Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán giúp đỡ em suốt bốn năm học tập nghiên cứu mái trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường tận tình hướng dẫn, bảo để em hoàn thành khoá luận Cuối em xin cảm ơn thầy cô tổ giải tích bạn bè tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn Hà nội, năm 2010 Tác giả Lê Thị An Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Luận văn kết em trình học tập nghiên cứu vừa qua, hướng dẫn thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan luận văn đề tài „„Toán tử tuyến tính không gian Hilbert ‟‟ không trùng với luận văn khác Người thực Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Mở đầu Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Không gian Hilbert Chương 2: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 10 2.1 Một số ví dụ toán tử 10 2.2 Hàm song tuyến tính dạng toàn phương 16 2.3 Toán tử liên hợp tự liên hợp 24 2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự toán tử Unita 30 2.5 Toán tử dương 36 2.6 Phép chiếu 44 2.7 Toán tử compact 50 2.8 Giá trị riêng vectơ riêng 58 2.9 Sự phân tích phổ…………………………… 69 Chương 3: Toán tử không bị chặn 73 Kết luận…………………………………………………………… 85 Tài liệu tham khảo…………………………………………… 86 Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích hàm môn học lý thú toán học, có nhiều ứng dụng vật lý, chuyên ngành khác toán học,… Do thời gian học ngắn nên chưa đủ để sinh viên nghiên cứu sâu vấn đề giải tích hàm Chương “Không gian Hilbert” nội dung gần cuối chương trình học, chứa nhiều nội dung tương đối khó Để tìm hiểu, nghiên cứu sâu vấn đề em chọn đề tài: “Toán tử tuyến tính không gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Khắc sâu kiến thức toán tử tuyến tính không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính không gian Hilbert : toán tử đồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị, toán tử compact, toán tử không bị chặn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu Chương 2: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert Chương 3: Toán tử không bị chặn Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: Những khái niệm kết mở đầu 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X không gian vectơ trường ( ) Ta gọi chuẩn X ánh xạ :X K xa x Thỏa mãn tiên đề: 1) x 0, x x 2) 3) x x X x x, y x , x X y , x, y X Định nghĩa 1.1.2: Không gian định chuẩn cặp X , Trong X không gian tuyến tính, chuẩn X Ví dụ 1.1.3: Cho X tập hợp dãy: X x ( n ), n p £ (¡ ), n , p n Với x ( n ) Đặt 1/ p p x n n Khi X , Lê Thị An không gian định chuẩn K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Kí hiệu l p X, b Ví dụ 1.1.4: Cho X p x x(t ) : ( L) x(t ) dt , p a Với x x(t ) X , đặt 1/ p b x p x(t ) dt p a Thì p chuẩn X Không gian X , p kí hiệu Lp [a, b] Định nghĩa 1.1.5 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) : X không gian định chuẩn Dãy ( xn ) phần tử X gọi hội tụ đến phần tử a X lim xn n a Định nghĩa 1.1.6 (Dãy Cauchy không gian định chuẩn): Dãy ( xn ) dãy Cauchy không gian định chuẩn X lim xm m ,n Hay tương đương Tương đương xn 0, n0 , m, n n0 : xm 0, n0 : n n0 , p 1,2, xn xn p xn 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1: Cho hai không gian tuyến tính X Y trường Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính A thỏa mãn điều kiện: 1) x, y 2) x X : A( x X, y) Ax A( x) Ay Ax Thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Khi A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi ánh xạ cộng tính Khi A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi ánh xạ Khi Y A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.2: Cho X Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính từ không X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c : Ax c x, x X (1.1) Định nghĩa 1.2.3: Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn toán tử A Kí hiệu A Định lý 1.2.4: Định lý mệnh đề tương đương Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 X 3) A bị chặn Định lý 1.2.5: Cho toán tử toán tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn A sup Ax x 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.1: (Tích vô hướng) Giả sử X không gian tuyến tính trường Tích vô hướng X ánh xạ f: X X K ( x, y ) a f ( x, y ) Thường kí hiệu f ( x, y ) i) Lê Thị An x, y ≥ 0, x, y Thỏa mãn tiên đề: x X K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x =0 x, y =0 x, y = y , x , ii) x y, z x, y , z iii) x, y x, z X y, z X x, y x, y , x, y X, K Từ định nghĩa suy ra: + Nếu x=0 y=0 x, y + x, y + x, y z x, y x, z , x, y, z x, y , K; x, y X X Định nghĩa 1.3.2: Không gian tích vô hướng cặp X , , , X không gian tuyến tính Định nghĩa1.3.3: Không gian Hilbert không gian tích vô hướng không gian đinh chuẩn với chuẩn x x, x , x X Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H Ví dụ 1.3.4: Không gian £ k với tích vô hướng xác định bởi: k x, y j j j x , , k ,y , , £k k không gian Hilbert với k x x, x j 1/2 j Định lý 1.3.5 (Định lý Riezs): Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H biểu diễn dạng: f(x) x,a , x H Lê Thị An K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trong a H xác định phiếm hàm f ta có: f a Định lý 1.3.6: (Bất đẳng thức Schwart) Cho X không gian tích vô hướng, đó, x, y X: x, y x y Định nghĩa 1.3.7 (Sự hội tụ mạnh): Một dãy ( xn ) vectơ không gian tích vô hướng E gọi hội tụ mạnh tới vectơ x E xn x n Định nghĩa 1.3.8 (Sự hội tụ yếu) : Một dãy ( xn ) vectơ không gian tích vô hướng E gọi hội tụ yếu tới vectơ x E x, y n xn , y , y E Để thuận tiện ta ký hiệu “ xn x ” : hội tụ mạnh “ xn x ”: hội tụ yếu Định lý 1.3.9: Một dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu Nghĩa là: xn x xn x Điều ngược lại chưa Định lý 1.3.10: Nếu xn Định lý 1.3.11: Nếu xn Lê Thị An x, yn y xn , yn x xn x, y x xn x K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 2: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 2.1.Một số ví dụ toán tử tuyến tính Trong phần quan tâm đến toán tử bị chặn Để ngắn gọn, ta viết toán tử thay cho toán tử tuyến tính Ví dụ 2.1.1: (Toán tử đồng toán tử không) Ví dụ đơn giản toán tử toán tử đồng I toán tử không Toán tử đồng biến phần tử thành nó,tức là, Ix=x với x E Toán tử không biến phần tử E thành vectơ Toán tử không kí hiệu Dễ thấy toán tử đồng toán tử không bị chặn ta có I 1, Phép nhân vô hướng I toán tử đồng toán tử, toán tử nhân phần tử với vô hướng , tức là, I x x Ví dụ 2.1.2 Cho A toán tử £ N { e1, e2,…, eN} sở trực chuẩn tắc £ N , tức là, e1 1,0,0, ,0 e2 0,1,0, ,0 M eN 0,0,0, ,1 Với i, j {1, 2,…, N}, ta đặt, Ae j , ei ij Khi đó, với x N j j ej N Ax, ei j j Ae j , suy N j Ae j , ei j Lê Thị An N £ N , ta có Ax ij j (2.1) j 10 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Q2 x Q1 : x u2 Lặp lại trinh Ta có giá trị riêng , , tương ứng vectơ riêng trực chuẩn n u1 , , un Ta kí hiệu : Qn Chọn giá trị riêng n sup x Qn : x n un cho: Ax, x : x Qn (2.40) x Và un vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với n Quá trình kết thúc sau hữu hạn bước Xảy có số nguyên dương k : Ax, x 0, x Qk Khi phần tử x H có biểu diễn x Trong : Av Ax u 1 u 1 k uk v, k k uk , Vậy định lý chứng minh Bây giả sử ta dãy vô hạn giá tri riêng n vectơ riêng un Đặt S không gian đóng sinh vectơ u1 , u2 , , un Lê Thị An 70 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nghĩa S n un : n n n Mặt khác x H , có biểu diễn x u v x n un v, n Trong v S Chứng minh Av 0, V v Lấy v S , v Đặt S v Vì S^ Av, v v A , Qn , n ¥ , theo (2.40), ta có Av, v v 2 A , v sup Ax, x : x Qn x v Dẫn đến Av, v n 0, v S ^ Do đó, theo định lý 2.3.14, chuẩn A có giới hạn S 0, Av 0, v S ^ Chương : Toán tử không bị chặn Trong chương này, ta trình bày ngắn gọn số vấn đề bản, khái niệm phương pháp nói toán tử không bị chặn Ta nói toán tử để diễn đạt toán tử tuyến tính Định nghĩa 3.1 Một toán tử A xác định không gian Hilbert, R( A) H gọi không bị chặn bị chặn Do đó, toán tử A không bị chặn ta tìm dãy phần tử xn H: Lê Thị An 71 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp xn M ( M số đó, n ¥ ) Axn Tính không bị chặn tương đương với tính không liên tục (Tại điểm nào) Do đó, ta toán tử A không bị chặn việc tìm dãy ( xn ) hội tụ mà dãy ( Axn ) không hội tụ Một toán tử không bị chặn toán tử vi phân L2 ( R ) ( Xem ví dụ 2.1.3) 3.2 Ví dụ: Cho A toán tử compact không gian Hilbert H vô hạn chiều Nếu A khả nghịch, A không bị chặn Thật vậy, cho H dãy trực giao đặt Z n Avn Zn A 1Z n Nếu tập xác định toán tử không bị chặn A không gian cảm sinh không gian Hilbert H, A có mở rộng đến toán tử không bị chặn xác định bao đóng x xn (A) mà Ax Bx , (A) Một toán tử định nghĩa bởi: Bx lim Axn , xn n (A) x Trong trường hợp B tử không bị chặn C Trong P Ta lại có C (B) BP A Khi B mở rộng đến toán (B) phép chiếu trực giao lên không gian (B) B Ta giả sử tập xác định toán tử không bị chặn không gian H Hoặc không gian đóng H 3.3 Toán tử không bị chặn Định nghĩa 3.3.1 (Mở rộng toán tử) Cho A B toán tử không gian vectơ E Nếu (A) Lê Thị An (B) 72 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Và Ax Bx , x (A), Thì B gọi mở rộng A ta viết A B Định nghĩa 3.3.2 (Toán tử xác định trù mật) Một toán tử A xác định không gian định chuẩn E gọi xác định trù mật tập xác định tập trù mật E Nghĩa là, cl (A)=E Toán tử vi phân = xác định trù mật L2 ( R ) , không gian hàm khả vi trù mật L2 ( R ) Định lý 3.3.3: Cho A toán tử xác định trù mật không gian Hilbert H cho E tập tất y H : Ax, y , liên tục không gian trù mật H, có mở rộng đến hàm liên tục H Áp dụng lý biểu diễn Riesz, đặt B( y) Z y ta có: Ax, y y zy H : f y2 f y2 ( x) f y ( x) x, z y , x, z y x H Nếu ta x, B( y) x (A) E Chứng minh tính tuyến tính B xem tập Định nghĩa 3.3.4 (Liên hợp toán tử xác định trù mật) Cho A toán tử xác định trù mật không gian Hilbert H Liên hợp A toán tử xác định tập hợp y Ax, y = x, Ay , x (A) y Ax, y hàm liên tục (A) H mà ( ) Lưu ý : Toán tử bị chặn H tương đương khái niệm 2.3.1 Ví dụ 3.3.5 : Ta có (R) kí hiệu không gian hàm khả vi liên tục ¡ với giá compact Đây không gian trù mật L2 ( R ) Xét toán tử vi phân Lê Thị An xác định 73 (R) Do K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp d ( x(t )) y (t )dt dt Dx, y d y(t ) dt dt ( ) (Đối với chuẩn L2 (¡ ) ) với Dx, y hàm liên tục y L2 ( R) mà y x(t ) L2 (R ) Hơn nữa, Dx, y x(t )( d y(t )) dt dt Chú ý: Không viết D x (t ) d y(t ) dt dt D , tập xác định D không (R) Định lý 3.3.6 Cho A B toán tử xác định trù mật không gian Hilbert H (a) Nếu A B , B A (b) Nếu ( B ) trù mật H B B** Chứng minh: Nếu A B B A Xét y ( B ) Bx, y , hàm thứ biến x, hàm liên tục B Vì (A) (B), Bx, y hàm liên tục Nhưng Bx Chứng tỏ y Ax , x A A Ax, y hàm liên tục (A) (A ) Đẳng thức A x B y, y ( B ) tính toán tử liên hợp Chứng minh ( B ) trù mật H B B Từ điều kiện (B ) B x, y Ta viết lại : x, B y , x B x, y x, By , x ( B) , x ( B* ) , x ( B ) (3.1) Vì ( B* ) trù mật H, B ** tồn ta có Lê Thị An 74 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp B* y, x y, B** x , y ( B* ), ( B** ) x (3.2) Bằng lý luận tương tự phần (a) ta (B) B** ( x), x Và B( x) ( B ** ) ( B ) Định lý 3.3.7: Nếu A toán tử 1-1 không gian Hilbert Và hai A nghịch đảo A xác định trù mật A* 1-1 ( A* ) ( A )* (3.3) ( A* ) Khi Chứng minh: Lấy y x ( A ), ta có A x ( A) ta có A x, A* y AA x, y x, y Điều nghĩa A* y (( A )* ) ( A )* A* y ( AA )* y (3.4) ( A )* Thì x Tiếp theo, lấy phần tử y Ax y ( A ), ta có ( A ), đó: Ax,( A )* y Điều chứng tỏ ( A) y AA 1x, y x, y ( A* ) A* ( A )* y ( A A)* y (3.5) y Đẳng thức (3.3) suy (3.4) (3.5) Định lý 3.3.8: Nếu A, B, AB toán tử xác định trù mật H, B* A* Chứng minh: Giả sử x Do x (B) A* y ( AB)* (AB) y (B*), ta có: Bx, A* y Mặt khác, Bx Lê Thị An ( B* A* ) (A) y x, B* A* y (A*), ta có: 75 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ABx, y Bx, A* y ABx, y x, B* A* y Do đó: Vì điều (AB), x ta có y ( AB)* ( B* A* ) y ( AB)* y Định lý 3.3.9 (Toán tử tự liên hợp): Cho A toán tử xác định trù mật A* không gian Hilbert H A gọi tự liên hợp A Lưu ý rằng: A A* nghĩa (A*) = (A) A( x) A* ( x), x (A) Nếu A bị chặn, xác định trù mật H A có mở rộng đến toán tử bị chặn H Do miền xác định miền xác định toán tử liên hợp với nó, H Trong trường hợp toán tử không bị chặn, dương mà toán tử xác định trù mật A có liên hợp A*: A( x) A* ( x) với x (A) (A*) Nhưng (A*) (A) Và A không tự liên hợp Định nghĩa 3.3.10 ( Toán tử đối xứng) Một toán tử xác định trù mật A không gian Hilbert H gọi đối xứng nếu: Ax, y x, Ay , x, y (A) Rõ ràng, toán tử tự liên hợp đối xứng l xác định bởi: Ví dụ 3.3.11: Xét toán tử bị chặn H A( xn ) xn n Chú ý A tự liên hợp 1-1 Không gian (A) = (A-1) gồm dãy ( yn ) l : Lê Thị An 76 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp n yn n Trù mật H Nghịch đảo A-1 xác định bởi: A ( yn ) (nyn ) Dễ thấy, A-1 toán tử không bị chặn Theo định lý 3.2.7: (A -1 )* (A* ) A Do A tự liên hợp Ví dụ 3.3.12: Xét toán tử A id dt với miền xác định : L2 [a, b] : f liên tục f (a) (A) {f f (b) 0} Ta có: b Af , g b if (t ) g (t )dt a f (t )ig (t )dt f , Ag , f , g (A) a Vậy A đối xứng, nữa, Af , g hàm liên tục (A) với hàm g khả vi liên tục [a, b], không cần thỏa mãn g(a) = g(b) Do đó, (A) khác (A*) A không tự liên hợp Định lý 3.3.13: Một toán tử xác định trù mật A không gian Hilbert H đối xứng A A* Chứng minh: Giả sử A Ax, y x, A* y , x A* Vì (A), y (A*) (3.6) Ta có Ax, y x, Ay , x, y (A) (3.7) Do A đối xứng Giả sử A đối xứng, (3.6) (3.7) đúng, dẫn đến A A* Hệ 3.3.14: Nếu A đối xứng A* mở rộng đối xứng cực đại A Lê Thị An 77 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: Cho B toán tử đối xứng cho A * lý 4.11.9, B A* Do đó, A B B* B Thì, theo định A* Hệ 3.3.15: Nếu A đối xứng (A)= H A tự liên hợp Chứng minh: A A* (A)= H A* A Nhắc lại: đồ thị toán tử A, xác định (A) (A) E1 tập giá trị E2 , đặt (A)={( x, Ax) : x (A)} đồ thị A, không gian E1 E2 (A) không gian vecto Nếu A B (A) (B) Định nghĩa 3.3.16 (Toán tử đóng): Một toán tử A từ không gian định chuẩn X1 vào không gian định chuẩn X2 gọi đóng đồ thị (A) không gian đóng E1×E2 xn (A), xn x Axn y dẫn đến x (A) Ax y Miền xác định (A) toán tử đóng A chưa đóng Có thể chứng minh toán tử đóng từ không gian Banach vào không gian Banach bị chặn (Đây xem định lý đồ thị đóng) Do đó, miền xác định toán tử không bị chặn đóng không gian Hilbert H đóng, không không gian cảm sinh H Định lý 3.3.17: Nếu A đóng khả nghịch A-1 đóng Chứng minh: Nếu (A) {( x, Ax) : x -1 (A)} đóng, : (A) {( Ax, x) : x (A)} đóng Định lý 3.3.18: Nếu A xác định trù mật A* đóng Lê Thị An 78 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp (A*), yn Chứng minh: Nếu yn x y A* yn z , với (A) ta có: Ax, y n (A*) A* y Do y lim x, A* yn lim Ax, yn x, z n z Định lý 3.3.19: Cho A toán tử không gian Hilbert H Khi tồn toán tử B: (B)= cl (A) điều kiện sau thỏa mãn : (A), xn xn y dẫn đến y 0, Axn (3.8) Chứng minh: Giả sử (B) = cl (A), với B toán tử Lấy xn (A), xn y (0, y ) 0, Axn Do (B) tập đóng, (0,0) (B) (B), ta phải có y Giả sử điều kiện (3.8) thỏa mãn, ( x, y1 ),( x, y2 ) cl (A) Khi Azn ( xn , Axn ),( zn , Azn ) (A): xn x, zn x, Axn y1 y2 Do xn đến y1 y2 zn (A), xn zn A( xn zn ) y1 y2 , (3.8) dẫn Chứng tỏ B xác định bởi: B( x) y ( x, y ) cl (A) Dễ nhận thấy A tuyến tính Định lý 3.3.20: Mọi toán tử xác định trù mật, đối xứng có mở rộng đối xứng đóng Chứng minh: Cho A toán tử đối xứng, xác định trù mật không gian Hilbert H Đầu tiên ta điều kiện (3.8) thỏa mãn Lê Thị An 79 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lấy xn (A), xn y, z Với z y Vì A đối xứng nên ta có: Axn lim Axn , z lim xn , Az n n (A) Điều dẫn đến y 0 Vì (A) trù mật H, áp dụng định lý 3.2.19, B : (B)= cl (A) Và A Nếu x, y B , B đối xứng (B), xn , yn (A): xn x , Axn Bx , yn y , Ayn By , Do A đối xứng, ta có: xn , Ayn Axn , yn Cho n , ta được: Bx, y x, By Do B đối xứng Định lý 3.3.21: Cho A toán tử đóng xác định trù mật không gian Hilbert H (a) Với u, v H, !x Ax (b) Với v H , ! x (A) y y u x (A*): A* y v (A* A) : A* Ax x v Chứng minh: (a) Xét không gian Hilbert H1 H H Vì A đóng, (A) không gian đóng H1 Do đó, H1 Với (A) Lê Thị An (A) (B)= {0} 80 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bây giờ, ( z, y ) (A) x, Ax , z, y 0, x (A) hay tương đương: x, z Ax, y (A) 0, x Do đó: z, y (A) Ax, y (A) x, z , x Cách khác, z, y (A*) z (A) y Do đó, (u, v) H H !x A* y (A) y (A*) cho: (v, u) ( x, Ax) ( A* y, y) (a) chứng minh (b) Nếu u (a) !x (A) y (A*) : Ax y 0, x A* y v Do x A* ( Ax) v A* ( Ax) x v Nhận xét: Cho A toán tử đóng không gian Hilbert H Ta biết A không bị chặn Mặt khác, định nghĩa tích vô hướng (A) cách xem (A) không gian Hilbert A toán tử bị chặn (A) Do đó, x, y (A), đặt x, y x, y Ax, Ay , Trong đó, , kí hiệu tích vô hướng H Chứng minh tính đầy đủ (A) chuẩn x1 x 2 Ax Dễ thấy A bị chặn không gian Hilbert Lê Thị An 81 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Trên toàn nội dung đề tài “ Toán tử tuyến tính không gian Hilbert” Khóa luận sử dụng tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khoa toán quan tâm đến phần kiến thức Lê Thị An 82 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, hình thành tư logic đặc thù môn, nghiên cứu toán tử tuyến tính không gian Hilbert Tuy nhiên với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức thân hạn chế nên không tránh khỏi nhiều thiếu xót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Hà Nội, năm 2010 Người thực Lê Thị An Tài liệu tham khảo Phan Đức Chính (1976), Giải tích hàm, NXB Giáo dục chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Nguyễn Xuân Liêm (2006), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Lê Thị An 83 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Introduction to Hilbert spaces with Applications, Elsevier Academic press Lê Thị An 84 K32G - Toán [...]... Hilbert có số chiều hữu hạn đều bị chặn Toán tử trong ví dụ sau được xác định trong một không gian con riêng của một không gian Hilbert Ví dụ 2.1.3 (Toán tử vi phân) Một trong số những toán tử có vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng là toán tử vi phân df dx Df ( x) f ( x) Xác định trong không gian các hàm khả vi Ví dụ như, toán tử vi phân trong một không gian con của L2 L2 (D)= f Nếu L2 , được... mỗi toán tử trong không gian £ N đươc xác định bởi N×N ma trận Ngược lại, với mỗi N×N ma trận ij , công thức (2.1) xác định một toán tử trong £ N Vậy ta có một sự tương ứng 1-1 giữa những toán tử trong không gian vectơ N-chiều và các N×N ma trận Nếu toán tử A được định nghĩa bởi ma trận ij , thì N N 2 A ij i 1 j 1 Điều này đúng với mọi toán tử trong £ N , và do đó mọi toán tử trong không gian Hilbert. .. - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Một toán tử đối xứng là một đẳng cấu từ không gian Hilbert H vào (T) Định nghĩa 2.4.14 (Toán tử Unita): Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H gọi là Unita nếu T *T TT * I trong H Các định lý sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa Định lý 2.4.15: một toán tử T là Unita khi và chỉ khi nó khả nghịch và T 1 T * Ví dụ 2.4.16: Cho H là không gian Hilbert. .. Tx Tx , Từ (2.6) ta có Lê Thị An 29 K32G - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2 Re Tx, z Do đó T M 2 x Tx Tx 2 M M Kết hợp với (2.5) ta có điều phải chứng minh 2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử đơn vị Định nghĩa 2.4.1: (Toán tử nghịch đảo) A là một toán tử xác định trong một không gian vectơ con của E Một toán tử B xác định trên (A) gọi là nghịch đảo của... song ( x, y) tuyến tính Theo định lý 2.2.13, tồn tại duy nhất toán tử liên tục A* , để x, A* y Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A Ax, y luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa 2.3.1: ( A* B* ) ( A)* ( A* )* I* A* A* A I ( AB )* B* A* Với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng Lê Thị An B* 24 tùy ý K32G - Toán Trường ĐHSP... tính trên E lập thành một không gian vectơ Ví dụ 2.2.2 Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính Ví dụ 2.2.3 Cho A, B là các toán tử trong một không gian tích vô hướng trong E Khi đó 1 ( x, y) Ax, y , 2 ( x, y) x, By , 3 ( x, y) Ax, By là các hàm song tuyến tính trên E Ví dụ 2.2.4 Cho f, g là các hàm tuyến tính trên không gian vectơ E Khi đó ( x, y) f ( x).g ( y) là hàm song tuyên tính trên E Định nghĩa... bởi x, Ay Định lý 2.2.13 Cho là một hàm song tuyến tính bị chặn trong không gian tuyến tính Hilbert H Khi đó ! toán tử bị chặn A trong H sao cho ( x, y) x, Ay , x, y H Chứng minh: Với y cố định H , ( x, y ) là hàm tuyến tính bị chặn trong H Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, ! Ay H : ( x, y) Ta phải chứng minh ánh xạ y x, Ay , x H Ay là toán tử bị chặn trong E Thật vậy, với bất kỳ x, y1 , y2 H và x,... giả thiết x 0 Nếu f là hàm tuyến tính bị chặn trong H, thì ! x0 f ( x) H: x, x0 , x H Do A là ánh xạ 1-1 và (A) = H nên ! x f f ( x) H : x0 Ax f , do đó: ( x, x f ), x H x, Ax f 2.3 Toán tử liên hợp và tự liên hợp Định nghĩa 2.3.1 (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Toán tử A*: H H được xác định bởi x, A* y , x, y H Ax, y Gọi là toán tử liên hợp của A Nhận xét... 1 xn n2 2 xn 2 x1 , x2 , n 1 A là toán tử bị chặn A cũng khả nghịch: A 1 ( x1, x2 , ) ( x1,2 x2 ,3x3 , , nxn , ) Dễ dàng chỉ ra được A 1 là không bị chặn Nếu E có số chiều hữu hạn thì nghịch đảo của bất kỳ toán tử khả nghịch trên E nào đều bị chặn vì mọi toán tử trong không gian hữu hạn chiều đều bị chặn Định lý 2.4.4: A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho H Nếu A có nghịch... BA( x) x, x (A) Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch Nghịch đảo của A kí hiệu là A-1 Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất Thật vậy: Giả sử B1 , B2 là các nghịch đảo của A.ta có: B1 B1I B1 AB2 IB2 B2 Chú ý rằng : (A-1) = (A) và (A-1) = (A) Định lý 2.4.2: (a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính (b) Một toán tử A là khả nghịch ... thức toán tử tuyến tính không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính không gian Hilbert : toán tử đồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử. .. toán tử thay cho toán tử tuyến tính Ví dụ 2.1.1: (Toán tử đồng toán tử không) Ví dụ đơn giản toán tử toán tử đồng I toán tử không Toán tử đồng biến phần tử thành nó,tức là, Ix=x với x E Toán tử không. .. 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Không gian Hilbert Chương 2: Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 10 2.1 Một số ví dụ toán tử