ựơn ựiệu
Giả sử A trong (2.1.1) ựơn ựiệu tức là
( ( )A u −A v( ), u−v)≥0,∀u v, ∈D A( ), D A( )=H A, liên tục, A−1 không bị chặn hoặc không tồn tại, vì thế bài toán (2.1.1) là bài toán ựặt không chỉnh, f ∈R A( ), fδ − f ≤δ .
Xét nguyên lý ựộ lệch ựể tìm η η δ= ( ) với giả thiết A là toán tử ựơn ựiệu phi tuyến
A u( δ η, )− fδ =Cδ (3.5.1) trong ựó C >1, uδη là một phần tử thỏa mãn 2 2 2 , , , ( ) : ( ( , ) ( 1 ) F uδ η = A uδ η − f +η uδ η ≤m δ η +δ C− −b ,
ở ựó m( , ) : infδ η = F u( ) và ựóng vai trò là tham số hóa của α . Ta cần có ba bổ ựề sau:
Bổ ựề: 3.5.1. Nếu A ựơn ựiệu liên tục và tập Nf :={u A u: ( )= f}khác rỗng thì A là tập ựóng lồi.
Bổ ựề :3.5.2. Nếu A ựơn ựiệu liên tục thì nó ựóng yếu tức là un hội tụ yếu ựến u và (A un)→ f .
Kéo theo ( )A u = f là hội tụ yếu và hội tụ mạnh trong H . định lý 3.5. 1: Giả sử
(i) A là toán tử ựơn ựiệu, xác ựịnh ,liên tục trên H ,
( ii) Phương trình A u( )= f giải ựược, γ là nghiệm chuẩn cực tiểu của nó và
(j) đẳng thức A u( δ ε, )− fδ =Cδ (3.5.2) giải ựược với ε , số cố ựịnh 0 δ > . Ở ựây uδ ε, là phần tử thỏa mãn bất ựẳng thức 2 2 , ( ) ( 1 ) F uδ ε ≤ +m C − −b δ . Trong ựó F u( ) := A u( )− fδ 2 +ε u 2, m=m( , ) : infδ ε = uF u( ), b>0, 2 1 C > +b và
(jj) Nếu ε ε δ= ( ) giải (3.5.2) và uδ :u =uδ ε δ, ( ) thì limδ→0 uδ −γ =0. Chú ý 3.5.1.
Phương trình ( )A v +εv= fδ giải ựược nghiệm duy nhất với ε >0, fδ ∈H . Nếu v:=vδ ε, là nghiệm của phương trình và A(0)− fδ >Cδ trong ựó C>1 thì phương trình (3.5.2) giải ựược với uδ ε, thay bởi vδ ε, giải ựược với ε >0. Nếu :ε =ε δ( ) là nghiệm của phương trình thì
0 lim ( ) 0 δ ε δ → = . Nếu A là ựơn ánh thì 0 lim vδ 0 δ γ
→ − = , trong ựó γ là nghiệm của phương trình ( )A γ = f .
Nếu A không là ựơn ánh thì trường hợp tổng quát không ựúng là 0
limvδ
δ γ
→ = , ở ựó γ là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình ( )A u = f ngay cả khi ta giả thiết toán tử A tuyến tắnh.
Chứng minh ựịnh lý 3.5.1.
Nếu A ựơn ựiệu liên tục và xác ựịnh trên H thì tập Nf :={u A u: ( )= f} lồi và ựóng, vì thế nó có duy nhất nghiệm chuẩn cực tiểu là phần tử γ. để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của ựẳng thức (3.5.2) ta chứng tỏ hàm
, ( , ) : ( )
h δ ε = A uδ ε − fδ lớn hơn Cδ với ε ựủ lớn và bé hơn Cδ với ε ựủ bé. Nếu chứng minh ựược ựiều này thì từ tắnh liên tục của hàm số ( , )h δ ε ứng với
Khi ε → ∞, sử dụng bất ựẳng thức 2 2 2 2 2 , , ( ) ( 1 ) (0) ( 1 ) uδ F uδ ε m C b F C b ε ε ≤ ≤ + − − δ ≤ + − − δ , và, khi ε →0 ta sử dụng bất ựẳng thức: 2 2 2 2 2 , , 2 2 2 ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) , A u f F u m C b F C b C b δ ε δ δ ε δ γ δ ε γ δ − ≤ ≤ + − − ≤ + − − = + −
khi ε → ∞, ta ựược uδ ε, ≤c ε →0 trong ựó c >0 phụ thuộc vào ε . Vậy theo tắnh liên tục của A ta ựược
lim ( , ) (0) x h δ ε A fδ Cδ →∞ = − ≥ . Khi ε →0 ta ựược h2( , )δ ε ≤ε γ 2 +(C2 −b)δ2. Vậy, 0 liminf ( , )h C ε δ ε δ → < . Do ựó phương trình ( , )h δ ε =Cδ có một nghiệm ( )ε δ >0.
Bây giờ ta có chứng tỏ nếu uδ :=uδ ε δ, ( ) thì limδ→0 uδ −γ =0. Từ ựánh giá A u( δ)− fδ 2 +ε uδ 2 ≤C2δ2 +ε γ 2 và từ ựẳng thức (3.5.2) ta suy ra
uδ ≤ γ . Vậy có thể giả thiết uδ hội tụ yếu ựến U và từ (3.5.2) dẫn ựến ( )
A uδ → f khi δ →0. Theo tắnh ựóng yếu của toán tử ựơn ựiệu liên tục (hoặc nửa liên tục thay cho liên tục nếu ựủ) ta ựược ( )A U = f, kết hợp với uδ ≤ γ suy ra U ≤ γ . DoA ựơn ựiệu, nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình ( )A u = f trong H là duy nhất .
Do ựó U =γ . Như vậy uδ hội tụ yếu ựến γ và uδ ≤ γ . Theo ựịnh lý (3.3.2) suy ra limδ→0 uδ −γ =0.
Lưu ý rằng γ ≥0 do A(0)− f >0 vì giả thiết A(0)− fδ >Cδ trong ựó C>1. định lý ựược chứng minh.
Chứng minh chú ý 3.5.1.
Cho v=vε là nghiệm của phương trình
( ) ,
A v +εv = f
,
w :=vδ ε là nghiệm của phương trình (w)A +εw = fδ,
: ,
h = fδ − f h ≤δ và w − =v: z. Khi ựó (w)A − A v( )+εz=h. Nhân phương trình này với z và sử dụng tắnh ựơn ựiệu của A ta ựược ε z ≤δ .
Theo bất ựẳng thức tam giác dẫn ựến
v v
ε − ≤δ ε +δ . Chú ý rằng limv 0
ε →∞ = và δ ε →0 khi ε →0. Vậy limε →∞ w =0. Do ựó limε→∞ A(w)− fδ = A(0)− fδ >Cδ .
Cố ựịnh δ >0 và cho ε →0. Khi ựó limε→0 v−γ và v ≤ γ . Trong ựó γ là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình
( ) A u = f .
Nếu A là ựơn ánh thì phương trình này chỉ có một nghiệm γ . Do ε w ≤ε v +δ . Ta ựược bất ựẳng thức
0 0
limε→ supε w =limε→ Aw− fδ ≤δ .
Do ựó ựẳng thức (3.5.2) với w thay bởi uδ ε, =0 có một nghiệm ( ) 0 ε δ > . Ta khẳng ựịnh rằng 0 lim ( ) 0 δ ε δ → = , thực tế ( )ε δ =0 khi δ →0.
Thật vậy, từ (3.5.2) thay w bởi uδ ε, ta ựược ( ) wε δ =Cδ , ta chứng minh ở dưới limδ→0inf wδ >0, ở ựó w :δ =vδ ε δ, ( ). điều này dẫn ựến
( ) 0( )
ε δ = δ . Bây giờ ta khẳng ựịnh giới hạn limδ→0w :δ =u không tồn tại, u là nghiệm của phương trình ( )A u = f và u >0. điều kiện ựủ ựể kiểm tra là
wδ <c. Ở ựó c là hằng số không phụ thuộc vào δ khi δ →0. Thật vây, nếu wδ <c thì có một dãy con, wδhội tụ yếu tới phần tử γ và từ (3.5.2) suy ra limδ→0 A(w )δ = f . Do A ựơn ựiệu, ựóng , yếu nên ( )A γ = f . Theo tắnh ựơn ánh của mỗi dãy con wδ hội tụ yếu ựến cùng phần tử γ .
Do vậy
0
liminf wδ 0
δ γ
→ ≥ > như ựã khẳng ựịnh . Bất ựẳng thức γ >0 suy ra từ giả thiết A(0)− f >0.
để chứng minh bất ựẳng thức wδ <c ta chú ý rằng
( ) ( )
w w
Cδ ε= δ ≤ε δ −vε δ +ε vε δ ≤ +δ ε γ ớ ựó :ε =ε δ( ). Do c>0 suy ra δ ε δ( )≤c1, trong ựó c1:= γ (C−1). Vậy wδ ≤c trong ựó
Phát biểu cuối cùng của chú ý (3.5.1) ựược minh họa bởi vắ dụ sau: Vắ dụ 3.5.1
Cho Aw =(w, ) ,p p p =1, p ⊥N A( ), f = p f, δ = +p qδ,
trong ựó ( , )p q =0, q =1, Aq =0, qδ =δ . Ta có Aγ = p, trong ựó γ = p là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình Au = p.
Phương trình Aw+εw = +p qδ có nghiệm duy nhất
w =qδ ε + p (1+ε). đẳng thức (3.5.2) có Cδ = qδ +(εp) (1+ε) . Phương trình này dẫn ựến ε ε δ= ( )=cδ (1−cδ) trong ựó
1
2 2
: ( 1)
c = C −
và ta giả sử cδ <1(xem bất ựẳng thức thứ hai trong giả thiết (iii) của ựịnh lý (3.5.1). Cho s wδ =w( , ( ))δ ε δ , khi ựó và Au= p.
Do ựó u =limδ→0wδ ≠ p, tức là u không là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình Au= p.Chú ý ựược chứng minh.
Chú ý 3.5.2. Ta dễ dàng chứng minh nếu các ựiều kiện (i) và (ii) của ựịnh lý (3.5.1) ựúng , A u( , )ε δ +εuε,δ và nếu limδ→0δ ε δ( )=0 trong ựó
0
limδ→ ε δ( )=0; :ε =ε δ( ) thì limδ→0 uδ −γ =0, uδ :=uε δ δ( ), và γ là nghiệm chuẩn cực tiểu của phương trình ( )A u = f. đặc biệt , nếu ε δ= α, 0< <α 1 thì
0
limδ→ uδ −γ =0. Thật vậy, uδ −u ≤ uδ −vδ + vδ −u , trong ựó vδ là nghiệm duy nhất của phương trình A v( )δ +ε δ( )vδ = f. Ta biết rõ
0
limδ→ vδ −γ =0 với ựiều kiện limδ→0ε δ( )=0, rõ ràng uδ −vδ ≤δ ε δ( ): Ta nhân ựồng nhất thức
(A uδ)−A v( )δ +ε δ( )(uδ −vδ)= fδ − f với uδ −vδvà sử dụng tắnh ựơn ựiệu của A và bất ựẳng thức fδ − f ≤δ .