Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian banach (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— TRẦN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN BANACH Ngành: Tốn Giải tích Code: 9460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS.TS Nguyễn Bường Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Vào hồi ngày tháng năm 2018 Có thể - tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc gia Việt Nam Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Nhiều vấn đề lĩnh vực khoa học kỹ thuật kinh tế xã hội dẫn đến tốn tìm đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ kiện ban đầu (f0 , f1 , , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, E không gian Banach, F = E ∗ -không gian đối ngẫu E, E không gian Hilbert F = E Trên thực tế, kiện (f0 , f1 , , fN ) nhận việc đo đạc trực tiếp tham số thường khơng biết xác mà cho xấp xỉ fiδ ∈ F thỏa mãn fiδ − fi ≤ δi , i = 0, 1, , N, (0.1) với δi > sai số cho trước Bài toán mơ hình hóa tốn học hệ phương trình Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.2) Ai : D(Ai ) ⊂ E → F tốn tử từ khơng gian Banach E vào không gian Banach F D(Ai ) ký hiệu miền xác định toán tử Ai Nhiều toán thực tế khác, tốn khơi phục ảnh, tốn khơi phục tín hiệu, tốn điều khiển tối ưu, số mơ hình tốn kinh tế dẫn đến dạng tốn bù, tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn, tốn chấp nhận lồi, tốn cực trị khơng ràng buộc có mơ hình tốn học dạng hệ phương trình tốn tử (0.2) với Ai toán tử đơn điệu Như vậy, hệ phương trình tốn tử đơn điệu thường gặp nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, lớp toán lại có đặc điểm khơng có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh, chúng thường tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh nhà toán học Hadamard người Pháp đưa vào năm 1932 nghiên cứu ảnh hưởng toán giá trị biên với phương trình vi phân Ơng người tốn khơng ổn định "bài tốn đặt khơng chỉnh" Trong thời gian dài người ta cho toán đặt giải theo nghĩa tốn ln có nghiệm, nghiệm xác định nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nhưng thực tế quan niệm sai lầm Trong tính tốn tốn thực tế máy tính ln xảy q trình làm tròn số Chính làm tròn số dẫn đến sai lệch đáng kể nghiệm, tức thay đổi nhỏ kiện đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở lên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phải kể đến nhà toán học Tikhonov, Lavrentiev, Ivanov Do tầm quan trọng lý thuyết ứng dụng lớp toán mà nhiều nhà toán học giới sâu nghiên cứu phương pháp giải toán đặt khơng chỉnh, điển hình Alber, Bakushinskii, Baumeister, Engl v.v Các nhà toán học Việt Nam có nhiều đóng góp cho việc xây dựng phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh nhóm nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy, Đinh Nho Hào, Nguyễn Đông Yên Phạm Duy Khánh v.v Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp nhiều khó khăn, đặc biệt, có sai số nhỏ kiện đầu vào trình giải số máy tính dẫn đến sai lệch lớn kết Vì vậy, hướng nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh quan trọng việc xây dựng phương pháp giải ổn định lớp toán cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác toán ban đầu Năm 1943, Tikhonov đưa phương pháp chọn, sau Ivanov đưa phương pháp tựa nghiệm để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh A(x) = f, (0.3) Lavrentiev đề xuất phương pháp thay phương trình xét phương trình xấp xỉ giải với vế phải f nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải A(x) + αx = f, (0.4) trường hợp A tốn tử tuyến tính xác định khơng âm không gian Hilbert H Các phương pháp xét thơng tin nghiệm xác toán (0.3) bổ sung Trong trường hợp tổng quát khơng biết thêm thơng tin nghiệm xác toán, Tikhonov đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng mang tên ông, sở xây dựng toán tử hiệu chỉnh xác định tham số đưa vào Kể từ lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển sơi động có mặt hầu hết tốn thực tế Nội dung phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (0.3) khơng gian Hilbert thực H dựa việc tìm cực tiểu phiếm hàm Tikhonov Fαγ,δ (x) := Aγ (x) − f δ + α x∗ − x , (0.5) α = α(γ, δ) > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào γ δ, (Aγ , f δ ) đại lượng quan sát xấp xỉ (A, f ), x∗ phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn Khi A tốn tử phi tuyến Aγ thường phi tuyến, việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov (0.5) gặp nhiều khó khăn hàm Fαγ,δ (x) nói chung khơng lồi Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 Browder đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với A toán tử phi tuyến đơn điệu từ khơng gian Banach E vào E ∗ , việc sử dụng phương trình hiệu chỉnh Aγ (x) + αM (x) = f δ , (0.6) Aγ toán tử đơn điệu Aγ ≡ A Tư tưởng phương pháp sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục thỏa mãn M (x) − M (y), x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ), d(t) hàm không âm, không giảm, d(t) → +∞ t → +∞ d(0) = Các kỹ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev Browder đề xuất ứng dụng nhiều để giải tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu Trong phải kể đến việc sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s , s ≥ không gian Banach E làm thành phần hiệu chỉnh ánh xạ dạng toán tử M Bằng cách này, năm 1975 Alber Ryazantseva nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh cho toán (0.3) dạng Aγ (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ (0.7) Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh (0.7) Aγ ≡ A Ryazantseva nghiên cứu năm1983, α(δ) chọn nguyên lý độ lệch cổ điển, tức α(δ) chọn từ hệ thức A(xδα ) − f δ = Kδ p , K > 1, < p ≤ 1, (0.8) xδα nghiệm phương trình (0.7) Năm 2004, Nguyễn Bường nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng sở giải phương trình ρ(α) = α−q δ p , < p ≤ q, ρ(α) = α xδα , (0.9) cho phương trình tốn tử (0.3) xét phương trình hiệu chỉnh (0.7) trường hợp Aγ ≡ A Với cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm xác x0 tốn (0.3) chậm tùy ý Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm xác x0 toán (0.3), nghĩa đánh giá giá trị xδα − x0 , người ta thường cần số điều kiện bổ sung như: điều kiện nguồn, tức tồn ω ∈ H cho x0 − x∗ = [A (x0 )]∗ ω, (0.10) [A (x0 )]∗ toán tử đối ngẫu A (x0 ) điều kiện đạo hàm cấp hai toán tử A bị chặn địa phương, hay đạo hàm cấp toán tử A liên tục Lipschitz địa phương Điều kiện tính Lipschitz địa phương đạo hàm cấp hay tính bị chặn địa phương đạo hàm cấp hai thay điều kiện nón tiếp tuyến Năm 2008 Barbara, Neubauer Scherzer điều kiện đạo hàm cấp hai bị chặn, hay điều kiện liên tục Lipschitz đạo hàm cấp không chặt điều kiện nón tiếp tuyến Một số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải phương trình tốn tử (0.3) kết hợp kỹ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev (hoặc Browder) với phương pháp số truyền thống Bakushinskii đề xuất Chẳng hạn, phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev với phương pháp lặp không gian Hilbert thực H xm+1 = xm − βm A(xm ) − f + αm xm , đây, αm > dãy tham số hiệu chỉnh, βm > dãy tham số lặp Sự hội tụ phương pháp thiết lập sở toán tử A thỏa mãn thêm số điều kiện bổ sung cách lựa chọn dãy tham số {αm } {βm } thích hợp Luận án nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử (0.2), mở rộng tốn (0.3) Để giải hệ phương trình tốn tử (0.2), ta đưa hệ phương trình tốn tử dạng (0.3), N D(Ai ) =: D(A) A := (A0 , A1 , , AN ) : → (E ∗ )N +1 , (0.11) i=1 f = (f0 , f1 , , fN ) Những phương pháp sử dụng để giải hệ phương trình phi tuyến dạng phải kể đến phương pháp kiểu hiệu chỉnh lặp phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov Tuy nhiên, phương pháp trở nên hiệu N lớn phá hủy cấu trúc đặc biệt hệ (0.2) kết phương trình yêu cầu nhớ lớn để thực tính tốn trung gian Khi đó, người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vòng kiểu Landweber–Kaczmarz cho phương trình riêng biệt (0.2) Việc luân phiên giải phương trình hệ khơng làm tăng điều kiện đặt lên tốn tử mà đơn giản hóa việc tính tốn Một số cải biên phương pháp nghiên cứu để giải hệ phương trình phi tuyến khơng gian Hilbert H Sự hội tụ, tốc độ hội tụ phương pháp lặp kiểu Landweber–Kaczmarz đòi hỏi ba giả thiết đặt lên tất toán tử Ai hệ (0.2), bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet giới nội lân cận nghiệm x0 hệ điều kiện nón tiếp tuyến địa phương Các điều kiện tương đối chặt Luận án chúng tơi góp phần làm nới lỏng điều kiện đặt lên toán tử hệ (0.2) vừa đề cập trên, cụ thể điều kiện khả vi Fréchet điều kiện nón tiếp tuyến cần đặt lên toán tử hệ (xem Định lý 2.6, Định lý 3.3) Một hướng tiếp cận khác Phạm Kỳ Anh đồng nghiệp đề xuất, phương pháp hiệu chỉnh lặp song song giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu (0.2) khơng gian Hilbert thực H với toán tử ngược đơn điệu mạnh Các phương pháp nhằm xây dựng thuật tốn mà tốn thành phần xử lý cách đồng thời độc lập, tức song song từ thuật toán Trên thực tế xử lý phương pháp máy tính song song, người ta tăng hiệu việc song song bước tính tốn Cụ thể, bước phương pháp, ta xử lý song song ma trận xấp xỉ hữu hạn chiều rời rạc toán ban đầu Luận án đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp không gian Hilbert, mà bước phương pháp ta xử lý song song Đồng thời điều kiện liên tục Lipschitz cần đặt lên toán tử hệ nghiên cứu hội tụ phương pháp Hơn nữa, đưa ví dụ so sánh hiệu đạt so với phương pháp đề xuất trước Gần đây, Nguyễn Bường đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder– Tikhonov với toán tử đơn điệu, hemi-liên tục việc kết hợp phương trình hiệu chỉnh dạng (0.7) để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.2) trường hợp fi = sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số N αµi Aγi (x) + αJ(x) = 0, i=0 µ0 = < µi < µi+1 < 1, (0.12) i = 1, 2, , N − 1, Aγi xấp xỉ Ai , J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Đồng thời, tác giả cải biên kết (0.9) để đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh sở giải phương trình ρ(α) = α−q γ p , p, q > 0, (0.13) ρ(α) = α α0 + xγα , < α0 < α xγα nghiệm phương trình hiệu chỉnh (0.12) Các cải biên phương pháp hiệu chỉnh (0.12) thiết lập chủ yếu không gian Hilbert chưa đề cập tới toán chọn tham số hiệu chỉnh không gian Banach Trong trường hợp Ai toán tử J-đơn điệu, liên tục Lipschitz, Nguyễn Bường Nguyễn Đình Dũng nghiên cứu nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh với điều kiện liên tục đặt lên N toán tử hệ (0.2) Luận án đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu trường hợp có nhiễu vế phải mang tính kế thừa phương pháp (0.12), đồng thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh trường hợp toán tử hệ khơng có tính hội tụ mạnh phương pháp đề xuất (xem Phương pháp (2.5), Phương pháp (2.8), Phương trình xấp xỉ hữu hạn chiều (3.1), Định lý 2.1, Định lý 2.2, Ví dụ 2.1, Ví dụ 2.2, Định lý 3.1, Định lý 3.2) Chúng nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho phương trình hiệu chỉnh (2.5), (2.8) kết hợp việc nới lỏng điều kiện đặt lên toán tử hệ (0.2) không gian Banach (xem Định lý 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.5) Như khẳng định rằng, tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh đơn điệu nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu, nhằm xây dựng phương pháp giải hữu hiệu cho tốn Tuy có nhiều kết quan trọng đạt cho việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh (0.2), song việc cải tiến phương pháp nhằm gia tăng hiệu ln vấn đề thời cấp thiết Vì lý phân tích trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Banach" Mục đích luận án nhằm nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (0.2) không gian Banach sở giải vấn đề sau: Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (0.2) không gian Banach Nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh dựa việc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng Xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh trên, nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều, đồng thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử (0.2) Đưa ví dụ áp dụng kết số mang tính chất minh họa cho phương pháp đề xuất Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án trình bày ba chương Chương giới thiệu trình bày kiến thức bổ trợ phục vụ cho chương sau luận án Các kết luận án nằm Chương Chương Chương giới thiệu số đặc trưng hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz, tốn tử tốn tử Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Phần cuối chương trình bày hệ phương trình tốn tử đơn điệu số toán liên quan Chương đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh (0.2) trường hợp tốn tử có tính chất ngược đơn điệu mạnh không gian Banach Chương đề xuất quy tắc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch, nguyên lý tựa độ lệch suy rộng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Một số ứng dụng cho tốn cực trị hay hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại trình bày cuối chương số kết tính tốn số mang tính chất minh họa cho phương pháp đề xuất Chương xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh đề xuất Chương 2, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều Phương pháp hiệu chỉnh lặp đưa không gian Hilbert số kết tính tốn thử nghiệm trình bày cuối chương Các kết luận án công bố báo (1)–(4) Danh mục cơng trình tác giả cơng bố có liên quan đến luận án báo cáo tại: • Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên năm 2014, 2015, 2016 2017 • Hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông" lần thứ 16, 14-15/11/2013, Đà Nẵng • Hội thảo "Bài tốn cân điểm bất động: Lý thuyết thuật tốn", 25-29/08/2014, Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn • Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 14, 21-23/4/2016, Ba Vì, Hà Nội 10 Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach Chương ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử không gian Banach thực phản xạ E với không gian đối ngẫu E ∗ giả thiết lồi chặt Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (2.1) Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, fi ∈ E ∗ , N ≥ Trong toàn chương ta ln giả thiết hệ (2.1) có nghiệm, tức N Si = ∅, S := (2.2) i=0 Si tập nghiệm phương trình thứ i hệ (2.1) Khi đó, S tập lồi đóng E, tồn phần tử x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa x0 − x∗ = z − x∗ , z∈S x∗ ∈ E (2.3) Bài tốn (2.1), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu fi ∈ E ∗ , i = 0, 1, , N Trong chương thay cho giá trị fi ta biết xấp xỉ fiδ cho điều kiện sau thỏa mãn fi − fiδ ≤ δ, δ → (2.4) Nội dung chương chia làm ba mục Mục 2.1 trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử hội tụ mạnh phương pháp Mục 2.2 nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch, 11 nguyên lý tựa độ lệch suy rộng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Mục 2.3 trình bày ứng dụng thử nghiệm số Các kết chương trích từ báo (1), (2) (3) Danh mục công trình tác giả cơng bố có liên quan đến luận án 2.1 2.1.1 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử Mục đưa phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (2.1) trường hợp toán tử Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có tính chất Ý tưởng chuyển việc giải hệ (2.1) việc giải hiệu chỉnh phương trình tổng sở xây dựng phương trình tốn tử phụ thuộc tham số đề xuất Nguyễn Bường (năm 2006) trường hợp vế phải (2.1) cho xấp xỉ fiδ với sai số δ > thỏa mãn (2.4) Ta xét phương trình hiệu chỉnh N αµi (Ai (x) − fiδ ) + αJ(x − x∗ ) = 0, (2.5) i=0 µi tham số dương thỏa mãn điều kiện µ0 = < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, , N − 1, (2.6) x∗ phần tử thuộc E không thuộc S, α tham số dương Sự tồn nghiệm phương trình (2.5) phát biểu bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử E không gian Banach thực phản xạ lồi chặt, E ∗ không gian đối ngẫu E lồi chặt, Ai : D(Ai ) = E → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, i = 0, 1, , N , J : E → E ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Khi đó, với α > phương trình (2.5) có nghiệm xδα Sự hội tụ dãy nghiệm {xδα } phương trình (2.5) công bố định lý sau 12 Định lý 2.1 Giả sử E, E ∗ , Ai J cho Bổ đề 2.1 Ngoài ra, giả thiết thêm E có tính chất ES, Ai : D(Ai ) = E → E ∗ toán tử năng, fiδ ∈ E ∗ xấp xỉ fi ∈ E ∗ thỏa mãn (2.4) Khi đó, α(δ) δ/α(δ) → δ → 0, (2.7) dãy nghiệm {xδα } phương trình hiệu chỉnh (2.5) hội tụ mạnh E đến nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ Nhận xét 2.1 (i) Nhờ vào kết trên, ta xác định toán tử hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình (2.5) phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm phương trình hội tụ đến nghiệm hệ phương trình (2.1) Vì vậy, phương trình (2.5) gọi phương trình hiệu chỉnh cho hệ phương trình (2.1) α > tham số hiệu chỉnh (ii) Nếu fi = δ = phương pháp hiệu chỉnh (2.5) đưa phương pháp đề xuất năm 2006 Nguyễn Bường 2.1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử ngược đơn điệu mạnh Mục đưa phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (2.1) trường hợp A0 toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, tốn tử Ai khác toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh, i = 1, , N Ta biết rằng, toán tử ngược đơn điệu mạnh toán tử demi-đóng, ta sử dụng tính chất để chứng minh định lý hội tụ phương pháp hiệu chỉnh trường hợp thay giả thiết toán tử Ai giả thiết ngược đơn điệu mạnh Ta xét phương trình hiệu chỉnh N A0 (x) + α µ (Ai (x) − fiδ ) + αJ(x − x∗ ) = f0δ , (2.8) i=1 α > tham số hiệu chỉnh, µ ∈ (0, 1) số cố định, A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ , i = 1, , N toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh Chú ý 2.1 Theo giả thiết ta thấy Ai toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh nên Ai tốn tử 1/λi -liên tục Lipschitz, Ai tốn tử hemiliên tục Bởi vậy, hồn tồn tương tự Bổ đề 2.1 với α > phương trình (2.8) có có nghiệm xδα 13 Định lý 2.2 Giả sử E không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES, E ∗ không gian lồi chặt, J : (D(J) = E) → E ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E, A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, toán tử Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ λi -ngược đơn điệu mạnh, fiδ ∈ E ∗ với δ > 0, i = 0, 1, , N thỏa mãn (2.4) tập nghiệm S := ∩N i=0 Si = ∅ Khi đó, tham số hiệu chỉnh α(δ) chọn thỏa mãn α(δ) → δ → δ → α(δ) (2.9) dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδα } phương trình (2.8) hội tụ mạnh tới x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ Nhận xét 2.2 Định lý 2.2 góp phần làm giảm nhẹ giả thiết đặt lên toán tử Ai hệ (2.1) so với kết Phạm Kỳ Anh đồng nghiệp năm 2009, 2011 Nguyễn Thị Thu Thủy năm 2012 Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu hệ (2.1) bao gồm hai bước là, xây dựng toán tử hiệu chỉnh chọn tham số hiệu chỉnh α(δ) dựa vào thơng tin tốn Mục nghiên cứu cách chọn tham số hiệu chỉnh 2.2 2.2.1 Tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ Tham số hiệu chỉnh Mục đích mục đưa câu trả lời cho câu hỏi: Có hay không cấu trúc hàm α ¯ (δ) thỏa mãn điều kiện đủ để phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (2.1) đề xuất Mục 2.1 hội tụ? Một qui tắc chọn tham số hiệu chỉnh sử dụng rộng rãi cho phương trình tuyến tính Ax = f với vế phải cho xấp xỉ f δ không gian Hilbert thực H nguyên lý độ lệch Mở rộng nguyên lý ta đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo ngun lý tựa độ lệch cho hệ phương trình tốn tử phi tuyến (2.1) xét phương trình hiệu chỉnh (2.5), tức tìm tham số hiệu chỉnh α = α(δ) từ phương trình ρ(α) = Kδ p , K > N + 2, < p ≤ 1, (2.10) 14 ρ(α) := α xδα − x∗ , (2.11) xδα nghiệm phương trình (2.5) Để tồn tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch ta cần có kết bổ trợ sau Bổ đề 2.2 Giả sử E khơng gian Banach thực phản xạ thực có tính chất ES, E ∗ khơng gian đối ngẫu E lồi chặt, Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, i = 0, 1, , N Khi đó, (i) Hàm ρ(α) liên tục (α0 , +∞) với α0 > 0; (ii) Nếu toán tử AN liên tục x∗ AN (x∗ ) − fNδ > 0, (2.12) với δ ≥ 0, fN0 = fN lim ρ(α) = +∞ α→+∞ Định lý sau tồn tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch Định lý 2.3 Giả sử điều kiện Bổ đề 2.2 thỏa mãn Khi đó, tồn giá trị α = α(δ) cho α ≥ K − (N + 2) δ p / z − x∗ , z ∈ S, (2.13) < p ≤ (2.14) ρ(α) = Kδ p , K > N + 2, Hơn nữa, δ → Ai , i = 0, 1, , N − toán tử đơn điệu chặt thì: (i) α(δ) → 0; (ii) p ∈ (0, 1) δ/α(δ) → xδα(δ) → x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất; (iii) p = 1, S = {x0 } Ai toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh với i = 1, 2, , N xδα(δ) hội tụ yếu tới x0 đồng thời δ/α(δ) ≤ C với C số dương Nhận xét 2.3 Khi xét tốn tìm nghiệm phương trình tốn tử đơn điệu, hemi-liên tục, Ryazantseva đề xuất nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh điều kiện liên tục x∗ đặt lên toán tử Mở rộng kết cho hệ N phương trình điều kiện liên tục x∗ đặt lên N toán tử hệ Định lý 2.3 góp phần giảm thiểu điều kiện này, tức giả thiết liên tục x∗ cần đặt lên toán tử hệ 15 Dưới đây, ta đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng: Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào δ (α = α(δ)) xác định từ phương trình ρ(α) = α−q δ p , p, q > 0, (2.15) hàm ρ(α) xác định (2.11) Ta có kết sau Bổ đề 2.3 Giả sử E, E ∗ , Ai , i = 0, 1, , N giả thiết Bổ đề 2.2 Khi đó, (i) Hàm ρ(α) xác định (2.15) liên tục (α0 , +∞) với α0 > 0; (ii) Nếu AN liên tục x∗ AN (x∗ ) − fNδ > 0, (2.16) với δ ≥ 0, fN0 = fN lim ρ(α) = +∞ α→+∞ Định lý 2.4 Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.2 Khi đó, với p, q, δ > 0, tồn giá trị α > thỏa mãn (2.15) Bổ đề 2.4 Giả sử E, Ai fi cho Bổ đề 2.2 Hơn nữa, giả sử N ánh xạ họ {Ai }N i=0 đơn điệu chặt Khi đó, lim α(δ) = δ→0 Bổ đề 2.5 Giả sử E, Ai fi cho Bổ đề 2.2, q ≥ p lim δ/α(δ) = δ→0 Định lý 2.5 Giả sử E, Ai fi Bổ đề 2.2, < p ≤ q lim xδα(δ) = x0 δ→0 Nhận xét 2.4 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng (2.15) mở rộng nguyên lý độ lệch suy rộng (0.9) Khi Ai (x) ≡ fi , i = 1, 2, , N ta có ρ(α) = A0 (xδα ) − f0δ = α−q δ p , xδα nghiệm phương trình hiệu chỉnh A0 (x) + αJ(x − x∗ ) = f0δ Nếu q = (2.15) nguyên lý độ lệch cổ điển (0.8), q > (2.15) nguyên lý độ lệch suy rộng (0.9) 16 2.2.2 Tốc độ hội tụ Để xác định tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, ta thường cần số điều kiện bổ sung Một điều kiện thiết lập dựa tính "trơn" nghiệm, gọi điều kiện nguồn (source condition) Trong mục này, sử dụng dạng điều kiện nguồn, thường dùng cho trường hợp toán tử đơn điệu, đặt lên toán tử A0 hệ: tồn phần tử ω ∈ E cho [A0 (x0 )]∗ ω = J(x0 − x∗ ) (2.17) Bên cạnh đó, chúng tơi thay điều kiện tính Lipschitz địa phương đạo hàm Ai (x0 ) (hay tính bị chặn địa phương đạo hàm cấp hai Ai (x0 )) điều kiện nón tiếp tuyến (tangential cone condition) đặt lên toán tử A0 hệ: A0 (y) − f0 − A0 (x0 )(y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , (2.18) τ số dương, y thuộc lân cận x0 ∈ S, A0 (x) đạo hàm Fréchet A0 x ∈ E Mặc dù điều kiện tính liên tục Lipschitz đạo hàm khơng chặt điều kiện nón tiếp tuyến nói trên, song việc giảm thiểu điều kiện đặt lên N toán tử Ai khác hệ, i = 1, , N việc làm cần thiết ý nghĩa Định lý sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp điều kiện nguồn điều kiện nón tiếp tuyến đặt lên toán tử A0 hệ (2.1) Định lý 2.6 Giả sử điều kiện Bổ đề 2.2 thỏa mãn Ngoài ra, giả sử (i) A0 khả vi liên tục Fréchet thỏa mãn điều kiện nón tiếp tuyến (2.18); (ii) A0 thỏa mãn điều kiện nguồn (2.17) với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J thỏa mãn J(x) − J(y), x − y ≥ mJ x − y t , t ≥ 2, mJ > 0, ∀x, y ∈ E; (2.19) (iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn theo nguyên lý tựa độ lệch (2.10) Khi với < p < ta có đánh giá xδα(δ) − x0 = O(δ γ ) δ → 0, γ = − p µp , s−1 s , s ≥ 17 Chú ý 2.2 Trong trường hợp tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng (2.15) với q > p tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đạt q − p pµ1 , xδα(δ) − x0 = O(δ γ ), γ = 1+q s−1 s 2.3 Ứng dụng thử nghiệm số Trong mục này, chúng tơi trình bày số ví dụ nhằm minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh (2.5) (2.8) để giải hệ phương trình tốn tử (2.1) ngơn ngữ MATLAB 7.0 thử nghiệm máy tính LENOVO Y430, Ram 504 MB cho ví dụ sau 2.3.1 Bài tốn tối ưu Ta xét tốn: tìm phần tử x0 ∈ H cho ϕi (x0 ) = ϕi (x), x∈H i = 0, 1, , N, (2.20) không gian Hilbert thực H với ϕi (x) hàm lồi thường nửa liên tục yếu H xác định ϕi (x) = Ai x, x , Ai : H → H toán tử tuyến tính hồn tồn liên tục, tự liên hợp, xác định khơng âm H Vì ϕi (x) = Ai (x), i = 0, 1, , N nên x0 nghiệm (2.20) x0 nghiệm hệ (2.1) với fi = 0, i = 0, 1, , N Ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.5) giải hiệu chỉnh toán với fiδ thỏa mãn fiδ ≤ δ, i = 0, 1, , N Mặt khác, Ai , i = 0, 1, , N tốn tử ngược đơn điệu mạnh nên ta sử dụng phương pháp (2.8) giải hiệu chỉnh toán (2.20) Ta tính tốn thử nghiệm cho ví dụ sau Ví dụ 2.1 Xét tốn (2.20) trường hợp Ai := BiT Bi ma trận vuông cấp M với ma trận Bi = (bilj )M l,j=1 xác định bi1j = cos(i + 1), j = 1, 2, , M, bi2j = cos(i + 1), j = 1, 2, , M, bilj = sin((i + 1)l) cos((i + 1)k), l = 3, , M, j = 1, 2, , M, 18 fiδ = (δ, δ, , δ)T ∈ RM xấp xỉ fi = (0, 0, , 0)T ∈ RM , δ → Ta thấy x0 = (0, 0, , 0)T ∈ RM nghiệm hệ Ai (x) = 0, i = 0, 1, , N Chúng áp dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.5) (2.8) để tìm nghiệm xấp δ xỉ nhận đánh giá rα,M = xδα,M − x0 2.3.2 Hệ phương trình tích phân Ta xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại một: tìm nghiệm x0 ∈ L2 [a, b] hệ phương trình b Ki (t, s)x(s)ds − fi (t) = 0, t ∈ [a, b], i = 0, 1, , N, (2.21) a trong Ki (t, s) hàm hạch tích phân đối xứng, liên tục hình vng {a ≤ s, t ≤ b}, fi ∈ L2 [a, b] hàm liên tục tương ứng Khi đó, tốn tử tích phân Ai : L2 [a, b] → L2 [a, b] xác định b Ki (t, s)x(s)ds, (Ai x)(t) := i = 0, 1, , N, a tự liên hợp hoàn toàn liên tục Hơn nữa, Ai xác định khơng âm hình vng {a ≤ t, s ≤ b} Ai tốn tử ngược đơn điệu mạnh Khi đó, ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.8) để tìm nghiệm xấp xỉ Ta thử nghiệm số với ví dụ sau Ví dụ 2.2 Xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính (2.21) trường hợp N = 2, [a, b] = [0, 1], fi (t) = hạch tích phân xác định sau K0 (t, s) = ts,   s(1 − t), s ≤ t, K1 (t, s) =  t(1 − s), s ≥ t,  2 3  (1 − s) st (1 − s) t (1 + 2s) (t − s)   − + , t ≥ s, 6 K2 (t, s) =  s2 (1 − s)(1 − t)2 s2 (1 − t3 )(2s − 3) (s − t)3   + + , t ≤ s 6 Cho fiδ (t) = δ, t ∈ [0, 1] xấp xỉ fi (t) = ∈ L2 [0, 1] Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.8) để tìm nghiệm xấp xỉ hệ (2.21) 19 Chương Xấp xỉ hữu hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh lặp Chương nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều phương pháp Galerkin cho phương trình hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu, đồng thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp số kết tính tốn minh họa Nội dung chương chia làm ba mục Mục 3.1 trình bày xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều Mục 3.2 đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu Mục 3.3 trình bày số thử nghiệm số minh họa cho hội tụ phương pháp đề xuất Các kết chương viết sở báo (2) (4) Danh mục cơng trình tác giả có liên quan đến đề tài luận án 3.1 3.1.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ Xấp xỉ hữu hạn chiều Chúng xấp xỉ hữu hạn chiều phương trình hiệu chỉnh (2.8) N An0 (x) +α µ (Ani (x) − finδ ) + αJ n (x) = f0nδ , x ∈ En , (3.1) i=1 Ani = Pn∗ Ai Pn , J n = Pn∗ JPn , finδ = Pn∗ fiδ , Pn : E → En phép chiếu tuyến tính từ E lên khơng gian hữu hạn chiều En E giả thiết bị chặn E, Pn∗ : E ∗ → En∗ toán tử liên hợp Pn En ⊂ En+1 ∀n; Pn x → x n → +∞ ∀x ∈ E Khơng làm tính chất tổng qt, ta giả sử Pn = 20 Cũng giống phương trình (2.8) phương trình (3.1) có nghiệm xδα,n với δ, α > n Chúng chứng minh dãy nghiệm {xδα,n } hội tụ đến nghiệm xδα phương trình (2.8) n → ∞ Định lý 3.1 Giả sử E không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES, E ∗ không gian đối ngẫu E lồi chặt; A0 : (D(A0 ) = E) → E ∗ toán tử đơn điệu hemi-liên tục, toán tử Ai : (D(Ai ) = E) → E ∗ λi -ngược đơn điệu mạnh; fiδ ∈ E ∗ , δ > 0, i = 0, 1, , N thỏa mãn (2.4); J : (D(J) = E) → E ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó, n → ∞ dãy nghiệm {xδα,n } phương trình (3.1) hội tụ tới nghiệm xδα phương trình (2.8) Đặt γn (z) = (I − Pn )(z) , z ∈ S, I toán tử đơn vị E Sự hội tụ dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều {xδα,n } toán (3.1) đến nghiệm xác tốn (2.8) chứng minh định lý sau Định lý 3.2 Giả sử E, E ∗ , J, Ai , fi , i = 0, 1, , N giả sử Định lý 3.1 S = ∩N i=0 = ∅ Khi đó, δ/α, γn (z)/α → Pn x → x α → n → ∞ dãy {xδα,n } hội tụ mạnh đến x0 ∈ S 3.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều Định lý tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn đến nghiệm xác tốn (2.1) có thêm điều kiện đặt lên tốn tử A0 Định lý 3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A0 toán tử liên tục khả vi Fréchet thỏa mãn (2.18) x = x0 ; (ii) tồn phần tử ω ∈ E cho [A0 (x0 )]∗ ω = J(x0 ), J toán tử đối ngẫu chuẩn tắc thỏa mãn (2.19) (iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn α ∼ (δ + γn )ν , < ν < γn = max γn (x) x∈S 21 Khi đó, xδα,n − x0 = O((δ + γn )h + γnl ), h = 3.2 − ν µν , , s−1 s l = ν , , s s−1 s ≥ Phương pháp hiệu chỉnh lặp Trong mục ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử (2.1) khơng gian Hilbert thực H, trường hợp đặc biệt không gian Banach, với Ai : H → H toán tử λi -ngược đơn điệu mạnh 3.2.1 Mô tả phương pháp Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình tốn tử (2.1) xây dựng sau: với z0 ∈ H tùy ý cho trước, xấp xỉ xác định N zm+1 = zm − βm A0 (zm ) + µ αm µ+1 Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) (3.2) i=1 Sự hội tụ dãy lặp {zm } đến nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ m → +∞ chứng minh với điều kiện đặt lên toán tử Ai cách chọn dãy tham số {αm } {βm } thích hợp Để đạt kết này, sở phương trình hiệu chỉnh (2.8), chúng tơi xét phương trình tốn tử N A0 (x) + µ αm µ+1 Ai (x) + αm (x − x∗ ) = (3.3) i=1 Ta có kết sau Định lý 3.4 Giả sử A0 : (D(A0 ) = H) → H toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, toán tử Ai : (D(Ai ) = H) → H khác λi -ngược đơn điệu mạnh, i = 1, , N S := ∩N i=0 Si = ∅ Khi đó, (i) Với αm > phương trình (3.3) có nghiệm xm ; 22 (ii) Nếu < αm ≤ 1, αm → m → +∞ lim xm = x0 ∈ S có m→+∞ x∗ -chuẩn nhỏ xm+1 − xm = O | αm+1 − αm | , µ+1 αm xm+1 nghiệm phương trình (3.3) αm thay αm+1 3.2.2 Sự hội tụ Định lý sau hội tụ dãy lặp (3.2) Định lý 3.5 Giả sử dãy tham số {αm }, {βm } Ai , i = 0, 1, , N thỏa mãn điều kiện sau: (i) A0 toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz toán tử Ai khác λi -ngược đơn điệu mạnh; (ii) ≥ αm (iii) lim m→+∞ ∞ (iv) m=0 0, βm → m → +∞; |αm+1 − αm | 2(µ+1) βm µ+1 = 0; m→+∞ αm = 0, lim βm αm µ+1 βm αm = +∞ Khi đó, lim zm = x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ m→+∞ Nhận xét 3.1 (i) Các dãy tham số βm = (1 + m)−1/2 αm = (1 + m)−p , < 2p < 1/(N + 1) thỏa mãn điều kiện (ii)-(iv) Định lý 3.5 (ii) Khi N = 0, phương pháp (3.2) trùng với phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng Bakushinski cho phương trình A(x) = 3.3 Thử nghiệm số Trong mục này, sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.2) để giải toán (2.20) (2.21) Chương ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính Lenovo Y430, 1,73GHz, Ram 504MB 23 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh khơng gian Banach sở giải phương trình tốn tử phụ thuộc tham số • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với toán xấp xỉ hữu hạn chiều cho hệ phương trình tốn tử đơn điệu sở chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert thực H, trường hợp đặc biệt khơng gian Banach, với tốn tử ngược đơn điệu mạnh Các kết nhận luận án gồm: Xây dựng phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh không gian Banach Đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lí tựa độ lệch suy rộng Dựa cách chọn này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá sai số δ dần tới không Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều cho tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh khơng gian Banach Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu, hội tụ phương pháp thiết lập dựa sở chọn dãy tham số thích hợp điều kiện đơn điệu, liên tục Lipschitz toán tử Đưa số ví dụ số có tính chất minh họa cho kết nghiên cứu 24 Từ kết đạt luận án, đề xuất hướng nghiên cứu tốn mở tiếp tục nghiên cứu sau: i) Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên toán tử Ai điều kiện đặt lên không gian Banach E Chẳng hạn làm giảm nhẹ điều kiện λi -ngược đơn điệu mạnh toán tử Ai xuống điều kiện đơn điệu, hemi-liên tục ii) Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp nghiên cứu iii) Nghiên cứu xây dựng ví dụ số khơng gian phức tạp tổng quát ví dụ nghiên cứu luận án ... chiều cho tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu, hội tụ phương pháp thiết lập... Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach Chương ta nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử không gian Banach thực phản xạ E với không gian đối... biệt không gian Banach, với toán tử ngược đơn điệu mạnh Các kết nhận luận án gồm: Xây dựng phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach