Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2020 iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn T.S Nguyễn Song Hà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy T.S Nguyễn Song Hà (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3, bạn học viên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đoàn Thị Hải Ninh iv Mục lục Trang bìa phụ ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh sách bảng v vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach 2 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.3 Ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng 11 16 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối 23 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 2.2 Phương pháp lặp Halpern-Mann 23 31 2.3 Ví dụ minh họa 38 Kết luận chung đề nghị 44 Tài liệu tham khảo 45 v Danh mục ký hiệu chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập C Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn Dãy {xn } hội tụ yếu đến x x x Chuẩn phần tử x x∗ , x Giá trị x∗ ∈ E ∗ x ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E I Ánh xạ đơn vị E SE Mặt cầu đơn vị E lim inf xn Giới hạn dãy {xn } lim sup xn Giới hạn dãy {xn } n→∞ n→∞ vi Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) 40 2.2 Kết tính tốn cho phương pháp (2.15) 42 Mở đầu Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Tốn học người BaLan, người đặt móng cho nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Kết quan trọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" ơng cơng bố năm 1912 Đó định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động nguyên lý giải tích phi tuyến Ngày có năm cách chứng minh khác cho nguyên lý tiếng hàng chục định lý tương đương tìm Trong suốt 100 năm qua, lí thuyết dành quan tâm đặc biệt gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học lớn E Picard, L.E.J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A.N Tikhonov, Ky Fan, F.E Browder, K Goebel, W.A Kirk, Nó đóng vai trị then chốt nhiều nghiên cứu thuộc lĩnh vực lí thuyết Tốn học khác như: lí thuyết tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, tốn minimax, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, Bên cạnh đó, lí thuyết công cụ hữu hiệu để giải nhiều mơ hình tốn thực tiễn như: kiểm sốt lượng hệ thống mạng viễn thơng CDMA, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thơng, y sinh, Mục đích luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối không gian Banach lồi trơn Với mục tiêu vậy, lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, dành để hệ thống lại kiến thức cấu trúc hình học khơng gian Banach, ánh xạ khơng giãn tương đối phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung chương sau luận văn Chương dùng để trình bày phương pháp chiếu lai ghép phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động tốn nêu ví dụ số minh họa Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại số khái niệm kết cấu trúc hình học khơng gian Banach Những tính chất cần thiết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc cụ thể hóa Mục 1.2 Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng không gian Banach 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach thực, E ∗ E ∗∗ tương ứng không gian đối ngẫu không gian đối ngẫu thứ hai E Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ E gọi lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Hay nói cách khác, tập C ⊆ E lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D C I B A G J K E H F Hình 1.1 Tập lồi tập khơng lồi (Quan sát hình bên tay phải, ta thấy tập khơng lồi đoạn nối hai điểm I H có chứa phần JK khơng nằm tập đó) Ví dụ 1.1 Những ví dụ đơn giản tập lồi nửa khơng gian đóng hình cầu đóng Dạng biểu diễn giải tích tập hợp là: ∆ := {x ∈ E : x∗ , x ≤ α}, S[x0 , r] := {x ∈ E : x − x0 ≤ r}, đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R số thực r > cố định cho Định nghĩa 1.2 Dãy {xk } ⊂ E gọi i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E lim xk − x0 = 0, k→∞ ta kí hiệu xk → x0 ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E lim xk , x∗ = x0 , x∗ k→∞ ta kí hiệu xk ∀x∗ ∈ E ∗ , x0 Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E hội tụ yếu tới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại E không gian hữu hạn chiều Ví dụ 1.2 Dưới ví dụ dãy hội tụ yếu không hội tụ mạnh Xét E = l2 {xk } dãy l2 xác định xk = (0, 0, 0, , 1, 0, ) k ∈ N, thành phần trừ thành phần vị trí thứ k tương ứng Trước hết, để ý E ∗ = l2 ∀x∗ = (y1 , y2 , , yk , ) ∈ l2 ta có lim xk , x∗ = lim yk = k→∞ Do đó, xk k→∞ k → ∞ Tuy nhiên, {xk } khơng hội tụ mạnh xk = với k ∈ N Nhận xét 1.2 Trong không gian Hilbert, dãy {xk } thỏa mãn xk xk → x0 k → ∞ xk → x0 Thật vậy, ta có xk − x0 = xk − x0 , xk − x0 = xk + x0 Cho k → ∞ ta nhận xk − x0 → − xk , x0 x0 Mệnh đề 1.1 [1, 3] Cho E không gian Banach thực {xk } ⊂ E Khi đó, xk x0 {xk } bị chặn x0 ≤ lim inf xk k→∞ Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ E gọi đóng với dãy {xk } C mà xk → x0 x0 ∈ C Những vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach phần tham khảo chủ yếu tài liệu [1, 3] Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E gọi lồi với < ε ≤ bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε thỏa mãn tồn số δ = δ( ) > cho (x + y)/2 ≤ − δ D B δ A x A≡ y x+y O Hình 1.2 Minh họa hình cầu đơn vị khơng gian R2 lồi Ví dụ 1.3 Không gian Hilbert H không gian lồi Thật vậy, từ quy tắc hình bình hành khơng gian Hilbert, ta có x+y = 2( x + y 2) − x − y ∀x, y ∈ H Giả sử với < ε ≤ bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε thỏa mãn Khi đó, ta nhận x+y ≤ − ε2 42 Chọn tham số lặp n , βn = n 2n + thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 2.2 Với điểm ban đầu x1 = (2, 4) u = (3, 5) sử dụng phương pháp lặp (2.15) αn = tìm điểm bất động ánh xạ T , ta nhận bảng kết tính tốn số (k) (k) cho nghiệm xấp xỉ thứ k xk = (v1 , v2 ) đây: k (k) v1 (k) v2 k (k) v1 (k) v2 3.600000000 4.400000000 20 3.951189064 4.048810935 3.774603174 4.225396825 40 3.975304785 4.024695214 3.845103045 4.154896954 60 3.983469926 4.016530073 3.881897361 4.118102638 80 3.987577154 4.012422845 10 3.904525107 4.095474892 100 3.990049502 4.009950497 Bảng 2.2: Kết tính tốn cho phương pháp (2.15) Nếu với điểm ban đầu x1 = (2, 4) u ∈ R2 lấy ngẫu nhiên, ta có dáng điệu nghiệm xấp xỉ mơ tả hình sau Hình 2.2: Kết tính tốn cho phương pháp (2.15) sau 100 bước lặp Bây giờ, xét trường hợp C = R2 PC ≡ I 43 Khi đó, với u x1 tùy ý R2 , dãy lặp (2.15) có dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )[βn xn + (1 − βn )T (xn )] (2.16) Sử dụng phương pháp (2.16) với việc lấy ngẫu nhiên u điểm ban đầu x1 ta có dáng điệu nghiệm xấp xỉ Hình 2.3: Kết tính tốn cho phương pháp (2.16) với điều kiện dừng TOL < 10−3 (TOL sai lệch xn − uˆ nghiệm xấp xỉ xn nghiệm xác uˆ tính ngẫu nhiên theo thông số ngẫu nhiên đầu vào) 44 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống số vấn đề sau đây: Một là, trình bày lại số kiến thức cấu trúc hình học không gian Banach (không gian trơn, trơn đều, lồi lồi chặt), ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu suy rộng (khái niệm số tính chất cốt yếu) Chương 1, nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa nội dung luận văn Chương Hai là, trình bày nội dung hội tụ mạnh hai phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn tương đối khơng gian Banach lồi trơn phương pháp chiếu lai ghép phương pháp lặp kiểu Halpern-Mann Ba là, xây dựng ví dụ số cụ thể không gian hữu hạn chiều nhằm minh họa tương ứng cho hội tụ phương pháp nêu 45 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R., O’Regan D., Shahu, D (2009), Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications, Springer [2] Bauschke H H., Combettes P L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer [4] Matsushita S., Takahashi W (2005), "A strong convergence theorem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space", Journal of Approximation Theory, 134, pp 257-266 [5] Nilsrakoo W., Saejung S (2011), "Strong convergence theorems by Halpern–Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banach spaces", Applied Mathematics and Computation, 217, pp 6577-6586 ...h hai phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn tương đối không gian Banach lồi trơn phương pháp chiếu lai ghép phương pháp lặp kiểu Halpern-Mann Ba là, xây dựng ví dụ số cụ thể không gia... khơng gian Banach 2 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.3 Ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng 11 16 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ. .. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN