Một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS Nguyễn Văn Hùng, người ñã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu thực khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa tốn, Phòng sau đại học tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn ñồng nghiệp, bạn học viên K14 Tốn giải tích giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Hoàng Thị Thu Hường LỜI CAM ðOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2012 Học viên Hoàng Thi Thu Hường MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam ñoan Mở ñầu .5 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm 1.2 Một số ví dụ khơng gian định chuẩn 10 1.3 Sự hội tụ yếu không gian Banach khơng gian Hilbert 14 1.4 Tốn tử không gian 17 Chương 2: Các ví dụ nghiệm tốn đặt khơng chỉnh 2.1 Khái niệm tốn đặt không chỉnh 27 2.2 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh cho phương trình tuyến 27 2.3 Một số ví dụ tốn ñặt không chỉnh .28 2.3.1 Bài tốn hệ đại số tuyến tính với điều kiện xấu 28 2.3.2 Bài tốn tìm đạo hàm hàm số .30 2.3.3 Phương trình tích phân Fredolm loại I 31 2.3.4 Chuỗi Fourier 33 2.3.5 Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34 2.3.6 Bài toán cực tiểu 35 Chương Các phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh 36 3.1 Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng .36 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Phillps-Tikhonov 38 3.3 Nguyên lý ñộ lệch 40 3.4 Chính quy hóa tốn tử phi tuyến không bị chặn 45 3.5 Ngun lý độ lệch cho tốn đặt khơng chỉnh phi tuyến với tốn tử đơn điệu 47 3.6 Phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu 52 3.7 Phương pháp tựa nghiệm 53 3.8 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục 57 3.9 Phương pháp tựa nghiệm cho tốn tử khơng bị chặn 58 3.10 Phương pháp Backus-Gilbert 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 MỞ ðẦU Lý chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học, cơng nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v…, dẫn ñến giải tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban ñầu, tức thay ñổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do c¸c sè liệu thờng đợc thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ) sau lại đợc sử lý máy tính nên chúng không tránh khỏi đợc sai số Chính ta cần có phơng pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm đợc gần với nghiệm toán xuất phát Do tm quan trng ủc bit lý thuyết mà nhiều nhà tốn học dành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh Vì tốn bất kỳ, việc áp dụng phương pháp cho kết gần với nghiệm tốn xuất phát quan trọng, mang đến lợi ích lớn ứng dụng vào khoa học thực tiễn Chính với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh” Tuy nhiên ñề tài tập trung vào nghiên cứu phương pháp phương pháp có vai trò quan trọng hệ thống phương pháp ñể giải tốn đặt khơng chỉnh Mục đích nghiên cứu ðề ti nghiờn cu mt s phơng pháp giải toán đặt không chỉnh Nhim v nghiờn cu Lun trung vo nghiờn cu mt s phơng pháp giải toán đặt không chỉnh i tng v phạm vi nghiên cứu Phương pháp hiệu chỉnh Phillips- Tikhonov, phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục, phương pháp tựa nghiệm cho tốn tử khơng bị chặn phương pháp Backus-Gilbert Phương pháp nghiên cứu Phơng pháp giải gần giải tích số Dự kiến đóng góp Luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức bản, ví dụ số phương pháp giải tốn ñặt không chỉnh phạm vi luận văn nghiên cứu CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích hàm Nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử A(x) f , f Y , (1.1) A tốn tử (ánh xạ ) từ khơng gian metric X vào khơng gian metric Y đó, tùy thuộc vào tốn cụ thể đặt Một tập X gọi khơng gian metric, cặp phần tử x y X (viết tắt X (x, y), x, y X ) tồn hàm thực, ký hiệu hai biến có tính chất  X (x, y) 0, X (x, y) 0 x y  X (x, y) X ( y, x)  X (x, y) X (x, z) X (z, y), x, y, z X Tập tất phần tử xX thỏa mãn ñiều kiện X (x, x0 ) r, gọi hình cầu mở X tâm x0 metric không gian metric X bán kính r, đó, X được gọi Phần tử x0 không gian metric X ñược gọi ñiểm dính tập M X , hình cầu mở S(x0 , r)  xX : (x, x0 ) tâm x0 , r kính r chứa phần tử thuộc M khác x0 0 Tập tất điểm dính M gọi bao đóng M ñược ký hiệu M  M  Một dãy  xn gồm phần tử xn X ñược gọi hội tụ ñến phần tử x0 X viết x0 limn xn , , limn X (xn , x0 ) 0 Không gian metric X ñược gọi ñầy ñủ, dãy (dãy Cauchy) X hội tụ ñến phần tử thuộc X Một tập M không gian metic X gọi compact X (hay gọi tập compact tương ñối X ), dãy xnM ln tìm dãy hội tụ ñến phần tử X Như ta ñã biết phần giảỉ tích tốn học, điều kiện cần đủ tập khơng gian hữu hạn chiều Rn trở thành compact tương ñối tính giới nội Nếu từ dãy tồn dãy hội tụ ñến phần tử xnM thuộc M , M gọi tập compact nó, gọi tắt tập compact Mọi tập compact không gian metric coi khơng gian metric đầy đủ ðể compact khơng gian metric X tập compact ñiều kiện cần ñủ tập đóng X Mỗi tập compact chứa tập trù mật, khơng q đếm phần tử Trong không gian ℂ a,b  tập M compact thỏa mãn ñịnh lý sau: ðịnh lý Arsela-Ascoli Tập M ñồng bậc ℂ  a,b compact giới nội liên tục Khơng gian metric X gọi tuyến tính (đơi gọi khơng gian vecto) với hai phần tử x1 x2 x1 x2 thuộc X ta có phép tốn cộng phép nhân số  với phần tử xX cho ta phần tử thuộc X Hai phép cộng phép nhân thỏa mãn yêu cầu sau: x1 x2 x2 x1 ; x1 (x2 x3 ) (x1 x2 ) x3 ; Tồn phần tử không (thường ñược ký hiệu số 0) không gian X cho với x X x 0 x ; , Với phần tử xX , tồn phần tử ñối x  X x (x) 0 ; Với hai số ,  phần tử cho ta có: xX (x) ()x ; Với x X 1x x ; , Với số ,  phần tử xX , ta có: ()x x x ; Với số  hai phần tử x1 x2 X ta có: (x1 x2 ) x1 x2 Khái niệm không gian tôpô mở rộng khái niệm không gian metric Cho tập X với phần tử ñược ký hiệu x, y, Trong X ta xây dựng nhiều tập khác Tập tất tập X , kí hiệu , gọi hệ lân cận Một tập u   ñược gọi lân cận phần tử x , xu ký hiệu ux ðịnh nghĩa Một tập X với hệ lân cận x, y X : x y ux ,v x x X   gọi khơng gian tơpơ nếu: ux ,v y  : ux vy ; Wx  : Wx ux vx Trong không gian tôpô X người ta ñưa ñiểm giới hạn tập M X sau: Phần tử x ñược gọi giới hạn tập M , lân cận x chứa phần tử tập M khác x Tập tất 56 Việc tìm nghiệm xấp xỉ tựa nghiệm cần thực máy tính cách lập phương trình tính tốn nhờ ngơn ngữ lập trình Việc lập trình tiến hành tốn đưa khơng gian hữu hạn chiều Giả sử M tập compact lồi khơng gian Y lồi Cho dãy tập compact lồi M1 M  M n   Sao cho U n1M n M Tựa nghiệm M n tồn tại, Kí hiệu Tn tập tựa nghiệm (3.7) M n Ta xấp xỉ tựa nghiệm cho (3.7) phần tử zɶ Tn , tức lim X (zɶn , zɶ ) 0 x Thật vậy, ñặt Nn AM n N1 N2  Nn  Khi đó, Y ( f , N1 ) Y ( f , N )  Y ( f , N n ) Y ( Azɶ, f )    tìm số n0 () Do U n1 Nn N , với với n n0 () Suy cho Y ( f0 , Nn ) Y ( f0 , N)  lim Y ( f0 , Nn ) Y ( f0 , N) x Vì Y ( f0 , Nn ) Y ( f0 , Bn ) ta có lim Y ( f , Bn ) Y ( f , Azɶ ) Mỗi Bn x tập compact, Bn ta tìm phần tử yn cho Y f y inf Y ( , y) f ( 0, n ) 57 yBn 57 Dãy  y n có điểm giới hạn thuộc N , N tập compact Gọi y0 điểm giới hạn  y n dãy hội tụ ñến  yn  k y0 , k , tức lim Y ( y0 , yn x ) 0 k Y ( y0 , fɶ ) Y ( y0 , N ) 0 , Như fɶ A(zɶ ) suy , 3.8 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục Giả sử phương trình (2.1.1) giải nghiệm u K , đó, K tốn tử compact không gian Banach X , A liên tục Xét toán A(u) f inf : m(), u K Trong m( infimum hàm A(u) f ) (3.8.1) f f cực tiểu hóa (3.8.1) gọi tựa nghiệm (2.1.1) với f  f Cho u dãy  j cực tiểu hóa (3.8.1) Do K compact, ta giả thiết j , A(u j ) f Vậy A(u) f uj u m(), A(u j ) A(u) m( ulà cực tiểu hóa tốn (3.8.1) ) 58 phương tình (2.1.1) giải nghiệm thuộc K cực tiểu hóa (3.8.1) với f  f nghiệm phương trình (3.8.1) Ta chứng minh lim  u  0 u cực tiểu hóa (3.8.1) u u nghiệm (2.1.1) với giả thiết nghiệm (2.1.1) tồn Thật vậy, u K nên ta có ta giả thiết u u  0 Do A liên tục lim0 A(u) A(u) Vậy A(u) f lim0 m() 0 Kết cuối suy từ tính giải phương trình (2.1.1), từ dẫn 58 đến f A(u) từ bất ñẳng thức m()    Ta có điều phải A(u) A(u) chứng minh ðịnh lý 3.8.1: Nếu phương trình (2.1.1) giải được, K tập conpact chứa tất nghiệm (2.1.1) lim0 f f  (3.8.1) có cực tiểu hóa u 0 , với cực tiểu hóa u nghiệm u phương trình u u (2.1.1) Chú ý: Giả sử X lồi nghiêm ngặt tức u  v  Ví dụ: LP Khơng gian Hilbert H , không gian (D), nghiêm ngặt L1 (D) (u v) u v p 1 khơng gian lồi C(D) không gian lồi nghiêm ngặt Giả sử K compact lồi, tức tập compact lồi, đóng Phép chiếu metric phần tử X PK f f infu u f K f lên K phần tử PK f K thỏa mãn Nếu X lồi nghiêm ngặt PK f nhất, K lồi compact pK f phụ thuộc liên tục vào f Nếu A đơn ánh, đóng khơng thiết phải tuyến tính K compact tập AK Thật vây, kí hiệu un fn A(un ),un K fn f có dãy con, hội tụ tới u K compcat, A đóng Au  X lồi nghiêm ngặt, K lồi compact A1 liên tục f Do A tốn tử tuyến tính bị chặn, A đơn ánh tựa nghiệm 59  u( f ) A pA f phụ thuộc vào liên tục f K theo chuẩn X 3.9 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử khơng bị chặn  A có Giả sử A tốn tử khơng bị chặn, đơn ánh, đóng phi tuyến thể khơng bi chặn Phương trình (2.1.1) giải từ (1)-(4) mục (3.4) K compact chứa tất nghiệm phương trình (2.1.1) 59 ðịnh lý 3.9.1: Với giả thiết nêu trên, A(w) f Ở m()  lim w  0 u nghiệm phương u w K (2.1.1) Chứng minh Ta giả thiết w w  0 , K compact Ta có lim m() 0 0 Vậy lim A(w)  f m()   A(u) f 0 Do A đóng ta A(w) f Vì w nghiệm phương trình (2.1.1) ta ký hiệu w u 3.10 Phương pháp Backus-Gilbert Trong mục ta thảo luận toán Ký hiệu D D phương sai giá trị trung bình nó, b f j dy f i   , j n,   * j C j p jp a Bài toán 1: Cho f j  j , j n , ñánh giá  f ý tưởng sau, ñánh giá f (x) (x) ñây tìm dạng: n fn (x) j (x)( f j   ) j1 Bài tốn trở thành tìm j (x) (1) Nếu j 0 thỏa mãn: fn f 0 n ;  (2) Nếu jp c jp Dfn  f  60 ,  số dương Ta tìm j  , j n , tối ưu theo hướng nghĩa j 0,  j ñược tìm từ ñiều kiện sau: 60 n ( A) b  j j1 ( (x) d 1  , b j a a n j1  j min ()2 (x )d (x) j Ta có: n ( A)  j (x)j  n (x, ) (x ) , theo cách tối ưu n  Nếu d j1 j tìm thấy từ ( A) (c , ) 2 0 j Nếu tốn giải khơng ta tăng 2 lên cho tốn trở nên giải Bài tốn điển hình mà ta quan tốn đánh giá phổ hàm số có giá trị compact từ hiểu biết phổ hữu hạn tần số (2) 1  1 f (x) exp(iwx)dx F(w) Giả sử số Fj F(w j ),  (3.10.1) j n (3.10.2) ñược cho Tại thời ñiểm ta giả thiết Fj cho xác tức khơng có nhiễu Trường hợp liệu nhiễu xét sau Bài tốn 2: Cho Fj ,  j tìm ñánh giá cho  f cho fn (x) (x) n,  fn (x)  f n  (hội tụ) (x) ( 3.10.3)  ðánh giá f tối ưu trường hợp ñặc biệt (3.10.5) (3.10.4) ðặc biệt ta giả thiết   f (x) L  1,1 Khi fn (x) có dạng n hàm số 61 fn (x)  Fj h j (x) , (3.10.5) j1 hj (x) ñược chọn trước từ (3.10.4) (3.10.1) suy  fn (x) An (x,) f ()d, 1 (3.10.6) 61 n An (x,)  h jj () ,  (3.10.7) j1   j () (2) exp(iwj ), liên hợp phức (3.10.3) hội tụ An (x,) ) f ()dA(x,  f (x) n 1 Cho ℚ(x) ℚ(h(x))  h(x) (h1 (x), hn (x))  d 1 (3.10.8) (3.10.9) n dãy hàm số cho n 1 0 , n  A (x,) (x ) dãy delta, tức là:  h j (x)a j 1, An (x, )d (3.10.10) j1  a j  j ()d (3.10.11) 1 Ta hiểu (3.10.10) ñiều kiện cần ñể ñánh giá  fn với f (x) hàm (3.10.1) ñã cho bé ℚ(x) , tốt ñặc trưng dãy delta An (x, ) Vậy dẫn đến tốn tối ưu Tìm dãy ℚ(h(x)) min hj x, j thỏa mãn n  (3.10.8) ñúng (3.10.12) Dạng tổng quát toán  f (x) (x)dx b , j j j n , (3.10.13)  D (j ), j tập hàm số độc lập tuyến tính D miền n  bị chặn R 62 n Nếu tốn (3.10.12) có nghiệm h(x) h1 (x), hn (x) (3.10.5) đánh giá tối ưu chứng minh có (3.10.3) hội tụ Nếu liệu nhiễu, nghĩa F j  j ñược thay cho Fj , 1 , n véo tơ ngẫu nhiên với ma trận hợp biến  62  C   ,  ij i j j 0 (3.10.14)  Trong i  j giá trị trung bình Phương sai tính n n   D( f f ) D f (x)  Fj hj (x) j h j (x)   j1 j1   n  Cij h j (x)hi (x) (Ch, h), C (cij ) i, j1 ℂn Cố định 2 0 Trong ( , ) tích vơ hướng (3.10.15)  điều kiện (Ch, h) 2 (3.10.16) Bài tốn tối ưu tìm vectơ phát biểu sau: Cực tiểu hóa ℚ(h(x)) với hạn chế (h, a) 1 (Ch, h) 2 (3.10.17) Ở ñây a (a, a, , a) Rõ ràng tốn (2.10.16) khơng giải n ñược với  0 Ta thảo luận ñiểm quan trọng sau Nếu (3.10.17) giải ñược nghiệm nhất, ñánh giá tối ưu ñược cho  n fn  (F j j )hj (x) , (3.10.18) j1 đánh giá có phương sai 2 Lập luận ñến ñây dừng thường làm ðiểm ñiều kiện hội tụ (3.10.3) Ta chứng minh tính hội tụ đánh giá ñưa tốc ñộ hội tụ (3.10.3) Trong trường hợp liệu hữu hạn moments ñược khảo sát ñiều kiện tối ưu ñược ñưa vào Bài toán thảo luận ñược quan tâm nhiều địa vật lý có nhiều áp dụng khác 63 KẾT LUẬN Luận văn ñã trình bày có hệ thống khái niệm giải tích hàm, khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh số phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh cách ngắn gọn Ngồi luận văn trình bày số khái niệm: Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng quy hóa tốn tử phi tuyến khơng bị chặn, nguyên lý ñộ lệch, nguyên lý ñộ lệch cho tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử đơn ñiệu cách chi tiết Phương pháp ñánh giá tốc ñộ hội tụ ñược ñưa Backus-Gilbert Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu, song thân em chưa tiếp cận nhiều với cơng việc nghiên cứu nên chưa có nhiều sang tạo trình nghiên cứu Vì luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo, đóng góp thầy để đề tài thực đóng góp có ích 64 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO * TiÕng ViÖt [1] Phạm Kỳ Anh- Nguyễn Bờng (2000),Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học quốc gia Hà Nội * Tiếng Anh [2] Airapetyan, R., Ramm, A G., and Smimova, A.B (2000), Continous problems, methods for solving nolinear ill □ posed in applications□, the book Amer, □Operator Math, Soc., theory Fields and Institute Communications, providence, RI, pp , 111 – 138 [3] Alexander G.ramm (1995), Inverse proelems, Springer America [4] Bakushinsky, A, and Goncharsky(1989) A, Ill- posed problem; theory and application, Mathematics and its Applicantion, Moscow [5] Bukhgeim, A (1988) Introduction to the theory of inverse probles, Nauka, Moscow [6] Bukhgeim, A (1999) Volterra equations and inverse problem, VSP, Utrecht [7] Lavrent’ev, M M and Savel’ev, L Ya(1995) Linear operators and ill □ posed problems , Consultants Bureau, New York, Nauka, Moscow ... đề tài: Một số phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh Tuy nhiên ñề tài tập trung vào nghiên cứu phương pháp phương pháp có vai trò quan trọng hệ thống phương pháp ñể giải tốn đặt khơng chỉnh Mục... phơng pháp giải toán đặt không chỉnh 3 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo nghiờn cu mt s phơng pháp giải toán đặt không chỉnh i tng v phm vi nghiên cứu Phương pháp hiệu chỉnh Phillips- Tikhonov, phương. .. tốn đặt khơng chỉnh 2.1 Khái niệm tốn đặt không chỉnh 27 2.2 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh cho phương trình tuyến 27 2.3 Một số ví dụ tốn ñặt không chỉnh .28 2.3.1 Bài tốn hệ đại số tuyến