Một số phương pháp giải phương trình toán tử phi tuyến

-1- MỞ ðẦU Lí chọn đề tài Nhiều tốn thực tế dẫn đến việc giải phương trình hệ phương trình phi tuyến, phương trình thường phức tạp Do phần lớn phương trình khơng thể giải xác Vì cần thiết phải xây dựng phương pháp giải gần phương trình Với phát triển cơng cụ tin học, phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế Chuyên ngành giải tích số nghiên cứu đưa thuật tốn, chương trình để đưa vào máy tính có hiệu Nhiều tốn thuộc lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt tốn ngược xuất lĩnh vực thăm dò, chuẩn đốn, phục hồi, nhận dạng…đã có thuật tốn, chương trình để đưa vào máy tính có hiệu Vì giải tích số quan trọng cần thiết cho khoa học cơng nghệ đại chiếm ưu lớn tốn học đại Giải tích số lĩnh vực tốn học rộng, nghiên cứu tốn xấp xỉ hàm, giải gần lớp tốn, phương trình thường gặp, đặc biệt giải tích số nghiên cứu phương pháp số giải gần tốn thực tế mơ hình hóa ngơn ngữ tốn học ðể có lời giải gần cho tốn đòi hỏi phải có kiện tốn sau xây dựng mơ hình tốn , cơng việc tìm thuật tốn hữu hiệu cuối viết chương trình cho máy tính tìm kết gần Khi giải tốn thực tế ta phải làm việc trực tiếp gián tiếp với số liệu ban ñầu Chính khơng tránh khỏi sai số, nhỏ ảnh hưởng trực tiếp ñến kết Vì phải sử dụng thuật tốn hữu hiệu để giảm sai số ñồng thời tiện lợi cho việc lập trình ðể giải phương trình tay giấy có phải hàng ngày với sai sót dễ xảy máy tính cần vài phút Tuy nhiên để thực tính tốn tốn học máy tính cách dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết lí thuyết tốn học Mặt khác nhiều vấn đề lí thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ xác, độ phức tạp tính tốn ) soi sáng thực hành tính tốn cụ thể Cơng cụ tính tốn khơng hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu kiến thức khoa học mà tiếp cận tốt với phương pháp cơng cụ tính tốn ñại ðề tài “Một số phương pháp giải phương trình tốn tử phi tuyến” với mục đích nghiên cứu lí thuyết giải phương trình, cách giải phương trình f (x) 0 trường hợp f toán tử tác ñộng không gian Banach X (với X ℝ, ℝ n , X không gian Banach tổng quát) Mục đích nghiên cứu * Luận văn nghiên cứu giải gần phương trình phi tuyến tổng qt Giải cụ thể số khơng gian hàm, tìm thuật tốn, giải số phương trình cụ thể * Luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử phi tuyến số ứng dụng giải số phương trình cụ thể cách áp dụng lập trình Pascal Maple 12 Nhiệm vụ nghiên cứu * Nghiên cứu số phương pháp giải gần phương trình phi tuyến, f (x) 0 n không gian ℝ, ℝ không gian Banach tổng quát , * Nghiên cứu giải số phương trình cụ thể ðối tượng phạm vi nghiên cứu * Phương trình f (x) 0 * Giải phương trình ℝ, ℝ f (x) 0 phương pháp lặp ñơn * Một số tập ứng dụng n không gian Banach tổng quát * Giải toán Pascal Maple 12 Phương pháp nghiên cứu * Tra cứu tham khảo tài liệu * Viết thuật tốn chạy chương trình * ðưa giải ví dụ minh họa cho phương pháp * Tổng hợp tập ðóng góp ñề tài * ðề tài nghiên cứu cách có hệ thống, chi tiết phương pháp giải phương trình phi tuyến Nghiên cứu ứng dụng lập trình Pascal, Maple ñể tìm nghiệm Chương Giải phương trình không gian ℝn Trong chương này,chúng ta nghiên cứu số phương pháp giải phương trình biến số: f (x) 0 f Trong (x) hàm số (đại số hay siêu việt) (*) Phương trình (*) ,trừ số trường hợp đặc biệt có cơng thức giải ñúng ,nói chung phức tạp Do ñó ta phải tìm cách giải gần Nói chung f thực tế biết gần đúng, việc giải (*) (x) không thực mà nhiều khơng có nghĩa Thơng thường, q trình giải phương trình (*) bao gồm bước: 1) Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm khoảng đủ bé chứa nghiệm f (x) 2) Bước giải kiện tồn: tìm nghiệm với độ xác cần thiết ðể giải sơ phương pháp (*) ta sử dụng phương pháp ñơn giản phương pháp chia đơi phương pháp đồ thị 1.1 Giải phương trình f (x) 0 ℝ Một số phương pháp giải phương trình f ( x ) = ñó f : ℝ ℝ 1.1.1 Phương pháp ñồ thị ðầu tiên ta tìm cách đưa phương trình f ( x ) = dạng tương ñương h( x ) = g( x ) Tiếp theo vẽ ñồ thị hàm y = g( x ) y = h( x ) tìm giao điểm đồ thị Hồnh độ giao điểm nghiệm cần tìm 1.1.2 Phương pháp chia đơi Giả sử f ( x ) liên tục [a, b] f (a) f (b) < f ( x ) có nghiệm (a, b) Ta dùng phương pháp chia đơi liên tiếp đoạn a;bđể tìm giá trị gần nghiệm sau Khơng tổng qt ta xem f (a) < < f (b) Chia ñôi a;bbởi ñiểm c  a b Nếu f (c) = c =  Nếu f (c) 0 xảy hai trường hợp: a Nếu f (c) f (a) < chọn đoạn  a1;b1  , a1 = a, b1 = c b Nếu f (c) f (b) < chọn đoạn  a1 ;b1  , a1 = c, b1 = b Khi ñó f (a1) f (b1) trái dấu, tiếp tục q trình nêu cuối có c để f (c) = ta xây dựng ñược ñoạn thắt lại an ;bn  , n N mà b a n b  a thoả mãn f (a ) < < f (b ) Theo nguyên lý dãy ñoạn thắt lại n n n 2n tồn , an <  a: = c Bước 2: b a c nghiệm gần c Nếu khơng quay lại bước Do đó, nghiệp xấp xỉ x n lấy theo công thức xn  an bn Ngồi ta có đánh giá  x n   a  an  bn  Do đó, để tìm xấp xỉ x n cho xn   b n  b a n 2n b a suy ta phải có  tức n ln(b a) nln2 ln Như vậy, sai số khơng vượt q  phải tiến hành ñến bước lặp lần thứ ln(b a) ln   n , n tính n interger     ln Nhận xét: phương pháp chia đơi ñơn giản, dễ thực tốc ñộ hội tụ chậm, thường dùng để tìm xấp xỉ ban đầu Ví dụ 1.1.1 Dùng phương pháp chia đơi giải gần f ( x )= x 2 x - x - 0,1 với số bước n = Do f (0) = -1, f (1) = nên nghiệm x*  0,   chia đơi  0,1 , c1= 0,5, f (0,5)= -1,19 Ta chọn  a1 ;b1  0,5;1 , tiếp tục chia đơi ta có f (0,75) = - 0,59, f (0,875)= 0,05, f (0,9125)= - 0,304, f (0,8438)= - 0,135, f (0,8549)= 0,043 Vậy nghiệm gần ñúng x*  (0,859 0,875) 0,867 1.1.3 Phương pháp lặp ñơn ðể giải ñược phương pháp lặp ta đưa phương trình f ( x )= dạng ' xNếu  (x) x (x)   a,b ,  (x) q 1,x   a,bthì với   x0  a,b dãy lặp x (x ), n 1, 2,3, ,  hội tụ tới nghiệm x * phương trình n1 n f ( x )= Nếu cho trước  0 , phép lặp thoả mãn cơng thức xn1  x n  (1 q) (1.1) q dừng lấy x n+1 nghiệm gần (cơng thức ñiều kiện dừng) Thật dãy { x n} dãy Cauchy với n, xn1 xn  (xn ) xn1 Từ đó, ta có cn   a,b sao cho  '(cn ) xn1 xn xn1 q xn xn1 xn xn q xn1 xn2 q xn1 xn xn1 xn1 xn2 q xn2 xn3 x2 x1 q x x Vậy x n1 xn n q x x Với p ℕ ta có: xnp xn  xnp xnp1 xnp1  xn1 xn n np1 x x  q x1 x0 q n p 1 q 1 q q  q x x Từ xnp xn n  q x x q Bởi q 1 dãy {xn} hội tụ với x * Qua giới hạn ta có limxn lim (xn ) suy n x* (x*) n Cho p  biểu thức n xnp xn  q x x 1 q q n x1 x0 q Ta có xn x *  Có nhiều cách đưa phương trình f( x )= dạng giải ñược phương pháp lặp ñơn, chẳng hạn xét hàm số  (x) 0x đặt  a,b  Hàm  (x) (x) x  (x) f (x) ñược chọn cho x  a,b  ,'(x) 1 Ví dụ f’( x *) 0 Ta lấy  Khi  (x) f '(x) f (x) f '(x)  (x) x  ff '' Hơn ñạo hàm cấp  là: '  Bởi  ( x* ) = ' ' ( f ') liên tục nên tồn > cho x (x , x ),  xq 1 * * ' Ví dụ 1.1.2 Giải phương trình f ( x ) = x + x -1000 = 9;10 Có nhiều cách ñưa f ( x ) = dạng x = x  Cụ thể ta dùng dạng x  1000 x Do q max ' x max x9;10 11000 x3 x9;10   999  3 300 Xấp xỉ ban đầu x = 10, ta có cơng thức lặp xn1  Với n = có 1000 xn , n = 0, 1, 2, 3, x  999, n 2 có x2  nghiệm gần ñúng 1000 x1 x3 = 9,96667, sai số cho 9,96666 Với n = Ví dụ 3.4.3 Giải phương trình arccos x arctan x 0 Ta cần dùng lệnh có kết quả: > Hoặc có phương trình cần thêm lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân ví dụ như: Ví dụ 3.4.4 arcsin 2x 2arccos x 0 > > Với phương trình siêu việt, việc tính tốn nghiệm thường khó khăn, máy thường tính nghiệm Muốn tìm nghiệm khác ta cần làm thêm số phương pháp khác, với Maple sử dụng phương pháp ñồ thị Ta vẽ ñồ thị hàm số miền ñủ rộng ñể quan sát Thấy vùng có nghiệm ta phóng đại vùng (bằng cách thu nhỏ vùng vẽ ) để nhìn thấy nghiệm xác hơn, ta lặp ñi lặp lại nhiều lần trình cho ñến có đươc nghiệm với độ xác mà ta muốn x x x Ví dụ 3.4.5 Giải phương trình mũ 3.2 2.3 5 1 0 (*) ðể giải phương trình ta dùng hai lệnh solve lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân evalf (%) > > 2.23211939 Như máy tính cho ta nghiệm, để tìm nghiệm lại ta dùng phương pháp đánh giá nghiệm phương pháp đồ thị Ta làm sau: ðánh giá miền nghiệm phương trình (*) phương pháp ñạo hàm: ðặt f (x) 3.2x 2.3x 5x 1 Ta có đạo hàm f (x) 3.2x ln 2.3x ln 5x ln  Nhận thấy x 3x f (x) 3.( ) ln 2.( ) ln ln x 5 23 33 f (x) 3.( ) ln 2.( ) ln ln 0 5 5x  f ( x) 0  hàm số nghịch biến f (x) f (3) 48 0   Nếu x 3 4 4 f (x) 3.( ) ln 2.( ) ln ln 0 5 5x   f (x) 0 hàm số ñồng  f (x) f (4) 0 biến  Như (*) khơng có nghiệm nằm ngồi 4,3 Ta vẽ đồ thị hàm số đoạn để tìm nghiệm gần lại Vẽ đồ thị hàm số maple: Nếu x 4 > Ta thấy đồ thị ngồi nghiệm tìm được, có nghiệm khác (3, ta phóng to đồ thị hàm số ñoạn 1) > Ta lại thấy nghiệm khoảng (2,1.8) tiếp tục làm đến độ xác ta muốn dừng lại > >  ðến ta lấy nghiệm xấp xỉ x 1,9065 , nhiên muốn xác ta lập lại trình nêu Như ta tìm hai nghiệm phương trình cho Ví dụ 3.4.6 Giải phương trình log3 2x log5 3x x 3 0 (**) log7 ðể giải phương trình ta làm tương tự ví dụ > > 0.01442756079 ðến ñây ta ñi ñánh giá nghiệm phương trình phương pháp đạo hàm, để ý ñiều kiện xác ñịnh (**) x nên ta xét (0, ) : 0 ðặt x ta có đạo hàm : g( x) log3 2x log5 3x 3, log7 g(x)    (   ) 0 ,x 2x ln 3x ln x ln ln ln ln x Suy hàm số đồng biến (0, phương trình có nghiệm ), nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x 0.01442756079 Ví dụ 3.4.7 Giải phương trình x3 1,5x 0,58x 0,57 0 > Kết quả: x 0.414781777 Ví dụ 3.4.8 Giải phương trình x sin(x) 0, 25 0 > 3.5 iải hệ phương trình ðể giải hệ phương trình thơng thường ta làm theo hai bước: Bước 1: Vào lệnh xác ñịnh phương trình hệ, ta dùng lệnh Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn ta dùng lệnh x y 2 3 5 Ví dụ 3.5.1 Giải hệ phương trình  xy 3y 1 2 2 ðể giải hệ ta thực bước trên, muốn tìm nghiệm thập phân ta dùng thêm lệnh ñánh giá xấp xỉ evalf (%) bước tiến hành sau: > > > y >  x cos x x    Ví dụ 3.5.2 Xét hệ x1 81x2 0,1  e x1x2 20x3   0 2 16  sin x3 1.06 0 3 0   Maple cung cấp hàm fsolve để giải hệ phương trình Bài tốn điểm bất động giải sau: > > > > Tổng quát, fsolve( eqns, vars, options) giải hệ phương trình biểu diễn eqns tham số với biến vars tham số tham số ñược chọn tùy ý Xấp xỉ ñầu nghiệm hệ phi tuyến 2 33 ñược cách sử dụng ñồ thị maple thu 2 x x 2x 0 22 Ví dụ 3.5.3 Hệ  2x x 6 0 có hai nghiệm  t t (0.625204094, 2.179355825) (2.109511920, 1.334532188) ðể sử dụng Maple ta xác định hai phương trình thu từ ñồ thị hai phương trình 3 x1, 3 ta gõ lệnh: x2 > > > > Từ đồ thị hình, ước lượng nghiệm gồm (0.64, 2.2) (2.1, 1.3) ðiều cho giá trị ban đầu tốt 2x1 3x2 x3 4 0 Ví dụ 3.5.4 Giải hệ 2x x 4 0 x  2 2 x x x 4 0  Ta thấy phương trình thứ (3) hệ mơ tả mặt cầu bán kính tâm (0;0;0) x , x , x 2, 2 Ta xác ñịnh phương trình đồ thị sử dụng Maple ta gõ câu lệnh sau: > > > > > >  x cos x x  0   23  2 x Ví dụ 3.5.5 Giải hệ  81x2 sin x3 1.06 0 0,1  3 0 16 ex x 20x3    > > - 70 - > > - 71 - Kết luận Luận văn trình bày số phương pháp giải gần phương trình phi tuyến tổng qt Giải cụ thể số khơng gian hàm, tìm thuật tốn, giải số phương trình cụ thể Luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử phi tuyến số ứng dụng giải số phương trình cụ thể cách áp dụng lập trình Pascal Maple 12 - 72 - DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kì Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất ðại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh(1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [4] Phan Văn Hạp-Lê ðình Thịnh (2002), Phương pháp tính thuật tốn, Nhà xuất Giáo dục [5] Phan Văn Hạp, Hoàng ðức Nguyên, Lê ðình Thịnh (1996), Bài tập phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [6] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất ðại học Quốc gia Hà Nội [7] Dương Thủy Vĩ (1996), Giáo trình phương pháp tính, Khoa học Kĩ thuật Hà Nội Nhà xuất ... phương pháp (*) ta sử dụng phương pháp ñơn giản phương pháp chia ñôi phương pháp ñồ thị 1.1 Giải phương trình f (x) 0 ℝ Một số phương pháp giải phương trình f ( x ) = f : ℝ ℝ 1.1.1 Phương pháp. .. cận tốt với phương pháp cơng cụ tính tốn đại ðề tài Một số phương pháp giải phương trình tốn tử phi tuyến với mục đích nghiên cứu lí thuyết giải phương trình, cách giải phương trình f (x) 0... khơng gian hàm, tìm thuật tốn, giải số phương trình cụ thể * Luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử phi tuyến số ứng dụng giải số phương trình cụ thể cách áp dụng lập trình Pascal Maple 12 Nhiệm