Giả sử phương trình (2.1.1) giải ựược và nghiệm của nó là u∈K, trong ựó,K là toán tử compact trong không gian BanachX , A liên tục.
Xét bài toán
A u( )− fδ =inf :=m( ),δ u∈K. (3.8.1) Trong ựó ( )m δ là infimum của hàm A u( )− fδ và fδ − f ≤δ cực tiểu hóa của (3.8.1) ựược gọi là tựa nghiệm của (2.1.1) với f = fδ. Cho uj là dãy cực tiểu hóa của (3.8.1). Do K compact, ta có thể giả thiết uj →uδ khi
j→ ∞, A u( )j − fδ →m( ), ( )δ A uj →A u( δ).
Vậy A u( δ)− fδ =m( )δ do ựó uδ là cực tiểu hóa của bài toán (3.8.1) và phương tình (2.1.1) giải ựược và nghiệm của nó thuộc K thì cực tiểu hóa của (3.8.1) với fδ = f là nghiệm của phương trình (3.8.1).
Ta chứng minh limδ→0 uδ −u =0 trong ựó uδlà cực tiểu hóa của (3.8.1) và u là nghiệm của (2.1.1) với giả thiết nghiệm của (2.1.1) tồn tại.
Thật vậy, uδ ∈K vì thế ta có thể giả thiết uδ →u khi δ →0. Do A liên tục nên ta có limδ→0A u( δ)= A u( ). Vậy A u( )− f =limδ→0m( )δ =0. Kết quả cuối cùng ựược suy ra từ tắnh giải ựược của phương trình (2.1.1), từ ựó dẫn
ựến f = A u( ) và từ bất ựẳng thức ( )m δ ≤ A u( δ)−A u( ) +δ . Ta có ựiều phải chứng minh .
định lý 3.8.1: Nếu phương trình (2.1.1) giải ựược, K là tập conpact chứa tất cả các nghiệm của (2.1.1) và fδ − f ≤δ thì (3.8.1) có cực tiểu hóa uδ và
0
limδ→ uδ −u =0, với mỗi cực tiểu hóa uδ và nghiệm u của phương trình (2.1.1).
Chú ý: Giả sử X lồi nghiêm ngặt tức là nếu ( ) 2 u v
u v +
= = thì u =v.
Vắ dụ:
Không gian Hilbert H , không gian L DP( ), p >1 là các không gian lồi nghiêm ngặt L D1( ) và ( )C D không phải là không gian lồi nghiêm ngặt.
Giả sử K là compact lồi, tức nó là tập compact lồi, ựóng. Phép chiếu metric của phần tử f ∈X lênK là phần tử P fK ∈K thỏa mãn
inf
K u K
P f − f = ∈ u− f . Nếu X là lồi nghiêm ngặt thì P fK là duy nhất, còn nếu K lồi compact thì p fK phụ thuộc liên tục vào f . Nếu Aựơn ánh, ựóng nhưng không nhất thiết phải tuyến tắnh và K compact thì A−1 liên tục trên tập AK. Thật vây, nếu fn = A u( ),n un∈K và fn → f thì có một dãy con, kắ hiệu là un hội tụ tới u do K compcat, còn nếu A ựóng thì Au = f. Do ựó nếu X lồi nghiêm ngặt, K lồi compact và nếu A là toán tử tuyến tắnh bị chặn, A ựơn ánh thì tựa nghiệm u f( )= A p−1 AK f phụ thuộc vào liên tục f theo chuẩn của X .