Một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

Chính vì thế ta cần có phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuấ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS Nguyễn Văn Hùng, người ñã tận tình hướng dẫn và giúp ñỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong Khoa toán, Phòng sau ñại học ñã tạo mọi ñiều kiện giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn ñồng nghiệp, các bạn học viên K14 Toán giải tích ñã giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu, tôi ñã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa ñược công bố trên bất kỳ công trình nào khác

MỤC LỤC Lời cảm ơn

Lời cam ñoan

Mở ñầu 5

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm của giải tích hàm 7

1.2 Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn 10

1.3 Sự hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert 14

1.4 Toán tử trong các không gian 17

Chương 2: Các ví dụ và nghiệm của bài toán ñặt không chỉnh 2.1 Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh 27

2.2 Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh cho phương trình tuyến 27

2.3 Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh 28

2.3.1 Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu 28

2.3.2 Bài toán tìm ñạo hàm của hàm số 30

2.3.3 Phương trình tích phân Fredolm loại I 31

2.3.4 Chuỗi Fourier 33

2.3.5 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34

2.3.6 Bài toán cực tiểu 35

Chương 3 Các phương pháp giải bài toán ñặt không chỉnh 36

3.1 Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng 36

3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Phillps-Tikhonov 38

3.3 Nguyên lý ñộ lệch 40

3.4 Chính quy hóa toán tử phi tuyến không bị chặn 45

3.5 Nguyên lý ñộ lệch cho bài toán ñặt không chỉnh phi tuyến với toán tử ñơn ñiệu 47

3.6 Phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu 52

3.7 Phương pháp tựa nghiệm 53

3.8 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục 57

3.9 Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử không bị chặn 58

3.10 Phương pháp Backus-Gilbert 59

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ủề tài

Nhiều vấn ủề khoa học, cụng nghệ, kinh tế, sinh thỏi, v.v…, dẫn ủến giải bài toỏn mà nghiệm của chỳng khụng ổn ủịnh theo dữ kiện ban ủầu, tức là một thay ủổi nhỏ của cỏc dữ kiện cú thể dẫn ủến sự sai khỏc rất lớn của nghiệm thậm chớ làm cho bài toỏn trở nờn vụ nghiệm hoặc vụ ủịnh Người ta núi những bài toỏn ủú ủặt khụng chỉnh

Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ) và sau đó lại được sử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi

được sai số Chính vì thế ta cần có phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm

được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát

Do tầm quan trọng ủặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toỏn học ủó dành phần lớn thời gian và cụng sức của mỡnh cho việc nghiờn cứu cỏc bài toỏn ủặt khụng chỉnh Vỡ vậy ủối với bài toỏn bất kỳ, việc ỏp dụng phương phỏp nào sẽ cho kết quả càng gần với nghiệm ủỳng của bài toỏn xuất phỏt là rất quan trọng, nú mang ủến lợi ớch rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn

Chớnh vỡ vậy cựng với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hựng, tụi ủó chọn nghiờn cứu ủề tài:

“Một số phương phỏp giải bài toỏn ủặt khụng chỉnh”

Tuy nhiờn ủề tài chỉ tập trung vào nghiờn cứu 6 phương phỏp ủú là cỏc phương phỏp cú vai trũ quan trọng trong hệ thống cỏc phương phỏp ủể giải bài toỏn ủặt khụng chỉnh

2 Mục ủớch nghiờn cứu

ðề tài nghiờn cứu một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

3 Nhiệm vụ nghiờn cứu

Luận văn tập trung vào nghiờn cứu một số phương pháp giải bài toán

đặt không chỉnh

4 ðối tượng và phạm vi nghiờn cứu

Phương phỏp hiệu chỉnh Phillips- Tikhonov, phương phỏp phụ thuộc vào cấp ủộ nhiễu, phương phỏp tựa nghiệm, phương phỏp tựa nghiệm cho toỏn tử liờn tục, phương phỏp tựa nghiệm cho toỏn tử khụng bị chặn và phương phỏp Backus-Gilbert

5 Phương phỏp nghiờn cứu

Phương pháp giải gần đúng của giải tích số

6 Dự kiến ủúng gúp mới

Luận văn trỡnh bày một cỏch cú hệ thống cỏc kiến thức cơ bản, cỏc vớ

dụ và một số phương phỏp giải bài toỏn ủặt khụng chỉnh trong phạm vi luận văn nghiờn cứu

CHƯƠNG 1:

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm của giải tích hàm

Nghiên cứu bài toán ñặt không chỉnh dạng phương trình toán tử

A x( )= f, f ∈Y, (1.1)

trong ñó A là một toán tử (ánh xạ ) từ một không gian metricX vào không gian metric Y nào ñó, tùy thuộc vào bài toán cụ thể ñặt ra

Một tập nền X ñược gọi là một không gian metric, nếu mỗi cặp phần tử

x vày của X (viết tắt là x y, ∈X ) tồn tại một hàm thực, ký hiệu là

Phần tử x0của không gian metric X ñược gọi là ñiểm dính của tập

M ⊂ X , nếu mọi hình cầu mở bất kỳ S x r( , )0 ={x∈X : ( ,ρ x x0)<r} tâm x0, kính r > chứa ít nhất một phần tử thuộc M khác 0 x0

Tập tất cả các ñiểm dính của M ñược gọi là bao ñóng của M và ñược

Không gian metric X ñược gọi là ñầy ñủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ ñến phần tử thuộc X

Một tập con M của không gian metic X ñược gọi là compact trong

X (hay còn gọi là tập compact tương ñối của X ), nếu một dãy { }xn ⊂M

luôn tìm ñược một dãy con hội tụ ñến một phần tử của X Như ta ñã biết ở phần giảỉ tích của toán học, ñiều kiện cần và ñủ ñể cho một tập trong không gian hữu hạn chiều Rn trở thành compact tương ñối là tính giới nội của nó Nếu từ một dãy bất kỳ { }xn ⊂M tồn tại một dãy con hội tụ ñến một phần tử cũng thuộc M , thì M ñược gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là một tập compact Mọi tập compact của một không gian metric nào ñó có thể coi như một không gian metric ñầy ñủ ðể một compact trong không gian metric X là một tập compact ñiều kiện cần và ñủ là tập ñóng trong X Mỗi tập compact chứa một tập trù mật, không quá ñếm ñược các phần tử Trong không gian ℂ[ ]a b, một tập M compact nếu thỏa mãn ñịnh lý sau:

x + và phép nhân một số x β với một phần tử x∈ cũng cho ta những X

phần tử thuộc X Hai phép cộng và phép nhân thỏa mãn yêu cầu sau:

1 x1+ x2 = x2+ ; x1

2 x1+(x2 + x3)=(x1+ x2)+ ; x3

3 Tồn tại phần tử không (thường ñược ký hiệu bằng số 0) của không gian X sao cho với mỗi x∈X, x+ =0 x;

4 Với mỗi phần tử x∈X , tồn tại phần tử ñối − ∈x X sao cho

ðịnh nghĩa

Một tập X với một hệ lân cận ∑ ñược gọi là không gian tôpô nếu:

1.∀ x y, ∈X x: ≠ y ∃ u vx, y∈∑:ux ∩vy =φ ;

2.∀ ∈x X ∀u vx, x∈∑ ∃Wx∈∑: Wx ⊂ux ∩vx.

Trong không gian tôpô X người ta ñưa ra ñiểm giới hạn của một tập con

M nào ñó của X như sau: Phần tử x ñược gọi là giới hạn của tập M nếu ,mỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x Tập tất

cả các ñiểm giới hạn của tập M ñược ký hiệu là M ′ Tập [ ]M =M ∪M ′ñược gọi là bao ñóng của M Cho {x n =n, 1, 2, } là một dãy các phần tử thuộc X Phần tử x∈ ñược gọi là phần tử giới hạn của dãy X {x nn, ∈N , nếu }

1 x ≥0, với mọix∈X, x = khi và chỉ khi 0 x = 0

2 Với mọi x x1, 2∈X, x1+ x2 ≤ x1 + x2 (bất ñẳng thức tam giác)

3 Với mọi số β và một phần tử bất kỳ x∈X βx = β x

Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn , thì nó ñược gọi là không gian ñịnh chuẩn Không gian ñịnh chuẩn bất kỳ X có thể trở thành không gian metric, khi lấy ρX x y( , )= x− y

1.2 Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn

1 Không gian R với pn x=( ,x x1 2, ,xn) và chuẩn

1

1

p i p

2 Không gian các dãy số l với phần tử p x=( ,x x1 2, , xn, ) và

1

1

p p i p

3 Không gian các hàm L a b trong ñó mỗi phần tử là các hàm ño p[ , ]

ñược ( )x s có x s khả tích với chuẩn ñược xác ñịnh như sau : p( )

5 Không gian Sobolev

Cho Ω là một miền giới nội trong R và n x∈Cl( )Ω là hàm khả vi liên tục ñến cấp l Vì Ω là compact cho nên với mỗi l =0, 1, 2,

p

p p

hai biến, kí hiệu là x x và ñược gọi là tích vô hướng của 1, 2 x và 1 x , nếu 2thỏa mãn các ñiều kiện sau:

,

x = x x thì X trở thành một không gian ñịnh chuẩn và do

ñó X là không gian metric Không gian với tích vô hướng ñầy ñủ gọi là không gian Hilbert Không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ ñược gọi là không gian Banach Dễ dàng nhận thấy các không gian ở các ví dụ từ 1-5 là không gian Banach và khi p = chúng là các không gian Hilbert, trừ trường hợp không 2gian các hàm liên tục

Trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu tốc ñộ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh trong không gian Banach, ta cần sử dụng các ñặc trưng hình học như tính trơn cũng như tính lồi ñều của các không gian ñó

Không gian Banach X ñược gọi là lồi ñều, nếu δ εX( )> 0, ∀ > , ε 0

là môñun lồi của không gian X

Không gian Banach X ñược gọi là hàm trơn ñều, nếu limτ 0 X( )τ 0

và tính trơn ñược xác ñịnh như sau:

- Nếu X là lồi ñều, thì X∗ là trơn ñều

- Nếu X là trơn ñều, thì X∗ là lồi ñều

- Nếu X là lồi (trơn) ñều, thì X là phản xạ

Môñun lồi và trơn ñược xác ñịnh bởi Lindenstrauss cho không gian Banach loại ,lp L và Wp pm

Tính lồi và trơn của một không gian Banach bất kỳ ñược mô tả bởi ánh

xạ ñối ngẫu Us, s ≥ của 2 X Nó tồn tại trong không gian Banach X và ñược xác ñịnh như sau:

Nếu X là không gian Hilbert, thường ñược kí hiệu là H(≡ H∗), thì ánh

xạ ñối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử ñơn vị I trong không gian H Từ ñây

về sau toán tử ñơn vị ñược kí hiệu là I hoặc I , nếu cần lưu ý ñến không Xgian X

1.3 Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert

Như ñã biết một dãy các phần tử { }xn của không gian Banach X hội tụ mạnh ñến một phần tử x khi n → ∞ , nếu 0 xn −x0 → khi n → ∞ Hội tụ 0theo chuẩn ñược gọi là hội tụ mạnh Song song với khái niệm hội tụ ñó tồn tại khái niệm hội tụ yếu của dãy { }xn Ta nói x hội tụ yếu ñến n x , nếu 0 ∀ ∈f X∗

có f x( )n → f x( )0 khi n → ∞ Ta luôn có từ hội tụ mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu Ngược lại không ñúng Ví dụ trong không gian Hilbert khả ly l 2lấy dãy { }ej 1∞ sao cho e ei, j = δij

Khi ñó, với mọi ϕ∈l2:ϕ =( ,ϕ ϕ1 2, ,ϕn, ) ta có e ei, j =ϕj

Vì ϕ∈ cho nên liml2 j 0

mạnh Cũng như hội tụ mạnh, giới hạn yếu cũng duy nhất, tức là x hội tụ nyếu ñến x và x hội tụ yếu ñến y thì xn = Một số trường hợp từ hội tụ yếu y

có thể xảy ra hội tụ mạnh:

1 X là không gian hữu hạn chiều

2 { }xk ⊂M , ở ñây M là một compact trong X

Những khẳng ñịnh trên dễ hiểu bởi vì trong trường hợp thứ nhất ,

3 Mọi dãy hội tụ yếu ñều giới nội

4 Nếu x hội tụ yếu ñến n x thì 0 x ≤limn→∞ xn

Ta kiểm tra cho trường hợp tổng quát khi X là không gian Banach Theo hệ quả của ðịnh lý Hahn-Banach với mỗi x tồn tại một phiếm 0hàm f ∈X∗ sao cho f = và 1 x0 = x f0, =limn→∞ xn, f ≤limn→∞ xn Trong trường hợp x = là hiển nhiên 0 0

5 Trong không gian có tích vô hướng ta có:

0 0

0

x ;

n n

• Trong không gian Banach phản xạ X mọi dãy giới nội là Compact yếu trong X Tức là

Khi ñó, tồn tại một dãy { }yn ∈M sao cho yn − x0 → Như vậy, d

{ }yn là một tập giới nội Vì X là lồi ñều, cho nên nó là không gian phản xạ

Do mọi tập giới nội trong không gian X là compact yếu, suy ra tồn tại một dãy con { }yn k hội tụ yếu ñến một phần tử y nào ñó của X Nhưng M là một tập ñóng yếu cho nên y∈M Mặt khác,

k

Suy ra, d = y− x0 Kết luận thứ nhất ñược chứng minh

ðể chứng minh kết luận thứ hai, trước tiên ta thấy

Nếu y y1, 2∈M, y1≠ y2 sao cho d = y1− x0 = y2 − y thì ∀ ∈λ (0, 1) ta

có λy+ −(1 λ)y2 = d

Tức là cả ñoạn thẳng [y y nằm lên biên của 1, 2] M

ðiều này mâu thuẫn với tính lồi ñều của X : Mặt cầu không chứa ñoạn thẳng

Cho H là một không gian Hilbert và M là một không gian con của H Tập tất cả các véctơ của H trực giao (vuông góc) với M

Trong không gian vô hạn chiều, nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục, thì A−1 không liên tục Nếu không, I = A A−1 là toán tử hoàn toàn liên tục Lúc

ñó hình cầu ñơn vị phải là một tập compact tương ñối ðiều này vô lý trong không gian vô hạn chiều

tìm ñược một phần tử fɶn∈Y0 sao cho

k n

Như vậy với mỗi phần tử ϕ∈Y∗ qua A ta xác ñịnh ñược một phần tử thuộc X Nói một cách khác ta có một phần tử Y* ∗ vào X∗ Toán tử này phụ thuộc vào toán tử A cho trước ðể ghi nhớ ñiều ñó ta ký hiệu nó là A∗ Ký hiệu này cũng nhắc rằng toán tử A∗ tác ñộng từ không gian ñối ngẫu (liên hợp) vào X∗ không gian ñối ngẫu và ñược gọi là toán tử liên hợp của A

Do f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục nên ta có thể viết

f x f x , ở ñây f ∈X∗ Như vậy, A∗ϕ, x = ϕ, Ax Ngoài ra A∗ cũng

là một toán tử tuyến tính, liên tục và A = A∗ NếuX là một không gian Banach phản xạ và A= A∗ thì ta nói A là một toán tử tự liên hợp

Nếu A∈B X Y( , ), x hội tụ yếu ñến n x thì 0 Ax hội tụ yếu ñến n Ax 0Thật vậy,

Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian ñối ngẫu của

nó là X Cả hai có chuẩn ñều ñược ký hiệu là * . và giá trị của một phiếm

hàm tuyến tính liên tục x∗∈X∗ tại ñiểm x∈ ñược ký hiệu bởi X x∗, x Cho toán tử A với miền xác ñịnh là D A( )⊆ X (Thông thường ta coi ( )

D A ≡ X) và miền ảnh R A nằm trong ( ) X Toán tử A ñược gọi là ñơn ∗.ñiệu nếu

A x − A y x− y ≥ ∀x y, ∈D A ( )

A ñược gọi là ñơn ñiệu chặt, nếu dấu bằng chỉ ñạt ñược khi x= y

A ñược gọi là ñơn ñiệu nếu tồn tại một hàm không âm ( )d t không giảm với t ≥0, (0)d = và thỏa mãn tính chất 0

A ñược gọi là ñơn ñiệu ñều , nếu tồn tại một hàm không âm δ ( ) t , không giảm với t ≥0, (0)δ = và 0

A x − A y x− y ≥δ x− y ∀x y, ∈D A ( )Nếu δ( )t =c tA 2, cA là một hằng số dương, thì toán tử A ñược gọi là toán

x

A x xx

p

p U

Phiếm hàm ( )ϕ x với x∈ ñược gọi là lồi, nếu X

có khái niệm về dưới vi phân của ϕ ñược ký hiệu bởi ∂ và ñược ñịnh nghĩa ϕ ∂ϕ( )x ={x∗∈X∗: ( )ϕ y −ϕ( )x ≥ x y∗, −x , ∀ ∈y X}

ðối với một phiếm hàm bất kỳ, ta có mối liên hệ chặt chẽ giữa tính lồi ñều và tính ñơn ñiệu ñều của dưới vi phân như sau:

Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi ñều xác ñịnh trên không gian Banach phản

xạ X thì ∂ là một toán tử ñơn ñiệu ñều Nếu ( )ϕ D ϕ ≡ X thì ∂ còn là một ϕtoán tử h- liên tục tại mọi ñiểm x∈X tức là ,

X ×X∗ chứa G Nếu Gr A không gian chứa một tập ñơn ñiệu nào khác ( )

X ×X∗ thì toán tử A ñược gọi là toán tử ñơn ñiệu cực ñại

cho nên A x > với mọi x ∈ Γ và t( ) 0 t∈[ ]0, 1 Do ñó bậc của ánh xạ A x t( )ñối với 0, tức là d A x D( ( ), ,0)t , bất biến với mọi t∈[ ]0, 1 Nhưng,

Một họ các tập con của không gian tôpô ñược gọi là có tâm , nếu giao của một họ hữu hạn các tập con ñó khác rỗng

Nếu dãy { }yn ⊂ E yx( ) :yn → y0 khi n → ∞ , thì

1 2

( , , , n)

α = α α α Véctơ này thuộc không gian R Cũng dễ dàng nhận thấy, tồn tại một số ndương r > sao cho khi 0 α = thì zr > Xét ánh xạ liên tục r

Vì vậy biên của hình cầu α ≤ ta có r ℚ( ),α α >0 Theo giả thiết của

bổ ñề trên, tồn tại α0 =(α α1,0, 20, ,αn0) sao cho ( )ℚ α =0 suy ra,

ℚℚ

A z z

ở ñây z0 =α10x1+α20x2 + + αn0xn

ðịnh lý 1.1 Cho A là một toán tử ñơn ñiệu và h-liên tục từ không gian

Banach phản xạ X vào X∗ thỏa mãn ñiều kiện: Tồn tại một số dương M

sao cho với mọi véctơ x∈X : x ≥M , thì

( ), 0

A x x >

Khi ñó, phương trình ( )A x = có ít nhất một nghiệm 0

Chứng minh Theo bổ ñề trên, tồn tại mốt số dương r > sao cho 0

E y = y∈D A x x−y ≥

ở ñây Dr ={y∈X : y ≤r} và x là một vecto bất kì thuộc X , tạo thành một

họ các tập con ñóng yếu có tâm của D Coi r D như một không gian tôpô r

Khi ñó, họ các tập con E y có giao khác rỗng Có nghĩa là tồn tại x( )

Cho A là một toán tử h-liên tục, ñơn ñiệu và bức từ không gian Banach

phản xạ X vào X∗ Khi ñó, A là toàn ánh, tức là phương trình

Trong ựó X và Y là các không gian Banach hoặc không gian metric, và

A là toán tử tuyến tắnh liên tục Bài toán (2.1.1) là bài toán ựặt chỉnh nếu thỏa mãn các ựiều kiện sau:

1 Với mỗi f ∈ tồn tại nghiệm Y u∈ ; X

2 Nghiệm u ựó ựược xác ựịnh một cách duy nhất ;

3 Bài toán này ổn ựịnh trên cặp không gian ( , )X Y

Nếu ắt nhất một trong ba ựiều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán ựược gọi là bài toán ựặt không chỉnh đôi khi người ta gọi bài toán ựặt không chắnh quy hoặc bài toán thiết lập không ựúng ựắn

Lưu ý: Một bài toán có thể thiết lập không ựúng ựắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập ựúng ựắn trên không gian metric khác

2.2 Khái niệm về bài toán ựặt không chỉnh cho phương trình phi tuyến Nếu A là một toán tử tuyến tắnh thì bài toán (2.1.1) ựược gọi là bài toán ựặt không chỉnh nếu N A( )≠{ }0 hoặc f ∉R A( ) hoặc ( )R A không ựóng tức

là A−1 là không bị chặn Nếu A là phi tuyến và có ựạo hàm thì có một số khả năng sau:

NếuA u′( ) khả nghịch, bị chặn tại một số u nào ựó thì ( )A u ựồng phôi ựịa phương tại ựiểm này, nhưng có thể nó không ựồng phôi toàn bộ không gian

Nếu A u′( )khả nghịch không bị chặn thì suy ra A không là ñồng phôi Chẳng hạn ñồng phôi ( )A u có thể có ñạo hàm compact khi ñó tuyến tính hóa bài toán dẫn ñến bài toán ñặt không chỉnh Mặt khác ( )A u là toán tử compact nên (2.1.1) là bài toán ñặt không chỉnh, mà A u′( ) có thể là toán tử hữu hạn chiều vì miền giá trị A u′( )ñóng Theo trên ta sẽ gọi phương trình phi tuyến (2.1.1) là bài toán ñặt không chỉnh nếu A u′( ) khả nghịch không bị chặn, là bài toán ñặt chỉnh nếu A u′( ) khả nghịch bị chặn

2.3 Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh

2.3.1 Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu

Trong (2.1.1) cho : n → n

A R R Khi ñó A có thể ñược biểu diễn bởi một

ma trận ( )aij Nếu A không suy biến, ñiều kiện của ma trận

tính với ñiều kiện xấu chính là giải bài toán ñặt không chỉnh

Một câu hỏi ñặt ra là làm thế nào ñể nhận biết và giải hệ phương trình ñại số tuyến tính với ma trận hệ số ñiều kiên xấu

2.3.2 Bài toán tìm ñạo hàm của một hàm số

Giả sử hàm số y= f x( ) có ñạo hàm Ta cần tính ñạo hàm

dụ sau:

Cho hàm số ( )f x =exp( )x , Tính ñạo hàm với f′(1) với hk =10−k ta có bảng kết quả sau

3 4 5

Bảng trên cho thấy nếu k =10 thì Dk = , trong khi ñó (1) 2,718282.0 f′ ≈Như vậy k = tỷ sai phân xấp xỉ tốt hơn cả ðiều ñó nói lên rằng 5 Dk tiến tới ( )

f x′ ở một thời khắc nào ñó sau lại rời xa khỏi nó Cũng ví dụ trên ta thấy

ở ñây nghiệm là một hàm ( ),ϕ s vế phải f t0( ) là một hàm số cho trước và

nhân K t s( , ) của tích phân cùng với K

t

∂

∂ ñược giả thiết là các hàm liên tục

Ta giả thiết nghiệm ( )ϕ s thuộc lớp hàm liên tục trên [ ]a b, với khoảng cách (còn gọi là ñộ lệch) giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 trong lớp hàm ñó là

Với N bất kỳ và ω ñủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong

m m

a c

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL c d2[ ], ( , )f0 f1

rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρL a b2[ ], (ϕ ϕ0, 1) rất lớn