3.3 Nguyên lý ñộ lệch 40

3.4 Chính quy hóa toán tử phi tuyến không bị chặn 45

3.5 Nguyên lý ñộ lệch cho bài toán ñặt không chỉnh phi tuyến với toán tử ñơn ñiệu 47

3.6 Phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu 52

3.7 Phương pháp tựa nghiệm 53

3.8 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục 57

3.9 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử không bị chặn 58

3.10 Phương pháp Backus-Gilbert 59

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm(đo đạc, quan trắc, ) và sau đó lại được sử lý trên máytính nên chúng không tránh khỏi

được sai số Chính vì thế ta cần có phương pháp giải ổn

định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm

được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát

Do tầm quan trọng ủặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà

nghiờn cứu cỏc bài toỏn ủặt khụng chỉnh Vỡ vậy ủối với bài toỏn bất kỳ,việc ỏp dụng phương phỏp nào sẽ cho kết quả càng gần với nghiệm ủỳngcủa bài toỏn xuất phỏt là rất quan trọng, nú mang ủến lợi ớch rất lớn trongứng dụng vào khoa học và thực tiễn

Chớnh vỡ vậy cựng với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hựng, tụi ủóchọn nghiờn cứu ủề tài:

“Một số phương phỏp giải bài toỏn ủặt khụng chỉnh”

Tuy nhiờn ủề tài chỉ tập trung vào nghiờn cứu 6 phương phỏp ủú là cỏcphương phỏp cú vai trũ quan trọng trong hệ thống cỏc phương phỏp ủể giảibài toỏn ủặt khụng chỉnh

2 Mục ủớch nghiờn cứu

ðề tài nghiờn cứu một số phương pháp giải bài toán đặt

không chỉnh

3 Nhiệm vụ nghiờn cứu.

toán

đặt không chỉnh

4 ðối tượng và phạm vi nghiờn cứu

Phương phỏp hiệu chỉnh Phillips- Tikhonov, phương phỏp phụ thuộcvào cấp ủộ nhiễu, phương phỏp tựa nghiệm, phương phỏp tựa nghiệm chotoỏn tử liờn tục, phương phỏp tựa nghiệm cho toỏn tử khụng bị chặn vàphương phỏp Backus-Gilbert

5 Phương phỏp nghiờn cứu

Phương pháp giải gần đúng của giải tích số

6 Dự kiến ủúng gúp mới

Luận văn trỡnh bày một cỏch cú hệ thống cỏc kiến thức cơ bản, cỏc vớ

dụ và một số phương phỏp giải bài toỏn ủặt khụng chỉnh trong phạm vi luậnvăn nghiờn cứu

CHƯƠNG 1:

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm của giải tích hàm

Nghiên cứu bài toán ñặt không chỉnh dạng phương trình toán tử

trong ñó A là một toán tử (ánh xạ ) từ một không gian metric X vào khônggian metric Y nào ñó, tùy thuộc vào bài toán cụ thể ñặt ra

Một tập nền X ñược gọi là một không gian metric, nếu mỗi cặp phần tử

metric của không gian metric X

bán kính r, trong ñó,

X

ñược gọi là

Không gian metric X ñược gọi là ñầy ñủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ ñến phần tử thuộc X

Một tập con M của không gian metic X ñược gọi là compact trong

luôn tìm ñược một dãy con hội tụ ñến một phần tử của X Như ta ñã biết ở phần giảỉ tích của toán học, ñiều kiện cần và ñủ ñể cho một tập trong không

trở thành compact tương ñối là tính giới nội của nó.Nếu từ một dãy bất kỳ

cũng thuộc M , thì M ñược gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là mộttập compact Mọi tập compact của một không gian metric nào ñó có thể coinhư một không gian metric ñầy ñủ ðể một compact trong không gianmetric X là một tập compact ñiều kiện cần và ñủ là tập ñóng trong X Mỗitập compact chứa một tập trù mật, không quá ñếm ñược các phần tử Trong

ðịnh lý Arsela-Ascoli

Tập

ñồng bậc

M

Không gian metric X ñược gọi là tuyến tính (ñôi khi còn gọi là không

x2

thuộc X ta có phép toán cộng

x1

phần tử thuộc X Hai phép cộng và phép nhân thỏa mãn yêu cầu sau:

4 Với mỗi phần tử xX , tồn tại phần tử ñối

Trong không gian tôpô X người ta ñưa ra ñiểm giới hạn của một tập con

M nào ñó của X như sau: Phần tử x ñược gọi là giới hạn của tập M , nếumỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x Tập tất

cả các ñiểm giới hạn của tập M ñược ký hiệu là

ñượcgọi là bao ñóng của

M Cho xn , n 1, 2, 

là một dãy các phần tử thuộc X

Phần tử

11trong ñó p là một số thực bất kì : 1 p 

2. Không gian các dãy số lp với phần tử x (x1, x2 , , xn , ) và

pds

ñầy ñủ bằng chuẩn trên Cũng dễ dàng nhận thấy rằng

Lp () Wp ()Không gian tuyến tính X ñược gọi là không gian tiền Hilbert hay còngọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác ñịnh ñược một hàm thực

hai biến, kí hiệu là x1,

ñó X là không gian metric Không gian với tích vô hướng ñầy ñủ gọi làkhông gian Hilbert Không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ ñược gọi là không gianBanach Dễ dàng nhận thấy các không gian ở các ví dụ từ 1-5 là không gianBanach và khi p

gian các hàm liên tục

Trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu tốc ñộ hội tụ của phương pháphiệu chỉnh trong không gian Banach, ta cần sử dụng các ñặc trưng hình họcnhư tính trơn cũng như tính lồi ñều của các không gian ñó

Không gian Banach X ñược gọi là lồi ñều, nếu X ()

Không gian Banach X ñược gọi là hàm trơn ñều, nếu

ở ñây lim

 0



0 ,

còn ñược gọi là không gian ñối ngẫu của X Ta có mối quan hệ giữa tính lồi

và tính trơn ñược xác ñịnh như sau:

- Nếu X là lồi ñều, thì X là trơn ñều

- Nếu X là trơn ñều, thì X là lồi ñều

- Nếu X là lồi (trơn) ñều, thì X là phản xạ

Môñun lồi và trơn ñược xác ñịnh bởi Lindenstrauss cho không gianBanach loại lp , Lp và Wm

Người ta tính ñược

() 1 (1 (

)q)q ,

X

2

X lq,

chuẩn tắc của không gian X

p

1

s

x

ðối với không gian lp , 1 p

p2

2 x2 , )

lp

( p 1)

Còn ñối với không gian

gia

x

xạ ñối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử ñơn vị I trong không gian H Từ ñây

về sau toán tử ñơn vị ñược kí hiệu là I hoặc

gian X

không1.3 Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert



có thể xảy ra hội tụ mạnh:

Những khẳng ñịnh trên dễ hiểu bởi vì trong trường hợp thứ nhất

(k )

(k ) i



ikhi

x0

thì x

lim n 

xn

Ta kiểm tra cho trường hợp tổng quát khi X là không gian Banach

x n hội tụ yếu đến x0 ;

 Trong không gian Banach phản xạ X mọi dãy giới nội là Compact yếu trong X Tức là

Do mọi tập giới nội trong không gian X là compact yếu, suy ra tồn tại mộtdãy con yn



hội tụ yếu ñến một phần tử y nào ñó của X Nhưng M là một

tập ñóng yếu cho nên y M Mặt khác,

Kết luận thứ nhất ñược chứng minh

ðể chứng minh kết luận thứ hai, trước tiên ta thấy

,

y2 M,

Tức là cả ñoạn thẳng y1, y2

ðiều này mâu thuẫn với tính lồi ñều của X : Mặt cầu không chứa ñoạn thẳng

Cho H là một không gian Hilbert và M là một không gian con của H Tập tất cả các véctơ của H trực giao (vuông góc) với M

M xH:

gian ñịnh chuẩn, ñược gọi là toán tử hoàn toàn liên tục (hoặc toán tử compact), nếu nó ñưa mọi tập giới nội trong X vào tập compact tương ñốicủa

tuyến tính liên tục từ X vào Y

Trong không gian vô hạn chiều, nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục,

ñó hình cầu ñơn vị phải là một tập compact tương ñối ðiều này vô lý trong không gian vô hạn chiều

ñưa tập

X 0

ánh,liên tục và X 0 là tập compact

Kí hiệu f A(x) và Chứng minh

x x( f ) A1 ( f)

tại f f0 Thật vậy, giả sử x( f

fɶ ,

f0 )

và

X (xɶn , x0 ) 1 ,ở

X (xɶ

fɶ A(xɶ) 

f0 A(x0 )

có

x0 xɶ0 ðiều ñó dẫn

ñến mâu thuẫn với giả thiết trên Bổ ñề ñược chứng minh

tính liên tục từ X vào Y Khi ñó,

Như vậy với mỗi phần tử Y



.Toán tử này phụ

f (x)

 Như vậy,

A, x

ảnh ñiệu nếu

R( A)

nằm trong X

.Toán tử A ñược gọi là ñơn

A(x) A( y), x

A ñược gọi là ñơn ñiệu chặt, nếu dấu bằng chỉ ñạt ñược khi x y

với t

A(x) A( y), x

A(x), xx

x,

hoặc U là một toán tử ñơn ñiệu chặt và bức Trongkhông

p

s

với tính chất ở trên sao cho

( x y ) 1 (x) (

4

x y),

x, y X

Ngoài các khái niệm ñạo hàm Fréchet và Gato của phiếm hàm lồi, ta còn

x0 , nếu xn:

xn

hội tụ yếu ñến x0 (x0 ) liminf (xn )

dưới yếu tại mọi ñiểm trong miền xác ñịnh

Khái niệm về toán tử ñơn ñiệu cũng có thể ñược mô tả dựa trên ñồ thị

ñược gọi là ñơn ñiệu, nếu nó thỏa mãn ñẳng thức Cho G là

Ta có thể viết A(x) (a1 (x), a2 (x), , an (x)) , và

của không gian Banach phản xạ X Có thể coi hình cầu này như một không

như một không gian tôpô compact

Một họ các tập con của không gian tôpô ñược gọi là có tâm , nếu giao của một họ hữu hạn các tập con ñó khác rỗng

là ñóng và lồi Thật vậy, với

Nếu dãy ynEx ( y) : yn

A(x), x

yn

0,

thỏa mãn ñiều kiện, tồn tại hằng số M

(1,2 , ,n ) Véctơ này thuộc không gian

có ñiểm chung y z0 Dr Bổ ñề ñược chứngðịnh lý 1.1 Cho A là một toán tử ñơn ñiệu và h-liên tục từ không gian

sao cho với mọi

x ( y)

Cho A là một toán tử h-liên tục, ñơn ñiệu và bức từ không gian Banach

Trong ựó X và Y là các không gian Banach hoặc không gian metric, và

A là toán tử tuyến tắnh liên tục Bài toán (2.1.1) là bài toán ựặt chỉnh nếu thỏamãn các ựiều kiện sau:

1 Với mỗi f Y tồn tại nghiệm u X ;

2 Nghiệm u ựó ựược xác ựịnh một cách duy nhất ;

3 Bài toán này ổn ựịnh trên cặp không gian ( X ,Y )

Nếu ắt nhất một trong ba ựiều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán ựượcgọi là bài toán ựặt không chỉnh đôi khi người ta gọi bài toán ựặt không chắnhquy hoặc bài toán thiết lập không ựúng ựắn

Lưu ý: Một bài toán có thể thiết lập không ựúng ựắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập ựúng ựắn trên không gian metric khác

2.2 Khái niệm về bài toán ựặt không chỉnh cho phương trình phi tuyếnNếu A là một toán tử tuyến tắnh thì bài toán (2.1.1) ựược gọi là bài toánựặt không chỉnh nếu N( A)

hoặc R( A)

khả nghịch, bị chặn tại một số u nào ựó thì A(u) ựồng phôi

ựịa phương tại ựiểm này, nhưng có thể nó không ựồng phôi toàn bộ không gian

Nếu A(u) khả nghịch không bị chặn thì suy ra A không là ñồng phôi.Chẳng hạn ñồng phôi A(u) có thể có ñạo hàm compact khi ñó tuyến tính hóabài toán dẫn ñến bài toán ñặt không chỉnh Mặt khác A(u) là toán tử compactnên (2.1.1) là bài toán ñặt không chỉnh, mà A(u) có thể là toán tử hữu hạnchiều vì miền giá trị A(u) ñóng Theo trên ta sẽ gọi phương trình phi tuyến(2.1.1) là bài toán ñặt không chỉnh nếu A(u) khả nghịch không bị chặn, là bàitoán ñặt chỉnh nếu A(u) khả nghịch bị chặn

2.3 Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh

2.3.1 Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu

Rn

Khi ñó A có thể ñược biểu diễn bởi một

Do ñó nếu (

tính với ñiều kiện xấu chính là giải bài toán ñặt không chỉnh

) vì infv0

Cũng vậy nếu A không suy biến

det A 0, ( A) Smax Smin

các giá trị riêng của A* A

Sj

trong phương trình thứ hai kéo theo những thay ñổi ñáng kể của nghiệm.

Như vậy, hệ phương trình này là một hệ ñiều kiện xấu

càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? ðể trả lời câu hỏi ñó ta xét ví

dụ sau:

Cho hàm số

bảng kết quả sau

f (x) exp(x) , Tính ñạo hàm với

31

Bảng trên cho thấy nếu k

f0 (t),

Ta giả thiết nghiệm

khoảng cách giữa hai

và

f2 (t) trong

L2 c, d 

ñược biểu thị bởi số

Với N bất kỳ và ñủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong

L2 c, d ( f0 , f1 )

rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả

L2 a,b(0 ,1)

rất lớn

có thể lớn bao nhiêu cũng ñược Ví dụ , tại t

nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm

f1 và f2 ñược xét trong khônggian các hàm với ñộ ño ñều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn ñịnh khi hệ số của chuỗi có sự thay ñổi nhỏ, tuy nhiên nếu xét trong khônggian L2 0,, thì





a )2   2

y

nhau không nhiều trong

L2 0,.2.3.5 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f (x)

 f2 (x) (x) 2 (x) 0 , thì nghiệm của bài toán (1.2)

ñược xét trong ñộ ño ñều ta có

khi ñó khoảng cách giữa các nghiệm

C(u1,u2 ) sup u1 (x, y) u2 (x, y)

a

1 và 2

khá nhỏ Trong

sup

2.3.6 Xét bài toán cực tiểu

y0

chứa trong phần tư thứ nhất

của mặt phẳng XOY , trong

CHƯƠNG 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ðẶT KHÔNG CHỈNH

3.1 Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng

tuyến tính, D( A)

và

R( A)

là các miền xác ñịnh và miền giá trị của A,

vàD( A)

cũng là một nghiệm và nó có nghiệm duy nhất với nghiệm

f

phần tử còn lại ñều bằng 0 Ma trân Acó thể ñược tính bởi công thức

j

Ta chứng minh ñánh giá thứ nhất, sử dụng công thức

(B )1 AA(T )1, T :AA, B :AA và biểu diễn của

Adẫn

0

2

trong ñó P là phép chiếu trực giao lên

nhất của các toán tử liên hợp B

N( A)

Theo chứng minh trên,

ñơn ñiệu, nghĩa là

B

ñã ñược chứng minh cho toán tử

phi tuyến ñơn ñiệu trong ñịnh lý (3.2.3)

3.3 Nguyên lý ñộ lệnh

ðịnh lý (3.2.1) ñã chỉ ra cách chọn () , ñảm bảo sự hội

tụ

 

41lim0

sử dụng công thức giao hoán (B )1 A* A*(T )1 .

do

P1 1 và

P1 f 0 vì

Bu A* f

Theo tính nửa liên tục dưới của chuẩn trong H , ta

Giả sử A trong (2.1.1) là một ñơn ánh, ñóng, phi tuyến Nếu K compact

0 , ta chọn dãy số là ký hiệu là usao cho u

hội tụ mạnh như trong

Nghiệm chuẩn cực tiểu của (2.1.1) là duy nhất nếu A ñơn ñiệu, liên tục

vì trường hợp này tập nghiệm của N là lồi và ñóng Tính ñóng của nó là hiểnnhiên do A liên tục Tính lồi của nó ñược suy ra từ tính ñơn ñiệu của A và bổ

ñề sau:

Bổ ñề 3.3.2 (Minty) Nếu A ñơn ñiệu và liên tục thì

Nếu (a) ñúng thì A(u)

ñúng, khi ñó lấy v u

ðể chứng minh tính duy nhất của phần tử chuẩn cực tiểu của một tập lồi