3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach
3.4 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn
Nh− đã phân tích ở đầu ch−ơng, tích phân Ito lμ sự mở rộng theo h−ớng ngẫu nhiên miền lấy tích phân của tích phân Wiener. Tích phân ngẫu nhiên lμ một loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt vμ trong ch−ơng nμy ta sẽ nghiên cứu vấn đề thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
Nếu Alμ một toán tử ngẫu nhiên thì miền tác động của nó lμ các phần tử tất định thuộc không gianX. Để thác triển miền tác động của nó lên các biến ngẫu nhiên X-giá trị thì ta có một cách tự nhiên đ−ợc dùng phổ biến trong định nghĩa tích phân nh− sau.
Nếuu lμ một biến ngẫu nhiên đơn giảnX-giá trị có dạng
u(ω) = n i=1 1Eixi (3.16) thì ta định nghĩa ˜ Au= n i=1 1EiAxi. (3.17)
Nếu u lμ biến ngẫu nhiên X-giá trị bất kỳ thì tồn tại một dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản(un) hội tụ đếnutheo xác suất. NếuAu˜ ncũng hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên nμo đó vμ giới hạn nμy không phụ thuộc vμo cách chọn dãy xấp xỉun thì ta định nghĩa
˜
Au = p-lim ˜Aun.
Định nghĩa 3.4.1. Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vμo Y đ−ợc gọi lμ thác triển đ−ợc nếu tồn tại một ánh xạ A˜từLX
1. Nếuulμ một biến ngẫu nhiên đơn giảnX-giá trị có dạng u(ω) = n i=1 1Eixi thì ta có ˜ Au= n i=1 1EiAxi.
2. Nếu(un)lμ dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản vμ p-limnun = uthì p-limnAu˜ n = ˜Au;
Lúc đó ánh xạA˜đ−ợc gọi lμ thác triển của A.
Mệnh đề 3.4.2. Nếu toán tử ngẫu nhiên A thác triển đ−ợc thì thác triển đó lμ duy nhất vμ nếuA˜lμ thác triển củaAthìA˜lμ ánh xạ tuyến tính liên tục từ
không gianLX0 (Ω)vμo không gianLY0(Ω)theo nghĩa sau:
• Với mỗiu, v ∈ L0X(Ω), α, β ∈ L0(Ω)ta có
˜
A(αu+βv) = αAu˜ +βAv˜ h.c.c.
• Nếu p-limnun = u thì
p-limnAu˜ n = ˜Au.
Chứng minh: Dễ thấy ngay sự thác triển của toán tử ngẫu nhiên lμ duy nhất. Giả sử(un)lμ dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên
u nμo đó. Vì tập các biến ngẫu nhiên đơn giản trù mật trong không gian FrechetLX0 (Ω)nên với mỗin ∈ Nta có thể chọn đ−ợc một biến ngẫu nhiên đơn giảnvn sao cho
un −vn0 < 1
n (3.18)
vμ Au˜ n −Av˜ n0 < 1
Nhắc lại rằng ã 0 lμ ký hiệu chuẩn Frechet trong không gianLX0 (Ω). Ta có
u−vn0 ≤ u−un0 +un−vn0.
Vì un →P u nên u −un0 → 0, kết hợp (3.18) suy ra u− vn0 → 0, do đó p-limnvn = u. Vì vn lμ dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản vμ A thác triển đ−ợc nên theo định nghĩa tồn tại p-limnAv˜ n = ˜Au. Ta có
Au˜ −Au˜ n0 ≤ Au˜ −Av˜ n0 +Av˜ n −Au˜ n0.
Từ Av˜ n P
→ Au˜ kết hợp với (3.19) suy ra Au˜ − Au˜ n0 → 0, hay p- limnAu˜ n = ˜Au. Khẳng định2.của mệnh đề đ−ợc chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh khẳng định1.Chọn(αn),(βn),(un) vμ(vn)lμ các dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản thực sao cho p-limαn = α, p-limβn = β,
p-limun = u, p-limvn = v. Vìαn, βn, un, vn lμ các biến ngẫu nhiên đơn giản nên ta dễ dμng kiểm tra đ−ợc
˜
A(αnun +βnvn) = αnAu˜ n +βnAv˜ n h.c.c. (3.20) Chú ý rằng p-limαnun = αu vμA˜liên tục nên trong ph−ơng trình (3.20) khi chon → ∞ta thu đ−ợc
˜
A(αu+βv) = αAu˜ +βAv˜ h.c.c.
Định lý 3.4.3. NếuAlμ toán tử ngẫu nhiên bị chặn thìAthác triển đ−ợc. Chứng minh: Nếu u lμ biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng (3.16) thì ta định nghĩa ánh xạ A˜lμ mở rộng tự nhiên của A nh− công thức (3.17). Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề. Chot > 0, r > 0vμu lμ biến ngẫu nhiên đơn giảnX-giá trị, ta có
P
Au˜ > t
Chứng minh bổ đề. Giả sử u lμ biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng (3.16). Ta dễ kiểm tra đ−ợcAu˜ Au h.c.c. Ta có P{Au˜ > t} P{A˜ > t,u r}+P{u > r} P{uA > t,u r}+ P{u> r} P{rA > t}+ P{g> r} Bổ đề đ−ợc chứng minh.
Bây giờ ta quay lại chứng minh Định lý. Giả sử (un)lμ dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản hội tụ đến biến ngẫu nhiên u nμo đó theo xác suất. Theo Bổ đề trên ta có P Au˜ n −Au˜ m > t = P A˜(un−um) > t P{A> t/r}+P{gn−gm > r}. (3.21) Do đó đó lim sup n,m P Au˜ n −Au˜ m > t P{A> t/r}. Chor → 0ta nhận đ−ợc lim sup n,m P Au˜ n −Au˜ m > t = 0 ∀t > 0. Do đó tồn tại p-lim ˜Aun.
Bây giờ giả sử(vn)lμ một dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản khác hội tụ đến
utheo xác suất. Theo chứng minh trên tồn tại p-lim ˜Aun =: ξ, p−lim ˜Avn =:
η. Từ p-lim(un − vn) = 0 vμ lý luận t−ơng tự nh− (3.21) ta nhận đ−ợc limnP{Au˜ n−Av˜ n > t} = 0. Ta cóP{ξ−η > t} P{ξ−Au˜ n > t/3}+ P{Au˜ n −Av˜ n > t/3}+P{Av˜ n −η > t/3}. Cho n → ∞
Mệnh đề 3.4.4. NếuA˜lμ thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặnAthì ˜
Au(ω) = T(ω)u(ω) h.c.c. (3.22)
trong đóT lμ ánh xạ T : Ω → L(X, Y) sao cho Ax = T(ω)x h.c.c với mọi
x ∈ X (xem Định lý 3.2.1).
Chứng minh: Nếu u lμ biến ngẫu nhiên đơn giản thì ta dễ kiểm tra (3.22) lμ đúng. Nếu u lμ biến ngẫu nhiên bất kỳ thì tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên (un) hội tụ đến u h.c.c. Vì T(ω)un(ω) → T(ω)u(ω) h.c.c. trong khi đó p-limnAu˜ n = ˜Au, do đó khi chon → ∞ta nhận đ−ợc (3.22).
Định lý 3.4.5. Toán tử ngẫu nhiênA có thác triển khi vμ chỉ khiA bị chặn. Chứng minh: Điều kiện đủ đã đ−ợc chứng minh ở Định lý 3.4.3. Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần.
Giả sử A có thác triển lμ A˜ vμ ta giả sử phản chứng lμ A không bị chặn. Gọi(xn)lμ dãy con trù mật trong hình cầu đơn vịB củaX. Họ các biến ngẫu nhiên(Axn)nkhông bị chặn h.c.c. Thật vậy giả sửsupnAxn(ω) = ξ(ω) < ∞
h.c.c. Xét x ∈ B bất kỳ. Lúc đó tồn tại một dãy con (yn) của tập (xn)∞
n=1
sao choyn → x. Vì A liên tục theo xác suất nên p-limAyn → Ax. Ta chọn
đ−ợc một dãy con của yn, không lμm mất tính tổng quát ta giả sử luôn lμ dãy yn, thoả mãn Ayn → Ax h.c.c. Tồn tại một tập D xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D thì Axn(ω) ξ(ω) vμ Ayn(ω) → Ax(ω). Suy ra với mọi
ω ∈ D thì Ax(ω) ξ(ω), hay Ax(ω) ξ(ω) h.c.c., điều nμy dẫn đến A
bị chặn. Vậy họ các biến ngẫu nhiên (Axn) không bị chặn h.c.c. Do đó
P(supnAxn = ∞) > 0. Đặt
D = {ω : sup
Với mỗin ∈ Nđặt
ξn(ω) = max
1knAxn(ω).
Lúc đó(ξn) lμ dãy không giảm vμ limnξn(ω) = ∞ với mọiω ∈ D. Ta xác
định dãy các biến ngẫu nhiênX-giá trị(un) nh− sau: đặtu1(ω) = x1 với mọi
ω ∈ Ω vμ un(ω) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ un−1(ω) nếu Axn(ω) ξn−1(ω) xn nếu ng−ợc lại. Ta sẽ chỉ ra bằng quy nạp rằng Au˜ n= ξn. (3.23)
Thật vậy, vớin = 1khẳng định (3.23) lμ đúng. Giả sửAu˜ n−1 = ξn−1. Nếu
Axn(ω) ξn−1(ω) thìξn(ω) = ξn−1(ω), un(ω) = un−1(ω) vì vậy Au˜ n(ω)= Au˜ n−1(ω)= ξn−1(ω) =ξn(ω). NếuAxn(ω) ≥ ξn−1(ω) thìξn(ω) = Axn(ω). Do đó Au˜ n(ω)= Axn(ω) = ξn(ω). Với mỗi k cố định, đặt Dn = {ω ∈ D : ξn(ω) > k}. Vì Dn ⊂ Dn+1 vμ D = /nDn nên ta có lim n P(Dn) = P - n Dn . = P(D).
Suy ra , tồn tạink sao cho
P(ξnk > k) = P(Dnk) > P(D) 2 . Xét biến ngẫu nhiên
gk = unk
Vì un 1 nên gk → 0 h.c.c. vμ điều nμy dẫn đến p-limkAg˜ k = 0. Mặt khác, với mọik ta có
P(Ag˜ k> 1) = P(Au˜ nk > k) = P(ξnk > k) > P(D) 2 . Mâu thuẫn. VậyA phải bị chặn.
Nhận xét. ChoA lμ ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L2[0,1] vμo R xác định bởi
Ax(t) = 1
0
x(s)dW(s).
Vì E|Ax|2 = x2 nên dễ thấy A lμ lμ toán tử ngẫu nhiên. Nếu(en) lμ một cơ sở của L2[0,1] thì (Aen) lμ một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Gauss chuẩn tắc. Do đó
sup
n |Aen| = ∞.
Điều nμy dẫn đến A không bị chặn. Do đó theo Định lý 3.4.5 ta không thể thác triển miền xác định của tích phân ngẫu nhiên Wiener1
0 x(s)dW(s) lên toμn bộ các hμm ngẫu nhiênu(t, ω) với quỹ đạo trongL2[0,1].
Sử dụng Định lý 3.4.5 ta có đ−ợc một điều kiện đủ để giới hạn của một dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn lμ một toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
Định lý 3.4.6. Cho (An) lμ một dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn sao cho với mỗix ∈ X, tồn tại p-limAnx = Ax. Nếu các biến ngẫu nhiên (An)bị chặn theo xác suất thì toán tử giới hạnAlμ một toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Chứng minh: Tr−ớc tiên ta chỉ ra rằng với mỗi biến ngẫu nhiênX-giá trịu, thì
tồn tại p-lim ˜Anu = ˜Au. Thật vậy, theo Mệnh đề 3.4.4 thìA˜nu Anu, do đó P A˜nu > t P{Anu > t} sup n P{An > t/r}+P{u > r}.
Ta có P{A˜nu−A˜mu > t} P{A˜n(u−g)> t/3}+P{A˜m(u−g) > t/3} + P{A˜ng −A˜mg> t/3} 2 sup n P{kn > t/3r}+ 2P{u−g > r} + P{A˜ng −A˜mg> t/3}. (3.24) Vì họ (An) bị chặn theo xác suất nên ta có thể chọn r > 0 sao cho supnP{kn > t/3r} < /3 vμ ta chọn một biến ngẫu nhiên đơn giản g sao cho P{u− g > r} < /3. Dễ thấy p-lim ˜Ang tồn tại với g lμ biến ngẫu nhiên đơn giản, do đó tồn tạin0 sao cho với mọin, m > n0 thì
P{A˜ng −A˜mg > t/3} < /3.
Kết hợp (3.24) ta nhận đ−ợc
P{A˜nu−A˜mu> t} < ∀m, n > n0.
Vậy p-lim ˜Anu = ˜Au tồn tại với mọiu ∈ LX0 (Ω). Tiếp theo, áp dụng Định lý Banach-Steinhaus (có hiệu lực giữa 2không gian Frechet LX0 (Ω)vμ LY0 (Ω)) suy ra ánh xạ giới hạn A˜ của dãy toán tử tuyến tính liên tục (An) lμ toán tử tuyến tính liên tục từLX0 (Ω)vμoLY0 (Ω). Do đóA˜lμ thác triển củaAvμ theo Định lý 3.4.5Abị chặn.
Trong Định lý trên thì điều kiện (An) bị chặn theo xác suất không lμ điều kiện cần. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 3.4.7. Giả sử(αk)lμ dãy các biến ngẫu nhiên thực độc lập Gauss chuẩn tắc. Với mỗin, ánh xạ ngẫu nhiên An từl2 vμo Rđ−ợc xác định bởi
Anx =
2n
k=n+1
lμ một toán tử ngẫu nhiên bị chặn ( xem Ví dụ 3.1.4). Với mỗi x ∈ X = l2 thì tồn tạilimn n k=1αk(x, ek) h.c.c., do đó limnAnx = 0h.c.c. Ta có An ≥ sup n+1≤k≤2n|Anek| = sup n+1≤k≤2n|αk|. P{An < t} ≥ P{ sup n+1≤k≤2n|αk| < t} = φ(t)n → 0khi n→ ∞.
Về các nghiên cứu tiếp theo
Ch−ơng 3 chủ yếu nghiên cứu về toán tử ngẫu nhiên bị chặn vμ tập trung vμo bμi toán thác triển, còn các kết quả về toán tử ngẫu nhiên tổng quát rất khiêm tốn. Nhận xét rằng nếu không gian xác suất Ω suy biến chỉ gồm 1 điểm, không gian ngẫu nhiên trở về không gian tất định, thì toán tử ngẫu nhiên chính lμ toán tử bị chặn (tất định). Điều nμy cho thấy toán tử ngẫu nhiên cũng lμ khái niệm khá gần gũi với toán tử tuyến tính tất định vμ chắc chắn sẽ còn nhiều điều để tìm tòi vμ khám phá. Trong quá trình nghiên cứu để hoμn thμnh luận án, chúng tôi đã chọn ra một số kết quả hay vμ chặt chẽ để công bố (nằm trong các ch−ơng tr−ớc). Ngoμi ra chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vị khác nh−ng do điều kiện thời gian, hơn nữa các kết quả đó nằm rải rác ở nhiều vấn đề, ch−a thμnh một hệ thống hoμn chỉnh vμ mạch lạc nên chúng tôi chỉ mới trình bμy ở những buổi seminar nhỏ. Trong phần cuối của luận án nμy, chúng tôi sẽ đ−a ra một số vấn đề mμ chúng tôi ch−a giải quyết hoμn chỉnh vμ kèm theo một số kết quả đã đạt đ−ợc. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vμ hy vọng sẽ giải quyết đ−ợc sớm những vấn đề nμy sau luận án.
Biểu diễn phổ của toán tử ngẫu nhiên đối xứng
XétX lμ không gian Hilbert,(S,Σ) lμ không gian đo.
(S,Σ) nếu nó lμ hμm3biến
E : ΣìX ìΩ → X
(B, x, ω) → X
vμ thoả mãn2điều kiện sau.
1. Nếu cố địnhB thìE(B,ã,ã) :x ∈ X → E(B, x,ã) ∈ LX0 lμ một toán tử ngẫu nhiên.
2. Nếu cố định ω thì E(ã,ã, ω) : B ∈ Σ → E(B,ã, ω) ∈ L(X, X) lμ một độ đo phổ tất định trongX xác định trên(S,Σ).
Mệnh đề. Cho A lμ toán tử ngẫu nhiên đối xứng từ không gian Hilbert thực
X vμo X, tức lμ (Ax, y) = (x, Ay) h.c.c. với mọi x, y ∈ X. Lúc đó tồn tại một độ phổ ngẫu nhiên chính quyE trong X vμ xác định trên tr−ờng các tập Borel củaRthoả mãn
∀x ∈ X :Ax = lim
n→∞
n
−n
λE(dλ)x h.c.c.
Mở rộng miền tác động của toán tử ngẫu nhiên vμ tích phân ngẫu nhiên Ito
Từ Mệnh đề 3.4.2 ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề. Toán tử ngẫu nhiênAthác triển đ−ợc khi vμ chỉ khi tồn tại ánh xạ
˜
A : LX0 (Ω) →LY0(Ω)thoả mãn2điều kiện sau:
1. Nếuulμ một biến ngẫu nhiên đơn giảnX-giá trị có dạng
u(ω) = n
i=1
thì ta có ˜ Au= n i=1 1EiAxi. 2. Nếu p-limnun = u thì p-limnAu˜ n = ˜Au.
Theo Định lý 2.1.5 ch−ơng2thì toán tử tích phân Ito lμ một toán tử tuyến tính liên tục có miền xác định lμ lớp hμm ngẫu nhiênM2. Do đó tích phân Ito
có thể xem nh− lμ sự thác triển miền tác động của tích phân Wiener từ các hμm bình ph−ơng khả tích lên lớp hμm ngẫu nhiên M2. Tuy nhiên ta có thể
thấy điều kiện 2. trong Mệnh đề trên lμ không thoả mãn cách thác triển nμy. Do đó để trả lời câu hỏi: liệu có thể tiếp tục mở rộng miền tác động của tích phân Ito lên toμn bộ các hμm ngẫu nhiên bình ph−ơng khả tích từ tích phân Wiener hay không, ta đ−a ra khái niệm "thác triển đ−ợc" khác nh− sau:
Định nghĩa. Toán tử ngẫu nhiên A đ−ợc gọi lμ thác triển đ−ợc nếu tồn tại ánh xạA˜: LX
0 (Ω)→LY0 (Ω)thoả mãn2điều kiện sau: 1. A˜(tu) = tAu˜ với mọit∈ R, u ∈ LX
0 (Ω). 2. Nếu p-limnun = uthì
p-limnAu˜ n = ˜Au.
Bμi toán đặt ra lμ: toán tử tích phân Wiener có thác triển đ−ợc theo cách nh− trên hay không?
Giải ph−ơng trình vi phân ngẫu nhiên
Xét bμi toán giải ph−ơng trình vi phân ngẫu nhiên: ˙
u(t)(ω) = Au(t)(ω) h.c.c.
u(0)(ω) = v(ω) h.c.c.,
(3.25) trong đót ∈ [0,∞), u(t) ∈ LX0 (Ω), v ∈ L0(Ω) lμ biến ngẫu nhiên cho tr−ớc vμ ˙ u(t) = p-lim h→0 u(t+h)−u(t) h .
NếuA lμ toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì việc giải ph−ơng trình nμy không có gì khó. NếuA lμ toán tử ngẫu nhiên không bị chặn thì tr−ớc hết ta phải định nghĩa tác động của A lên biến ngẫu nhiên u nh− thế nμo. Rõ rμng ta không thể thác triển miền tác động của nó lên toμn bộ các biến ngẫu nhiên, tuy nhiên câu hỏi đặt ra lμ liệu ta có thể mở rộng miền tác động lên chừng nμo?
Giả sử toán tử ngẫu nhiênAtừX vμoY lμ giới hạn điểm của dãy các toán