3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach
3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu
ngẫu nhiên bị chặn
Nguyên lý bị chặn đều, hay Định lý Banach-Steinhaus lμ một định lý rất cơ bản vμ quan trọng trong giải tích hμm. Nguyên lý đó phát biểu rằng một họ các toán tử bị chặn điểm thì sẽ bị chặn đều, bây giờ ta sẽ kiểm tra xem tính chất đó có đúng cho các toán tử ngẫu nhiên vμ toán tử ngẫu nhiên bị chặn hay không.
Mệnh đề 3.3.1. Giả sử {Ai, i ∈ I}lμ một họ toán tử ngẫu nhiên từ X vμoY
sao cho với mỗix ∈ X thì họ{Aix, i ∈ I} bị chặn theo xác suất. Lúc đó họ
{Aix, i ∈ I, x ∈ B}cũng bị chặn theo xác suất, trong đó B lμ hình cầu đơn vị củaX.
Chứng minh: LX0 (Ω) lμ một không gian véc tơ tôpô với họ cơ sở lân cận của 0 lμ V,δ = {ξ ∈ LX0 (Ω) : P{ξ > } < δ}, , δ > 0. LX0 (Ω) cũng lμ một không gian Frechet với chuẩn Frechet lμ ξ0 = ξ(ω)
1+ξ(ω)dP(ω). Ta chứng minh đ−ợc tính bị chặn vμ tính liên tục theo xác suất một cách t−ơng
ứng t−ơng đ−ơng với tính bị chặn vμ tính liên tục trong không gian Frechet
LX0 (Ω). Do đó(Ai) lμ họ các toán tử liên tục từ X vμo LX0 vμ có tính chất bị chặn điểm. Theo nguyên lý bị chặn đều cho các toán tử liên tục giữa2không gian Frechet ta thu đ−ợc các toán tử tuyến tínhAi lμ liên tục đều vμ từ đó suy ra đ−ợc họ{Aix, i ∈ I, x ∈ B}bị chặn theo xác suất.
Mệnh đề sau đây lμ hệ quả của Định lý Banach-Steinhaus (có hiệu lực cho các toán tử tuyến tính giữa các không gian Frechet).
Mệnh đề 3.3.2. Giả sử Anlμ dãy toán tử ngẫu nhiên từ X vμoY sao cho với mỗi x ∈ X thì tồn tại p-limnAnx = Ax. Lúc đó ánh xạ ngẫu nhiênx → Ax
lμ một toán tử ngẫu nhiên.
Bây giờ ta xét{Ai, i ∈ I}lμ một họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Giả sử với mỗix ∈ X, họ các biến ngẫu nhiên{Aix, i ∈ I}bị chặn h.c.c. Câu hỏi đ−ợc đặt ra lμ liệu có suy ra đ−ợc họ{Aix, i ∈ I} có bị chặn đều không, tức lμ họ các biến ngẫu nhiên{Aix, i ∈ I, x ∈ X}có bị chặn h.c.c. không? Ta đ−a ra một ví dụ sau đây cho thấy điều nμy lμ không đúng.
Ví dụ 3.3.3. Đặt X = lp(1 < p < 2) vμ H lμ không gian Hilbert vô hạn chiều. Theo Định lý yếu Dvoretzksky-Rogers ( xem [9] ), tồn tại một dãy (yn) ∈ H sao cho ∞ n=1 |(yn, y)|p< ∞ ∀y ∈ H (3.14) vμ ∞ n=1 ynp = ∞. (3.15) Ta có ynp = sup y1|(yn, y)|p sup y1 - ∞ n=1 |(yn, y)|p . = C < ∞,
do đó (yn) lμ một dãy bị chặn trong H. Đặt (γn) lμ một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập chuẩn tắcp-ổn định. VìH lμ không gian ổn định loại pvμ
∞
n=1
yn(x, en)p Cxp,
nên với mỗix ∈ X chuỗi∞
n=1γnyn(x, en) hội tụ h.c.c. trongH. Đặt Φx = ∞ n=1 γnyn(x, en).
Kí hiệu I lμ hình cầu đơn vị của không gian X vμB lμ hình cầu đơn vị của
H. Với mỗi x ∈ H ta xác định một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên Ax từ H
vμoRnh− sau
Axy = (Φx, y).
Dễ thấyAx lμ toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Ta sẽ chứng tỏ rằng họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn(Ax, x ∈ I)bị chặn điểm nh−ng không bị chặn đều.
Tr−ớc hết ta chứng minh rằng với mỗi y ∈ H họ các biến ngẫu nhiên (Axy, x ∈ I) bị chặn h.c.c. Vì ánh xạ x → Axy = (Φx, y) lμ một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên nên họ(Axy, x ∈ I) bị chặn h.c.c. với mọi y ∈ H khi vμ chỉ khi ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên x → (Φx, y) lμ một toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Theo Định lý 3.2.5 thì điều nμy lμ đúng vì
∞ n=1 |(Φen, y)|q = ∞ n=1 |γn(yn, y)|q < ∞ h.c.c.
Bất đẳng thức trên có đ−ợc lμ do ta sử dụng một định lý nổi tiếng (xem [22]) phát biểu rằng: Nếu1 < p < 2, p < s thì∞
n=1|γncn|s < ∞ h.c.c. nếu vμ chỉ nếu∞
n=1|cn|p < ∞vμ ta kết hợp với bất ph−ơng trình (3.14).
Đặt I∗ = {e1, e2, ...} lμ một họ cơ sở của X vμ B∗ lμ một tập con đếm đ−ợc trù mật trongB. Xét họ các biến ngẫu nhiên(Axy, x ∈ I∗, y ∈ B∗), rõ
rμng đây lμ một tập con đếm đ−ợc của tập(Axy, x ∈ I, y ∈ B). Ta có sup x∈I∗ sup y∈B∗|Axy| = sup n sup y∈B∗|Aeny|= sup n sup y∈B|Aeny| = sup n sup y∈B|(Φen, y)| = sup n Φen = sup n ynγn.
Vì γn lμ biến ngẫu nhiênp-ổn định nên
P(ynγn> t) ∼ yp
tp .
Kết hợp với (3.15) vμ áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli suy ra sup n ynγn = ∞ h.c.c. Do đó sup x∈I∗ sup y∈B∗Axy= ∞ h.c.c.
Điều nμy dẫn đến họ {Axy, x ∈ I, y ∈ B} không bị chặn h.c.c. Khẳng định đ−ợc chứng minh.
Giả sử (An) lμ một dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X vμo Y sao cho với mỗix ∈ X tồn tại limAnx = Ax h.c.c. trong chuẩn của không gian
Y. Theo Mệnh đề 3.3.2 thì ánh xạ x → Ax lμ một toán tử ngẫu nhiên. Tuy nhiên, không nh− tr−ờng hợp các toán tử tuyến tính tất định, ta không suy ra đ−ợcAlμ toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Ta đ−a ra phản ví dụ sau.
Ví dụ 3.3.4. Giả sử(αk)lμ dãy các biến ngẫu nhiên thực độc lập Gauss chuẩn tắc. Với mỗin, ánh xạ ngẫu nhiên An từl2 vμo Rđ−ợc xác định bởi
Anx =
n
k=1
αk(x, ek).
lμ một toán tử ngẫu nhiên bị chặn ( xem Ví dụ 3.1.4). Với mỗi x ∈ X = l2
thì tồn tạilimAnx = Axh.c.c., hay
Ax =
∞
k=1
Vì
sup
n |Aen| = sup
n |αn| = ∞ h.c.c. do đóA không bị chặn.