Toán tử định vị trong không gian biến điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI KIÊN CƯỜNG Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS Bùi Kiên Cường. Thầy đã tận tình hướng dẫn và cho tác giả những lời khuyên quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn UBND Tỉnh Yên Bái, sở GD&ĐT Tỉnh Yên Bái, Ban giám hiệu trường THPT Trần Nhật Duật Tỉnh Yên Bái. Tác giả cũng xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện cho giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà. iii Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt v Mở đầu x 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω) . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D  (Ω) . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S(R n ) . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) 5 1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược . . . . 7 1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 14 1.2.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 16 1.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Không gian Sobolev cấp nguyên . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Không gian Sobolev cấp thực . . . . . . . . . . . 23 1.4 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Không gian hỗn hợp chuẩn . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng . . . . . . . . 30 iv 1.5 Không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Toán tử định vị trong không gian L p 37 2.1 Toán tử giả vi phân T σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Một số định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân . . . . . . . 43 2.1.3 Toán tử giả vi phân trên không gian Sobolev . . . 52 2.2 Biến đổi Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L p (R 2n ), 1 ≤ p ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L ∞ (R 2n ) . . . 69 2.2.4 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L p (R 2n ), 2 < p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2.5 Phép biến đổi Weyl Compact . . . . . . . . . . . 76 2.3 Toán tử định vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.2 Toán tử định vị bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.3 Toán tử định vị và phép biến đổi Weyl . . . . . . 85 2.3.4 Toán tử định vị compact . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Toán tử định vị trong không gian biến điệu 88 3.1 Định nghĩa toán tử định vị trong không gian biến điệu . 88 3.2 Tính bị chặn của toán tử định vị . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 Tính bị chặn của Toán tử định vị trên không gian Sobolev 95 3.4 Toán tử định vị compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kết luận 103 Tài liệu tham khảo 104 v Bảng kí hiệu và viết tắt N : Tập hợp các số tự nhiên. N ∗ : Tập hợp các số nguyên dương. |α| : Bậc của đa chỉ số α, |α| = n  i=1 α i , α = (α 1 , , α n ) ∈ N ∗ . R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Ơclit n chiều. C : Tập hợp các số phức. z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun của số phức z. D α f : Đạo hàm cấp α của f, D α f = (−1) |α| ∂ α f. ∂ α u : Đạo hàm riêng cấp α của u, (∂ α u)(ϕ) = (−1) |α| u(∂ α ϕ). C ∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. C ∞ 0 (Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact. C 0 (R n ) : Không gian các hàm liên tục có giá compact. D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản. S (R n ) : Không gian các hàm giảm nhanh. vi S  (R n ) : Không gian các hàm tăng chậm. T x f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f, T x f (t) = f (t −x) . M ω f : Sự điều biến theo ω của hàm f, M ω f (t) = e 2πit·ω f (t) . f ∗ : Phép đối hợp của f, f ∗ (x) = f(−x).  f : Phép đối xứng của f, f(x) = f(−x). (f ∗ g)(x) : Tích chập của f và g, (f ∗ g)(x) =  R n f(y)g(y − x)dy.  f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f. F −1 (f) , ˇ f : Biến đổi Fourier ngược của hàm f. F, ˆ f : Liên hợp của biến đổi Fourier f. X α f(x) : Toán tử nhân, X α f (x) = x α f (x) . span{A} : Bao tuyến tính của tập A. A p : Hằng số Babenko-Beckner, A p =  p 1/p (p  ) 1/p   1/2 . V g f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, V g f (x, ω) =  R n f (t) g (t −x)e −2πit·ω dt. F 2 : Biến đổi Fourier của hàm F theo biến thứ 2, F 2 F (x, ω) =  R n F (x, t)e −2πit·ω dt. vii L p : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn L p hữu hạn. f L p (Ω) =    Ω |f(x)| p dx   1 p . H s (R n ) : Không gian Sobolev cấp s, H s (R n ) = {u ∈ S  (R n )|ξ s Fu(ξ) ∈ L 2 (R n )}. H s,p (Ω) : Không gian các hàm L p -Sobolev cấp s. H m 0 (Ω) : Bao đóng của C ∞ 0 (Ω) trong H m (Ω). L p,q (R n ) : Không gian hỗn hợp chuẩn. F  L p,q : Chuẩn trong không gian L p,q (R n ), F  L p,q =   R n   R n |F (x, ω)| p dx  q p dω  1 q . L p,q m (R 2n ) : Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng. F  L p,q m : Chuẩn trong không gian L p,q m (R 2n ), F  L p,q m = (  R n (  R n |F (x, ω)| p m(x, ω) p dx) q p dω) 1 q . M p,q m (R n ) : Không gian biến điệu, M p,q m (R n ) = {u ∈ S  (R n )V g u ∈ L p,q m (R 2n )}. u M p,q m (R n ) : Chuẩn trong không gian M p,q m (R n ), u M p,q m (R n ) = V g u L p,q m (R 2n ) , u ∈ M p,q m (R n ). T σ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, T σ ϕ(x) = (2π) −n/2  R n e ix·ξ σ(x, ξ) ˆϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(R n ). viii T ∗ σ : Liên hợp hình thức của toán tử T σ . J s : Thế vị Bessel bậcs, s ∈ R, J s = F −1 (1 + |ξ| 2 ) −s/2 Fu, u ∈ S  (R n ). W (f, g) : Biến đổi Wigner của hai hàm f, g ∈ S(R n ), W (f, g)(x, ξ) = (2π) −n/2  R n e −iξ·p f(x + p 2 )g(x − p 2 )dp. V (f, g)(q, p) : Biến đổi Fourier-Wigner của f, g, V (f, g)(q, p) = (2π) −n/2 ρ(q, p)f, g, f, g ∈ S(R n ). W σ ϕ : Biến đổi Weyl với biểu trưng σ của ϕ,  W σ ϕ  (x) = (2π) −n  R n  R n e i(x−y)ξ σ( x + y 2 , ξ)ϕ(y)dydξ. B(L 2 (R n )) : Là C ∗ − đại số của tất cả những toán tử bị chặn từ L 2 (R n ) vào L 2 (R n ). . ∗ : Chuẩn trong B(L 2 (R n )). S h f : Toán tử Hilbert-Schmidt trên L 2 (R n ), (S h f)(x) =  R n h(x, y)f(y)dy, x ∈ R n , f ∈ L 2 (R n ). L p ∗ (R 2n ) : với L p ∗ (R 2n ) = {σ ∈ L p (R 2n )ˆσ ∈ L p  (R 2n )}. (W H) n : Nhóm Weyl-Heisenberg. Q s : Không gian các thế vị Bessel, Q s = {u ∈ S  (R n ) : Λ s u ∈ L 2 (R n )}. [...]... đề tài: "Toán tử định vị trong không gian biến điệu " 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về không gian biến điệu Nghiên cứu về một số toán tử định vị trong không gian Lp Nghiên cứu về toán tử định vị trong không gian biến điệu xiii 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về không gian biến điệu Trình bày về một số toán tử định vị trong không gian Lp Trình bày về toán tử định vị trong không gian biến điệu 4... động trong không gian biến điệu, là xem xét một số khái niệm và tính chất, nghiên cứu tính bị chặn của toán tử định vị trong những không gian biến điệu khác nhau, với những biểu trưng trong không gian Lp Sau đó sẽ nghiên cứu mở rộng các kết quả đó đối với các không gian thế vị Bessel và không gian Sobolev Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về những toán tử định vị trên không gian biến điệu, cùng với sự... của toán tử định vị trong không gian Lp Với toán tử Weyl, người ta đã chứng minh không gian biến điệu p,q Mm (Rn ), p, q ∈ (1, +∞) với m là hàm trọng, là lớp các đặc trưng của những toán tử loại này, với lớp đặc trưng đó, tính bị chặn và tính chất Schatten-Von Newmann của toán tử Weyl đã được chứng minh Một vấn đề tự nhiên là nghiên cứu về những đặc điểm cơ bản của toán tử định vị hoạt động trong không. .. tượng nghiên cứu: Toán tử định vị trong không gian biến điệu Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến toán tử định vị trong không gian biến điệu 5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp phân tích, tổng hợp 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm suy rộng Các nội dung trong phần này được tham khảo chủ yếu trong ([2],[5],[11],[12][19])... chúng có vị trí quan trọng nhất trong lớp các toán tử không tự liên hợp Để thấy được sự tồn tại tự nhiên của toán tử định vị trong không gian biến điệu, chúng ta bắt đầu trong ngữ cảnh của giải tích thời gian- tần số, từ những vấn đề đơn giản sau: Nếu u(t) biểu diễn một tín hiệu, đó là một hàm của thời gian t, thì biến đổi Fourier u(ω) của nó biểu diễn hàm suy rộng của những tần số ˆ ω được chứa trong. .. sinh ra một không gian con trù mật của L2 (Rn ), nói cách khác span {Tx Mω ϕa : x, ω ∈ Rn } = L2 (Rn ) Nếu ta bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được xác định theo từng điểm bởi (1.2) chúng ta có thể thác triển phép biến đổi Fourier ra không gian tốt hơn đó là không gian L2 Định lý sau đây được gọi là Định lý Plancherel cho phép thực hiện phép biến đổi Fourier trong L2 (Rn ) Định lí 1.2.4 (Định lý Plancherel)... Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với Ts f (x, t) = f f ⊗g : t t x + ,x − 2 2 Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) x Mở đầu 1 Lí do chọn đề tài Toán tử định vị, hay còn gọi là toán tử Toeplitz hoặc toán tử antiWick, xuất hiện trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng, có xuất xứ từ... e2πit·ω φ(t − x) Những trạng thái này được xác định là phép tịnh tiến và điều biến, nghĩa là tích e2πit·ω φ(t − x) của một trạng thái cố định φ(t) Nghiên cứu về toán tử định vị đã chủ yếu tập trung vào nghiên cứu tác động của chúng trên L2 (Rn ), trong khi đó, với những gì chúng ta biết, rất ít kết quả về toán tử địa phương hóa hoạt động trong những không gian Banach khác nhau được biết đến Một số kết... khác của sóng nằm trong những phần không cần thiết của mặt phẳng thời gian- tần số theo nhu cầu của quá trình này Điều này dẫn đến việc xem xét những toán tử của tích phân sau: LF u(x) = φ F (x, ω)Vφ u(x, ω)e2πit·ω φ(t − x)dxdω (3) R2n Toán tử tích phân (3) được gọi là toán tử định vị Có một thực tế là những cấu trúc toán học tương tự cũng làm nền tảng của việc xây dựng cơ học lượng tử Đấy là một trạng... Nn là hội tụ đều về 0 theo x trên Rn khi k → ∞ Định lí 1.1.7 ([5]) Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là đầy đủ Nhận xét 1.1.8 Chúng ta có D(Rn ) ⊂ S(Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ) 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) Định nghĩa 1.1.6 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là không gian topo đối ngẫu của S (Rn ), nói cách khác S (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S . định vị compact . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Toán tử định vị trong không gian biến điệu 88 3.1 Định nghĩa toán tử định vị trong không gian biến điệu . 88 3.2 Tính bị chặn của toán tử định vị. trong không gian biến điệu " 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu về không gian biến điệu Nghiên cứu về một số toán tử định vị trong không gian L p . Nghiên cứu về toán tử định vị trong không gian. gian biến điệu. xiii 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về không gian biến điệu Trình bày về một số toán tử định vị trong không gian L p . Trình bày về toán tử định vị trong không gian biến điệu. 4.