Một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Văn Hùng, người ñã tận tình hướng dẫn và giúp ñỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong Khoa toán, Phòng sau ñại học ñã tạo mọi ñiều kiện giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn ñồng nghiệp, các bạn học viên K14 Toán giải tích ñã giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên Hoàng Thị Thu Hường LỜI CAM ðOAN Tôi xin cam ñoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu, tôi ñã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa ñược công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên Hoàng Thi Thu Hường MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam ñoan Mở ñầu 5 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm của giải tích hàm 7 1.2. Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn 10 1.3. Sự hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert 14 1.4. Toán tử trong các không gian 17 Chương 2: Các ví dụ và nghiệm của bài toán ñặt không chỉnh 2.1. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh 27 2.2. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh cho phương trình tuyến 27 2.3. Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh 28 2.3.1. Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu 28 2.3.2. Bài toán tìm ñạo hàm của hàm số 30 2.3.3. Phương trình tích phân Fredolm loại I 31 2.3.4. Chuỗi Fourier 33 2.3.5. Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34 2.3.6. Bài toán cực tiểu 35 Chương 3. Các phương pháp giải bài toán ñặt không chỉnh 36 3.1. Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng 36 3.2. Phương pháp hiệu chỉnh Phillps-Tikhonov 38 3.3. Nguyên lý ñộ lệch 40 3.4. Chính quy hóa toán tử phi tuyến không bị chặn 45 3.5. Nguyên lý ñộ lệch cho bài toán ñặt không chỉnh phi tuyến với toán tử ñơn ñiệu .47 3.6. Phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu 52 3.7. Phương pháp tựa nghiệm 53 3.8. Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục 57 3.9. Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử không bị chặn 58 3.10. Phương pháp Backus-Gilbert 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 5 M U 1. Lý do chn ủ ti. Nhiu vn ủ khoa hc, cụng ngh, kinh t, sinh thỏi, v.v, dn ủn gii bi toỏn m nghim ca chỳng khụng n ủnh theo d kin ban ủu, tc l mt thay ủi nh ca cỏc d kin cú th dn ủn s sai khỏc rt ln ca nghim thm chớ lm cho bi toỏn tr nờn vụ nghim hoc vụ ủnh. Ngi ta núi nhng bi toỏn ủú ủt khụng chnh. Do các số liệu thờng đợc thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ) và sau đó lại đợc sử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi đợc sai số. Chính vì thế ta cần có phơng pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm đợc càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Do tm quan trng ủc bit ca lý thuyt ny m nhiu nh toỏn hc ủó dnh phn ln thi gian v cụng sc ca mỡnh cho vic nghiờn cu cỏc bi toỏn ủt khụng chnh. Vỡ vy ủi vi bi toỏn bt k, vic ỏp dng phng phỏp no s cho kt qu cng gn vi nghim ủỳng ca bi toỏn xut phỏt l rt quan trng, nú mang ủn li ớch rt ln trong ng dng vo khoa hc v thc tin. Chớnh vỡ vy cựng vi s hng dn ca TS. Nguyn Vn Hựng, tụi ủó chn nghiờn cu ủ ti: Mt s phng phỏp gii bi toỏn ủt khụng chnh. Tuy nhiờn ủ ti ch tp trung vo nghiờn cu 6 phng phỏp ủú l cỏc phng phỏp cú vai trũ quan trng trong h thng cỏc phng phỏp ủ gii bi toỏn ủt khụng chnh. 2. Mc ủớch nghiờn cu. ti nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán đặt không chỉnh. 6 3. Nhim v nghiờn cu. Lun vn tp trung vo nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán đặt không chỉnh. 4. i tng v phm vi nghiờn cu. Phng phỏp hiu chnh Phillips- Tikhonov, phng phỏp ph thuc vo cp ủ nhiu, phng phỏp ta nghim, phng phỏp ta nghim cho toỏn t liờn tc, phng phỏp ta nghim cho toỏn t khụng b chn v phng phỏp Backus-Gilbert. 5. Phng phỏp nghiờn cu. Phơng pháp giải gần đúng của giải tích số. 6. D kin ủúng gúp mi. Lun vn trỡnh by mt cỏch cú h thng cỏc kin thc c bn, cỏc vớ d v mt s phng phỏp gii bi toỏn ủt khụng chnh trong phm vi lun vn nghiờn cu. 7 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm của giải tích hàm Nghiên cứu bài toán ñặt không chỉnh dạng phương trình toán tử ( ) , A x f f Y = ∈ , (1.1) trong ñó A là một toán tử (ánh xạ ) từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào ñó, tùy thuộc vào bài toán cụ thể ñặt ra. Một tập nền X ñược gọi là một không gian metric, nếu mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là , x y X ∈ ) tồn tại một hàm thực, ký hiệu là ( , ), X x y ρ hai biến có các tính chất. • ( , ) 0, ( , ) 0 X x y X x y x y ρ ρ ≥ = ⇔ = . • ( , ) ( , ) X x y X y x ρ ρ = . • ( , ) ( , ) ( , ), , , X x y X x z X z y x y z X ρ ρ ρ ≤ + ∀ ∈ . Tập tất cả các phần tử x X ∈ thỏa mãn ñiều kiện 0 ( , ) , X x x r ρ < ñược gọi là hình cầu mở trong X tâm 0 x bán kính , r trong ñó, X ρ ñược gọi là metric của không gian metric X . Phần tử 0 x của không gian metric X ñược gọi là ñiểm dính của tập M X ⊂ , nếu mọi hình cầu mở bất kỳ { } 0 0 ( , ) : ( , ) S x r x X x x r ρ = ∈ < tâm 0 x , kính 0 r > chứa ít nhất một phần tử thuộc M khác 0 x . Tập tất cả các ñiểm dính của M ñược gọi là bao ñóng của M và ñược ký hiệu bằng M hoặc [ ] M . Một dãy { } n x gồm các phần tử n x X ∈ ñược gọi là hội tụ ñến phần tử 0 , ∈ x X viết là 0 lim n n x x →∞ = , nếu 0 lim ( , ) 0 n n X x x ρ →∞ = . 8 Không gian metric X ñược gọi là ñầy ñủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ ñến phần tử thuộc X . Một tập con M của không gian metic X ñược gọi là compact trong X (hay còn gọi là tập compact tương ñối của X ), nếu một dãy { } n x M ⊂ luôn tìm ñược một dãy con hội tụ ñến một phần tử của X . Như ta ñã biết ở phần giảỉ tích của toán học, ñiều kiện cần và ñủ ñể cho một tập trong không gian hữu hạn chiều n R trở thành compact tương ñối là tính giới nội của nó. Nếu từ một dãy bất kỳ { } n x M ⊂ tồn tại một dãy con hội tụ ñến một phần tử cũng thuộc M , thì M ñược gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là một tập compact. Mọi tập compact của một không gian metric nào ñó có thể coi như một không gian metric ñầy ñủ. ðể một compact trong không gian metric X là một tập compact ñiều kiện cần và ñủ là tập ñóng trong X . Mỗi tập compact chứa một tập trù mật, không quá ñếm ñược các phần tử. Trong không gian [ ] , a b ℂ một tập M compact nếu thỏa mãn ñịnh lý sau: ðịnh lý Arsela-Ascoli. Tập [ ] , M a b ⊂ ℂ là compact khi và chỉ khi nó giới nội ñều và liên tục ñồng bậc. Không gian metric X ñược gọi là tuyến tính (ñôi khi còn gọi là không gian vecto) nếu với hai phần tử bất kỳ 1 x và 2 x thuộc X ta có phép toán cộng 1 2 x x + và phép nhân một số β với một phần tử x X ∈ cũng cho ta những phần tử thuộc X . Hai phép cộng và phép nhân thỏa mãn yêu cầu sau: 1. 1 2 2 1 x x x x + = + ; 2. 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) x x x x x x + + = + + ; 3. Tồn tại phần tử không (thường ñược ký hiệu bằng số 0) của không gian X sao cho với mỗi , x X ∈ 0 x x + = ; 9 4. Với mỗi phần tử x X ∈ , tồn tại phần tử ñối x X − ∈ sao cho ( ) 0 x x + − = ; 5. Với hai số , α β và một phần tử bất kỳ x X ∈ ta có: ( ) ( ) x x α β αβ = ; 6. Với mọi , x X ∈ 1 x x × = ; 7. Với mọi số , α β và phần tử bất kỳ x X ∈ , ta có: ( ) x x x α β α β + = + ; 8. Với mọi số β và hai phần tử bất kỳ 1 x và 2 x của X ta có: 1 2 1 2 ( ) x x x x β β β + = + . Khái niệm không gian tôpô là mở rộng khái niệm của không gian metric. Cho một tập nền X với các phần tử ñược ký hiệu là , , x y .Trong X ta có thể xây dựng ñược nhiều tập con khác nhau. Tập tất cả các tập con của , X kí hiệu là , ∑ ñược gọi là một hệ lân cận. Một tập u ∈ ∑ ñược gọi là lân cận của phần tử x , nếu x u ∈ và ký hiệu là x u . ðịnh nghĩa. Một tập X với một hệ lân cận ∑ ñược gọi là không gian tôpô nếu: 1. , : x y X x y ∀ ∈ ≠ ∃ , : x y x y u v u v φ ∈ ∩ = ∑ ; 2. . , W : W x x x x x x x X u v u v ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ⊂ ∩ ∑ ∑ . Trong không gian tôpô X người ta ñưa ra ñiểm giới hạn của một tập con M nào ñó của X như sau: Phần tử x ñược gọi là giới hạn của tập , M nếu mỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x . Tập tất cả các ñiểm giới hạn của tập M ñược ký hiệu là . ′ M Tập [ ] M M M ′ = ∪ ñược gọi là bao ñóng của . M Cho { } , 1, 2, n x n = là một dãy các phần tử thuộc X . Phần tử x X ∈ ñược gọi là phần tử giới hạn của dãy { } , ∈ n x n N , nếu 10 ( ): x x u N N u n N ∀ ∈ ∃ = ∀ > ∑ n x x u ∈ . Ví dụ về không gian tôpô: { } , ( , ): , , − = = ∈ < ∑ X R a b a b R a b . ( , ) ρ − X một không gian metric bất kỳ, ở ñây ∑ là tập các hình cầu mở ( , ), S x r . ∈ x X Nếu không gian tôpô X là tuyến tính, thì ta gọi tắt là không gian tôpô tuyến tính hoặc không gian vecto tôpô. Chuẩn của một không gian tuyến tính X là một hàm, thường ñược ký hiệu là . , xác ñịnh trên toàn không gian X , nhận các giá trị hữu hạn và có tính chất sau: 1. 0, x ≥ với mọi , x X ∈ 0 x = khi và chỉ khi 0 x = . 2. Với mọi 1 2 1 2 1 2 , , x x X x x x x ∈ + ≤ + (bất ñẳng thức tam giác). 3. Với mọi số β và một phần tử bất kỳ x X x x β β ∈ = . Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn . , thì nó ñược gọi là không gian ñịnh chuẩn. Không gian ñịnh chuẩn bất kỳ X có thể trở thành không gian metric, khi lấy ( , ) . ρ = − X x y x y 1.2. Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn 1. Không gian n p R với 1 2 ( , , , ) n x x x x = và chuẩn 1 1 n p p i p i x x =   =     ∑ trong ñó p là một số thực bất kì : 1 p ≤ < +∞ . Khi 2 p = , ta thường kí hiệu n E và gọi là không gian Euclide n -chiều. [...]... thì bài tốn đư c g i là bài tốn đ t khơng ch nh ðơi khi ngư i ta g i bài tốn đ t khơng chính quy ho c bài tốn thi t l p khơng đúng đ n Lưu ý: M t bài tốn có th thi t l p khơng đúng đ n trên c p khơng gian metric này, nhưng l i thi t l p đúng đ n trên khơng gian metric khác 2.2 Khái ni m v bài tốn đ t khơng ch nh cho phương trình phi tuy n N u A là m t tốn t tuy n tính thì bài tốn (2.1.1) đư c g i là bài. .. D V NGHI M C A BÀI TỐN ð T KHƠNG CH NH 2.1 Khái ni m v bài tốn đ t khơng ch nh Cho phương trình : A(u ) = f , A : X → Y (2.1.1) Trong đó X và Y là các khơng gian Banach ho c khơng gian metric, và A là tốn t tuy n tính liên t c Bài tốn (2.1.1) là bài tốn đ t ch nh n u th a mãn các đi u ki n sau: 1 V i m i f ∈ Y t n t i nghi m u ∈ X ; 2 Nghi m u đó đư c xác đ nh m t cách duy nh t ; 3 Bài tốn này n đ... bài tốn đ t khơng ch nh, mà A′(u ) có th là tốn t h uh n chi u vì mi n giá tr A′(u ) đóng Theo trên ta s g i phương trình phi tuy n (2.1.1) là bài tốn đ t khơng ch nh n u A′(u ) kh ngh ch khơng b ch n, là bài tốn đ t ch nh n u A′(u ) kh ngh ch b ch n 2.3 M t s ví d v bài tốn đ t khơng ch nh 2.3.1 Bài tốn h đ i s tuy n tính v i đi u ki n x u Trong (2.1.1) cho A : R n → R n Khi đó A có th đư c bi u di... x ≥ 0, y ≥ 0} đ t đư c t i đi m ( x2 (δ ), 0) T c là t i x = x2 (δ ) thì ϕ ( x2 (δ )) = 0 Khi δ → 0, λδ → 0 và x2 (δ ) → ∞ Như v y bài tốn này khơng n đ nh 36 CHƯƠNG 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I BÀI TỐN ð T KHƠNG CH NH 3.1 Khai tri n kỳ d , tốn t kh ngh ch m r ng Xét phương trình tuy n tính (2.1.1) Cho A : X → Y là m t tốn t tuy n tính, D ( A) và R ( A) là các mi n xác đ nh và mi n giá tr c a A , X =... Vi c gi i bài tốn đ i s tuy n u tính v i đi u ki n x u chính là gi i bài tốn đ t khơng ch nh Lưu ý r ng : γ ( A) = supu ≠0 ( Au Au Av ) / inf u ≠0 ( ) vì inf v≠0 = A−1 v u v Cũng v y n u A khơng suy bi n det A ≠ 0, γ ( A) = các giá tr riêng c a A * A −1 S max trong đó S 2 là j Smin 29 Ví d 1 H phương trình 2u1 + u2 = 2  2u1 + 1,01u2 = 2,01 có nghi m u1 = 1 và u2 = 1 , trong khi đó h phương trình... 2.3.5 Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace hai chi u ∂ 2u ∂ 2 u + = 0, ∂x 2 ∂y 2 (1.2) ∂u ∂y (1.3) u ( x,0) = f ( x), = ϕ ( x), − ∞ < x < ∞ y =0 đây f ( x) và ϕ ( x) là các hàm cho trư c N u l y f ( x) = f1 ( x) ≡ 0 và 1 a ϕ ( x) = ϕ1 ( x) = sin(ax) thì nghi m c a bài tốn trên là u1 ( x, y ) = 1 sin(ax) sh(ay ), a > 0 a2 N u l y f ( x) = f 2 ( x) = ϕ ( x) = ϕ 2 ( x) ≡ 0 , thì nghi m c a bài tốn... ch, b ch n t i m t s u nào đó thì A(u ) đ ng phơi đ a phương t i đi m này, nhưng có th nó khơng đ ng phơi tồn b khơng gian 28 N u A′(u ) kh ngh ch khơng b ch n thì suy ra A khơng là đ ng phơi Ch ng h n đ ng phơi A(u ) có th có đ o hàm compact khi đó tuy n tính hóa bài tốn d n đ n bài tốn đ t khơng ch nh M t khác A(u ) là tốn t compact nên (2.1.1) là bài tốn đ t khơng ch nh, mà A′(u ) có th là tốn t h... 2,0800007556    −80 37 10    và  −73 78 24  det  92 66 25  ≈ −118,93999938    −80 37 10,01   30 M t câu h i đ t ra là làm th nào đ nh n bi t và gi i h phương trình đ i s tuy n tính v i ma tr n h s đi u kiên x u 2.3.2 Bài tốn tìm đ o hàm c a m t hàm s Gi s hàm s y = f ( x) có đ o hàm Ta c n tính đ o hàm f ′( x) = lim h →0 f ( x + h) − f ( x) h b ng s t i đi m x Mu n v y thơng thư ng... a hai hàm f1 (t ) và f 2 (t ) trong L2 [ c, d ] đư c bi u th b i s  d  1 2 ρ L2 [ c, d ] ( f1 , f 2 ) =  ∫ f1 (t ) − f 2 (t ) dt  2 c  Gi s phương trình (1.1) có nghi m ϕ0 ( s ) Khi đó, v i v ph i b f1 (t ) = f 0 (t ) + N ∫ K (t , s )sin(ws )ds a phương trình (1.1) có nghi m ϕ1 ( s ) = ϕ0 ( s ) + N sin(ws ) 32 V i N b t kỳ và ω đ l n thì kho ng cách gi a hai hàm f 0 và f1 trong L2 [ c, d ]... xét trong khơng gian các hàm v i đ đo đ u, thì bài tốn tính t ng chu i Fourier là khơng n đ nh khi h s c a chu i có s thay đ i nh , tuy nhiên n u xét trong khơng gian L2 [ 0, π ] , thì 1 1 2 2 2   π ∞ 2   f 2 (t ) − f1 (t )] dt  =  ∫ ∑ (cn − an )cos(nt ) dt  ∫ [ 0   0 n=0    π 1 2 π  π  = ∑ (cn − an ) 2  = ε1 2 2  n=1  ∞ 34 Như v y, bài tốn l i n đ nh, t c là khi d ki n ban đ u . Toán tử trong các không gian 17 Chương 2: Các ví dụ và nghiệm của bài toán ñặt không chỉnh 2.1. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh 27 2.2. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh cho phương. cu. ti nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán đặt không chỉnh. 6 3. Nhim v nghiờn cu. Lun vn tp trung vo nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán đặt không chỉnh. 4. i tng v phm vi nghiờn. 33 2.3.5. Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34 2.3.6. Bài toán cực tiểu 35 Chương 3. Các phương pháp giải bài toán ñặt không chỉnh 36 3.1. Khai triển kỳ dị, toán tử khả