Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TốNG VĂN HUY PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh không gian banach Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  Tống văn huy PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh không gian banach Chuyờn ngnh: Toỏn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Nguyên – 2013 Mục lục Mở đầu Ánh xạ giả co toán điểm bất động 1.1 1.2 Một số định nghĩa ký hiệu 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ giả co Bài toán điểm bất động 10 1.2.1 Bài toán điểm bất động 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp xác 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu 24 2.3 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng xác định tồn không gian 28 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Bảng ký hiệu X Không gian Banach thực X∗ Không gian liên hợp X ∅ Tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x Với x ∃x Tồn x I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A∗ Toán tử liên hợp toán tử A x∗ , x Giá trị phiếm hàm x∗ điểm x D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền ảnh toán tử A N (A) Tập khơng điểm tốn tử A F ix(A) Tập điểm bất động toán tử A xn → x∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ Mở đầu Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Browder năm 1912 nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải tốn điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước giới Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh không gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm không gian Banach trơn đều, không gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co toán điểm bất động Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm bất động không gian Hilbert đề cập phần cuối chương Chương trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa điểm bất động ánh xạ giả co mạnh không gian Banach Phần đầu chương nghiên cứu hội tụ dãy lặp cho xác Phần thứ hai nghiên cứu hội tụ Mở đầu dãy lặp cho có nhiễu Phần cuối chương dành để trình bày nghiên cứu điều kiện để dãy lặp Mann Ishikawa xác định miền xác định ánh xạ tập thường tồn khơng gian Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[4] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Tống Văn Huy Chương Ánh xạ giả co toán điểm bất động Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ giả co số phương pháp xấp xỉ điểm bất động không gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5] 1.1 1.1.1 Một số định nghĩa ký hiệu Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) N (T ) tập không điểm F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T tương ứng, nghĩa N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX {x ∈ X : x = 1} = Chương Ánh xạ giả co toán điểm bất động Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi không gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SX , x = y (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε suy tồn δ = δ(ε) ≥ cho x+y ≤ − δ Chú ý không gian Banach lồi đều không gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn thực với số chiều lớn 2, x, y ∈ X Mô đun trơn X xác định ρX (τ ) := sup x+y + x−y − : x = 1, y = τ (1.1) Ta có định nghĩa khác không gian trơn sau: Định nghĩa 1.1.4 Một không gian Banach X gọi trơn ρX (τ ) = τ →0 τ →0 τ Các không gian Lp , lp ví dụ khơng gian trơn lim hX (τ ) := lim (1.2) Chương Ánh xạ giả co toán điểm bất động 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach ∗ X ánh xạ J : X → 2X xác định J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x } (1.3) với x ∈ X Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính chất sau Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X không gian Banach Khi đó, (i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; (ii) J ánh xạ đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J ≡ I-ánh xạ đơn vị X Nếu X khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Nếu X không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục tập bị chặn X Một bất đẳng thức đơn giản thông dụng thường dùng để thiết lập mối quan hệ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chuẩn không gian Banach bất đẳng thức Petryshyn [5] Định lý 1.1.1 Cho X không gian Banach thực, J : X → 2X ∗ ánh xạ đối ngẫu X Khi x+y ≤ x + y, j(x + y) (1.4) với x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y) Bất đẳng thức (1.4) gọi bất đẳng thức Petryshyn 1.1.3 Ánh xạ giả co Định nghĩa 1.1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ Ánh xạ T gọi liên tục Lipschitz với số Lipschitz L với Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh D(T ) dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.37) nằm trong B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn s αn = , ∀n ≥ (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ρ = − ∈ (0, 1) 2(1 + L)2 Chứng minh Đặt B(y, r) = {x ∈ X : ||x − y|| ≤ r} Khi tồn r1 > cho B(x∗ , r1 ) ⊆ D(T ) Vì D(T ) miền mở T Để ý dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa dãy lặp (2.37) viết sau xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn + αn (T yn − T xn ), (2.38) với n ≥ Bây ta dãy lặp {xn } hoàn toàn xác định quy nạp Đầu tiên ta yn ∈ B xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi từ cơng thức (2.37) Định lý 2.3.1 ta có ||yn − x∗ || ≤ (1 − s βn )||xn − x∗ || ≤ r, 2(1 + L) từ ta suy yn ∈ B Bây ta xn ∈ B với n ≥ Thật vậy, theo cách chọn x0 ta có x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B Khi sử dụng Định lý 2.3.1 cơng thức (2.38), ta s ||xn+1 − x∗ || ≤ (1 − αn )||xn − x∗ || ≤ r, 4(1 + L) (2.39) từ suy xn+1 ∈ B ta có xn ∈ B với n ≥ Quy nạp từ công thức (2.39) ta suy kết luận Định lý 2.3.2 30 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Hệ 2.3.1 Cho X, T αn Định lý 2.3.2 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || < r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.40) nằm B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn nữa, αn = s , ∀n ≥ 0, (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ) ∈ (0, 1) ρ = (1 − 2(1 + L)2 Chứng minh Sủ dụng Định lý 2.3.2 với βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.3 Cho X không gian Banach thực, trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ nửa co mạnh liên tục Lipschitz địa phương với miền mở D(T ) nằm X điểm bất động x∗ ∈ D(T ) Khi tồn hình cầu đóng B nằm D(T ) cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.41) nằm B hội tụ mạnh tới điểm bất động x∗ T với αn βn thỏa mãn điều kiện: δ i) αn + βn ≤ min{k, }, n ≥ 0; (1 + L)r ∞ αn = +∞, ii) n=0 k, δ, L r số dương cố định Chứng minh Vì T ánh xạ Lipschit địa phương nên tồn r > ¯ = Br (x∗ ) = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} ⊆ cho T Lipschit B 31 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh t−1 ∈ (0, 1) L ≥ tương ứng với số nửa co t mạnh số Lipschitz Vì X khơng gian Banach trơn nên D(T ) Đặt k = ánh xà đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục tập bị chặn kr X Vậy, với ε = > ta định nghĩa số dương δ cho 2L ||j(x) − j(y)|| ≤ ε, x, y ∈ BLr = {x ∈ X : ||x − x∗ || ≤ Lr} ||x − y|| ≤ δ Tại điểm ta chọn tham số αn βn thỏa mãn điều kiện i) ii) định nghĩa dãy lặp {xn } (2.41) Khẳng định 1: yn ∈ B với xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi ||xn − x∗ || ≤ r Sử dụng Định lý 1.4 cơng thức đệ quy (2.41), ta có ||yn − x∗ ||2 ≤ (1 − βn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2βn T xn − x∗ , j(yn − x∗ ) ≤ (1 − βn )2 r2 + 2(1 − k)βn r2 + 2Lβn kr 2L (2.42) ≤ r2, từ suy yn ∈ B Khẳng định 2: xn ∈ B với n ≥ Chọn x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B với só nguyên n cố định Khi ta chứng minh xn+1 ∈ B với n Đầu tiên ta có yn ∈ B, tức ||yn − x∗ || ≤ r Đặt en = ||j(xn+1 − x∗ ) − j(yn − x∗ )|| Sử dụng lại Định lý 1.4 công thức (2.41) ta ||xn+1 − x∗ ||2 ≤ (1 − αn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2αn T yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 r2 + 2αn T yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 r2 + 2(1 − k)αn r2 + 2Lrαn en ≤ r2, 32 (2.43) Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh từ suy xn+1 ∈ B Bằng cách quy nạp ta khẳng định xn ∈ B với n ≥ Khẳng định 3: xn → x∗ n → ∞ Làm tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 Hệ 2.3.2 Cho X, T αn Định lý 2.3.3 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.44) giữ nguyên B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn αn = δ min{k, } với n ≥ (1 + L)r ||xn+1 − x∗ || ≤ Qn ||x0 − x∗ ||, Q ∈ (0, 1) Định lý 2.3.4 Cho X không gian Banach thực T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh, liên tục với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh k ∈ (0, 1) Giả sử với giá trị lặp ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) Khi tồn số k dương M , δ cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    (2.45) yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ hội tụ mạnh tới điểm bất động q T , miễn αn βn thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, i) αn ≤ min{k, 2M kM 33 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh ii) βn ≤ min{k, ∞ δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, 4M kM αn = ∞, iii) n=0 iv) αn → 0, βn → n → ∞ Chứng minh Vì T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh Khi (I − T ) ánh xạ accretive mạnh tồn số k ∈ (0, 1) j(x − y) ∈ J(x − y) cho x − T x − y + T y, j(x − y) ≥ k||x − y||2 , (2.46) với x, y ∈ D(T ) Từ công thức ta suy T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − k)||x − y||2 , (2.47) với x, y ∈ D(T ) Từ cơng thức (2.47) ta có ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k (2.48) Vì T liên tục D(T ) nên T bị chặn D(T ) Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Khi M < ∞ Hơn nữa, từ tính liên tục T , với ε = ||x0 − T x0 || Khi phải tồn số δ cho ||T x − T y|| ≤ ε, (2.49) mà ||x − y|| ≤ δ Trước hết ta dãy lặp {xn } định nghĩa công thức (2.45) hồn tồn xác định Sau hai dãy lặp {xn } {yn } nằm B, với n ≥ Đầu tiên ta chứng minh 1 ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || với ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, từ (2.45) ta có k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || (2.50) k 34 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Sử dụng Định lý 1.4, công thức (2.45) (2.47) ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn ||T xn − T yn ||||yn − q|| + 2βn (1 − k)||yn − q||2 (2.51) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + βn ||x0 − T x0 ||2 k + 2βn (1 − k)||yn − q||2 , từ suy ||x0 − T x0 ||2 , (2.52) k điều có nghĩa ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Bây ta k ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ Ta kết thúc bước k quy nạp Bằng định nghĩa ánh xạ T , ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Khi lý luận trên, k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Chú ý k ||yn − q||2 ≤ ||xn+1 − q|| ≤ (1 − αn )||xn − q|| + αn ||T yn − q|| ≤ (1 − αn ) ||x0 − T x0 || ||x0 − T x0 || + αn (M1 + ) (2.53) k k ≤ ||x0 − T x0 ||, k xn+1 ∈ B Sử dụng Định lý 1.4 (2.45), ta có ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn ||T yn − T xn+1 ||||xn+1 − q|| + 2αn (1 − k)||xn+1 − q||2 (2.54) 35 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Để ý ||yn − xn+1 || ≤βn ||xn − T xn || + αn ||xn − yn || + αn ||T yn − yn || ≤βn M + αn βn M + αn M (2.55) ≤(αn + 2βn )M ≤δ, ||x0 − T x0 || Thay (2.53) (2.55) vào (2.54) cho ||x0 − T x0 || ta ||xn+1 − q|| ≤ Bằng quy nạp ta ||xn − q|| ≤ k ||x0 − T x0 || , với n ≥ Do xn , yn ∈ B với n ≥ Phần k lại lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.3 để ||T yn −T xn+1 || ≤ Hệ 2.3.3 Cho X, T B1 Định lý 2.3.3 Khi tồn số dương M , δ cho dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ D(T )  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.56) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn } thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn = min{k, , }, n ≥ 0, 2M kM ∞ ii) αn = ∞, n=0 iii) αn → n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.3.4 thay βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.5 Cho X không gian Banach thực trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh t > Đặt k = t−1 (t − 1) Giả sử với giá trị ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B2 = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) (I − T )B bị chặn k 36 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Khi tồn số dương M , δ cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa công thức sau:    x0 ∈ D(T )    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0, (2.57) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn } {βn } thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 2M 2kM δ ||x0 − T x0 || }, n ≥ 0, ii) βn ≤ min{k, , M M ∞ αn = ∞, iii) n=0 iv) αn → 0, βn → n → ∞ Chứng minh Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Vì khơng gian Banach X trơn đều, j liên tục tập bị chặn X, với ||x0 − T x0 ||2 , ε= 2(kM + ||x0 − T x0 ||) tồn số dương δ cho ||j(x) − j(y)|| ≤ ε với x, y ∈ B mà ||x − y|| ≤ δ 1 Khẳng định 1: ||yn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || mà ||xn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || k k 1 Để ý ||x0 −q|| ≤ ||T x0 −x0 || Giả sử ||xn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || k k Khi ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || yn ∈ B Chú ý k ||xn − yn || ≤ βn M ≤ δ ||x0 − T x0 ||2 bn = ||j(xn − q) − j(yn − q)|| ≤ 2(kM + ||x0 − T x0 ||) Bây ta cần chứng minh ||yn − q|| ≤ 37 ||x0 − T x0 || Thật sử k Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh dụng Định lý 1.4 (2.57), ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn (||T xn − xn || + ||xn − q||)bn + 2βn (1 − k)||xn − q||2 , (2.58) suy ||yn − q|| ≤ ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k Khẳng định 2: ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ k Ta chứng minh quy nạp Hiển nhiên khẳng định với n = Giả sử khẳng định đến n ta cần chứng minh khẳng định đến n + Chú ý ||xn − x0 || ≤ ||x0 − T x0 || từ (2.57) ta k có 1 ||xn+1 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || + αn (M + ||x0 − T x0 ||) k k (2.59) ≤ ||x0 − T x0 ||, k từ suy xn+1 ∈ B2 Đặt cn = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi ta có ||x0 − T x0 ||2 cn ≤ 2(kM + ||x0 − T x0 ||) Vì ||xn+1 − yn || ≤ δ Sử dụng Định lý 1.4 (4.30) ta ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) − j(yn − q) + 2αn T yn − q, j(yn − q) ||x0 − T x0 ||2 ≤||xn − q|| − αn k + 2αn (M + ||x0 − T x0 ||)cn k ≤||xn − q||2 , 38 (2.60) Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh từ suy ||xn+1 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Bằng quy nạp ta khẳng k định ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ k Khẳng định 3: xn → q n → ∞ Đặt dn = ||j(yn − q) − j(xn − q) en = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi dn → 0, en → n → ∞ Ở ta sử dụng tính liên tục j tập bị chặn X Sử dụng Định lý 1.4 (2.57), ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn M + ||x0 − T x0 || dn k (2.61) + 2βn (1 − k)||xn − q||2 ≤||xn − q||2 + o(βn ) Từ công thức (2.60) (2.61) ta có ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn M + ||x0 − T x0 || en k + 2αn (1 − k)||yn − q||2 ≤(1 − kαn )||xn − q||2 + o(αn ), (2.62) từ suy xn → q n → ∞ (theo Bổ đề 2.1.1 Định lý chứng minh xong Hệ 2.3.4 Cho X, T , B αn Định lý 2.3.5 Định nghĩa dãy lặp Mann công thức   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.63) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.63) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T , {αn } thỏa mãn điều kiện sau: 39 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, 2M 2M ii) αn → n → ∞, i) αn ≤ min{k, ∞ αn = ∞ iii) n=0 Chứng minh Trong Định lý 2.3.5 thay βn ≡ 0, với n ≥ Định lý 2.3.6 Cho X không gian Banach trơn T : D(T ) → X ánh xạ giả co mạnh với miền xác định D(T ) tập mở Giả sử điểm bất động q ∈ D(T ) Khi tồn hình cầu đóng B cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0, (2.64) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn }, {βn } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αn = ∞, i) n=0 ii) αn → 0, βn → n → ∞, r δ iii) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 2M 4(M + r) r δ iv) βn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, M 4(M + r) Chứng minh Chú ý (I − T ) ánh xạ accretive mạnh bị chặn địa phương điểm miền hữu hiệu Vì D(T ) mở, ta chọn r > cho B = {x ∈ X : ||x − q|| ≤ r} nằm D(T ) (I − T )(B) bị chặn Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Vì X khơng gian Banach trơn đều, j liên tục tập kr2 bị chặn X Vậy với ε = , ta chọn δ > 2(M + r) cho ||j(x) − j(y)|| ≤ ε, với x, y ∈ B2r = {x ∈ X : ||x|| ≤ 2r} mà ||x − y|| ≤ δ Tại điểm ta định nghĩa dãy lặp {xn } (2.64) 40 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Bây ta dãy {xn } hoàn toàn xác định nằm B Đầu tiên ta yn ∈ B với xn ∈ B Cho xn ∈ B, ta có ||yn − q|| ≤ r + βn M ≤ 2r, ||xn − yn || ≤ δ kr2 Ta có en = ||j(yn − q) − j(xn − q)|| ≤ 2(M + r) Sử dụng Định lý 1.4, công thức (2.64) đánh giá ta có ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 r2 + 2βn (M + r)en + 2βn r2 (2.65) ≤(1 − kβn )r2 + kβn r2 , suy ||yn − q|| ≤ r Bây ta xn ∈ B, ∀n ≥ Bằng cách chọn x0 , ta có x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B Khi từ lý luận ta suy yn ∈ B Hơn ta có ||xn+1 − q|| ≤ r + αn (M + βn M ) ≤ 2r, ||xn+1 − yn || ≤ δ, fn = ||j(xn+1 − q − j(yn − q))|| ≤ ε Vì ta có đánh giá sau ||xn+1 − q|| ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 r2 + 2αn (M + r)fn + 2αn (1 − k)r2 (2.66) ≤(1 − kαn )r2 + kαn r2 = r2 , từ suy xn+1 ∈ B Bằng quy nạp ta xn ∈ B, ∀n ≥ Phần lại chứng minh lý luận tương tự Định lý 2.3.5 Hệ 2.3.5 Cho X, T, B {αn } Định lý 2.3.6 Định nghĩa dãy lặp Mann công thức:   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.67) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.67) hội tụ mạnh tới điểm bất động T {αn } thỏa mãn điều kiện sau: 41 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh δ r , }, n ≥ 0, 4(M + r) 2M ii) αn → n → ∞, i) αn ≤ min{k, ∞ αn = ∞ iii) n=0 Chứng minh Trong Định lý 2.3.6 thay βn ≡ 0, ∀n ≥ 42 Kết luận Trong luận văn này, trình bày lại số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh không gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Cụ thể chúng tơi trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa trường hợp dãy lặp cho xác dãy lặp cho có nhiễu Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[5] 43 Tài liệu tham khảo [1] Shih-sen Chang, Yeol Je Cho and Haiyun Zhou, Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces , Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York, 2001 [2] K Deimling, Zeros of accretive oprators, Manuscripta Math., 13(1974), 283-288 [3] S Ishikawa, Fixed point by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1974), 147-150 [4] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc., 4(1953), 506-510 [5] W V Petryshyn, A characterization of strict convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings, J Funct Anal., 6(1970), 282-291 44 ... → X ánh xạ Khi đó, (i) T ánh xạ accretive I − T ánh xạ giả co; (ii) T ánh xạ accretive mạnh I − T ánh xạ giả co mạnh, I ánh xạ đơn vị X 1.2 1.2.1 Bài toán điểm bất động Bài toán điểm bất động. .. Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh hội tụ mạnh tới điểm bất động T Chứng minh Nếu F ix(T ) = ∅ F ix(T ) phải có giá trị, giả sử q điểm bất động T Vì T : K → K ánh xạ giả co. .. Bài toán điểm bất động 10 1.2.1 Bài toán điểm bất động 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 14