Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach tt

5 1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. 2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ côn

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 12

1.2 Độ đo véc tơ vμ tích phân của hμm nhận giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ 14

1.2.1 Độ đo véc tơ 14

1.2.2 Tích phân Bochner 16

1.2.3 Tích phân của một hμm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc tơ 16

1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18

1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 24

1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach 25

2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thức Ito 27

2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hμm ngẫu nhiên nhận giá trị toán

tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 27

2.2 Biến phân bình phương của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 41

2.3 Quá trình Ito vμ công thức Ito 46

3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach 58 3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ vμ các tính chất tổng quát 58

3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn 65

3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71

3.4 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn 75

Về các nghiên cứu tiếp theo 83

Kết luận 93

Tμi liệu tham khảo 96

Phụ lục 100

Mở đầu

Trong hơn ba thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ các nhμtoán học, giải tích toán học đã trở thμnh một lĩnh vực toán học lớn với nhữngchuyên ngμnh như: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình

đạo hμm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính, Nó cung cấp cho nhiều

ngμnh khoa học vμ kỹ thuật một công cụ hết sức đắc lực để xử lý vμ tính toáncác mô hình tất định

Tuy nhiên, chúng ta đang sống trong một thế giới chịu nhiều tác động củanhân tố ngẫu nhiên Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tự nhiên

lμ các hệ động lực ngẫu nhiên vμ quá trình ngẫu nhiên Thμnh thử để phản

ánh thực tế đúng đắn hơn, ngoμi việc nghiên cứu các mô hình tất định, việcnghiên cứu các mô hình ngẫu nhiên lμ một tất yếu vμ cần thiết

Trong vμi chục năm gần đây, một mặt do nhu cầu phát triển nội tại củatoán học, mặt khác nhằm cung cấp một ngôn ngữ, một công cụ cho phép môtả, phân tích, dự báo vμ điều khiển các mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫunhiên (giải tích trong môi trường ngẫu nhiên) đã ra đời với các lý thuyết về

độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên,

toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên

Trong các hướng nghiên cứu của giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giảitích ngẫu nhiên vô hạn chiều cũng được nhiều tác giả quan tâm do sự pháttriển nội tại của giải tích ngẫu nhiên cũng như do sự xuất hiện của nhiều bμitoán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần chú ý rằng để nghiêncứu giải tích ngẫu nhiên trên không gian vô hạn chiều, người ta cần phải cónhững phương pháp mới vμ dụng cụ mới khác so với việc nghiên cứu giải tíchngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ rằng những phương pháp vμ dụng cụ cơ bảncủa xác suất trên không gian hữu hạn chiều khi mở rộng sang không gian vôhạn chiều thì không còn hiệu lực nữa (xem [21, 22, 43] vμ các thư mục ở đó)

Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên đầu tiên trong lý thuyết xác suất lμtích phân của một hμm tất định đối với chuyển động Brown do Wiener đưa

ra [44] vμo năm 1923 Tích phân nμy được gọi lμ tích phân Wiener Tíchphân Wiener có thể nhìn nhận như lμ tích phân của một hμm tất định thực

đối với độ đo ngẫu nhiên Wiener - một độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bởichuyển động Brown Tư tưởng về độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần đầu tiênxuất hiện trong công trình của Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên của hμmtất định đối với độ đo ngẫu nhiên giá trị thực được nghiên cứu bởi Urbanik vμWoyczynski [42] Sự mở rộng cho trường hợp vô hạn chiều được thực hiệnbởi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Một hướng mởrộng khác của tích phân Wiener được Đ.H.Thắng đề cập trong [36, 41]: Đó lμxét tích phân của các hμm tất định thực đối với các độ đo véc tơ ngẫu nhiênGauss vμ độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều

Chương 1 của luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tíchphân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chương nμy sẽ trình bμy một cáchtóm lược nhất để lμm quen với định nghĩa, các kết quả cơ bản về độ đo véc tơngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị trong khônggian Banach vô hạn chiều vμ tích phân của hμm tất định thực đối với chúng,trong đó tập trung vμo các tính chất các độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đốixứng Các kết quả nμy sẽ được sử dụng đến ở chương2

Nhu cầu của toán học cũng như thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện quá trìnhlấy tích phân không chỉ cho các hμm tất định mμ cả cho các hμm ngẫu nhiên.Năm 1942 nhμ toán học Ito [18] đã xây dựng quá trình tích phân cho một hμmngẫu nhiên phù hợp đối với chuyển động Brown Tích phân nμy được gọi lμtích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito vμ công thức Ito đóng một vai trò đặcbiệt quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên tương tự như tích phân Riemann vμcông thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiêncứu vi tích phân trong không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên

cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác nhau cơ bản giữa giải tích cổ

điển vμ giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm ở sự khác nhau của công thức đạohμm hμm số hợp, trong môi trường ngẫu nhiên công thức nμy mang tên Ito

Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngμy cμng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngμycμng đúng vμ sát nhiều mô hình trong thực tế vμ có nhiều ứng dụng thiết thực.Một trong những ứng dụng đáng chú ý của nó gần đây có thể kể đến đó lμ nótrở thμnh công cụ quan trọng trong nghiên cứu toán tμi chính (xem [15, 31]

vμ các thư mục ở đó), ví dụ như việc định nghĩa vμ nghiên cứu các mô hìnhBlack-Scholes, Merton, Hull and White,

Có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốnxây dựng loại tích phân ngẫu nhiên mμ không cần giả thiết phù hợp, như tíchphân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod (xem [3, 24, 29]

vμ các thư mục ở đó) Một hướng mở rộng khác lμ xây dựng tích phân củahμm ngẫu nhiên đối với các quá trình ngẫu nhiên tổng quát hơn Chẳng hạn lýthuyết về tích phân ngẫu nhiên của các hμm ngẫu nhiên khả đoán đối với mộtsemimartingale đã được nhiều tác giả ở Mỹ vμ Pháp quan tâm (xem [5, 20]

vμ các thư mục ở đó); lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trìnhBrown phân thứ được một số tác giả quan tâm vì những dụng mới của nótrong toán tμi chính (xem [31])

Chương2 có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thứcIto" Chương nμy dμnh cho việc xây dựng tích phân Ito của hμm ngẫu nhiêngiá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng một quá trình

ngẫu nhiên vô hạn chiều X t, kiểu Ito rất tổng quát vμ thiết lập công thức Itotương ứng

Giả sử X, Y lμ các không gian Banach Cho trước Z lμ độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị với độ đo covariance Q (được định nghĩa bởi

Đ.H.Thắng trong [41]) Chúng tôi định nghĩa quá trình ngẫu nhiên X t Y -giá

vμ gọi đó lμ quá trình Ito Y -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên Z Để định

nghĩa được quá trình nμy chúng tôi đã phải xây dựng khái niệm tích phân

ngẫu nhiên của một hμm ngẫu nhiên L (X, Y )-giá trị đối với độ đo Z Kết

quả quan trọng trong chương nμy lμ việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức nμy, luận án

đã sử dụng công cụ tích tensor để lμm rõ tác động của một toán tử song tuyến

tính lên một toán tử hạch vμ nghiên cứu biến phân toμn phương của độ đo Z.

Công thức biến phân toμn phương nμy viết một cách hình thức có dạng

dZ  ⊗ dZ = dQ.

Trong trường hợp Z lμ độ đo Wiener X -giá trị vμ các không gian X, Y lμ hữu

hạn chiều ta thu được công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ quả 2.3.4) Chú ý rằngcông thức nμy cũng lμ mới vì cho tới nay người ta mới xét trường hợp côngthức Ito hữu hạn chiều với quá trình Wiener nhiều chiều với các thμnh phần

độc lập (tức lμ với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q dạng

dQ = R dt, trong đó R lμ ma trận đơn vị).

Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đã biết tích phân lμ một loạitoán tử tuyến tính đặc biệt vμ rất quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính(tất định) đã được phát triển thμnh một lý thuyết đồ sộ trong giải tích hμm vμ

đã được áp dụng rất hiệu quả để nghiên cứu trong lý thuyết phương trình viphân vμ phương trình đạo hμm riêng Tương tự như vậy, tích phân ngẫu nhiên

lμ một loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt vμ rất quan trọng Một toán tử ngẫu

nhiên A từ X vμo Y lμ một phép tương ứng mỗi x ∈ X một biến ngẫu nhiên

Ax nhận giá trị trong Y Phép tương ứng nμy thoả mãn điều kiện tuyến tính

vμ liên tục theo một nghĩa xác suất nμo đó Như vậy khái niệm toán tử ngẫu

nhiên lμ một sự mở rộng "ngẫu nhiên" (hay sự ngẫu nhiên hoá) một cách rất

tự nhiên của khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên giữacác không gian Hilbert được nghiên cứu hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod[30] vμ được phát triển bởi Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo sự hiểu biếtcủa chúng tôi thì lý thuyết về toán tử ngẫu nhiên mới đang ở giai đoạn đầucủa sự phát triển vμ còn nhiều vấn đề bỏ ngỏ Nếu như lý thuyết toán tử tuyếntính (tất định) đã trở thμnh một lâu đμi đồ sộ, hoμnh tráng trong giải tích, córất nhiều ứng dụng trong toán học cũng như thực tiễn thì có cơ sở để hy vọng

vμ tin tưởng rằng trong tương lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có mộthình hμi, vị trí xứng đáng vμ tầm quan trọng lớn lao trong giải tích ngẫu nhiên.Chương 3 có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach".Trong chương nμy chúng tôi dμnh sự quan tâm cho lớp các toán tử ngẫu nhiên

bị chặn Đó lμ một lớp con của lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhưng lại lμ

sự mở rộng rất gần gũi các toán tử tuyến tính tất định Chúng tôi đã thiết lậpcác điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên lμ bị chặn Một trong những kết quảchính khá thú vị trong chương nμy lμ chỉ ra rằng nguyên lý bị chặn đều (Định

lý Banach-Steinhaus) cho họ các toán tử tuyến tính tất định vẫn đúng cho họcác toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhưng đã không còn đúng cho

họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 của luận

án) Nếu nhìn tích phân Wiener như một toán tử ngẫu nhiên thì tích phân Ito,tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich vμ tích phân Skorokhod đều có thểxem như lμ một cố gắng để thác triển miền xác định của tích phân Wiener từtập các hμm tất định bình phương khả tích lên một lớp nμo đó các hμm ngẫunhiên có quỹ đạo bình phương khả tích Chúng tôi đưa ra một kiểu thác triển

vμ chứng minh được rằng một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chỉ

có nó) mới có thể thác triển miền xác định của nó lên toμn bộ các biến ngẫu

nhiên nhận giá trị trong X đồng thời bảo toμn các tính chất tuyến tính vμ liên

tục của nó (Định lý 3.4.5) Một hệ quả thú vị của định lý nμy lμ: không thể

thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hμm tất định bìnhphương khả tích lên tất cả các hμm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phương khảtích.

Lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn lμ một lớp đặc biệt của lớp toán tửngẫu nhiên, nó được nghiên cứu trong Chương 3 khá hệ thống Một vấn đề

được đặt ra một cách tự nhiên lμ nghiên cứu các loại toán tử ngẫu nhiên tổngquát hơn Trong quá trình nghiên cứu hoμn thμnh luận án, ngoμi những kếtquả đã công bố, chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vị khác về toán tửngẫu nhiên tổng quát (không nhất thiết bị chặn) Nhưng những kết quả đónói chung khá rời rạc, chưa thμnh một hệ thống hoμn chỉnh vμ mạch lạc nênchúng tôi chỉ mới trình bμy ở những buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuốiluận án có tiêu đề "Về các nghiên cứu tiếp theo" Trong phần nμy, chúng tôinêu ra một số vấn đề mμ chúng tôi chưa giải quyết hoμn chỉnh vμ kèm theomột số kết quả đã đạt được Chúng tôi sẽ dμnh những vấn đề đó cho nghiêncứu sau luận án

Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo trong các hội nghị:

1 Hội nghị Khoa học của trường Đông về Xác suất-Thống kê, Vinh (2003),

2 Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên(2004),

3 Hội nghị Toμn quốc về Xác suất Thống kê tại Ba Vì (2005)

Chương 1

Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss vμ tích

phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều

Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hμm ngẫu nhiên nhận giátrị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị trong khônggian Banach mμ chúng tôi đề cập đến trong chương 2 có thể xem như lμ sự

mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, do đó nó cần sự hỗ trợ từ rất nhiềucác kết quả khá trừu tượng trong không gian Banach Mặt khác đây cũng lμviệc mở rộng việc lấy tích phân hμm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss(tích phân Wiener vô hạn chiều) được xét trong [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tíchphân cho các hμm ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss Như lμ một sựchuẩn bị, chương nμy nhằm mục đích tóm tắt sơ lược các kiến thức vμ các kếtquả liên quan mμ chúng sẽ được sử dụng sau nμy, như lμ: độ đo véc tơ, tíchphân đối với độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiêncủa hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt chúng tôitrình bμy kỹ về độ đo ngẫu nhiên Gauss vμ tích phân Wiener vô hạn chiều(tích phân của hμm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức

về toán tử hạch, tích tensor của2 không gian Banach, hình học trong khônggian Banach, độ đo véc tơ Gauss trên không gian Banach sẽ được giới thiệu

trong phần phụ lục sau luận án.

1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Các kiến thức trong phần nμy người đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong [43]

Giả sử T lμ một không gian khác rỗng bất kỳ Họ các tập con Σ của T được gọi lμ một trường (hay đại số) các tập con của T nếu nó chứa tập rỗng, đóng

đối với phép lấy hợp vμ giao hữu hạn vμ đóng đối với phép lấy phần bù Σ

được gọi lμ một σ-trường (hay σ-đại số) các tập con của T nếu nó lμ một

trường vμ đóng đối với phép lấy hợp vμ giao đếm được vμ phép lấy phần bù.Trong trường hợp nμy cặp(T, Σ) được gọi lμ không gian đo được.

Cho(T, Σ) vμ (X, B) lμ các không gian đo được Một ánh xạ ξ : T → X được

gọi lμ (Σ, B)-đo được hay đơn giản lμ đo được nếu nghịch ảnh ξ ư1 (B) ∈ Σ với mỗi B ∈ B Nếu X lμ không gian tôpô thì σ-trường nhỏ nhất chứa tất

cả các tập mở của X được gọi lμ σ-trường Borel vμ được ký hiệu lμ B(X) Các tập B ∈ B(X) được gọi lμ các tập Borel Nếu ánh xạ ξ : T → X lμ

(Σ, B(X))-đo được thì ta còn gọi lμ ξ lμ đo được Borel hay đơn giản lμ đo

được

Cho (T, Σ) lμ một không gian đo được, X lμ một không gian metric Một hμm ξ : T → X được gọi lμ đơn giản (tương ứng bậc thang) nếu ξ(T) lμ hữu hạn (tương ứng đếm được) vμ ξ ư1 (x) ∈ Σ với mọi x ∈ X Rõ rμng hμm đơn giản vμ hμm bậc thang thì đo được ξ : T → X được gọi lμ đo được mạnh nếu

nó lμ giới hạn điểm của một dãy hμm đơn giản vμ ξ được gọi lμ đo được yếu nếu với mọi x ∗ ∈ X thì x ∗ (ξ) : T → R lμ hμm đo được mạnh Mệnh đề sau

đây cho ta mối liên hệ giữa đo được, đo được mạnh, đo được yếu

Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ ξ : T → X, những phát biểu sau tương đương

1 ξ đo đ−ợc mạnh.

2 ξ đo đ−ợc vμ miền giá trị của nó khả ly.

3 ξ lμ giới hạn đều của một dãy hμm bậc thang.

4 ξ lμ giới hạn điểm của một dãy hμm đơn giản.

Giả sử (Ω, F) lμ một không gian đo đ−ợc Một hμm cộng tính đếm đ−ợc

μ : F → [0, +∞) đ−ợc gọi lμ độ đo (không âm) trên F (nhiều lúc ta nói μ

lμ độ đo trên (Ω, F), hay đơn giản lμ độ đo trên Ω) μ đ−ợc gọi lμ độ đo xác suất nếu μ (Ω) = 1, đ−ợc gọi lμ độ đo hữu hạn nếu μ(Ω) < ∞ vμ đ−ợc gọi

lμ độ đo σ-hữu hạn nếu Ω có phân hoạch Ω = ∪ ∞

Giả sử(ξ n ), ξ lμ các biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ n đ−ợc gọi lμ hội tụ theo xác

suất tới ξ vμ ký hiệu lμ ξ n → ξ nếuP

lim

n→∞Pξ n − ξ >  = 0 với mọi  > 0.

ξ n đ−ợc gọi lμ hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.) tới ξ vμ ký hiệu lμ ξ n h.c.c. → ξ hay

ξ n → ξ (h.c.c) nếu tồn tại một tập A ∈ F sao cho P(A) = 1 vμ với mọi ω ∈ Ω

thì ξ n (ω) → ξ(ω).

Hai biến ngẫu nhiên ξ vμ η được gọi lμ bằng nhau h.c.c vμ ký hiệu lμ ξ = η

h.c.c nếu P{ξ = η} = 1 Quan hệ bằng nhau h.c.c trong không gian các biến ngẫu nhiên X -giá trị lμ một quan hệ tương đương, tập các lớp tương

đương được ký hiệu lμ L X0 (Ω, F, P) hay đơn giản lμ L X

ξ p =   ξ(ω) p d P(ω)1/p , ξ ∈ L X

p (Ω).

1.2 Độ đo véc tơ vμ tích phân của hμm nhận giá trị toán tử

đối với độ đo véc tơ

Các kiến thức trong phần nμy người đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong[9, 10]

1.2.1 Độ đo véc tơ

Giả sử Σ lμ một trường các tập con của tập T.

Định nghĩa 1.2.1. Một hμm F từ Σ vμo một không gian Banach X được gọi

lμ độ đo véc tơ cộng tính hữu hạn hay đơn giản lμ độ đo véc tơ nếu nó thoảmãn

F (E n ) trong chuẩn của X

với mọi E i lμ các tập rời nhau trong Σ thoả mãn ∪ ∞

n=1 E n ∈ Σ thì F được gọi

lμ độ đo véc tơ cộng tính đếm được

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử F : Σ → X lμ một độ đo véc tơ Biến phân của F

lμ một hμm không âm|F | xác định trên Σ sao cho với mỗi E ∈ Σ thì

i=1 ∈ Σ lμ một phân hoạch của E vμ supremum lấy trên tất cả

các phân hoạch hữu hạn có thể của E.

Nếu|F |(T) < ∞ thì F được gọi lμ độ đo với biến phân giới nội

Mệnh đề 1.2.3 Một độ đo véc tơ với biến phân giới nội lμ cộng tính đếm

được khi vμ chỉ khi biến phân của nó lμ cộng tính đếm được

Định lý 1.2.4 (Pettis).

Giả sử Σ lμ một σ-trường, F : Σ → X lμ một độ đo véc tơ cộng tính đếm

được vμ μ lμ độ đo không âm hữu hạn trên Σ Lúc đó F lμ μ-liên tục, tức lμ

Định nghĩa 1.2.5. Một hμm μ-đo đ−ợc f : T → X đ−ợc gọi lμ khả tích

Bochner nếu tồn tại một dãy hμm đơn giản(f n) sao cho

Định lý sau đây cho ta một đặc tr−ng của hμm khả tích Bochner

Định lý 1.2.6 Một hμm f : Σ → X lμ khả tích Bochner nếu vμ chỉ nếu



f dμ < ∞.

1.2.3 Tích phân của một hμm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc

tơ

Giả sử(T, Σ) lμ một không gian đo, F : Σ → X lμ một độ đo véc tơ cộng

tính đếm đ−ợc với biến phân|F | hữu hạn, do đó theo Mệnh đề 1.2.3 ta nhận

đ−ợc không gian đo hữu hạn(T, Σ, |F |).

Định nghĩa 1.2.7. Một hμm |F |-đo đ−ợc f : T → L(X, Y ) đ−ợc gọi lμ

F -khả tích nếu tồn tại một dãy hμm đơn giản L (X, Y )-giá trị (f n) sao cho

Ta chứng minh đ−ợc rằng với dãy (f n) nh− trong Định nghĩa 1.2.7 vμ với

mọi E ∈ Σ thì sẽ tồn tại giới hạn lim n



E f n dF vμ giới hạn nμy không phụ

thuộc vμo cách chọn dãy đơn giản (f n) (thoả mãn điều kiện (1.3)) Lúc đó ta

1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên của

hμm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên

• Một họ {F s , s ∈ S} các độ đo ngẫu nhiên đ−ợc gọi lμ σ-cộng tính đều

nếu mỗi dãy(A n) các tập rời nhau của Σ thì

•Một hμm thực f xác định trên T được gọi lμ khả tích đối với F nếu tồn

tại dãy hμm đơn giản(f n) sao cho

Định lý 1.3.2 (Ngẫu nhiên hoá của định lý Vitaly-Hahn-Saks).

Cho (F n ) lμ một dãy độ đo ngẫu nhiên X-giá trị vμ chúng có cùng một độ đo

điều khiển μ Ngoμi ra với mỗi A ∈ Σ thì tồn tại p ư lim F n (A) Khi đó ta

lμ độ đo ngẫu nhiên đối xứng X -giá trị với độ đo điều khiển μ.

Nhận xét Hoμn toμn tương tự ta cũng định nghĩa được tích phân của một hμm

đo được X -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên đối xứng thực.

Các tính chất của tích phân loại nμy người đọc có thể tìm xem trong [41]

1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss

Một độ đo ngẫu nhiên đối xứng X -giá trị Z được gọi lμ Gauss nếu với mỗi

A ∈ Σ thì Z(A) lμ biến ngẫu nhiên có phân bố Gauss đối xứng.

Chú ý rằng nếu dãy (A i ) ∈ Σ rời nhau vμ A =

∞ i=1

của Z nếu Q (A) lμ toán tử covariance của Z(A).

Trước khi đưa ra các tính chất đặc trưng của độ đo Q, ta sẽ lμm quen với

các khái niệm vμ tính chất cơ bản của một loại tích vô hướng của2 biến ngẫu

nhiên thuộc L X2 (Ω), toán tử hạch vμ toán tử covariance

Trong Chương 1 ta đã nêu định nghĩa của không gian hạch N(X, Y ), bây giờ ta quan tâm đến không gian hạch N (X  , X) Ta nhắc lại rằng toán tử

T ∈ L(X  , X ) được gọi lμ toán tử hạch nếu tồn tại 2 dãy {x n } ∈ X vμ

gian Banach vμ ta kÝ hiÖu lμ N (X  , X).

T ∈ L(X  , X) ®−îc gäi lμ kh«ng ©m nÕu T a, a ≥ 0 víi mäi a ∈ X  vμ tËp

c¸c to¸n tö thuéc L (X  , X ) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ L+(X  , X) TËp hîp

§Þnh lý 1.4.2 Cho ξ, η lμ 2 biÕn ngÉu nhiªn thuéc L X2 (Ω) Ta cã c¸c kh¼ng

4 NÕu X lμ kh«ng gian Banach lo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C chØ phô

thuéc vμo kh«ng gian X sao cho

ξ2L2  C[ξ, ξ] nuc , víi ξ lμ biÕn ngÉu nhiªn Gauss.

5 NÕulimn ξ n = ξ vμ lim n η n = η trong L2

X (Ω) th×

lim

n [ξ n , η n ] = [ξ, η] trong N(X  , X ).

Ta gọi[ξ, ξ] lμ toán tử covariance của biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ ∈ L2

Định lý 1.4.3 Nếu X lμ không gian Banach loại 2 thì tồn tại một hằng số C

chỉ phụ thuộc vμo không gian X sao cho với mỗi độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị Z ta có

EZ(A)2  CQ(A)  C|Q|(A)

trong đó Q lμ độ đo covariance vμ |Q| lμ biến phân của độ đo véc tơ Q.

Đặt G (X) lμ tập tất cả các toán tử covariance của biến ngẫu nhiên đối xứng Gauss X -giá trị Theo định lý 1.4.2 thì G (X) ⊆ N+(X  , X) Hơn nữa

ta có đẳng thức G (X) = N+(X  , X ) đúng khi vμ chỉ khi X lμ không gian

loại 2

Định lý 1.4.4 Độ đo đặc tr−ng Q của độ đo ngẫu nhiên đối xứng Gauss Z có

các tính chất sau đây:

1 [Z(A), Z(B)] = Q(AB) với mọi A, B ∈ Σ,

Ta biết rằng một độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss X -giá trị sẽ xác định một độ đo đặc trưng nhận giá trị trong tập G (X) lμ tập con của không gian

N (X  , X), ngược lại định lý sau đây cho ta biết điều kiện cần vμ đủ để hμmtập từ Σ vμo G(X) lμ một độ đo đặc trưng của một độ đo ngẫu nhiên Gauss

3 Q xác định không âm vμ σ-cộng tính yếu theo nghĩa sau: Với mỗi a ∈ X 

vμ mỗi dãy (A n ) các tập rời nhau của Σ thì ta có

Ví dụ 1.4.6. Cho H : T → L+(X  , X ) lμ một hμm số trên T với giá trị trên

L+(X  , X ) sao cho H lμ khả tích yếu đối với một độ đo hữu hạn dương μ trên (T, Σ) theo nghĩa sau: với mỗi A ∈ Σ, tồn tại một toán tử H A ∈ L+(X  , X)sao cho

Nếu H T ∈ G(X), đặt Q(A) = H A , ta kiểm tra được Q xác định không âm vμ

σ-cộng tính yếu nên theo Định lý 1.4.5, tồn tại độ đo ngẫu nhiên Gauss đối

xứng X -giá trị Z nhận Q lμm độ đo đặc trưng.

Ví dụ 1.4.7 (Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener).

Cho trước một toán tử R ∈ G(X) Ta xác định hμm H bởi H(t) = R, ∀t ∈ T.

Rõ rμng H lμ khả tích yếu vμ H A = μ(A)R ∈ G(X) Do đó theo Ví dụ 1.4.6 tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị W sao cho mỗi

A ∈ Σ, toán tử covariance của W(A) lμ μ(A)R Chúng ta gọi W lμ độ đo

ngẫu nhiên Wiener X -giá trị với tham số (μ, R).

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu

nhiên Gauss đối xứng

Cho Z lμ độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị với độ đo đặc tr−ng

1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach

(Ω, F, P) lμ một không gian xác suất Xét lọc F = (F t)t∈R+ lμ một họ tăng

dần các σ-đại số con của F Một quá trình ngẫu nhiên thực X = (X t)t∈R+

đ−ợc gọi lμ phù hợp với lọcF nếu với mỗi t ∈ R+thì X

t ∈ F t.Quá trình(X t) phù hợp với lọc F đ−ợc gọi lμ

1 Một submartingale nếu với mỗi t, h ∈ R+ thì

Nhận xét rằng nếu(X t) lμ martingale nhận giá trị trong không gian BanachthìX t  lμ submartingale thực, do đó Định lý Kolmogorov thoả mãn Chú ý

rằng nếu X = (X t) lμ quá trình cad-lag (liên tục bên phải vμ có giới hạn bêntrái) thì supst X t  = sup st,s∈Q X t  Do đó ta cũng có định lý tương tự

như trong trường hợp thực như sau

Định lý 1.6.2 Cho X = (X t ) lμ một quá trình cad-lag martingale giá trị

trong không gian Banach, λ > 0 vμ p > 1 Ký hiệu X ∗

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều vμ công thức Ito

2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hμm ngẫu nhiên nhận giá trị

toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss

Đặt S lμ khoảng thực [0, T], Σ lμ σ-đại số các tập Borel của S Trong suốt luận án nμy, ta luôn giả sử rằng Z lμ một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng

X -giá trị trên S với độ đo covariance Q vμ độ đo Q có biến phân |Q| giới nội.

Đặt L (X, Y ) lμ không gian các hμm tuyến tính liên tục từ X vμo Y Ta sẽ xây

dựng tích phân ngẫu nhiên Ito dạng 

f ã dZ, với f lμ một hμm ngẫu nhiên

L (X, Y )-giá trị phù hợp.

Từ độ đo Z ta xác định một họ tăng dần các σ-đại sốFt ⊂ F như sau: F t lμ

σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên X-giá trị Z (A) với A ∈ F ∩ [0, t] Giả sử E lμ một không gian Banach nμo đó ĐặtM1(S, Z, E) lμ tập các hμm ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f (t, ω) thoả mãn:

1 f (t, ω) phù hợp đối với Z, tức lμ f(t, ω) lμ biến ngẫu nhiên F t-đo được

với mỗi t ∈ S.

phân hoạch của đoạn[0, T] thoả mãn f i lμFt iư1-đo được (1  i  n) vμ f0 lμ

F0-đo được Trong chương nμy ta chủ yếu nghiên cứu các không gian hμm ngẫu

nhiên L (X, Y )-giá trị, để cho thuận tiện ta ký hiệu M0 := M0(S, Z, L(X, Y )),

1. M0 trù mật trongM1 (với chuẩn  ã )

2. M0 trù mật trongM2 (với chuẩn Frechet  ã  s )

Chứng minh: Để tiện cho việc chứng minh ta ký hiệu lại các không gian

M0,M1,M2 bởiM0(S, F, |Q|, L(X, Y )), M1(S, F, |Q|, L(X, Y )),

M2(S, F, |Q|, L(X, Y )) một cách tương ứng.

Ký hiệu λ lμ độ đo Lebesgue Ta chứng minh bổ đề qua3 trường hợp:

Trường hợp 1: |Q| = λ thì chứng minh bổ đề hoμn toμn tương tự như trong

trường hợp thực, chú ý lμ trong trường hợp thực thì ta lấy tích phân theo nghĩaLebesgue còn trong chứng minh nμy thì ta lấy tích phân theo nghĩa Bochner.Trường hợp

thμnh độ đo Lebesgue để đưa bμi toán về trường hợp1 đã được chứng minh

Dùng phương pháp như trong chứng minh Bổ đề 2.1.7, đặt α (t) = |Q|[0, t], 0 

t  T Lúc đó α lμ ánh xạ đo được từ (T, Σ) ư→ ([0, α(T)], B([0, α(T)])) vμ

độ đo cảm sinh của μ qua α chính lμ độ đo Lebesgue λ trên đoạn [0, α(T)].

Ta cũng dễ thấy ngay α toμn ánh vμ bảo toμn độ đo giữa2 không gian:

α : (T, Σ |Q|) ư→ ([0, α(T)], B([0, α(T)]), λ).

Bây giờ ta chứng minh α lμ một đơn ánh h.c.c theo nghĩa: với hầu hết

x ∈ [0, α(T)] (theo độ đo λ) tập α ư1 (x) chỉ gồm một điểm

Thật vậy, giả sử x lμ một số sao cho tập { t : α(t) = x } nhiều hơn 1 điểm.

Do α liên tục nên α ư1 (x) lμ một khoảng [a, b] nμo đó trong ⊆ [0, T] vμ a thực

Trường hợp 3: |Q| lμ độ đo hữu hạn bất kỳ Rõ rμng |Q| chỉ có nhiều nhất lμ

đếm được các nguyên tử Không lμm mất tính tổng quát giả sửΛ = {t1, t2, }

lμ tập hợp các nguyên tử thuộc [0, T] của độ đo |Q| Với mỗi A ∈ Σ, đặt

|Q|(0)(A) = |Q|(A) −t∈Λ∩A |Q|(t) vμ |Q|(1)(A) = t∈Λ∩A |Q|(t) Lúc đó

|Q|(0) lμ độ đo λ-liên tục tuyệt đối (không có nguyên tử), |Q|(1) lμ độ đo rời

rạc trênΛ vμ |Q| = |Q|(0)+ |Q|(1).

Xét f bất kỳ thuộc M1 Vì|Q|(0)

tồn tại dãy (g n ) ∈ M0 sao cho ES g n − f2d |Q|(0) → 0 Cố định n, với

mỗi k ∈ N ta xây dựng hμm ngẫu nhiên f n,k (t, ω) (0  t  T) nh− sau:

1 Chọn s i < t i (1  i  k) vμ s i đủ gần t i sao cho các đoạn {(s i , t i ]} k

i=1

rời nhau vμ|Q|(0)

∪ k i=1 (s i , t i] < 1

Cuối cùng, ta sẽ chứng minhM0 trù mật trong M2.

Lấy f ∈ M2 bất kỳ. Đặt f n (t, ω) = f1 {f(t,ω)<n } Dễ thấy f n ∈

M1 vμ 

f(t, ω) ư f n (t, ω)2d |Q|(t) → 0 h.c.c do đó  f(t, ω) ư

f n (t, ω)2d |Q|(t) → 0 Nghĩa lμ MP 1 trù mật trong M2 theo chuẩn Frechet

 ã  s , hơn nữa M0 trù mật trong M1 theo chuẩn mạnh hơn chuẩn ã  s do đó

M0 trù mật trong M2, điều phải chứng minh.

Từ nay, để thuận tiện, nếu f ∈ L(X, Y ) vμ x ∈ X thì ta viết f ã x thay vì

viết f (x).

Đối với hμm ngẫu nhiên đơn giản thì ta định nghĩa tích phân một cách thông

thường, tức lμ nếu f ∈ M0 lμ hμm ngẫu nhiên đơn giản có dạng (2.1) thì ta

Bổ đề 2.1.2 Giả sử X, Y lμ các không gian Banach loại 2 Lúc đó tồn tại một

hằng số K > 0 chỉ phụ thuộc vμo không gian X sao cho với mọi f ∈ M0,

Giả sử f có dạng (2.1) Đặt Z i = Z(A i), Fi = Ft iư1

Vì Y lμ không gian Banach loại2, nên theo Định lý 1.4.2 Chương 1, tồn tại

Vì Z j lμ biến ngẫu nhiên độc lập với σ-trường Fj nên E(Z j |F j ) = EZ j = 0

Từ Bổ đề 2.1.1 vμ bất đẳng thức (2.2) trong Bổ đề 2.1.2 ta định nghĩa đ−ợc

tích phân cho lớp hμm M1 qua định lý sau

Định lý 2.1.3 Giả sử X, Y lμ các không gian Banach loại 2 Lúc đó tồn tại

duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục f → S f ã dZ = T

vμ do đó tồn tại một hằng số C sao cho với mọi f ∈ M1 thì

f ã dZ cho hμm ngẫu nhiên f ∈ M2 qua định lý sau.

Định lý 2.1.5 Giả sử X, Y lμ các không gian Banach loại 2 Lúc đó tồn tại

duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục f → S f ã dZ = T

0 f (t, ω) ã dZ(t)

từ M2 vμo L0Y (Ω) sao cho với mỗi hμm ngẫu nhiên đơn giản f ∈ S có dạng (2.1) thì

sinh bởi chuẩn Frechet.

Ta nhận thấy rằng độ đo covariance Q của Z lμ độ đo véc tơ nhận giá trị trong không gian Banach N (X  , X ) với độ đo điều khiển lμ |Q| Do

đó theo Định lý 1.2.4 [Pettis] Chương 1 thì Q lμ độ đo |Q|-liên tục, tức lμ

lim|Q|(A)→0 Q (A) = 0 Do đó nếu đặt Q t = Q[0, t], ta có khẳng định sau.

Bổ đề 2.1.6 Q t lμ quá trình cad-lag, hơn nữa Q t sẽ liên tục tại những điểm không phải lμ nguyên tử của |Q|.

Nếu độ đo |Q| không có nguyên tử thì Q t lμ quá trình liên tục.

Xét quá trình ngẫu nhiên Z t := Z[0, t].

Bổ đề 2.1.7 Nếu X lμ một không gian loại 2 vμ |Q| không có nguyên tử thì

quá trình ngẫu nhiên Z t có một bản sao liên tục.

Từ nay nếu có giả thiết |Q| không có nguyên tử thì ta luôn ngầm coi quá

trình ngẫu nhiên Z t lμ quá trình liên tục

Chứng minh: Theo Định lý 1.4.3 thì tồn tại một hằng số C sao cho

Đặt α

âm nên α (t) lμ hμm không giảm vμ liên tục, do đó α lμ ánh xạ đo được từ (T, Σ) ư→ ([0, α(T)], B([0, α(T)])) vμ dễ thấy độ đo cảm sinh của |Q| qua

α chính lμ độ đo Lebesgue λ trên đoạn [0, α(T)].

Ta cũng dễ thấy dễ thấy ngay α toμn ánh vμ bảo toμn độ đo giữa2 không gian:

α : (T, Σ, |Q|) −→ ([0, α(T)], B([0, α(T )]), λ).

Với mỗi B ∈ B([0, α(T)]), đặt Z(1)(B) = Z(α −1 (B)) Từ (2.6) ta thu đ−ợc

EZ(1)(B)2 ≤ Cλ(B).

Nếu với mỗi0 ≤ t ≤ α(T) đặt ξ t = Z(1)([0, t]) thì ta tiếp tục thu đ−ợc

Eξ t − ξ s   C|t − s| với mọi t, s ∈ [0, α(T)].

Theo Mệnh đề 2.8 trong [40] thì quá trình ngẫu nhiên Gauss ξ t có một bản

sao liên tục Không mất tính tổng quát ta giả sử luôn lμ ξ t liên tục

Với mỗi0 ≤ t ≤ T đặt η t = ξ α(t) thì η t = Z([0, t]) h.c.c Vì α liên tục nên η t

cũng lμ quá trình liên tục Vậy η t lμ bản sao liên tục của Z t

0 f (s) ã dZ(s) lμ quá trình liên tục.

Hơn nữa tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi C, N > 0 thì các khẳng định

C2 .

(2.8)

Chứng minh: Vì Z t lμ quá trình liên tục nên dễ thấy ngay I (t) cũng lμ quá

trình liên tục Hơn nữa dễ kiểm tra đ−ợc(I(t)) lμ Martingale đối với (F t), do

(2.7) đ−ợc chứng minh Ta sẽ chứng minh (2.8) dựa trên (2.7).

Giả sử f có dạng (2.1) Đặt |Q| i = |Q|(A i) Ta xác định hμm ngẫu nhiên

ϕ N (t) nh− sau: với mỗi 0 ≤ t ≤ T, giả sử t ∈ A i, ta đặt

0 f (s) ã dZ(s) có bản sao liên tục.

Chứng minh: Gọi C T lμ không gian tất cả các hμm ngẫu nhiên h (t, ω) sao

cho với hầu hết quỹ đạo của nó lμ hμm liên tục trên [0, T] Lúc đó C T lμkhông gian Frechet với nửa chuẩn Frechet xác định nh− sau:

0 f (s) ã dZ(s).

Từ đánh giá (2.9) trong chứng minh định lý trên, ta có ngay hệ quả sau

Hệ quả 2.1.10 Nếu f n , f lμ các hμm ngẫu nhiên L (X, Y )-giá trị thuộc M2

Quá trình Wiener thực có một tính chất rất thú vị về biến phân bình phương,

nó được miêu tả bởi công thức dW t2 = dt Mục đích chính của chương nμy lμ

phân tích vμ chứng minh công thức biến phân bình phương tổng quát sau:

dZ (t) ⊗ dZ(t) = dQ(t).

Trước tiên, khi quan sát giá trị của2 vế của công thức trên ta nhận thấy rằng

vế trái nhận giá trị trong không gian tích tensor X ⊗X trong khi vế phải thì

lại nhận giá trị trong không gian Banach N (X  , X) Tuy nhiên, sau nμy ta sẽ

thấy rằng nếu X lμ không gian phản xạ thì không gian X ⊗X đẳng cấu với

không gian N (X  , X)

Định lý 2.2.1 [9, trang 230]

B (X, Y ; E) đẳng cấu với L(X ⊗Y, E).

Đặc biệt, (X ⊗Y )  đẳng cấu với L (X, Y  ).

Nhắc lại rằng B (X, Y ; E) lμ không gian Banach, gồm tất cả các hμm song tuyến tính X ì Y vμo E vμ L(X ⊗Y, E) lμ không gian Banach, gồm các toán

tử tuyến tính liên tục từ X ⊗Y vμo E.

Giả sử X lμ không gian phản xạ Khi đó không gian N (X  , X) sẽ lμ tập các

toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho tồn tại 2 dãy (x n ) vμ (y n)

Chứng minh: Giả sử u = ∞ n=1 x i ⊗ y i vμ J (u) = 0 Lấy b ∈ L(X, X ) bất

kỳ Theo Định lý 2.2.1, L (X, X  ) lμ không gian đối ngẫu của X ⊗X với

(u, b) = ∞ n=1 (y n , bx n), do đó ta chỉ cần chứng minh ∞ n=1 (y n , bx n) = 0

Thật vậy, với mỗi x ∈ X, ta có∞ n=1 (x n , b ∗ x )y n = 0 hay∞ n=1 (x, bx n )y n =

0 Vì X lμ không gian phản xạ nên theo giả thuyết Grothendieck đ−ợc chứng minh bởi Figiel (xem [9, trang 260]), X lμ không gian có tính chất xấp xỉ.

... 2

Tích phân ngẫu nhiên Ito vơ hạn chiều vμ cơng thức Ito< /b>

2.1 Tích phân ngẫu nhiên hμm ngẫu nhiên nhận giá trị

toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên. .. W lμ độ đo

ngẫu nhiên Wiener X -giá trị với tham số (μ, R).

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener độ đo véc tơ ngẫu< /b>

nhiên Gauss đối xứng... ξ] lμ toán tử covariance biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ ∈ L2

Định lý 1.4.3 Nếu X lμ khơng gian Banach loại tồn số C

chỉ phụ thuộc vμo không gian X