Phương trình toán tử phi tuyến với toán tử m accretive trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Vân Anh PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ m - ACCRETIVE TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Phương trình với toán tử m-accretive 1.1 1.2 Toán tử m-accretive 1.1.1 Toán tử accretive 1.1.2 Phương trình với tốn tử accretive 1.1.3 Toán tử m-accretive 1.1.4 Phương trình với tốn tử m-accretive Bài tốn đặt khơng chỉnh 13 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 13 1.2.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 15 Nghiệm xấp xỉ phương trình với tốn tử m-accretive 17 2.1 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử m-accretive với tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 17 2.1.1 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 17 2.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 22 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử m-accretive khơng cần tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 24 2.2.1 Không gian Banach trơn giới hạn Banach 24 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cơ Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv Bảng ký hiệu X Không gian Banach thực X∗ Không gian liên hợp X φ Tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x Với x ∃x Tồn x inf F (x) Infimum tập {F (x) : x ∈ X} x∈X I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A∗ Toán tử liên hợp toán tử A D(A) Miền xác định toán tử A xk → x Dãy xk hội tụ mạnh tới x xk Dãy xk hội tụ yếu tới x x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương trình tốn tử với tốn tử accretive có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng không gian Lp hay không gian Sobolev Wpm Trong đề tài luận văn, chúng tơi nghiên cứu phương trình toán tử accretive dạng A(x) = f, (0.1) A tốn tử từ khơng gian Banach phản xạ thực X vào X , f phần tử X Nếu khơng có thêm điều kiện cho tốn tử A, chẳng hạn tính accretive accretive mạnh, phương trình tốn tử (0.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh, theo nghĩa nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán này, ta cần sử dụng phương pháp giải ổn định Trong [1] Alber Ryazansteva nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (0.2) để hiệu chỉnh phương trình tốn tử (0.1), fδ xấp xỉ f thỏa mãn f − fδ ≤ δ , δ → 0, x+ ∈ X phần tử cho trước tùy ý, α tham số dương Với điều kiện liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J không gian X , họ chứng minh tồn nghiệm xδα toán (0.2), nghiệm hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ tốn (0.1) α, δ/α → Khơng cần đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tắc J , tốc độ hội tụ dãy nghiệm xδα phương trình hiệu chỉnh (0.2) đánh giá với điều kiện (xem [5]) A(x)−A(y∗ )−QA (y∗ )∗ J(x−y∗ ) ≤ τ A(x)−A(y∗ ) , ∀y ∈ X, (0.3) τ số dương, Q ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ điều kiện trơn nghiệm x+ − y∗ = A (y∗ )v, (0.4) với v phần tử thuộc X , A đạo hàm Fre´chet A Chú ý rằng, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy có lớp khơng gian Banach hẹp (không gian lp ), đồng thời điều kiện trơn (0.4) nghiệm khó thực toán thực tế Để khắc phục hạn chế này, năm 2012, Giáo sư Nguyễn Bường [3] đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình (0.1) Ơng chứng minh hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh khơng cần tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh không cần điều kiện (0.3) (0.4) Mục đích đề tài luận văn đọc hiểu, trình bày lại làm chi tiết kết báo [5], [3] [4] hiệu chỉnh phương trình tốn tử m-accretive (0.1) trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy J không cần tính chất liên tục yếu theo dãy Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tốn tử accretive, m-accretive, phương trình tốn tử accretive, m-accretive, tốn đặt khơng chỉnh Trong chương chúng tơi trình bày số kết Nguyễn Bường cộng hiệu chỉnh phương trình tốn tử m-accretive khơng gian Banach Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình với tốn tử m-accretive Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết toán tử accretive, m-accretive, phương trình với tốn tử m-accretive tốn đặt không chỉnh Kiến thức chương tập hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Toán tử m-accretive 1.1.1 Tốn tử accretive Cho X khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ không gian liên hợp X , X X ∗ không gian lồi chặt Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho A : X → X ánh xạ với miền xác định D(A), gọi N (A), F (A) tập hợp không điểm điểm bất động A, nghĩa N (A) = {x ∈ D(A) : A(x) = 0}, F (A) = {x ∈ D(A) : A(x) = x} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∗ Định nghĩa 1.1 Ánh xạ J : X → 2X (nói chung đa trị) định nghĩa bởi: J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ x ; x∗ = x } , gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian X Tính đơn trị ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc cho mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, (i) J(x) tập lồi, J (λx) = λJ (x), với λ > 0; (ii) J(x) ánh xạ đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J = I -tốn tử đơn vị X Khơng làm tính tổng quát, ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị J Trong luận văn này, xét ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị ∗ Định nghĩa 1.3 Ánh xạ đối ngẫu J : X → 2X gọi liên tục yếu theo dãy (weak to weak continuous) với dãy xn ⊂ D (J) cho xn x0 Jxn Jx0 Định nghĩa 1.4 Toán tử A : D(A) = X → X gọi (i) toán tử accretive J (x − y) , A(x) − A(y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ; (ii) toán tử accretive chặt dấu bất đẳng thức đạt x = y ; (iii) toán tử accretive tồn hàm tăng γ (t), t ≥ 0, γ (0) = cho J (x − y) , A(x) − A(y) ≥ γ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D (A) ; (iv) toán tử accretive mạnh γ (t) = ct2 , c ≥ 0; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (v) h-liên tục (hemicontinuous) điểm x0 ∈ D(A) dãy {A(x0 + tn x)} hội tụ yếu tới Ax0 với phần tử x cho x0 + tn x ∈ D(A), ≤ tn ≤ t(x0 ) tn → 0, n → ∞ (vi) toán tử accretive A gọi (coercive) J(x), A(x) ≥ c ( x ) x , ∀x ∈ D (A) ; c(t) → +∞ t → +∞ Khái niệm tốn tử accretive cịn mơ tả dựa đồ thị Gr(A) khơng gian tích X × X Định nghĩa 1.5 Toán tử A : X → X gọi (i) toán tử accretive J (x1 − x2 ) , y1 − y2 ≥ 0, với x1 , x2 ∈ D (A), y1 ∈ A(x1 ), y2 ∈ A(x2 ); (ii) accretive cực đại tốn tử accretive đồ thị khơng thực chứa đồ thị toán tử accretive khác Mệnh đề 1.6 Cho A : X → X toán tử Khi khẳng định sau tương đương (i) A toán tử accretive (ii) Với λ > ∀x1 , x2 ∈ D (A) x1 − x2 ≤ x1 − x2 + λ (A(x1 ) − A(x2 )) (1.1) Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử A tốn tử accretive, với λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A) ta có J (x1 − x2 ) , x1 − x2 + λ (A(x1 ) − A(x2 )) = J (x1 − x2 ) , x1 − x2 + λ (J (x1 − x2 ) , A(x1 ) − A(x2 )) ≥ x1 − x2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Lấy tùy ý x0 ∈ S Từ (2.1) (2.7) ta nhận J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J (xτα − x0 ) , fδ − αxτα − f (2.11) + α J (xτα − x0 ) , xτα − x0 = J (xτα − x0 ) , fδ − f − α J (xτα − x0 ) , x0 Sử dụng tính chất accretive Ah (2.2), (2.3) ta nhận J(xτα − x0 ) Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J (xτα − x0 ) , xτα − x0 = J (xτα − x0 ) , Ah (xτα ) − Ah (x0 ) + J (xτα − x0 ) , Ah (x0 ) − A(x0 ) (2.12) + α J (xτα − x0 ) , xτα − x0 ≥ α xτα − x0 − xτα − x0 g ( x0 ) h, J (xτα − x0 ) , fδ − f − α J (xτα − x0 ) , x0 ≤δ xτα − x0 + α xτα (2.13) − x0 x0 Kết hợp (2.11), (2.12) (2.13) ta α xτα − x0 − hg ( x0 ) xτα − x0 ≤ δ xτα − x0 + α xτα − x0 x0 , ∀α > Chia hai vế bất đẳng thức cho α xτα − x0 ta xτα − x0 ≤ δ h + g ( x0 ) + x0 , ∀α > 0, α α hay δ h + d g ( x0 ) + x0 (2.14) α α Từ (2.14) ta suy dãy {xτα } bị chặn không gian Banach phản xτα ≤ xạ X Do tồn dãy dãy {xτα } hội tụ yếu đến phần Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 tử x X Khơng giảm tính tổng quát ta coi {xτα } x δ+h α → 0, → α Sử dụng tính chất accretive toán tử Ah , với h > 0, từ (2.7) ta có J(x − xτα ) , Ah (x) − Ah (xτα ) = J (x − xτα ) , Ah (x) + αxτα − fδ (2.15) ≥ 0, ∀x ∈ X Vì J có tính chất liên tục yếu theo dãy, nên (2.15) cho α → ta x − x, A(x) − f ≥ 0, ∀x ∈ X (2.16) Mặt khác theo giả thiết, A tốn tử m-accretive nên tốn tử accretive cực đại Khi từ (2.16) ta suy f = Ax hay x ∈ S Từ (2.11) với x0 = x, ta có J (xτα − x0 ) , Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J (xτα − x0 ) , xτα − x0 = J (xτα − x) , Ah (xτα ) − A(x) + α J (xτα − x) , xτα − x ≥ −g ( x ) h xτα − x + α xτα − x , J (xτα − x0 ) , fδ − f − α J (xτα − x0 ) , x0 = J (xτα − x) , fδ − αxτα − f + α J (xτα − x) , xτα − x ≤ −δ xτα − x − α J (xτα − x) , x Từ suy ra: xτα − x ≤ δ τ h xα − x + g ( x ) xτα − x α α τ − J (xα − x) , x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.17) 22 Suy dãy {xτα } bị chặn hội tụ yếu x ∈ S Từ (2.17) ta δ+h suy {xτα } hội tụ theo chuẩn x α → 0, → Vậy {xτα } α δ+h hội tụ mạnh x α → 0, → Mặt khác từ (2.11) ta có α J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J (xτα − x0 ) , xτα = J (xτα − x0 ) , fδ − f ⇔ g ( x0 ) h xτα − x0 + α J (xτα − x0 ) , xτα ≤ δ xτα − x0 h δ ⇔ J (xτα − x0 ) , xτα ≤ + g ( x0 ) xτα − x0 , x0 ∈ S α α Cho α → 0, δ+h → 0, từ bất đẳng thức suy α J (x − x0 ) , x ≤ 0, ∀x0 ∈ S Điều có nghĩa x = x0 Vậy dãy {xτα } hội tụ mạnh đến x0 δ+h α → 0, → α 2.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Bây ta nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp tổng quát vế phải f cho xấp xỉ fδ toán tử A cho xấp xỉ Ah Ta xét phương trình hiệu chỉnh dạng Ah (x) + α (x − x∗ ) = fδ , (2.18) α > tham số hiệu chỉnh, x∗ phần tử cho trước toán tử Ah : X → X toán tử m-accretive thỏa mãn điều kiện Ah (y) − Ah (x0 ) − QAh (x0 ) J (y − x0 ) (2.19) ≤ τ A (y) − A (x0 ) , ∀y ∈ X, τ > số Q ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ Định lý 2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) Ah khả vi Fréchet thỏa mãn (2.19), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 (ii) Tồn phần tử zh ∈ X cho Ah (x0 ) zh = x∗ − x0 , (iii) Tham số hiệu chỉnh α chọn cho α ∼ (δ + h)θ , < θ < Khi xτα − x0 = O ((δ + h)µ ) , µ = − θ, θ Chứng minh Từ định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J , (2.1), (2.18), tính chất m-accretive tốn tử A điều kiện (ii) định lý ta có xτα − x0 fδ − Ah (xτα ) J (xτα − x0 ) α + (x0 − x∗ ) , J (x0 − xτα ) ≤ (δ + hg ( x0 )) xτα − x0 α + zh , Ah (x0 )J (x0 − xτα ) ≤ (2.20) Mặt khác, | zh , Ah (x0 )J (x0 − xτα ) | ≤ zh Ah (x0 )J (x0 − xτα ) , Ah (x0 )J (x0 − xτα ) ≤ Ah (xτα ) − Ah (x0 ) + τ xτα − x0 QAh (x0 )J (x0 − xτα ) ≤ Ah (xτα ) − fδ + δ + hg ( x0 ) + τ xτα − x0 QAh (x0 )J (x0 − xτα ) Bất đẳng thức tương đương với Ah (x0 )J (x0 − xτα ) (2.21) τ (α x − x + δ + hg ( x )) ≤ ∗ α − τ x0 − x∗ + δ11−θ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Từ (2.20), bị chặn dãy {xτα } α, α ∼ (δ + h)θ , < θ < 1, ta suy xτα − x0 δ → điều kiện α ≤ c1 (δ + h)1−θ xτα − x0 + c2 (δ + h)θ , ci số dương Sử dụng hệ thức a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O bp(p−q) + c ta thu xτα − x0 = O ((δ + h)µ ) , µ = − θ, θ Định lý chứng minh 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử m-accretive khơng cần tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy có lớp khơng gian Banach hẹp (khơng gian lp ), nên khơng thể áp dụng phương trình toán tử m-accretive trường hợp giải tốn khơng gian hàm Để khắc phục hạn chế này, năm 2012, Giáo sư Nguyễn Bường cộng đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử m-accretive Sự hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh chứng minh không cần tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Các kết trình bày mục tham khảo từ tài liệu [4] 2.2.1 Không gian Banach trơn giới hạn Banach Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Định nghĩa 2.3 Không gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX , (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Định nghĩa 2.4 Không gian Banach X gọi không gian lồi chặt, với x, y ∈ SX , x = y, ta có (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1) Không gian Banach X lồi chặt mặt cầu đơn vị X lồi chặt, nghĩa với x, y ∈ SX , x = y = 1, x = y ta có x + y < Mệnh đề 2.5 Cho X khơng gian Banach Khi đó, X có chuẩn khả vi Gâteaux ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị chuẩn X khả vi Gâteaux ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục ∗ yếu tập bị chặn X Cho µ hàm tuyến tính liên tục l∞ giả sử a = (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Ta viết µk (ak ) thay cho µ((a1 , a2 , )) Định nghĩa 2.6 Cho X không gian Banach, µ gọi giới hạn Banach µ thỏa mãn điều kiện µ = µk (1) = µk (ak+1 ) = µk (ak ), ∀a = (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Với giới hạn Banach µ ta biết lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak , k→∞ k→∞ với (a1 , a2 , ) ∈ l∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Định lý 2.7 Nếu a = (a1 , a2 , ) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ) ∈ l∞ ak → c, (ak − bk → 0) k → ∞ µk (ak ) = µ(a) = c, (µk (ak ) = µk (bk )) Bổ đề 2.8 Cho C tập lồi khơng gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử {xk } dãy bị chặn X, z phần tử C, µ giới hạn Banach Khi đó, µk xk − z = µk xk − u , u∈C µk u − z, J(xk − z) ≤ với u ∈ C Cho A toán tử m-accretive X phần tử f ∈ X, ta xác định ánh xạ u = Tf (x) Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f, (2.22) với x ∈ X Do đó, Af m-accretive Ánh xạ Tf có tính chất sau (1) D(Tf ) = X, (2) Tf không giãn, tức Tf x − Tf y ≤ x − y , (3) F (Tf ) = S F (Tf ) ký hiệu tập điểm bất động Tf , tức F (Tf ) = {x ∈ X : x = Tf (x)} Định nghĩa 2.9 Toán tử T : D(T ) ⊂ X → X gọi giả co T (x) − T (y), J(x − y) ≤ x − y , với x, y ∈ D(T ) Bổ đề 2.10 Nếu tốn tử A : X → X accretive T = I − A giả co Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Chứng minh Với x, y ∈ D(T ), J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nên x − y, J(x − y) = x − y , A toán tử accretive nên : A(x) − A(y), J(x − y) ≥ Suy : T (x) − T (y), J(x − y) ≤ x − y Vậy T giả co Bổ đề 2.11 Với tốn tử accretive F tuyến tính, bị chặn khơng gian Banach phản xạ X, ta có F (F + αI)−1 ≤ với α > 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X Xét phương trình tốn tử (2.1), A : X → X tốn tử m-accretive, đơn trị X với D(A) = X Xét phương trình hiệu chỉnh A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2.23) α > tham số hiệu chỉnh, x+ phần tử tùy ý X , fδ xấp xỉ f thỏa mãn (2.2) Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh chứng minh định lý sau Định lý 2.12 Cho X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux cho A toán tử m-accretive đơn trị X Khi đó, i với α > f ∈ X , phương trình A(x) + α(x − x+ ) = f, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.24) 28 có nghiệm xα ; ii tập nghiệm S (2.1) khác rỗng dãy nghiệm {xα } hội tụ mạnh đến phần tử y∗ ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức biến phân y∗ ∈ S : y∗ − x+ , J(y∗ − y) ≤ 0, ∀y ∈ S (2.25) Hơn nữa, ta có δ α δ xα nghiệm (2.23), với α > fδ ∈ X xδα − xα ≤ Chứng minh (i) Do A tốn tử m-accretive nên phương trình (2.24) có nghiệm, ký hiệu xα Ta chứng minh nghiệm với α > f ∈ X Thật vậy, ta chứng minh toán tử A + αI toán tử α-accretive mạnh Với x, y ∈ X , sử dụng tính chất accretive tốn tử A ta có (A + αI)(x) − (A + αI)(y), J(x − y) = A(x) − A(y) + αI(x) − αI(y), J(x − y) = A(x) − A(y), J(x − y) + α x − y, J(x − y) ≥ α x − y Vậy phương trình (2.24), với α > có nghiệm xα (ii) Bây ta dãy nghiệm {xα } bị chặn Thật vậy, từ phương trình (2.1) (2.24) ta có A(xα ) + α(xα − x+ ) − A(y),J(xα − y) = ⇔ A(xα ) − A(y), J(xα − y) +α (xα − x+ ), J(xα − y) = ⇔ A(xα ) − A(y), J(xα − y) =α x+ − y, J(xα − y) + α y − xα , J(xα − y) Hay α x+ − y, J(xα − y) = α xα − y, J(xα − y) + A(xα ) − A(y), J(xα − y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.26) 29 Do A toán tử accretive J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nên từ (2.26) suy α xα − y ≤ α x+ − y, J(xα − y) , ∀y ∈ S (2.27) Chia hai vế bất đẳng thức (2.27) cho α ta xα − y ≤ x+ − y, J(xα − y) , ∀y ∈ S (2.28) Suy xα − y ≤ x+ − y Có nghĩa dãy {xα } bị chặn không gian Banach phản xạ X Từ (2.24) ta có ≤ A(xα ) − f = α xα − x+ = α xα − y + y − x+ ≤ α( xα − y + x+ − y ) (2.29) ≤ 2α x+ − y Suy lim A(xα ) − f = (2.30) α→0 Xét ánh xạ T f := I − Af , Af toán tử m-accretive Hiển nhiên, p ∈ S p ∈ F (T f ) Hơn nữa, ánh xạ 2I −T f có nghịch đảo khơng giãn, ký hiệu A Thực vậy, 2I − T f = I + I − T f = I + Af Từ (2.22) ta có A = Tf = (2I − T f )−1 = (I + Af )−1 Vì A tốn tử khơng giãn, đơn trị nên F ix(A) = F ix(Tf ) = S Ta có: ∀xδα ∈ S xδα ∈ F ix(Tf ) thỏa mãn xδα − T f (xδα ) = (2I − T f )xδα − xδα = Vì xδα ∈ S nghiệm phương trình (2.1) nên A(xδα ) − f = Từ suy xδα − T f xδα = (2I − T f )xδα − xδα = A(xδα ) − f, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 A(2I − T f )xδα = (I + Af )−1 (I + Af )(xδα ) = xδα Mặt khác xδα ∈ F (A) nên f δ δ ≤ xδα − A(xδ) α = A(2I − T )xα − A(xα ) ≤ (2I − Tf )xδα − xδα (2.31) = A(xδα ) − f Kết hợp (2.30) (2.31) ta xα − A(xα ) → α → Giả sử {xk } dãy {xα } với αk → k → ∞ Xét hàm ϕ(x) = µk xk − x với x ∈ X Ta thấy ϕ(x) → ∞ x → ∞ ϕ liên tục lồi Từ đó, X phản xạ nên tồn y˜ ∈ X cho ϕ(˜ y ) = ϕ(x) x∈X Đặt:C ∗ := {u ∈ X : ϕ(u) = ϕ(x)} = ∅ x∈E ∗ Dễ dàng thấy C tập lồi đóng bị chặn X Mặt khác, ∀˜ y ∈ C ∗ , xk ∈ F (A) từ xk − A(xk ) → ta có ϕ(A˜ y ) = µk xk − A(˜ y) = µk A(xk ) − A(˜ y) ≤ µk xk − y˜ 2 = ϕ(˜ y ), suy AC ∗ ⊂ C ∗ , có nghĩa C ∗ bất biến A Bây giờ, ta chứng tỏ C ∗ chứa điểm bất động A Do X không gian Banach phản xạ lồi chặt nên tập lồi đóng X tập Chebyshev Khi đó, với điểm y ∈ F (A), tồn y˜ ∈ C ∗ cho y − y˜ = inf∗ y − x x∈C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Vì y ∈ F (A) nên y = A(y), ∀y ∈ X A˜ y ∈ C ∗ , ∀˜ y ∈ C ∗ ta có y − A(˜ y ) = A(y) − A(˜ y ) ≤ y − y˜ Do A(˜ y ) = y˜ Suy y˜ ∈ F (A) Vì vậy, tồn điểm y˜ ∈ F (A) ∩ C ∗ = S ∩ C ∗ Theo Bổ đề 2.8 ta có y˜ cực tiểu ϕ(x) X µk x − y˜, J(xk − y˜) ≤ 0, ∀x ∈ X (2.32) Từ (2.28) thay y = y˜ x = x+ ta x − y˜, J(xk − y˜) ≥ ⇔ µk x − y˜, J(xk − y˜) ≥ Kết hợp với (2.32) ta thu µk x − y˜, J(xk − y˜) = Suy µk xk − y˜ = 0, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Do đó, tồn dãy {xki } {xk } hội tụ mạnh đến y˜ i → ∞ Hơn nữa, từ (2.28) tính liên tục ∗ yếu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J tập bị chặn X, ta thu y − x+ , J(˜ y − y) ≤ ∀y ∈ S (2.33) Vì y y˜ thuộc F (A), F (A) tập lồi đóng nên sy + (1 − s)˜ y ∈ F (A) với s ∈ (0, 1) Thay y (2.33) sy + (1 − s)˜ y, với s ∈ (0, 1) sử dụng tính chất J(s(˜ y − y)) = sJ(˜ y − y) với s > ta có sy + (1 − s)˜ y − x+ , J(˜ y − (sy + (1 − s)˜ y )) ≤ ⇔ sy + y˜ − s˜ y − x+ , J(s˜ y − sy) ≤ ⇔ y˜ − x+ , J(s(˜ y − y)) − s y˜ − y, J(s(˜ y − y)) ≤ ⇔ s y˜ − x+ , J(˜ y − y) ≤ s2 y˜ − y, J(˜ y − y) , ∀y ∈ S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Chia hai vế bất đẳng thức cho s cho s → 0, ta thu y˜ − x+ , J(˜ y − y) ≤ ∀y ∈ S Kết hợp với (2.25) suy y˜ = y∗ Vì vậy, dãy nghiệm {xα } hội tụ mạnh đến y∗ α → Từ (2.23) (2.24) ta có A(xδα ) + α(xδα − x+ ) − fδ − A(xα ) − α(xα − x+ ) + f, J(xδα − xα ) = ⇔ A(xδα ) − A(xα ), J(xδα − xα ) + α xδα − xα , j(xδα − xα ) = fδ − f, J(xδα − xα ) Do A toán tử accretive J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nên α xδα − xα xδα − xα ≤ fδ − f Suy : xδα − xα ≤ δ , α fδ − f ≤ δ Định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Kết luận Luận văn trình bày lại làm chi tiết phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử m-accretive khơng gian Banach, trình bày định lý hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính chất liên tục yếu theo dãy khơng có tính chất Việc nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp toán tử A vế phải f cho xấp xỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc khơng có tính chất liên tục yếu theo dãy, việc xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh tính tốn ví dụ số minh họa cho tốc độ hội tụ phương pháp hướng nghiên cứu cho đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Tài liệu tham khảo [1] Ya I Alber and I Ryazantseva Nonlinear ill-posel problems of monotone type, Springer, 2006 [2] Ya I Alber, The solution by the regularization method of operator equations of the first kind with accretive operators, Differential Equations, 11(1975), 1665–1670 [3] Ng Buong, Generalized discrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators, Nonlinear Funct Anal Appl., 9(2004) (1), 73–78 [4] Ng Buong, On Nonlinear ill-posed equations involving accretive operators, Nonlinear Funct Anal Appl., 11(2006) (1), 1–10 [5] Ng Buong and Ng T H Phuong, Convergence rates in regularization for Nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Applied Mathematical Sciences, 6(2012) (63), 3109–3117 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...i M? ??c lục M? ?? đầu 1 Phương trình với toán tử m- accretive 1.1 1.2 Toán tử m- accretive 1.1.1 Toán tử accretive 1.1.2 Phương trình với tốn tử accretive. .. Chứng minh (i) Do A toán tử m- accretive nên phương trình (2.24) có nghi? ?m, ký hiệu xα Ta chứng minh nghi? ?m với α > f ∈ X Thật vậy, ta chứng minh toán tử A + αI toán tử α -accretive m? ??nh Với x,... A : X → X toán tử accretive, h-liên tục với D(A) = X Khi A tốn tử accretive cực đại 1.1.2 Phương trình với tốn tử accretive Xét phương trình tốn tử A(x) = f (1.4) với A : X → X toán tử cho trước,