2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ , (1.2) 0 ( ,0) ( ), ( ), y u u x f x x x y ϕ = ∂ = = − ∞ < < ∞ ∂ (1.3)
ở ựây f x( ) và ϕ( )x là các hàm cho trước. Nếu lấy f x( )= f x1( )≡0 và
1
1
( )x ( )x sin(ax)
a
ϕ =ϕ = thì nghiệm của bài toán trên là
1 2 1 ( , ) sin( ) ( ), 0 u x y ax sh ay a a = > .
Nếu lấy f x( )= f x2( )=ϕ( )x =ϕ2( )x ≡0, thì nghiệm của bài toán (1.2) - (1.3) là u x y2( , )≡0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm ựược xét trong ựộ ựo ựều ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) sup ( ) ( ) 0, 1 ( , ) sup ( ) ( ) . ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ = − = = − = x x C f f f x f x C x x a
Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 khá nhỏ. Trong khi ựó khoảng cách giữa các nghiệm
1 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) sup ( , ) ( , ) 1 1 sup sin( ) ( ) ( ), x y C u u u x y u x y ax sh ay sh ay a a ρ = − = =
với y>0 cố ựịnh lại lớn bất kỳ . Chắnh vì vậy ựây cũng là bài toán không ổn ựịnh.
2.3.6. Xét bài toán cực tiểu
Hàm ( )ϕ y = y trên ựoạn thẳng y=λ0x+y0 chứa trong phần tư thứ nhất của mặt phẳng XOY, trong ựó y0 >0 và λ0 là các số cho trước .
Giả sử λ0 =0 và thay cho λ0 ta có λ λδ : δ −λ0 <δ . Xét các trường hợp:
∗ Trường hợpλδ >0, thay ựường thẳng y = y0 ta có ựường thẳng
1: 0
d y =λδx+ y . Giá trị cực tiểu của hàm ( )ϕ y trên một phần của d1 nằm trong vùng {x≥0, y≥0} ựạt ựược tại ựiểm (0, y0). điều ựó có nghĩa là khi
0
x= thì ϕ(0)= y0.
∗ Trường hợpλδ <0 thay ựường thẳng y = y0 ta có ựường thẳng
2: 0
d y=λδx+y . Do λδ <0 cho nên d2cắt trục OX tại một ựiểm x2( )δ nào ựó.
Giá trị cực tiểu của hàm ( )ϕ y trên một phần của d2 nằm trong vùng {x≥0, y≥0} ựạt ựược tại ựiểm ( ( ), 0)x2 δ . Tức là tại x=x2( )δ thì
2
( ( ))x 0
ϕ δ = . Khi δ →0, λδ →0 và x2( )δ → ∞. Như vậy bài toán này không ổn ựịnh.
CHƯƠNG 3
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN đẶT KHÔNG CHỈNH
3.1. Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng
Xét phương trình tuyến tắnh (2.1.1). Cho A X: →Y là một toán tử tuyến tắnh, D A( ) và R A( ) là các miền xác ựịnh và miền giá trị của A,
1, 2
= =
X H Y H là các không gian Hilbert, N A( ) :={u Au: =0 ,} *
A là toán tử liên hợp của A,R A( )⊕N A( ∗)=H2, ( )R A là bao ựóng của ( ),R A ⊕ là tổng trực giao của A.
NếuA là ựơn ánh, tức là N A( )={ }0 và toàn ánh tứcR A( )=H2 và 1
( )
D A =H thì toán tử ngược A−1 ựược xác ựịnh trên H2 với
1 1
A A− = AA− =I , I là toán tử ựồng nhất. Nếu A là toán tử tuyến tắnh xác ựịnh trênH1, A là một ựẳng cấu từ H1 lên H2 nếu nó là một ựơn ánh, toàn ánh và D A( )=H1.
Nếu N A( )≠{ }0 , P là phép chiếu trực giao lên N A( ) trong H1 và Q là phép chiếu trực giao lên ( )R A . Khi ựó ta ựịnh nghĩa toán tử khả nghịch mở rộng như sau:
{ }
: ( ) : ( ) ( ), ( ( )) : 0 , : u
A+ D A+ =R A ⊕N A∗ A N A+ ∗ = A Au+ = −u p . Như vậy AA A+ = A A AA, + + =A+ và AA u+ =ℚu với u∈D A( +).
Toán tử A+ bị chặn khi và chỉ khi ( )R A =R A( ). Nếu f ∈R A( ) tức là 0
f =Au với mỗi u0 thì bài toán Au− f =inf có nghiệm u0, mỗi phần tử
0 , ( )
u + ∀ ∈v v N A cũng là một nghiệm và nó có nghiệm duy nhất với nghiệm
Nếu f ∉R A( ) thì Au− f ≠0. Nếu A bị chặn và f ∈R A( ) thì 0
u = A f+ là nghiệm của phương trình A Au∗ =A f∗ và nó là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình này nghĩa là u0 ⊥ N A( ). Thật vậy, nếu Au = f và
0 ( )
u ⊥N A thì A Au∗ = A f∗ . Ngược lại, nếu A Au∗ = f và f = Au0 với
0 ( )
u ⊥N A thì A A u∗ ( −u0)=0, (A A u∗ ( −u0),u−u0 =0 và Au =Au0. Như vậy u=u0 nếu u ⊥N A( ).
Ta có thể chứng minh công thức A f+ limα 0(αI A A∗ )−1A f∗ →
= + trong ựó
0
α > là một tham số hiệu chỉnh và f ∈R A( ).
Cho A H: 1→H2 là một toán tử compact tuyến tắnh,
1 1
: :
B = A A H∗ →H là một toán tử tự liên hợp compact, Bϕj =s2jϕ ϕj, j =1, ( , ) : 1 , 1 2 ... 0, 0 , j m jm j m s s j m ϕ ϕ =δ = = ≥ ≥ ≥ ≠
sj ựược gọi là s- giá trị của A. Nếu AA∗:=T và Aϕj Aϕ1 :=ψj thì 2 2 2 ,( , ) ( , ) ( ) j j j j m j m j m j jm j jm Tψ =sψ ψ ψ = Aϕ Aϕ Aϕ Aϕ =s δ Aϕ =δ . Vậy Aϕj =sj, Aϕj =sjψj, A∗ψ j =sjϕj. Nếu u∈H1 thì 1 ( , ) (*), lim 0 j j j j j j Au ∞ s u ϕ ψ →∞s = =∑ = .
Vì vậy một phần tử f ∈R A( ) khi và chỉ khi 2 2 1 ( , j) j j f ϕ s ∞ = < ∞ ∑ .
Nếu A= A∗ thì s2j =λj2(A2), trong ựó λ2j là các giá trị riêng của A2. Khi ựó ψj =ϕj, Aϕj =λ ϕj j.
Nếu dimH1= < ∞n , dimH2 =m< ∞ thì A có thể ựược viết dưới dạng ,
A VSU= ∗ ở ựó A là ma trận cấp m nừ , U và V là các ma trận ựơn vị cấp n nừ và m mừ mà dạng cột của nó là các vecto ϕj và ψj. S là ma trận cấp m nừ với các phần tử ựường chéo sj, 1≤ ≤j r, r là hạng của ma trận A, các phần tử còn lại ựều bằng 0. Ma trân A+ có thể ựược tắnh bởi công thức A+ =US V+ ∗, ở ựó S+ ma trận cấp m nừ với các phần tử ựường chéo là
1 , 1
j
s− ≤ ≤j r.
Các phần tử còn lại bằng 0.
3.2. Phương pháp hiệu chỉnh Phillips-Tikhonov
Giả sử A H: 1→H2, A < ∞ là toán tử tuyến tắnh, f ∈R A( ), fδ − f ≤δ, fδ không nhất thiết nằm trong ( )R A , khi ựóAu= f là bài toán ựặt không chỉnh.
Xét bài toán:
2 2
( ) inf
F v = Av− fδ +α v = (3.2.1) trong ựó α >0 là tham số. định lý 3.2.1. Giả sử Au = f và u ⊥N A( ) thì:
(i) Cực tiểu hóa uα δ, của (3.2.1) tồn tại và duy nhất
(ii) Nếu δ →0 và α α δ= ( ) thỏa mãn ựiều kiện δ α δ2/ ( )→0 khi 0
δ → thì limδ→0 uδ −u =0, trong ựó u:=uα δ δ( ), . Chứng minh
Phiếm hàm (3.2.1) có dạng bậc hai. điều kiện cần và ựủ nó là cực tiểu hóa là phương tình Euler:
, : 0
Bv+αv =A f∗ δ B = A A∗ ≥ (3.2.2) có nghiệm duy nhất uα δ, =(B+αI)−1A f∗ δ . Khẳng ựịnh (i) ựược chứng minh.
Ta có F u( αδ)≤F u( )=δ2 +α u 2 =α δ α( 2 + u 2)≤cα, c là hằng số dương. Nếu δ α2 ≤c1, c1 là hằng số. Vậy uα δ, ≤c. Với các hằng số dương c ta chọn α α δ= ( ) sao cho δ α δ2 ( ) khi δ →0 và ựặt u:=uα δ δ( ), . Khi ựó
uδ ≤c, vì vậy uδ hội tụ yếu ựến u0 khi δ →0 và Buδ → A f∗ .
điều này dẫn ựến Bu0 = A f∗ và ta khẳng ựịnh rằng u0 ≤ w w : wB A f∗
∀ = . Ta sẽ chứng minh khẳng ựịnh này sau. Vậy u0 =u Ta chứng minh limδ→0 uδ −u =0. Ta có 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0, 0. δ δ α α α α δ α δ α η α α − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − + − ≤ + − + + − ≤ + + + − ≤ + → → B A f u B A f f B A f u B A B Bu u khi Ở ựây ta ựã sử dụng ựánh giá (B+α)−1A∗ ≤1 2 α và hệ thức 1 (B α)− B I u 0 + − → khi α →0.
Ta chứng minh ựánh giá thứ nhất, sử dụng công thức
1 1
(B+α)− A∗ = A T∗( +α) ,− T:= AA B∗, := A A∗ và biểu diễn của A∗ dẫn ựến 1 2 A∗ =VT trong ựó V là phép ựẳng cự , V ≤1. Ta có: 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ax ( ) 2 T T α m λλ λ α α − − + = + = .
Trong ựó biễu diễn phổ của T ựã ựược sử dụng. Ta chứng minh hệ thức: 2 2 2 2 1 2 0 0 ( ) 1 ( , ) ( , ) 1 λ ( ) λ λ α α λ λ α − + − = − = → ∫ + ∫ + B B B B I u d E u u d E u u Pu khi α →0,
trong ựó P là phép chiếu trực giao lên N A( ) và Eλlà phép giải của sự ựồng nhất của các toán tử liên hợp B.
Nếu u⊥ N A( ) thì limα 0 (B α)−1Bu u 0
→ + − = . Các khẳng ựịnh trên ựược chứng minh.
Bổ ựề 3.1.2. Nếu B là một toán tử ựơn ựiệu nửa liên tục trong không gian Hilbert H ,D B( )=H Bv, +α δ( )v =gδ, Bu0 = g, v hội tụ yếu ựến u0
, ( ) 0
gδ →g α δ → , khi δ →0 thì Bv→Bu0 =g.
Theo chứng minh trên, B≥0 là toán tử tuyến tắnh và do ựó B là toán tử ựơn ựiệu, nghĩa là
( ( )B u −B v u( ), −v)≥0,∀u v, ∈D B( ).
Ta nhớ lại rằng toán tử phi tuyến ựược gọi là nửa liên tục nếu ( (A u+tv), w)là một hàm số liên tục theo t∈R với mỗi , , wu v ∈H .
Chứng minh bổ ựề 3.1.2: Rõ rang, Bv→g. Nếu Bv→g khi v hội tụ yếu ựến u0 thì Bu0 =gcó nghĩa toán tử ựơn ựiệu w− ựóng yếu. Nếu B ựơn ựiệu thì (Bv−B u( 0 −tw),v−u0 +tw)≥0 với mỗi w∈H . Nếu v hội tụ yếu ựến
0
u , Bv→g t, →0 và sử dụng tắnh nửa liên tục của B ta ựược: 0
(g −Bu , w)≥ ∀ ∈0, w H ựiều này dẫn ựến Bu0 =g. Vậy bổ ựề (3.1.2) ựược
chứng minh.
Khẳng ựịnh u0 ≤ w ,∀w : wB = A f∗ ựã ựược chứng minh cho toán tử phi tuyến ựơn ựiệu trong ựịnh lý (3.2.3).
3.3. Nguyên lý ựộ lệnh
định lý (3.2.1) ựã chỉ ra cách chọn α α δ= ( ), ựảm bảo sự hội tụ 0
limδ→ uδ =u. Một cách chọn α nữa ựược ựưa ra bởi ựịnh lý (3.3.1) dưới ựây. định lý 3.3.1 (Nguyên lý ựộ lệch)
A B( +α)−1A f* δ =Cδ,C =const, C là hằng số. (3.3.1) Thì Lim uα −u =0,uδ :=uα δ δ( ), .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh ựẳng thức (3.3.1) có nghiệm duy nhất. Ta viết ựẳng thức dưới dạng 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 1 ( , ) : ( , ), 1 ( ) λ δ δ λ δ δ λ δ α α δ λ λ α = − = = + + ∫B ∫ B d F f f C d F f f I
trong ựó Fλ là phép giải của sự ựồng nhất của toán tử tự liên hợp T:= AA*, và sử dụng công thức giao hoán (B+α)−1A* = A T*( +α)−1.
Ta dễ dàng kiểm tra công thức này. Nếu α → +∞ thì I( , )∞ δ = fδ 2 >δ2. Nếu α → +0 thì I( 0, )+ δ = P f1 δ 2 ≤δ2, trong ựó P1 là phép chiếu trực giao lên N T( )= N A( *). Thật vậy, ta có:
P f1 δ ≤ P f1( δ − f) + P f1 ≤δ do P1 ≤1 và P f1 =0 vì f ∈R A( ) và *
( ) ( )
R A ⊥N A . Vậy nếu C2 < fδ 2 ựẳng thức (3.3.1) có một nghiệm, thì nghiệm này là nghiệm duy nhất vì ( , )I α δ là hàm số ựơn ựiệu tăng với mỗi số
0
δ > cố ựịnh.
Bây giờ ta chỉ ra limδ→0 uδ −u =0.
Ta có Auδ − fδ 2 +α δ( ) uδ 2 ≤δ2+α δ( ) u 2. Từ ựó ta có Auδ − f ≥δ2 và dẫn ựến uδ 2 ≤ u 2.
Do ựó limsupδ→0 uδ ≤ u (*). Nếu uδ ≤ u khi ựó có thể chọn một dãy hội tụ yếu uδ →u0 khi δ →0. Theo chứng minh của ựịnh lý (3.2.1) ựã chỉ ra u0 =u, ở ựó u là nghiệm chuẩn cực tiểu duy nhất của phương trình
* Bu = A f .
Theo tắnh nửa liên tục dưới của chuẩn trongH , ta có u ≤liminfδ→0 uδ Kết hợp với (*) ta ựược từ ựiều này và dãy uδ hội tụ yếu ựến u suy ra
0
limδ→ uδ −u =0. Chứng minh của ta dựa trên kết quả hữu ắch sau: định lý 3.3.2.
Nếu u hội tụ yếu ựến n γ và un ≤ γ thì limn→∞ un −γ =0. Chứng minh
Nếu un hội tụ yếu ựến γ thì liminfn→∞ un ≥ γ . Ta cũng có limsupn→∞ un ≤ γ .
Vậy un −γ 2 = un 2 + γ 2 − ℜ2 ( , )un γ →0 khi n→ ∞. Bổ ựề 3.3.1.
Giả sử A trong (2.1.1) là một ựơn ánh, ựóng, phi tuyến. NếuKcompact thì toán tử ngược A−1 liên tục trên ( )A K .
Chứng minh
Do A ựơn ánh nên A−1 ựược xác ựịnh trên ( )A K .
Cho (A un) := fn → f u, n∈K. Khi ựó un →u, trong ựó un là một dãy con ta kắ hiệu lại nó bởi un. Do A ựóng, un →u và A u( n)→ f suy ra
( ) ( )
A u = ∈f A K , theo tắnh ựơn ánh của A ta có A−1(fn)→A−1( )f . định lý ựược chứng minh .
Khẳng ựịnh: Giả sử A: H →H liên tục, ựơn ựiệu D A( )=H A u, ( )= f và (A uα)+αuα = f thì uα ≤ u
Chứng minh Thật vậy, (A uα)−A u( )+αuα =0.
Nhân vào phương trình này uα −u và sử dụng tắnh ựơn ựiệu của A ta ựược
(uα,uα −u)≤0.
Vậy uα ≤ u . Cho α ↓0, ta chọn dãy số là ký hiệu là uα sao cho uα hội tụ yếu ựến u0 khi α →0. Khi ựó (A uα)→ f do A ựơn ựiệu, nó là ựóng yếu Vì vậy A u( )0 = f và u0 là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình (2.1.1). định lý ựược chứng minh.
định lý 3.3.3.
Nếu A H: →H là hàm ựơn ựiệu nửa liên tục, 0
( ) , ( )
D A =H A u = f
trong ựó u là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình (2.1.1) là duy nhất và 0
0 0 limα→ uα −u =0. Chứng minh Ta có { } , : ( ) : . uα ≤ u ∀ ∈u u A u = f =N
Như vậy limsupα→0 uα ≤ u ,∀ ∈u N. Cho uα hội tụ yếu ựến u0. Khi ựó 0 liminf 0
u ≤ α→ uα và limsup un ≤ u0 . Vậy
0 0
limα→ uα = u .
Từ ựây và uα hội tụ yếu ựến u suy ra uα →u0 hội tụ mạnh như trong ựịnh lý (3.2.1).
Nghiệm chuẩn cực tiểu của (2.1.1) là duy nhất nếu A ựơn ựiệu, liên tục vì trường hợp này tập nghiệm của N là lồi và ựóng. Tắnh ựóng của nó là hiển nhiên do A liên tục. Tắnh lồi của nó ựược suy ra từ tắnh ựơn ựiệu của A và bổ ựề sau:
Bổ ựề 3.3.2. (Minty) Nếu A ựơn ựiệu và liên tục thì
(a) ( ( )A u − f v, −u)≥0, ∀v tương ựương với (b) ( ( )A v − f v, −u)≥0, ∀v. Chứng minh
Nếu (a) ựúng thì ( )A u = f và (b) ựúng do tắnh ựơn ựiệu của A. Nếu (b) ựúng, khi ựó lấy v= +u tv t, ≥0, w−bất kỳ ta ựược ( (A u+tw)− f, w)≥0,
w
∀ . Cho t→0 ta ựược (Au− f, w)>0,∀w. Vậy, ( )A u = f và (a) ựúng . Bổ ựề ựược chứng minh.
để chứng minh N lồi, ta giả sử u u1, 2∈N và rút ra tu1+ −(1 t u) 2∈N (0,1)
t
∀ ∈ .
Thật vậy, nếu uj∈N, theo bổ ựề (3.3.2). (Av− f v, −uj)≥0, ∀v. Vậy 1 2 1 2 (Av− f v, −tu − −(1 t u) =t Av( − f v, −u )+ −(1 t Av)( − f v, −u )≥0, ∀v. Do ựó, 1 (1 ) 2 tu + −t u ∈N ∀ ∈t (0, 1).
để chứng minh tắnh duy nhất của phần tử chuẩn cực tiểu của một tập lồi và ựóng N trong không gian Hilbert ta giả sử có hai phần tử, u1 và u2 khi ựó
1 2 :
u = u =m và tu1+ −(1 t u) 2 ≤t u1 + −(1 t u) 2 =m, ựể mỗi phần tử của ựoạn nối u1 và u2 có chuẩn cực tiểu .m Do không gian Hilbert là nghiêm ngặt suy ra u1 =u2. Thật vậy, cho 1 2 t = khi ựó 2 2 2 1 2 1 2 ((u +u ) 2 = u = u . Vậy ℜ( ,u u1 2)= u1 u2 = u1 2 = u2 2. Do ựó u1=u2. định lý (3.2.3) ựược chứng minh.
Xét phương trình
(A uα)+αuα = fδ. (3.2.2) định lý 3.3.4. Giả sửA ựơn ựiệu, liên tục và phương trình (2.1.1) có nghiệm. Nếu α α δ= ( )→0 và δ α δ( )→0, khi δ →0 thì nghiệm duy nhất của phương trình (3.2.2) hội tụ mạnh ựến u Ờ nghiệm chuẩn cực tiểu duy nhất của (2.1.1).
Chứng minh Do A ựơn ựiệu và α >0.
Phương trình A v( α)+αvα = f có một nghiệm và nghiệm này là duy nhất. Cho uδ :=uα δ( ) giải (3.2.2) và vδ :=vα δ( ) ta có u−uδ ≤ u−vδ + vδ −uδ . Theo ựịnh lý (3.2.3) ta có limδ→0 u−vδ =0. Ta chứng minh limδ→0 vδ −uδ =0. Ta có ( ) ( ) ( ) A uδ −A vδ +α uδ −vδ = fδ − f .
Nhân hai vế của ựẳng thức này với uδ −uv và giả sử dụng tắnh ựơn ựiệu của A ta ựược α uδ −vδ 2 ≤δ uδ −vδ . ựến điều này dẫn
0
limδ→ uδ −vδ =0. Nếu limδ→0δ α δ( )=0. định lý 3.3.4 ựược chứng minh. 3.4. Chắnh quy hóa toán tử phi tuyến không bị chặn
Giả sử rằng:
(1) A D A: ( )→X là một ựơn ánh, ựóng có thể là phi tuyến trong không gian Banach X.
(2) ∅ ≥0 là một phiếm hàm sao cho tập {v:∅( )v ≤c}tiền compact trong X với mỗi hằng số c>0.
(3) Phương trình (2.1.1) có một nghiệm γ ∈D( ),∅ A( )γ = f, (4) D( )∅ ⊆D A( ).
Giả thiết cuối cùng có thể ựược thay thế trong một số trường hợp khi A là toán tử không bị chặn, bởi giả thiết
(4 )′ D( )∅ ⊆D A( ).