Một số phương pháp giải phương trình toán tử phi tuyến (LV00317)

- 1 - MỞ ðẦU 1. Lí do chọn ñề tài Nhiều bài toán thực tế ñã dẫn ñến việc giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến, các phương trình này thường phức tạp. Do ñó phần lớn các phương trình này không thể giải chính xác ñược. Vì vậy cần thiết phải xây dựng các phương pháp giải gần ñúng các phương trình ñó. Với sự phát triển của công cụ tin học, các phương pháp giải gần ñúng lại càng có ý nghĩa thực tế hơn. Chuyên ngành giải tích số ñã nghiên cứu và ñưa ra những thuật toán, những chương trình ñể ñưa vào máy tính có hiệu quả. Nhiều bài toán thuộc lĩnh vực ứng dụng, ñặc biệt là những bài toán ngược xuất hiện trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn ñoán, phục hồi, nhận dạng…ñã có thuật toán, những chương trình ñể ñưa vào máy tính có hiệu quả. Vì vậy giải tích số là rất quan trọng và cần thiết cho khoa học và công nghệ hiện ñại và nó chiếm ưu thế lớn trong toán học hiện ñại. Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu bài toán xấp xỉ hàm, giải gần ñúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp, ñặc biệt giải tích số nghiên cứu các phương pháp số giải gần ñúng các bài toán thực tế ñã ñược mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học. ðể có lời giải gần ñúng cho bất kỳ bài toán nào cũng ñòi hỏi phải có các dữ kiện của bài toán và sau ñó xây dựng mô hình bài toán , tiếp theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng là viết chương trình cho máy tính tìm kết quả gần ñúng. Khi giải các bài toán thực tế ta ñều phải làm các việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban ñầu. Chính vì vậy không tránh khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp ñến kết quả. Vì vậy phải sử dụng thuật toán hữu hiệu ñể giảm sự sai số ñồng thời tiện lợi cho việc lập trình. ðể giải một phương trình bằng tay trên giấy có khi phải mất hàng ngày với sai sót dễ xảy ra thì máy tính chỉ cần vài phút. Tuy nhiên ñể thực - 2 - hiện các tính toán toán học trên máy tính một cách dễ dàng cũng ñòi hỏi người sử dụng có hiểu biết hơn về lí thuyết toán học. Mặt khác nhiều vấn ñề lí thuyết (sự hội tụ, tốc ñộ hội tụ, ñộ chính xác, ñộ phức tạp tính toán ) sẽ ñược soi sáng hơn trong thực hành tính toán cụ thể. Công cụ tính toán không những hỗ trợ ñắc lực cho việc tiếp thu các kiến thức khoa học mà còn tiếp cận tốt hơn với phương pháp và công cụ tính toán hiện ñại. ðề tài “Một số phương pháp giải phương trình toán tử phi tuyến” với mục ñích nghiên cứu lí thuyết giải phương trình, cách giải phương trình ( ) 0 f x = trong trường hợp f là toán tử tác ñộng trong không gian Banach X (với , , n X X = ℝ ℝ là không gian Banach tổng quát). 2. Mục ñích nghiên cứu * Luận văn nghiên cứu giải gần ñúng phương trình phi tuyến tổng quát. Giải cụ thể trong một số không gian hàm, tìm thuật toán, giải một số phương trình cụ thể. * Luận văn nghiên cứu về phương trình toán tử phi tuyến và một số ứng dụng giải số phương trình cụ thể bằng cách áp dụng lập trình Pascal và Maple 12. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu * Nghiên cứu một số các phương pháp giải gần ñúng phương trình phi tuyến, ( ) 0 f x = trong không gian , , n ℝ ℝ trong không gian Banach tổng quát. * Nghiên cứu giải một số phương trình cụ thể. 4. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu * Phương trình ( ) 0 f x = trong , ℝ trong n ℝ * Giải phương trình ( ) 0 f x = trong không gian Banach tổng quát bằng phương pháp lặp ñơn. * Một số bài tập ứng dụng. - 3 - * Giải toán trên Pascal và Maple 12. 5. Phương pháp nghiên cứu * Tra cứu và tham khảo tài liệu * Viết thuật toán chạy chương trình * ðưa ra và giải các ví dụ minh họa cho từng phương pháp * Tổng hợp bài tập 6. ðóng góp ñề tài * ðề tài nghiên cứu một cách có hệ thống, chi tiết về phương pháp giải phương trình phi tuyến. Nghiên cứu ứng dụng lập trình Pascal, Maple ñể tìm nghiệm. - 4 - Chương 1. Giải phương trình trong không gian n ℝ Trong chương này,chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình một biến số: ( ) 0 f x = (*) Trong ñó ( ) f x là hàm số (ñại số hay siêu việt) Phương trình (*) ,trừ một số trường hợp ñặc biệt có công thức giải ñúng ,nói chung rất phức tạp. Do ñó ta phải tìm cách giải gần ñúng. Nói chung ( ) f x trong thực tế chỉ biết gần ñúng, vì thế việc giải ñúng (*) chẳng những không thực hiện nổi mà nhiều khi không có nghĩa. Thông thường, quá trình giải phương trình (*) bao gồm 2 bước: 1) Bước giải sơ bộ: Ở giai ñoạn này, ta tìm một khoảng ñủ bé chứa nghiệm của ( ) f x . 2) Bước giải kiện toàn: tìm nghiệm với ñộ chính xác cần thiết. ðể giải sơ bộ phương pháp (*) ta có thể sử dụng các phương pháp ñơn giản như phương pháp chia ñôi và phương pháp ñồ thị. 1.1. Giải phương trình ( ) 0 f x = trong ℝ Một số phương pháp giải phương trình f ( x ) = 0 trong ñó f : → ℝ ℝ 1.1.1. Phương pháp ñồ thị ðầu tiên ta tìm cách ñưa phương trình f ( x ) = 0 về dạng tương ñương h( x ) = g( x ). Tiếp theo vẽ ñồ thị các hàm y = g( x ) và y = h( x ) và tìm giao ñiểm của các ñồ thị này. Hoành ñộ giao ñiểm chính là nghiệm ξ cần tìm. 1.1.2. Phương pháp chia ñôi - 5 - Giả sử f ( x ) liên tục trên [a, b] và f (a). f (b) < 0 thì f ( x ) có ít nhất một nghiệm trên (a, b). Ta dùng phương pháp chia ñôi liên tiếp ñoạn [ ] ; a b ñể tìm giá trị gần ñúng của nghiệm như sau. Không mất tổng quát ta xem f (a) < 0 < f (b). Chia ñôi [ ] ; a b bởi ñiểm 2 a b c + = Nếu f (c) = 0 thì c = ξ . Nếu f (c) ≠ 0 xảy ra hai trường hợp: a. Nếu f (c). f (a) < 0 thì chọn ñoạn [ ] 1 1 ; a b , a 1 = a, b 1 = c b. Nếu f (c). f (b) < 0 thì chọn ñoạn [ ] 1 1 ; a b , a 1 = c, b 1 = b Khi ñó f (a 1 ) và f (b 1 ) trái dấu, tiếp tục quá trình nêu trên cuối cùng hoặc có c ñể f (c) = 0 hoặc ta xây dựng ñược ñoạn thắt lại [ ] ; n n a b , n ∈ N mà 2 n n n b a b a − − = thoả mãn f (a n ) < 0 < f (b n ). Theo nguyên lý dãy ñoạn thắt lại sẽ tồn tại ξ , a n < ξ <b n . n N ∀ ∈ Ta chứng minh f ( ξ )= 0, thật vậy do 0 2 n n n b a b a − − = → khi n → ∞ nên có n n n n lima limb ξ →∞ →∞ = = Bởi f liên tục suy ra ( ) ( ) 0 n n f limf a ξ →∞ = ≤ và ( ) ( ) 0 n n f limf b ξ →∞ = ≥ . Vậy f ( ξ )= 0 Thuật toán thực hiện như sau: Bước 1: Lấy 2 a b c + = Nếu f (c)= 0. Ta có c là nghiệm và ñừng thuật toán Nếu f (c). f (a) < 0 thì b: = c Nếu f (c). f (a) > 0 thì a: = c. Bước 2: nếu b a c − < thì nghiệm gần ñúng là c. Nếu không quay lại bước 1. - 6 - Do ñó, nghiệp xấp xỉ x n có thể lấy theo công thức . 2 n n n a b x + = Ngoài ra ta còn có ñánh giá 0 . 2 2 2 n n n n n n a b b a x b a ξ ξ ξ − − − ≤ − ≤ + ≤ − = Do ñó, ñể tìm xấp xỉ x n sao cho n x ξ δ − < suy ra ta phải có 2 n b a δ − = tức là ( ) 2 . ln b a nln ln δ − − = Như vậy, nếu sai số không vượt quá δ thì phải tiến hành ñến bước lặp lần thứ n , n tính bởi n = interger ln( ) ln ln 2 b a δ − −       Nhận xét: phương pháp chia ñôi ñơn giản, dễ thực hiện nhưng tốc ñộ hội tụ chậm, thường dùng ñể tìm xấp xỉ ban ñầu. Ví dụ 1.1.1. Dùng phương pháp chia ñôi giải gần ñúng f ( x )= x 4 + 2 x 3 - x - 1 trên [ ] 0,1 với số bước n = 5. Do f (0) = -1, f (1) = 1 nên nghiệm [ ] * 0,1 x ∈ chia ñôi [ ] 0,1 , c 1 = 0,5, f (0,5)= -1,19. Ta chọn [ ] [ ] 1 1 ; 0,5;1 a b = , tiếp tục chia ñôi ta có f (0,75) = - 0,59, f (0,875)= 0,05, f (0,9125)= - 0,304, f (0,8438)= - 0,135, f (0,8549)= 0,043 Vậy nghiệm gần ñúng 1 * (0,859 0,875) 0,867. 2 x ≈ + = 1.1.3. Phương pháp lặp ñơn ðể giải ñược bằng phương pháp lặp ta ñưa phương trình f ( x )= 0 về dạng ( ). x x φ = Nếu [ ] [ ] ' ( ) , , ( ) 1, , x x a b x q x a b φ φ = ∈ ≤ < ∀ ∈ thì với [ ] 0 , x a b ∀ ∈ - 7 - dãy lặp 1 ( ), 1,2,3, , n n x x n φ + = = +∞ hội tụ tới nghiệm x * của phương trình f ( x )= 0. Nếu cho trước 0 ε > , khi ñó phép lặp thoả mãn công thức 1 (1 ) n n q x x q ε + − − < (1.1) thì dừng và lấy x n+1 là nghiệm gần ñúng (công thức này là ñiều kiện dừng). Thật vậy dãy { x n } là dãy Cauchy vì với mọi n, [ ] , n c a b ∃ ∈ sao cho 1 1 1 1 ( ) '( ) . n n n n n n n n n x x x x c x x q x x φ φ φ + − + + − = − = − ≤ − Từ ñó, ta có 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 1 0 . n n n n n n n n n n n n x x q x x x x q x x x x q x x x x q x x + − − − − − − − − − ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − Vậy 1 1 0 n n n x x q x x + − ≤ − Với mỗi p ∈ ℕ ta có: 1 1 1 n p n n p n p n p n n x x x x x x x + + + − + − + − = − + − + − ( ) 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 n p n n p q x x q x x q q q q x x + − − ≤ − + + − = + + + + − Từ ñó 1 0 . 1 n n p n q x x x x q + − ≤ − − Bởi 0 1 q ≤ < dãy {x n } hội tụ với x *. Qua giới hạn ta có. ( ) n n n n limx lim x φ →∞ →∞ = suy ra * ( *). x x φ = Cho p → +∞ trong biểu thức 1 0 . 1 n n p n q x x x x q + − ≤ − − - 8 - Ta có 1 0 * . 1 n n q x x x x q − ≤ − − Có nhiều cách ñưa phương trình f( x )= 0 về dạng giải ñược bằng phương pháp lặp ñơn, chẳng hạn xét hàm số nào ñó [ ] ( ) 0 , x x a b µ ≠ ∀ ∈ ñặt ( ) ( ) ( ). x x x f x φ µ = + Hàm ( ) x µ ñược chọn sao cho [ ] , , '( ) 1. x a b x φ ∀ ∈ < Ví dụ nếu f’( x *) ≠ 0. Ta có thể lấy 1 ( ) '( ) x f x µ = − Khi ñó ( ) ( ) . '( ) f x x x f x φ = − Hơn nữa ñạo hàm cấp một của φ là: 2 '' ' ( ') ff f φ = . Bởi ' φ ( * x ) = 0 và ' φ liên tục nên tồn tại α > 0 sao cho ( ) * * ' ( , ), 1 x x x x q α α φ ∀ ∈ − + ≤ < . Ví dụ 1.1.2. Giải phương trình f ( x ) = x 3 + x -1000 = 0 trên [ ] 9;10 Có nhiều cách ñưa f ( x ) = 0 về dạng x = ( ) x φ . Cụ thể ta dùng dạng 3 1000 x x = − Do q [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) 2 2 ' 3 3 9;10 9;10 1 1 1 max max 1000 . 999 3 3 300 x x x x φ − ∈ ∈ = = − ≤ ≈ Xấp xỉ ban ñầu x 0 = 10, ta có công thức lặp 3 1 1000 n n x x + = − , n = 0, 1, 2, 3, Với n = 1 có 3 1 999, 2 x n = = có 3 2 1 1000 9,96666. x x= − ≈ Với n = 3 nghiệm gần ñúng 3 x = 9,96667, sai số cho bởi - 9 - * 3 1 .0,0001 300 x x− ≤ 1.4.4. Phương pháp dây cung Giả sử phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên [ ] [ ] 2 ; ; , a b a b f C ∈ và '' , f f không ñổi dấu trên [ ] ; a b . ðiểm x [ ] ; a b ∈ ñược gọi là ñiểm Fourier, nếu ( ) ( ) '' . 0 f x f x > a. Trường hợp [ ] ' '' 0, 0, ; f f x a b < > ∀ ∈ . Dễ thấy trong trường hợp này a là ñiểm Fourier vì f (a) > 0. Gọi k x là xấp xỉ thứ k của nghiệm, o x = b là xấp xỉ ban ñầu. Hoành ñộ giao ñiểm của dây cung MN k và trục hoành trong ñó M(a, f (a)) và N k ( x k , f ( x k )) là xấp xỉ 1 k x + Phương trình ñường thẳng qua M và N k như sau: y = ( ) f a + ( ) ( ) ( ) k k f x f a x a x a − − − Cho y = 0 ta có 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x x a x f x f a + − − = − Suy ra 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k f x x x x a f x f a + − = − − , 1,2, , k = +∞ Vậy trong trường hợp này dãy { } k x là dãy ñơn ñiệu giảm hội tới nghiệm. b. Trường hợp ' '' 0, 0 f f > > . Tương tự nhưng với ñiểm b là Fourier, xấp xỉ ban ñầu là a ta có công thức lặp sau: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k f x x b x x f x f b + − − = − − + Công thức sai số - 10 - Công thức sai số thứ nhất: Giả sử ( ) [ ] ' 0, , f x m x a b ≥ > ∀ ∈ khi ñó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ' * * k k k k k f x f x f x f u x x m x x = − = − ≥ − Vậy công thức sai số thứ nhất ( ) * k k f x x x m − ≤ (1.2) Công thức sai số thứ hai : Giả sử [ ] ( ) ' ; ,0 x a b m f x M ∀ ∈ < ≤ ≤ Từ công thức dây cung ta có 1 ( ).( ) ( ) ( ) k k k k k f x x a x x f x f a + − = − − Suy ra 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k f x f a f x x x x a + − − = − − f Xét vế trái do f ( x * ) = 0 và từ công thức số gia, tồn tại ( ) * , k k u x x ∈ sao cho - f ( x k ) = f ( x * ) - f ( x k )= ( x * - x k ) f ’ (u k ). Xét vế phải, từ công thức số gia, tồn tại ( ) 1 , k k k x x x + ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 k k k k k k k f x f a x x f x x x x a + + − − = − − Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) * ' ' 1 k k k k k x x f u f x x x + − = − Từ ñó ( ) ( ) ( ) ( ) * ' ' 1 1 1 k k k k k k k x x x x f u f x x x + + + − + − = − , hay [...]... 0.00000000 - 0.52359877 1,24.10-5 5 0.50000000 0.00000000 - 0.52359877 0 - 32 - Chương 2 Gi i phương trình toán t F ( x) = 0 Ta xét phương trình toán t phi tuy n x = A( x ) (2.1) Vi c gi i g n ñúng các phương trình ñ ó ñư c ti n hành nh áp d ng nh ng d ng khác nhau c a phương pháp x p x liên ti p 2.1 Phương pháp l p ñơn và nh ng bi n d ng c a nó ð nh nghĩa 2.1.1 ( Ánh x co) Cho 2 không gian metric (... h ng s δ > 0, k > 0 t n t i sao cho x − x0 < δ , ∀x ∈ D ⇒ ∂f ( x ) ≤ k , v i m i j = 1, 2, 3, , n,thì ta có f liên ∂x j t c t i x0 M t quá trình l p ñi l p l i ñ gi i phương trình f ( x )= 0 là bi n ñ i phương trình ñ u tiên v phương trình x = g( x ) M t phương pháp tương t s ñư c nghiên c u cho các hàm t ℝ n vào ℝ n ð nh nghĩa 1.2.4 M t hàm G t D ⊂ ℝ n vào ℝ n có m t ñi m b t ñ ng p ∈ D n u G(p) =... r} Gi s toán t phi tuy n A tác ñ ng trong X, nghĩa là A( x ) ∈ X v i x ∈ X Ta nói r ng toán t A th a mãn ñ i u ki n Lipschitz n u: A( x ) − A( y ) ≤ α x − y , x, y ∈ X , Trong ñó α = co n s t ≥ 0 N u gi thi t thêm r ng α < 1 thì ta nói toán t A là toán t co trong X Sau ñây ta phát bi u nguyên lý ánh x co - 33 - ð nh lý 2.1.1 Gi s toán t A tác ñ ng trong X và là toán t co Khi ñó phương trình (2.1)... ñi m b t ñ ng c a toán t Ak x* = A k ( x* ) Khi ñó Ak  A( x* )  = A  Ak ( x* )  = A( x* ), nghĩa là A( x* ) là ñ i m b t ñ ng c a     toán t Ak - 36 - Do tính ch t duy nh t c a ñ i m b t ñ ng c a toán t Ak , ta suy ra A( x* ) = x* Như v y ñã ch ng minh r ng phương trình (2.1) có nghi m Tính duy nh t nghi m c a phương trình (2.1) ñư c suy ra t tính duy nh t nghi m c a phương trình Ak ( x) =... g n ñúng c a phương trình là α ≈ 1,167251 v i ñ chính xác 10-4 1.2 Gi i h phương trình f ( x) = 0 trong không gian ℝn 1.2.1 Các ñi m b t ñ ng c a các hàm s nhi u bi n M t h phi tuy n có d ng f 1( x 1, x 2,…, x n) = 0 f 2( x 1, x 2,…, x n) = 0 f n( x 1, x 2,…, x n) = 0 (1.5) - 15 - ñ ó m i hàm f i ánh x vectơ x = ( x 1, x 2,…, x n)t c a không gian n- chi u ℝ n vào ℝ H n phương trình phi tuy n này... xn+1 − x* ≤ M1 2 xn+1 − xn 2M 2 Nh n xét: T c ñ h i t nhanh hơn phương pháp dây cung - 14 - Ví d 1.1.4 Gi i phương trình x 5 - x -1 = 0 v i ñ chính xác là 10-4 Gi i: ð t f ( x ) = x 5 - x -1 ⇒ f ' ( x ) = 4 x 4 − 1 Ta có f (1)= -1 < 0, f (3/2)= 5,09375 > 0 ⇒ f (1) f (3/2) < 0 Nên phương trình f ( x ) = 0 có nghi m α ∈ (1, 3 ) 2 Theo phương pháp Newton dãy x p x liên ti p ñư c xây d ng như sau xn = xn−1... Ta ch ng minh r ng gi i h n x* c a { xn} là nghi m c a phương trình (2.1) Rõ ràng là ( ) A( xn−1 ) − A x* ≤ α xn−1 − x* - 34 - T ñó ta có ( ) lim A ( xn−1 ) = A x* n→∞ ( ) Cho nên x* = A x* ð i u này có nghĩa là x* là nghi m c a phương trình (2.1) Ta ch ng minh r ng nghi m c a phương trình (2.1) là duy nh t Ký hi u x, y là nghi m c a phương trình (2.1) Khi ñó x − y = A ( x ) − A( y ) ≤ α x − y Vì... r3, , rn) thì phương pháp l p ñơn: x (k+1) = g( x (k)) (1.18) k >0 h i t ñ n nghi m c a h phương trình (1.5), x( k +1) ñây  x1(k +1)   g1   (k +1)  g   x2   2 =  ; g =        x (k +1)   gn   n  Ví d 1.2.3 H phương trình x12 − 2 x1 − x2 + 11 =0 6 3 2 x12 − 5 x2 − = 0 8 - 25 - có th l y Q = {( x , x ) : 0 < x 1 2 1 < 0,4;0,1 < x2 < 0,5} Do ñó có th áp d ng phương pháp l p ñơn... 0,25297001440 19 0,2478750334 0,25245416756 1.2.3 Phương pháp Newton Bài toán trong Ví d 1.22 c a m c trư c ñư c bi n ñ i thành bài toán ñi m b t ñ ng b ng cách gi i ñ i s 3 phương trình 3 bi n x 1, x 2, x 3 Tuy nhiên k thu t này ít dùng Trong m c này ta xét m t thu t gi i ñ bi n ñ i trong ñi u ki n t ng quát hơn ð xây d ng thu t gi i ñ d n ñ n phuơng pháp ñi m b t ñ ng trong trư ng h p m t chi u ta... ≥ 1 x (k) = G( x (k-1)) = x (k-1)-J( x (k-1))F( x (k-1)) (1.23) ð ây ñư c g i là phươ ng pháp Newton cho h phi tuy n Ma tr n J ( x) ñư c g i là ma tr n Jacolian và có m t s ng d ng trong gi i tích Phương pháp Newton cho h : ð x p x nghi m c a h phi tuy n F( x ) = 0, cho trư c m t x p x ban ñ u x INPUT n phương trình và các n s ; x p x ban ñ u t x = ( x1 , x2 , xn ) toleranceTOL, s bư c l p l n nh t . cứu giải gần ñúng phương trình phi tuyến tổng quát. Giải cụ thể trong một số không gian hàm, tìm thuật toán, giải một số phương trình cụ thể. * Luận văn nghiên cứu về phương trình toán tử phi. phương pháp (*) ta có thể sử dụng các phương pháp ñơn giản như phương pháp chia ñôi và phương pháp ñồ thị. 1.1. Giải phương trình ( ) 0 f x = trong ℝ Một số phương pháp giải phương trình. cứu một số phương pháp giải phương trình một biến số: ( ) 0 f x = (*) Trong ñó ( ) f x là hàm số (ñại số hay siêu việt) Phương trình (*) ,trừ một số trường hợp ñặc biệt có công thức giải