Phép chiếu trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ THU PHÉP CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Phép chiếu không gian Hilbert” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Thị Thu Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức mở đầu 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert Chương Phép chiếu không gian Hilbert 10 2.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng 10 2.2 Định lí Stampacchia Lax-milgram 20 2.3 Tổng Hilbert, sở trực giao 24 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học, không gian Hilbert dạng tổng quát hóa không gian Euclid mà không bị giới hạn vấn đề hữu hạn chiều Các không gian Hilbert đặt tên theo David Hilbert, người nghiên cứu chúng để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trình tích phân Đó không gian có tích vô hướng, nghĩa có khái niệm khoảng cách góc (đặc biệt khái niệm trực giao hay vuông góc) Tính chất cần thiết nghiên cứu, sử dụng giới hạn dãy Các không gian Hilbert cho phép sử dụng trực giác hình học vào số không gian hàm vô hạn chiều Nếu S tập không gian Hilbert H, ta định nghĩa tập vectơ trực giao với S S⊥ = {x ∈ H : (x, s) = 0, ∀s ∈ S} S⊥ không gian đóng H không gian Hilbert Nếu V không gian đóng H, V ⊥ gọi phần bù trực giao V Ta biết x H biểu diễn nhất: x = v + w, (xem định lí 2.2) với v thuộc V w thuộc V ⊥ Do đó, H tổng trực tiếp V V ⊥ Toán tử tuyến tính PV : H → H, x → v gọi phép chiếu trực giao H lên không gian V Phép chiếu trực giao không gian Hilbert đóng vai trò vô quan trọng giải tích hàm nói riêng toán học nói chung, nghiên cứu chương trình đại học Việc mở rộng phép chiếu lên tập lồi đóng nói chung kết có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Vì góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn nhiệt tình thầy Trần Văn Bằng em chọn đề tài “Phép chiếu không gian Hilbert” Trong khóa luận em nghiên cứu không gian Hilbert thực tất không gian tuyến tính, định chuẩn, Hilbert hiểu không gian thực Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phép chiếu không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Hilbert: khái niệm tính chất bản; phép chiếu lên không gian đóng; phép chiếu lên tập lồi đóng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Phép chiếu không gian Hilbert Chương Kiến thức mở đầu 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X tập số thực R với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu ||.|| đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = ↔ u = θ (θ − phần tử không) ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u|| iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Số ||u|| gọi chuẩn vector u Các tiên đề i), ii), iii) gọi tiên tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (un ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới u ∈ X lim ||un − u|| = n→∞ Kí hiệu limn→∞ un = u hay un → u (n → ∞) Mệnh đề 1.1 Nếu dãy un → u dãy ||un || → ||u|| Nói cách khác ||.|| hàm giá trị thực liên tục Mệnh đề 1.2 Nếu dãy un → u dãy ||un || bị chặn Mệnh đề 1.3 Nếu dãy un → u ; dãy → v dãy αn → α dãy un + → u + v αn un → αu n → ∞ Định nghĩa 1.3 Dãy (un ) không gian định chuẩn X dãy lim ||un − um || = n,m→∞ Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.1 Cho không gian vector k chiều Rk , Rk = {u = (u1 , u2 , un ) : u j ∈ R} Đối với u = (u1 , un ) thuộc Rk , ta đặt ||u|| = ∑kj=1 |u j | Ta chứng minh Rk không gian Banach Ví dụ 1.2 Cho không gian vector l2 Đối với u = (un ) ∈ l2 , ta đặt ||u|| = ∑∞ n=1 |un | Ta chứng minh l2 không gian Banach Ví dụ 1.3 Cho không gian vector L[a,b] Đối với u(t) ∈ L[a,b] , ta đặt ||u|| = b a |u(t)|dt Ta chứng minh L[a,b] không gian Banach Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X, dãy (un ) ⊂ X Ta gọi chuỗi biểu thức dạng : u1 + u2 + + un + , kí hiệu ∑∞ n=1 un Mỗi phần tử un gọi số hạng chuỗi Biểu thức k Sk = ∑ un (k = 1, 2, ) n=1 tổng riêng thứ k chuỗi Nếu tồn lim Sk = S k→∞ không gian định chuẩn X chuỗi ∑∞ n=1 un gọi hội tụ S gọi tổng chuỗi ta viết : ∞ S= ∑ un n=1 Định nghĩa 1.6 Chuỗi ∑∞ n=1 un gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑∞ n=1 ||un || hội tụ Mệnh đề 1.4 Nếu ∞ ∞ ∑ un = s, ∑ = s1 , n=1 α ∈R n=1 ∞ ∞ ∞ ∑ α × un = α × s; ∑ (un + ) = s + s1 ; ∑ (un − ) = s − s1 n=1 n=1 n=1 Mệnh đề 1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Trong không gian định chuẩn X chuỗi ∗ ∗ ∑∞ n=1 un hội tụ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N )(∀n > n0 )(∀p ∈ N ) ta có ||un+1 + un+2 + + un+p || < ε Định lý 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach X chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính X0 = 0/ không gian định chuẩn X gọi không gian định chuẩn X X0 không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh X Nếu X0 đồng thời tập đóng X X0 gọi không gian đóng không gian X Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian tuyến tính X Y R Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính ánh xạ A thỏa mãn: i) ∀u, v ∈ X A(u + v) = Au + Av ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : Aαu = αAu Viết gọn lại ta có A(αu + β v) = αAu + β Av, ∀u, v ∈ X, ∀α, β ∈ R Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X Y, toán tử tuyến tính A từ X → Y gọi bị chặn tồn C > cho ||Au|| ≤ C||u||, ∀u ∈ X Hằng số C nhỏ gọi chuẩn toán tử A, kí hiệu ||A|| Định lý 1.2 (Ba mệnh đề tương đương) Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: i) A liên tục ii) A liên tục x0 thuộc X iii) A bị chặn Định lý 1.3 (Định lí tính chuẩn toán tử) Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn ||A|| = sup||u||≤1 ||Au|| hay ||A|| = sup||u||=1 ||Au|| Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X R Ta gọi không gian L(X, R) phiếm hàm tuyến tính liên tục X không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) X kí hiệu X ∗ Định nghĩa 1.11 Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai X kí hiệu X ∗∗ Định nghĩa 1.12 Cho X không gian định chuẩn Nếu M ∈ X không gian tuyến tính ta đặt M ⊥ = { f ∈ X ∗ ; f , x = 0, ∀x ∈ M} Nếu N ⊂ X ∗ không gian tuyến tính ta đặt N ⊥ = {x ∈ X; f , x = 0, ∀ f ∈ N} Chú ý theo định nghĩa N ⊥ tập hợp X X ∗∗ Rõ ràng M ⊥ (tương ứng N ⊥ ) không gian tuyến tính đóng X ∗ (tương ứng X) Ta nói M ⊥ (tương ứng N ⊥ ) không gian trực giao với M (tương ứng N) Chứng minh Đặt u1 = PK f1 u2 = PK f2 Ta có ( f1 − u1 , v − u1 ) ≤ 0, ∀v ∈ K, (2.5) ( f2 − u2 , v − u2 ) ≤ 0, ∀v ∈ K (2.6) Chọn v = u2 (2.5) v = u1 (2.6) cộng bất đẳng thức ta thu |u1 − u2 |2 ≤ ( f1 − f2 , u1 − u2 ) Từ suy |u1 − u2 | ≤ | f1 − f2 | Suy |PK f1 − PK f2 | ≤ | f1 − f2 |, ∀ f1 , f2 ∈ H Hệ 2.1 Giả sử M ⊂ H không gian tuyến tính đóng, f ∈ H u = PM f đặc trưng u∈M ( f − u, v) = 0, ∀v ∈ M (2.7) Hơn PM toán tử tuyến tính gọi phép chiếu trực giao Chứng minh Từ (2.2) ta có ( f − u, v − u) ≤ 0, ∀v ∈ M ( f − u,tv − u) ≤ 0, ∀v ∈ M, ∀t ∈ R Từ suy (2.7) Ngược lại u thỏa mãn (2.7) ( f − u, v − u) = 0, ∀v ∈ M Hơn rõ ràng PM tuyến tính Với f ∈ H ánh xạ u → ( f , u) phiếm hàm tuyến tính liên tục H Hơn định lí sau phiếm hàm tuyến tính liên tục H có dạng vậy: 16 Định lý 2.4 (Định lí biểu diễn Riesz-Fre’chet) Với ϕ ∈ H ∗ tồn f ∈ H cho: (ϕ, u) = ( f , u), ∀u ∈ H Và | f | = ||ϕ||H ∗ Chứng minh Chúng ta trình bày hai cách chứng minh 1) Cách Xét ánh xạ T : H → H ∗ xác định sau: với f ∈ H, ánh xạ u → ( f , u) phiếm hàm tuyến tính liên tục H Nó phần tử H ∗ , ta kí hiệu phần tử T f (T f , u) = ( f , u), ∀u ∈ H Rất rõ ràng ||T f ||H ∗ = | f | Do T tuyến tính đẳng cự từ H lên T (H)một không gian đóng H ∗ Để kết thúc chứng minh ta cần chứng minh T (H) trù mật H ∗ Giả sử h hàm tuyến tính H ∗ triệt tiêu T (H) Khi H phản xạ nên h ∈ H thoả mãn (T f , h) = 0, ∀ f ∈ H nên chứng tỏ ( f , h) = 0, ∀ f ∈ H suy h = 2) Cách thứ hai dùng lí luận trực tiếp để tránh dùng tính chất phản xạ Gọi M = ϕ −1 ({0}) M không gian đóng H Ta giả sử M = H ( ngược lại ϕ = 0, Định lí 2.4 hiển nhiên chọn f = 0) Ta chứng minh tồn phần tử g ∈ H thoả mãn |g| = (g, v) = 0, ∀v ∈ H (và g∈ / M) Thật lấy g0 ∈ H với g0 ∈ / M Đặt g1 = PM g0 g= (g0 − g1 ) thỏa mãn tính chất yêu cầu |g0 − g1 | Với u ∈ H đặt v = u−λg với 17 λ= (ϕ, u) (ϕ, g) Chú ý v định nghĩa tốt (ϕ, g) = từ (ϕ, v) = v ∈ M Từ suy (g, v) = nghĩa (ϕ, u) = (ϕ, g)(g, u), ∀u ∈ H, từ ta có điều phải chứng minh với f = (ϕ, g)g Nhận xét 2.5 H H ∗ đồng hay không đồng nhất? Bộ ba V ⊂ H ⊂ V ∗ Định lí 2.4 khẳng định, có phép đẳng cự tắc từ H lên H ∗ Vì ta đồng H H ∗ Tuy nhiên ta thường đồng đồng Dưới tình điển hình xuất nhiều ứng dụng cần thận trọng với đồng Giả sử H không gian Hilbert với tích vô hướng (, ) chuẩn tương ứng|.| Giả sử V ⊂ H không gian tuyến tính trù mật H Và V có chuẩn riêng ||.|| (V, ||.||) không gian Banach Giả sử đơn ánh V ⊂ H liên tục, nghĩa |v| ≤ C||v||, [ví dụ ∀v ∈ V, H = L2 (0, 1) V = L p (0, 1) với p > V = C([0, 1])] Khi có ánh xạ tắc T : H ∗ → V ∗ ánh xạ hạn chế V phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕ H, nghĩa là: (T ϕ, v)V ∗ ,V = (ϕ, v)H ∗ ,H Rất dễ để T có tính chất sau: i) ||T ϕ||V ∗ ≤ C|ϕ|H ∗ , ∀ϕ ∈ H ∗ ii) T đơn ánh iii) R(T )là trù mật V ∗ V phản xạ Bằng cách đồng H H ∗ dùng T phép nhúng tắc từ H ∗ vào V ∗ , ta có V ⊂H H ∗ ⊂ V ∗, 18 (2.8) tất phép nhúng liên tục trù mật (miễn V phản xạ) Trong tình này, ta gọi H không gian trụ Chú ý tích vô hướng ((, ))V ∗ ,V (, ) trùng hai có nghĩa, tức ∀ f ∈ H, ( f , v)V ∗ ,V = ( f , v), ∀v ∈ V Tình trở nên phức tạp V không gian Hilbert với tích vô hướng riêng ((, )) chuẩn sinh tích vô hướng||.|| Tất nhiên ta đồng V V ∗ Tuy nhiên (2.8) trở nên vô lí Do ta đồng thời đồng V với V ∗ H với H ∗ mà chọn Thông thường ta chọn đồng H H ∗ để có (2.8) không đồng V V ∗ Sau ví dụ cụ thể Cho ∞ H = l = {u = (un )n≥1 : ∑ u2n < ∞} n=1 trang bị tích vô hướng (u, v) = ∑∞ n=1 un Gọi ∞ ∑ n2 u2n < ∞}, V = {u = (un )n≥1) : n=1 trang bị tích vô hướng (u, v) = ∑∞ n=1 n un Rõ ràng V ⊂ H phép nhúng liên tục V trù mật H Ở ta đồng H H ∗ , V ∗ đồng với không gian ∞ ∗ V = { f = ( fn )n≥1 : ∑ n2 fn2 < ∞} n=1 không gian lớn H Tích vô hướng (, )V ∗ ,V xác định ∞ ( f , v)V ∗ ,V = ∑ fn , n=1 đẳng cấu Riesz-Fre’chet T : V → V ∗ cho u = (un )n≥1 → Tu = (n2 un )n≥1 19 Nhận xét 2.6 Chứng minh dễ dàng không gian Hilbert phản xạ không cần phải sử dụng tính lồi mà cách sử dụng đẳng cấu Riesz-Fre’chet hai lần từ H vào H ∗ sau từ H ∗ vào H ∗∗ Nhận xét 2.7 Giả sử H không gian Hilbert đồng với không gian đối ngẫu H ∗ Cho M không gian H, ta định nghĩa M ⊥ không gian H ∗ Ở ta coi không gian H cụ thể: M ⊥ = {u ∈ H : (u, v) = 0, ∀v ∈ M} Rõ ràng M ∩ M ⊥ = {0} Ngoài M đóng ta có M + M ⊥ = H Thật vậy, với f ∈ H ta viết f = PM f + ( f − PM f ) f − PM f ∈ M ⊥ , cụ thể PM⊥ f = ( f − PM f ) Do không gian đóng không gian Hilbert có phần bù 2.2 Định lí Stampacchia Lax-milgram Định nghĩa 2.5 Một dạng song tuyến tính a : H × H → R gọi i) liên tục tồn số C thoả mãn |a(u, v)| ≤ C|u||v|, ii) tồn α > ∀u, v ∈ H, cho α(v, v) ≥ α|v|2 , ∀v ∈ H Định lý 2.5 (Định lí Stampacchia) Giả sử a(u, v) dạng song tuyến tính liên tục, H Lấy K ⊂ H tập lồi, đóng, không rỗng Khi với ϕ ∈ H ∗ , tồn phần tử u ∈ K thoả mãn : a(u, v − u) ≥ (ϕ, v − u), 20 ∀v ∈ K (2.9) Ngoài a đối xứng u đặc trưng tính chất u∈K 1 a(u, u) − (ϕ, u) = min{ a(v, v) − (ϕ, v)} v∈K 2 (2.10) Chứng minh Định lí 2.5 dựa kết cổ điển sau: Định lý 2.6 (Định lí ánh xạ co Banach- Định lí điểm bất động Banach) Cho X không gian metric đủ khác rỗng S : X → X co nghiêm ngặt nghĩa là: d(Sv1 , Sv2 ) ≤ kd(v1 , v2 ), ∀v1 , v2 ∈ X, với k < Khi S có điểm bất động thỏa mãn u = Su Chứng minh (Định lí 2.5) Theo Định lí biểu diễn Riesz-Fre’chet (Định lí 2.4) tồn phần tử f ∈ H thoả mãn: (ϕ, v) = ( f , v), ∀v ∈ H Mặt khác ta cố định u, ánh xạ v → a(u, v) phiếm hàm tuyến tính liên tục H Sử dụng tiếp Định lí 2.4 ta có tồn phần tử H, kí hiệu Au cho a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ H Rõ ràng A toán tử tuyến tính từ H → H thoả mãn: |Au| ≤ C|u|, (Au, u) ≥ α|u|2 , ∀u ∈ H, (2.11) ∀u ∈ H (2.12) Do toán (2.9) trở thành toán tìm u thuộc K cho (Au, v − u) ≥ ( f , v − u), ∀v ∈ K (2.13) Lấy ρ > số (xác định sau) Khi (2.13) tương đương với (ρ f − ρAu + u − u, v − u) ≤ 0, 21 ∀v ∈ K (2.14) nghĩa u = PK (ρ f − ρAu + u) Với v ∈ K, đặt Sv = PK (ρ f − ρAv + v) Ta chứng minh ρ > chọn đặc biệt S có ngặt Thật PK không làm tăng khoảng cách (xem mệnh đề 2.2) ta có |Sv1 − Sv2 | ≤ |(v1 − v2 ) − ρ(Av1 − Av2 )| |Sv1 − Sv2 |2 = |v1 − v2 |2 − 2ρ(Av1 − Av2 , v1 − v2 ) + ρ |Av1 − Av2 |2 ≤ |v1 − v2 |2 (1 − 2ρα + ρ 2C2 ) Chọn ρ > cho k2 = (1 − 2ρα + ρ 2C2 ) < nghĩa (0 < ρ < Cα2 ) S có điểm bất động Bây giả sử a(u, v) đối xứng a(u, v) xác định tích vô hướng H chuẩn tương ứng a(u, u)1/2 tương đương với chuẩn ban đầu |u| Suy H không gian Hilbert với tích vô hướng Sử dụng Định lí 2.4 ta biểu diễn phiếm hàm ϕ thông qua tích vô hướng mới, nghiã tồn phần tử g ∈ H thoả mãn (ϕ, v) = a(g, v), ∀v ∈ H Lúc toán (2.9) trở thành tìm u thuộc K cho: a(g − u, v − u) ≤ 0, ∀v ∈ K (2.15) Nghiệm (2.15) kết cũ, u hình chiếu g lên K theo tích vô hướng a Ta biết (theo định lí 2.3) u phần tử K nghiệm toán: a(g − v, g − v)1/2 v∈K 22 Điều dẫn tới việc cực tiểu K hàm v → a(g − v, g − v) = a(v, v) − 2a(g, v) + a(g, g) = a(v, v) − 2(ϕ, v) + a(g, g) tương đương với cực tiểu hoá hàm v → a(v, v) − (ϕ, v) Nhận xét 2.8 Kiểm tra dễ thấy a(u, v) dạng song tuyến tính với tính chất: a(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ H hàm v → a(v, v) lồi Hệ 2.2 (Định lí Lax-Milgram) Giả sử a(u, v) dạng song tuyến tính, liên tục, H, với ϕ ∈ H ∗ tồn phần tử u ∈ H thoả mãn a(u, v) = (ϕ, v), ∀v ∈ H (2.16) Ngoài a đối xứng u đặc trưng tính chất u∈H 1 a(u, u) − (ϕ, u) = min{ a(v, v) − (ϕ, v)} v∈H 2 (2.17) Chứng minh Dùng Định lí 2.5 với K = H ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.9 Định lí Max-Milgram đơn giản công cụ hiệu để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính eliptic Rất thú vị ta để ý tới mối liên hệ phương trình (2.16) toán cực tiểu (2.17) Trong vật lí điều thường gọi cách tự nhiên nguyên lí tác động tối thiểu, hay cực tiểu hoá lượng Theo ngôn ngữ phép tính biến phân, (2.16) phương trình Ơle toán cực tiểu hoá (2.17) Nói cách nôm na (2.16) F (u) = với F hàm F(v) = 21 a(v, v) − (ϕ, v) 23 Nhận xét 2.10 Có thể dùng lập luận đơn giản trực tiếp để chứng minh (2.16) có nghiệm Thật điều dẫn tới việc chứng minh ∀ f ∈ H, ∃u ∈ H Au = f , cho nghĩa A song ánh từ H lên H Điều hệ hiển nhiên tính chất sau: a) A đơn ánh (vì A-bức), b) R(A) đóng α|v| ≤ |Av|, ∀v ∈ H, c) R(A) trù mật Thật vậy, v ∈ H thỏa mãn ∀u ∈ H (Au, v) = 0, v = 2.3 Tổng Hilbert, sở trực giao Định nghĩa 2.6 Giả sử (En )n≥1 dãy không gian đóng H Nói H tổng Hilbert En ta viết H = n En nếu: a) Các không gian En đôi trực giao, nghĩa (u, v) = ∀u ∈ En , b) không gian tuyến tính sinh ∀v ∈ Em , ∞ n=1 En m = n, trù mật H Định lý 2.7 Giả sử H tổng Hilbert En Với u ∈ H ta đặt un = PEn u n Sn = ∑ uk k=1 24 Khi ta có lim Sn = u, (2.18) ∑ |uk |2 = |u2 |(đẳng thức Bessel-Parseval) (2.19) n→∞ ∞ k=1 Để thuận tiện cho chứng minh định lí ta dùng bổ đề sau: Bổ đề 2.2 Giả sử (vn ) dãy H thoả mãn ∀m = n, (vm , ) = 0, (2.20) ∞ ∑ |vk |2 < ∞ (2.21) k=1 đặt n Sn = ∑ vk k=1 Khi S = lim Sn tồn n→∞ ∞ |S| = ∑ |vk |2 k=1 Chứng minh Với m > n, ta có m |Sm − Sn | = ∑ |vk |2 k=n+1 Nên Sn dãy Cauchy S = lim Sn tồn n→∞ Mặt khác n |Sn | = ∑ k=n+1 cho n → ∞ ta thu (2.22) 25 |vk |2 , (2.22) Chứng minh (Định lí 2.6) Vì un = PEn u nên theo (2.7) ta có (u − un , v) = 0, ∀v ∈ En , (2.23) nói riêng (u, un ) = |un |2 Cộng đẳng thức này, ta tìm n (u, Sn ) = ∑ |uk |2 k=1 Nhưng ta có n ∑ |uk |2 = |Sn |2 , (2.24) k=1 nên (u, Sn ) = |Sn |2 Vì |Sn | ≤ |u| ∑nk=1 |uk |2 ≤ |u|2 Đến ta áp dụng Bổ đề 2.2 kết luận S = limn→∞ Sn tồn Tiếp theo ta xác định S (thậm chí giả thiết (b)) Giả sử F không gian tuyến tính sinh En Ta chứng minh S = PF u (2.25) Thật ta có (u − Sn , v) = 0, ∀v ∈ Em , m ≤ n (vì u − Sn = (u − um ) − ∑ uk ) k=m Cho n → ta thu (u − S, v) = 0, ∀v ∈ Em , (u − S, v) = 0, ∀v ∈ F (u − S, v) = 0, ∀v ∈ F Từ suy 26 ∀m Mặt khác Sn ∈ F, ∀n S ∈ F nên ta có (2.25) Nếu giả thiết (b) cố định F = H S = u Qua giới hạn n → (2.24) ta thu (2.19) Định nghĩa 2.7 Dãy (en )n≥1 H gọi sở trực chuẩn H (hoặc sở Hilbert đơn giản sở) thoả mãn : i) |en | = 1, ∀n (em , en ) = 0, ∀m = n, ii) không gian tuyến tính sinh en trù mật H Hệ 2.3 Lấy (en ) sở trực chuẩn, ∀u ∈ H ta có ∞ u= ∑ (u, ek )ek k=1 nghiã n u = lim n→∞ |u| = ∑ (u, ek )ek k=1 ∞ ∑ |(u, ek )|2 k=1 Ngược lại, với dãy(αn ) ∈ l , chuỗi ∑∞ k=1 αk ek hội tụ tới phần tử u ∈ H cho (u, ek ) = αk , ∀k |u|2 = ∑∞ k=1 αk Chứng minh Chú ý H tổng Hilbert không gian En = Ren PEn u = (u, en )en Từ dùng Định lí 2.7 Bổ đề 2.2 ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.11 Nói chung chuỗi ∑ uk Định lí 2.7 chuỗi ∑ (u, ek )ek hệ 2.3 không hội tụ tuyệt đối nghĩa xảy ∑∞ k=1 |uk | = ∞ ∑∞ k=1 |(u, ek )| = ∞ Định nghĩa 2.8 Không gian M = (X, d) gọi tách được, tập X chứa tập đếm trù mật khắp nơi M Định lý 2.8 Mọi không gian Hilbert tách có sở trực chuẩn 27 Chứng minh Giả sử (vn ) tập đếm được, trù mật H, gọi Fk kí hiệu cho không gian tuyến tính sinh {v1 , v2 , , vk } Dãy (Fk ) dãy không giảm không gian hữu hạn chiều thỏa mãn ∞ k=1 Fk trù mật H Lấy véc tơ đơn vị e1 thuộc F1 Nếu F1 = F2 tồn e2 thuộc F2 cho {e1 , e2 } sở trực chuẩn H Tiếp tục trình ta thu sở trực chuẩn H Nhận xét 2.12 Định lí 2.8 kết hợp với Hệ 2.3 tất không gian Hilbert tách đẳng cự với không gian l Mặc dù cần phải xét không gian khác L2 (Ω) (hoặc không gian Sobolev), có nhiều toán tử tuyến tính (phi tuyến) quan trọng phức tạp biểu diễn theo sở Nhận xét 2.13 Nếu H không gian Hibert không tách tình trở nên phức tạp tồn sở trực chuẩn không đếm (ei )i∈I 28 KẾT LUẬN Trong khóa luận em tập trung nghiên cứu phép chiếu không gian Hilbert bao gồm: phép chiếu lên không gian đóng tổng quát hóa phép chiếu lên tập lồi đóng Đóng góp khóa luận trình bày khóa luận cách có hệ thống, chi tiết hóa việc chứng minh số nhận xét, hệ quả, tìm hiểu thêm số khái niệm mà chương trình đại học chưa đề cập tới mối liên hệ chúng với kiến thức phép chiếu không gian Hilbert Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán đặc biệt thầy Trần Văn Bằng Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 29 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Viện Toán Học , NXB Đại học QGHN, 2005 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 30 [...]...Định lý 1.4 Tồn tại phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai của X ∗∗ của không gian X Định nghĩa 1.13 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu X = X ∗∗ Định lý 1.5 Không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian phản xạ 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.14 Cho H là một không gian vector Một tích vô hướng (u, v) là... nghĩa 1.15 Một không gian Hilbert là không gian vector H được trang bị một tích vô hướng sao cho H luôn là không gian đủ với chuẩn |.| Sau đây H luôn được kí hiệu cho không gian Hilbert Ví dụ 1.4 L2 (Ω) với tích vô hướng (u, v) = u(x)v(x)dµ là không gian Ω Hilbert Tương tự như thế l 2 cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v) = ∑∞ n=1 un vn Định nghĩa 1.16 Cho E là một không gian vector trên... xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào X gọi là tuyến tính liên hợp với toán tử A, nếu (Au, v) = (u, Bv), ∀u ∈ X, ∀y ∈ Y, kí hiệu A∗ = B Định nghĩa 1.19 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó là tự liên hợp nếu (Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng 9 Chương 2 Phép chiếu trong không gian Hilbert. .. được (ei )i∈I 28 KẾT LUẬN Trong khóa luận này em đã tập trung nghiên cứu về phép chiếu trong không gian Hilbert bao gồm: phép chiếu lên không gian con đóng và sự tổng quát hóa là phép chiếu lên một tập lồi đóng Đóng góp chính của khóa luận là trình bày khóa luận một cách có hệ thống, chi tiết hóa việc chứng minh của một số nhận xét, hệ quả, tìm hiểu thêm một số khái niệm mà trong chương trình đại học... các không gian Hilbert tách được đều đẳng cự với không gian l 2 Mặc dù vậy vẫn cần phải xét các không gian khác như L2 (Ω) (hoặc không gian Sobolev), vì có rất nhiều toán tử tuyến tính (phi tuyến) quan trọng có vẻ phức tạp khi biểu diễn theo một cơ sở Nhận xét 2.13 Nếu H là không gian Hibert không tách được thì tình huống trở nên phức tạp hơn nhưng vẫn có thể chỉ ra sự tồn tại của cơ sở trực chuẩn không. .. không gian Hilbert là phản xạ không cần phải sử dụng tính lồi đều mà bằng cách sử dụng đẳng cấu Riesz-Fre’chet hai lần từ H vào H ∗ và sau đó đi từ H ∗ vào H ∗∗ Nhận xét 2.7 Giả sử H là không gian Hilbert được đồng nhất với không gian đối ngẫu H ∗ của nó Cho M là không gian con của H, ta đã định nghĩa M ⊥ là một không gian con của H ∗ Ở đây ta có thể coi nó là không gian con của H cụ thể: M ⊥ = {u... ∈ [0; 1] Bổ đề 2.1 Lấy E là một không gian Banach phản xạ và A ⊂ E = 0/ là tập lồi, đóng Nếu hàm ϕ : A → (−∞; +∞) lồi, liên tục sao cho ϕ(x) ≡ +∞ và lim x∈A,||x||→∞ ϕ(x) = ±∞ (không có giả thiết này nếu A bị chặn) 11 thì ϕ đạt min trên A (nghĩa là tồn tại x0 ∈ A : ϕ(x0 ) = minA ϕ) Định lý 2.2 (Hình chiếu lên không gian con đóng) Cho không gian Hilbert H và H0 là không gian con của H Khi đó phần tử bất... v) = ||u||2 + (u, v) + (v, u) + ||v||2 Định nghĩa 2.3 Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂ H Tập con F ⊂ H gồm các phần tử của không gian H trực giao với E gọi là phần bù trực giao của E trên H và kí hiệu là F = E ⊥ Nhận xét 2.1 Từ tính chất iv) của tích vô hướng ta có F là một không gian con của H Định nghĩa 2.4 Cho E là không gian vector trên R Một hàm ϕ : E → (−∞, +∞] là hàm lồi nếu... tập X chứa một tập con đếm được trù mật khắp nơi trong M Định lý 2.8 Mọi không gian Hilbert tách được đều có một cơ sở trực chuẩn 27 Chứng minh Giả sử (vn ) là tập con đếm được, trù mật của H, gọi Fk kí hiệu cho các không gian tuyến tính sinh bởi {v1 , v2 , , vk } Dãy (Fk ) là dãy không giảm các không gian hữu hạn chiều thỏa mãn ∞ k=1 Fk là trù mật trong H Lấy véc tơ đơn vị bất kì e1 thuộc F1 Nếu... là phép nhúng liên tục và V trù mật trong H Ở đây ta đồng nhất H và H ∗ , trong khi V ∗ được đồng nhất với không gian ∞ ∗ V = { f = ( fn )n≥1 : 1 ∑ n2 fn2 < ∞} n=1 là không gian lớn hơn H Tích vô hướng (, )V ∗ ,V được xác định là ∞ ( f , v)V ∗ ,V = ∑ fn vn , n=1 và đẳng cấu Riesz-Fre’chet T : V → V ∗ cho bởi u = (un )n≥1 → Tu = (n2 un )n≥1 19 Nhận xét 2.6 Chứng minh dễ dàng được rằng không gian Hilbert ... không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ không gian X Định nghĩa 1.13 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X = X ∗∗ Định lý 1.5 Không gian đóng không gian phản xạ không gian phản xạ 1.2 Không gian. .. nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phép chiếu không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Không gian Hilbert: khái niệm tính chất bản; phép chiếu lên không gian đóng; phép chiếu lên tập lồi đóng Phương... Văn Bằng em chọn đề tài Phép chiếu không gian Hilbert Trong khóa luận em nghiên cứu không gian Hilbert thực tất không gian tuyến tính, định chuẩn, Hilbert hiểu không gian thực Mục đích nhiệm