Toán tử tuyến tính trong không gia l2a,b và ứng dụng

Trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán ************* HOàNG THị DUYÊN TOáN Tử TUYếN TíNH TRONG KHÔNG GIAN L2[a,b] Và ứng dụng Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Giải tích Hà NộI 2013 LI CM N Khúa lun vi ti: Toỏn t tuyn tớnh khụng gian L2 [a,b] v ng dng c thc hin ti trng i hc S phm H Ni 2, di s ng viờn, khớch l ca cỏc thy cụ, bn bố v gia ỡnh Em xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy cụ khoa Toỏn ó o to v trang b cho em nhng kin thc c bn giỳp em thc hin khúa lun ny ng thi, em xin by t lũng cm n ti gia ỡnh, bn bố, nhng ngi ó ng viờn, khuyn khớch, to mi iu kin em cú th hon thnh khúa lun thnh cụng c bit, em xin by t lũng bit n sõu sc ti ThS Phựng c Thng ó tn tỡnh hng dn, giỳp em sut thi gian thc hin khúa lun Trong quỏ trỡnh thc hin khúa lun, em khụng trỏnh nhng thiu xút, kớnh mong cỏc thy cụ nhn xột v gúp ý bi nghiờn cu ca em c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! Sinh viờn thc hin Hong Th Duyờn LI CAM OAN Tụi xin cam oan nhng tụi trỡnh by khúa lun l kt qu nghiờn cu ca bn thõn tụi, c s hng dn tn tỡnh ca ThS Phựng c Thng, khụng trựng vi kt qu ca cỏc cụng trỡnh nghiờn cu khỏc Nu sai xút tụi hon ton chu trỏch nhim Sinh viờn thc hin Hong Th Duyờn MC LC M U 1 Lớ chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu i tng, phm vi nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Cu trỳc khúa lun Chng Kin thc chun b 1.1 Tớch vụ hng 1.2 Khụng gian Hilbert 1.3 Khụng gian L2 [a,b] Chng Toỏn t tuyn tớnh khụng gian L2 [a,b] 2.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn 2.2 Toỏn t compact 12 2.3 Toỏn t t liờn hp 20 2.4 Toỏn t compact t liờn hp 22 2.5 Toỏn t dng 24 2.6 Toỏn t chun tc 28 2.7 Toỏn t Unita 29 Chng ng dng: Gii phng trỡnh tớch phõn 32 KT LUN 42 Ti liu tham kho 43 M U Lớ chn ti Vo u th k ny, nhiu nh toỏn hc ó dnh thi gian ca h c gng s dng nhng ý tng v nhng k thut tru tng gii quyt hu ht nhng thc tin Lớ cho s s dng tru tng ny tr nờn rừ rng hn tỏi cu trỳc toỏn t khụng gian Hilbert Vớ d nh toỏn t c coi nh l im khụng gian thớch hp v toỏn t tớch phõn c xem nh l ỏnh x t im vo im khỏc Khỏi nim v im dn n vic hiu v i tng n gin hn so vi ó tng tng v nú Vi cỏch ny chỳng ta cú th hỡnh dung nhng cu trỳc tng quỏt v t c s hiu bit sõu sc hn v phc ó núi ti Vi mong mun tỡm hiu s tru tng húa nhng nh: phng trỡnh tớch phõn v gii tớch hm, em ó la chn ti Toỏn t tuyn tớnh khụng gian L2 [a,b] v ng dng nghiờn cu Mc ớch v nhim v nghiờn cu Khúa lun s chỳ ý vo loi toỏn t tuyn tớnh khỏc khụng gian L2 [a,b] ú l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn, toỏn t compact, toỏn t t liờn hp, toỏn t dng, toỏn t chun tc v toỏn t Unita Sỏu toỏn t ny cú nhng tớnh cht rt c bit Mc ớch ca chỳng ta l a nn tng cho loi toỏn t khỏc ó c cp trờn thc hin iu ny, khúa lun a nhng vớ d cho mi loi toỏn t vi nhng kt qu nht nh t nhng phng trỡnh tớch phõn v gii tớch hm iu ny cho phộp chỳng ta cú ng lc tip tc nghiờn cu nhng toỏn t ny Chỳng ta bt u bi vic xem xột toỏn t b chn, m ú t c s cho vic nghiờn cu nhng toỏn t v sau Toỏn t tip theo c kim tra l toỏn t compact Toỏn t compact c trỡnh by vi s chi tit vỡ nú rt hu dng Chỳng ta cng chỳ ý n nhng toỏn t va compact v t liờn hp S kt hp ny toỏn t a cho chỳng ta nhng nh lớ núi v nhng tớnh cht ca nhng hm riờng v giỏ tr riờng ca toỏn t Tip theo khúa lun trỡnh by v toỏn t dng, m ú a kt qu quan trng l nh lớ Mercer Nhng toỏn t chun tc cú tớnh cht tuyt vi c a di dng nh lớ giỳp chỳng ta s dng lớ thuyt ca nhng toỏn t t liờn hp trờn nhng toỏn t chun tc Kt thỳc mc II l phn trỡnh by v toỏn t Unita v chỳng liờn quan n cỏc toỏn t khỏc nh th no Sau phn ni dung l vic trỡnh by v phng trỡnh tớch phõn, bao gm s phõn loi cỏc phng trỡnh tớch phõn v cỏc nh lớ v s tn ti v nht nghim ca phng trỡnh tớch phõn i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu l khụng gian L2 a, b v cỏc tớnh cht ca nhng toỏn t trờn khụng gian ny cựng ng dng ca nú phng trỡnh tớch phõn Phm vi nghiờn cu l cỏc kin thc c bn v khụng gian Hilbert, toỏn t tuyn tớnh trờn khụng gian Hilbert Phng phỏp nghiờn cu -Nghiờn cu s dng cỏc lớ lun, cụng c toỏn hc -Nghiờn cu sỏch tham kho v cỏc ti liu liờn quan -Nghiờn cu lớ lun, tng hp, ỏnh giỏ Cu trỳc khúa lun Ngoi phn m u, kt lun v danh mc ti liu tham kho, khúa lun gm chng v cú b cc nh sau: Chng I Kin thc chun b 1.1 Tớch vụ hng 1.2 Khụng gian Hilbert 1.3 Khụng gian L2 [a,b] Chng II Toỏn t tuyn tớnh khụng gian L2 [a,b] 2.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn 2.2 Toỏn t compact 2.3 Toỏn t t liờn hp 2.4 Toỏn t compact t liờn hp 2.5 Toỏn t dng 2.6 Toỏn t chun tc 2.7 Toỏn t Unita Chng III ng dng: Gii phng trỡnh tớch phõn CHNG KIN THC CHUN B 1.1 Tớch vụ hng nh ngha 1.1 Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P ( P l hoc ) Gi tớch vụ hng trờn khụng gian X l mt ỏnh x t tớch Descartes X x X vo P, kớ hiu , tha món: i) y, x x, y x, y X ii) x y, z x, z y, z x, y, z X iii) x, y x, y x, y X , P iv) x, x x X x, x x nh lý 1.1 (Bt ng thc Cauchy-Schwarz) Vi mi x X t x x, x Chng minh rng: x, y x y , x, y X Chng minh Nu x, y thỡ bt ng thc trờn ỳng Nu x, y thỡ ta cú x x, y y, x x, y y x, x x, y y x, y y, x x, y y x, x x, y x, y x, y y, x x, y x, y x x, y x, y y y, y Ta nhn c mt tam thc bc i vi khụng õm vi Do ú: x, y x, y x X , x x 2 y x, y x 2 y x, y x y x, x xỏc nh mt chun trờn X Tht vy x, x x P : x x, x 0; x x, x x x, x x, x x 2 x y x y, x y x, x y y, x y x x, y x, y y 2 2 x x, y y x x y y ( x y )2 Vy x y x y x, y X 1.2 Khụng gian Hilbert nh ngha 1.2 Cho X l mt khụng gian tuyn tớnh trờn hoc c trang b tớch vụ hng, X c gi l khụng gian Hilbert nu mi dóy Cauchy X hi t n mt phn t ca X nh ngha 1.3 Nhng phn t x , y ca khụng gian Hilbert l trc giao vi nu x, y , kớ hiu l x y v l trc chun nu cú thờm x 1, y nh ngha 1.4 Mt h trc chun en , n 1, 2, mt khụng gian Hilbert X l nu phn t nht ca X trc giao vi tt c en l vect nh lớ 1.2 Cho en , n 1, 2, l mt h trc chun khụng gian Hilbert X Khi ú x X ta cú x x, en en v n x x, en n nh ngha 1.5 Cho A l mt hp nhng vect khụng gian Hilbert X Khi ú Lin ( A) l giao ca tt c nhng khụng gian ca X m cha A v Clin( A) l bao úng ca Lin ( A) Cỏch khỏc Lin ( A) l hp tt c nhng t hp tuyn tớnh ca nhng phn t ca A Nu A hu hn thỡ Clin ( A) Lin ( A) nh lớ 1.3 Cho en , n 1, 2, l mt h trc chun khụng gian Hilbert X Khi ú nhng phỏt biu sau l tng ng i) en l ii) X Clin e , n n iii) x X , x x, en n 1.3 Khụng gian L2 a, b nh ngha 1.6 Khụng gian L2 a, b l hp nhng hm bỡnh phng kh tớch Lesbegue trờn a, b , cú giỏ tr thc hoc phc v o c Borel: b f t L2 a, b f t dt a Khụng gian ny c trang b tớch vụ hng b f , g f t g t dt a vi chun, metric tng ng l b f f t dt b d f ,g a a Kt lun: L2 a, b l mt khụng gian Hilbert 10 f t g t dt 2e -ixt ixs e f ( s ) ds dt 1 ei(s t ) x dsdt 1 Vi s thay i nhng bin, ta kt lun rng T T T T hay T toỏn t l chun tc 2.7 Toỏn t Unita nh ngha 2.9 Toỏn t U tỏc dng lờn khụng gian Hilbert X c gi l Unita nu nú tha nhng iu kin sau f X i) Uf f ii) U cú nghch o trờn tt c cỏc phn t ca X c cho bi U l liờn hp ca U nh lớ 2.7 Cho toỏn t tớch phõn Ff ( x ) isx e f ( x ) dx ỏnh x khụng gian L2 [- , ] vo chớnh nú Toỏn t l Unita nờn F ( f ) ds f dx (c bit nh l cụng thc Parseval ) v F f ( x) -isx e f ( x ) dx l liờn hp ca F v cng l nghch o ca nú Tng quỏt hn, ta cú F ( f ) F ( g )ds f ( x ) g ( x )dx vi f , g l nhng phn t thuc L2 [- , ] 33 Toỏn t F chớnh xỏc cú giỏ tr riờng 1, i, 1, i , mi giỏ tr riờng l bi s vụ hn Chng minh: Xột hm f x L2 [-,] v biu th nú bi f ( x ) f kk ( x ) k vi i l nhng vect riờng trc chun c xỏc nh bi n x n x k ( x ) e D e Dóy pn x c xỏc nh bi n pn x f k k ( x ) k l dóy Cauchy L2 [- , ] m gii hn ca nú l f x v rừ rng xỏc nh dóy Cauchy th L2 [- , ] T ú cú n F ( pn ) F ( p m ) f k pn ( x ) pm ( x ) k m Ta cú n lim F ( pn ) i k f kk ( s ) F ( f ) n (2.11) k Tng quỏt, ta thy rng nu f ( x ) f nn ( x ) , g ( x ) g nn ( x ) n0 n0 Khi ú F ( f ) f ni nn ( s ) , F ( g ) g ni nn ( s ) n n v 34 F ( f ) F ( g )ds f ( x ) g ( x )dx Bõy gi ta s kim tra toỏn t liờn hp ca F F f ( x) -isx e f ( x ) dx Thy rng F (n ( x)) (i )n n (s) nờn F F (n ( x)) f F (n ( x)) n ( x) v dn n nghch o ca F l F Chỳng ta cng cú th nghiờn cu nhng giỏ tr riờng ca F Gi s F ( f ) f ni nn ( s ) f nn ( s ) n n0 Khi ú: ( i n ) f n vi n cú th ch cú giỏ tr riờng 1, i, 1, i Nu thỡ fn l bt kỡ nu n 4k v f n cỏc trng hp cũn li F f f nu f ( x) f k4 k ( x) k F f if nu f ( x ) f k 14 k ( x ) k F f f nu f ( x ) f k 24 k ( x ) k F f if nu f ( x ) f k 34 k ( x ) k Mi giỏ tr riờng ny l bi s vụ hn Kt qu ny suy rừ rng F b chn nhng khụng l toỏn t compact 35 CHNG NG DNG: GII PHNG TRèNH TCH PHN Phõn loi phng trỡnh tớch phõn Phng trỡnh vi hm n di du tớch phõn c gi l phng trỡnh tớch phõn Phng trỡnh cú dng x x K x , t f t dt a ú ó cho v f l hm n c gi l phng trỡnh tớch phõn Volterra loi 1, hm K l ht nhõn Nu hm n cng xut hin ngoi du tớch phõn x f x K x , t f t dt x a c gi l phng trỡnh tớch phõn Volterra loi Tng t, phng trỡnh vi nhng cn tớch phõn nh sau b x K x , t f t dt a v b f x K x , t f t dt x a c gi l nhng phng trỡnh tớch phõn Fredholm loi v Nu thỡ phng trỡnh c gi l thun nht, ngc li nú l khụng thun nht B 3.1 (ỏnh x co) Cho S l úng ca khụng gian Banach v cho T : S S l ỏnh x co Khi ú i) Phng trỡnh Tx x cú v ch nghim S v ii) Nghim nht x cú th thu c t gii hn dóy xn ca nhng phn t ca S c xỏc nh bi xn Txn , n 1, 2, ú x l 36 phn t bt kỡ ca S x lim T n x n B trờn khụng ch th hin kt qu v s tn ti v tớnh nht m cũn a thut toỏn cho vic tỡm nghim bi phng phỏp lp, c bit nh phng phỏp xp x liờn tip B 3.1 cũn c s dng chng minh s tn ti v tỡm nghim ca nhng phng trỡnh tớch phõn, vi phõn v i s B sau õy l s tng quỏt húa hu dng cho b 3.1 Nú cú vai trũ quan trng cho chng minh v s tn ti v tớnh nht nghim ca loi phng trỡnh tớch phõn no ú B 3.2 Cho E l khụng gian Banach v T : E E Nu T m l ỏnh x co vi m , ú T cú nht im bt ng x E v x limT n x vi x E n nh lớ 3.1 Nu A l toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Banach E v l phn t bt kỡ ca E Khi ú toỏn t c xỏc nh bi Tf Af cú nht im bt ng vi nh Chớnh xỏc hn, nu k l hng s dng cho Af k f f E thỡ Tf f cú nghim nht vi k Chng minh Vỡ A b chn, tn ti hng s k cho Af1 Af k f1 f 37 f1 , f E Do ú Tf1 Tf Af1 Af k f1 f k Nờn T l ỏnh x co vi Trong trng hp nh th T cú nht im bt ng theo b 3.1 nh lớ 3.2 (S tn ti v tớnh nht nghim ca phng trỡnh tớch phõn Fredholm tuyn tớnh khụng thun nht loi 2) Phng trỡnh b f x K x , y f y dy x (3.1) a cú nghim nht f L2 a, b vi ht nhõn K liờn tc a, b a,b , L2 a, b v k 1, ú b b k K x , y dxdy a a Chng minh Xột toỏn t b Tf x K x , y f y dy x a Vỡ L2 a, b , ch Tf L2 a, b ta cn chng minh b K x , y f y dy L a , b a Bng bt ng thc Schwarz ta thy b b K x, y f y dy K x, y f y dy a a 38 (3.2) 1 b b 2 K x, y dy f y dy a a Do ú b b b 2 K x , y f y dy K x , y dy f y dy a a a v b b a b b b 2 a K x, y f y dy dx a a K x, y dy a f y dy dx b b K x, y a a b dydx f y dy a Vỡ b b b K x , y dydx v a a f y dy a nờn (3.2) c tha v ú T ỏnh x L2 a, b vo chớnh nú Chỳ ý trờn cng ch toỏn t c xỏc nh bi b Af x K x , y f y dy a l b chn Do ú theo nh lớ 3.1, phng trỡnh Tf f cú nghim nht, ú k Vớ d 3.1 Xột phng trỡnh tớch phõn b f x e x y f y dy x a ú l hm cho trc Vỡ 39 (3.3) eb e a x y a a e dxdy ea b b b nờn phng trỡnh (3.3) cú nghim nht ú e a b eb e a nh lớ 3.3 (S tn ti v tớnh nht nghim ca phng trỡnh tớch phõn Fredholm khụng tuyn tớnh) Gi s b i) K x, y, f y dy f L2 a, b M f a ii) K x , y , z1 K x, y , z N x, y z1 z b b iii) N x, y x, y, z1 , z2 a, b dxdy k a a Thỡ phng trỡnh Fredholm khụng tuyn tớnh b f x K x , y , f y dy x (3.4) a cú nghim nht f L2 a, b , L2 a, b v cho k Chng minh Xột toỏn t Tf Af ú b Af x K x , y , f y dy a Khi ú b Tf1 Tf K x, y, f y K x, y, f y dy a 40 bb K x, y , f1 y K x, y , f y dy dx aa bb N x, y f1 y f y dy dx aa k f1 f Rừ rng nu k thỡ T l toỏn t co, ú nú cú nht im bt ng im bt ng ú l 1nghim ca phng trỡnh (3.4) Chỳ ý rng K x, y, f ( y) K x, y f ( y) thỡ phng trỡnh (3.4) quy v phng trỡnh (3.1) Nờn nh lớ 3.3 cng bao gm c trng hp tuyn tớnh nh lớ 3.4 (Phng trỡnh tớch phõn Volterra loi 2) Gi s L2 a, b , ht nhõn K tha iu kin: b b K x, y (3.5) dxdy a a Khi ú phng trỡnh x (3.6) f x K x , y f y dy x a cú nghim nht L2 a, b vi bt kỡ Nghim cú th c vit di dng x f x x n K n x , t t dt n (3.7) a ú nhng ht nhõn Kn x, t tha h thc truy hi K1 x, t K x, t x K n x , t K x , K n , t d a 41 n (3.8) Chng minh t x A x K x, y dy a b B y K x, y dx y T (3.5) thỡ A v B l nhng hm kh tớch, nờn tn ti hng s M cho b A x dx M a b B y dy M a Ta cng a vo hm a, b c xỏc nh bi x x A t dt a Rừ rng x M , x a, b Xột toỏn t x Tf x K x , y f y dy x a Ta s ch rng T n l ỏnh x co vi n v s dng b (3.2) kt lun rng T cú im bt ng im bt ng ú phi l nghim nht ca (3.6) Nu vit Tf Wf ú x Wf x K x , y f y dy a 42 Khi ú T n f W 2W nW n f Nhng toỏn t W m cú th c vit di dng x W g x K x , y g y dy m m a ú nhng ht nhõn K n c xỏc nh bi (3.8) Vi m ta cú x z W g x K x , z K z , y g y dydz a a Tớch phõn ny cú th c xem nh tớch phõn kộp trờn tam giỏc y , z : a y z , a z x Sau hoỏn v th t tớch phõn, ta thu c x x W g x K x, z K z, y dzg y dy a y Nu ta kớ hiu x K x, y K x, z K z , y dz y Khi ú bng s lp lun tng t, ta cú x x W g x K x, z K z, y dzg y dy a y V c tip tc nh ó núi trc m c lng W , ta kim tra K m Vi m , ỏp dng bt ng thc Schwarz ta c 2 x K x, y K x, z K z, y dz y 43 x x 2 K x, z dz K1 z , y dz A x B y y y Tng t x x 2 K x, y K x, z dz K z , y dz y y x A x B y A z dz A x B y x y y Bng quy np, ta cú th ch rng Km x y x, y A x B y m2 ! m2 vi m Do ú m x m T f1 x T f x 2m K x, y f y f y dy m a x 2m A x B y x y m ! a 2m A x x m2 m ! 2m A x x m2 x dy f1 y f y dy a x B y dy f1 f M 2 a m2 f1 f m ! Ly tớch phõn vi x a, b , ta thu c m m T f1 T f Do ú n 2m Mm f f m 1! cho 2n Mn n 1! 44 vi m n Khi ú T l ỏnh x co, t b (3.2) suy phng trỡnh (3.6) cú nghim nht cú th c vit di dng lim T n f W 2W 3W n hoc tng ng vi x f x x n K n x , t t dt n a nh lớ 3.5 (Phng trỡnh tớch phõn Volterra thun nht) Phng trỡnh tớch phõn Volterra thun nht x f x K x , t f t dt , x 0,1 (3.9) ch cú nghim tm thng f Chng minh T (3.9) cú x f x K x , t f t dt (3.10) Mp ú p f t dt v M l hng s cho K x , t M vi x, t 0,1 Do ú, bng vic s dng (3.9) v (3.10), ta thu c x f x K x, t Mpdt M px Tip tc quỏ trỡnh ta c n Mnp x n1 f x M p n 1! n 1! n n iu ny ch f x x 0,1 45 n KT LUN Khụng gian L2 [a,b] l khụng gian cỏc hm nhn giỏ tr thc hoc phc, o c Borel v cú bỡnh phng kh tớch Lesbegue Nú l khụng gian Hilbert nờn cú y nhng tớnh cht ca khụng gian ny Cỏc toỏn t trờn khụng gian L2 [a,b] l cỏc toỏn t trờn khụng gian Hilbert, khúa lun ó trỡnh by cỏc loi toỏn t ú l: toỏn t tuyn tớnh b chn, toỏn t compact, toỏn t t liờn hp, toỏn t dng, toỏn t chun tc v toỏn t Unita vi cỏc tớnh cht c a di dng cỏc nh lớ cựng nhng vớ d c th Cỏc toỏn t ny c sinh bi L2 -ht nhõn K x, y l hm liờn tc trờn [a,b] [a,b] ng dng quan trng ca nhng toỏn t ny trờn khụng gian L2 [a,b] l gii nghim ca cỏc phng trỡnh tớch phõn Fredholm, Volterra loi v 2; thun nht v khụng thun nht, cú s dng tớnh cht im bt ng ca ỏnh x co 46 TI LIU THAM KHO [1] A.N.Kolmogorov, X.V.Fomin, C s lớ thuyt hm v gii tớch hm, (bn dch ting Vit), Nh xut bn Giỏo dc, 1971 [2] Phan c Chớnh, Gii tớch hm, 1, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip, 1978 [3] GS.TS Nguyn Ph Hy, Gii tớch hm, Nh xut bn khoa hc k thut H Ni [4] Schechter M, Nhng nguyờn lớ ca gii tớch hm, 1973 [5] A.Mukherjea and K.Pothoven, Real and Functional Analysis, part B, Plenum Press, 1986 [6] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications Press, 1982 [7] David Porter and David S.G.Stirling , Integral Equations: A Practical Treatment, Cambridge Press, 1990 [8] Harry Hochstadt, Integral Equations, John Wiley & Sons Publication, 1973 [9] H.L.Royden , Real Analysis, Macmilan Publishing Company, 1988 [10] K.O.Friedrichs, Spectral Theory of operators in Hilbert space, Springer-Verlag, 1973 47 [...]... x, y) 2.3 Toán tử tự liên hợp Định nghĩa 2.5 Cho K là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử tuyến tính H ánh xạ từ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử K nếu Kx, y  x, Hy x  X , y Y Toán tử liên hợp của K thường kí hiệu là K  24 Những toán tử tích phân trên L2 [a,b] chỉ như những ma trận trên những không gian hữu hạn... đối và đều 2.6 Toán tử chuẩn tắc Định nghĩa 2.8 Cho T : X  X là 1 toán tử tuyến tính liên tục với toán tử liên hợp T Khi đó T được gọi là chuẩn tắc khi và chỉ khi T T  T T  Ví dụ 2.10 Cho toán tử bị chặn T trên L2 [0,1] được xác định bởi 1 2  e ix t f ( t ) dt Tf ( x )   1  x  1 1 Khi đó toán tử T là toán tử chuẩn tắc nhưng không tự liên hợp Chứng minh Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra T không. .. T  hay T toán tử là chuẩn tắc 2.7 Toán tử Unita Định nghĩa 2.9 Toán tử U tác dụng lên 1 không gian Hilbert X được gọi là Unita nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau f  X i) Uf  f ii) U có 1 nghịch đảo trên tất cả các phần tử của X được cho bởi U  là liên hợp của U Định lí 2.7 Cho toán tử tích phân  Ff ( x )  1 isx e f ( x ) dx 2   ánh xạ không gian L2 [- ,  ] vào chính nó Toán tử là Unita...  a) f a  Do đó K bị chặn và có K  M (b  a) Ví dụ 2.1 Cho không gian L2 [0,1] và hạt nhân K  x, y   sin  xy  Nếu b f  x   L2[0,1] thì ( Kf )( x)   sin( xy) f ( y)dy là toán tử tuyến tính bị a chặn Chứng minh Vì hạt nhân K  x, y   sin  xy  liên tục nên theo định lí 2.1 suy ra K là toán tử tuyến tính bị chặn Ví dụ 2.2 Giả sử a, b và a  b Xét không gian vectơ định chuẩn của L2... b fg  L2  a, b và  f  t  g  t  dt  f g a Chứng minh   b b 2 b b 2 0    f   g  dt   f dt  2  fg dt   a a 2 a g 2 dt a b  f 2  2  fg dt   2 g 2 a Với g  0 , đặt    0 f 2 f Khi đó g f 2 g b  b fg dt  f a 2   fg dt  f g a 11 CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN L2 [a,b] 2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian Hilbert trên trường... phương trình (2.2), từ đó suy ra liên hợp của 1 toán tử tích phân cũng là 1 toán tử tích phân mà hạt nhân của nó đơn giản liên quan đến hạt nhân của K Định nghĩa 2.6 Cho X là 1 không gian Hilbert và T là 1 toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào chính nó Nếu T  T  , chúng ta nói toán tử T là tự liên hợp Ví dụ 2.6 Cho X = ( L2 [a,b] , ), ở đó   a  b   và  là đo được Lesbegue của [a,b] Cho T : X ...   L2  a, b  : K    AB  2  2.2 Toán tử compact Định nghĩa 2.3 Cho K là 1 toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert X và  fn  là một dãy bị chặn vô hạn trong X Nghĩa là tồn tại M sao cho fn  M với  n K được gọi là toán tử compact nếu từ dãy  Kf n  có thể lấy ra 1 dãy     con Kfnk là một dãy Cauchy Dãy Kfnk cũng hội tụ vì X là không gian Hilbert 16 Định nghĩa 2.4 Giả sử K... trường vô hướng F Một toán tử tuyến tính là một hàm K : X  X thỏa mãn điều kiện sau K  f   g    K  f    K  g  với f , g  X ;  ,   F Định nghĩa 2.2 Một toán tử tuyến tính K trên không gian Hilbert X được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho Kf  M f (*), f  X Số M  0 nhỏ nhất thỏa mãn (*) được gọi là chuẩn của K , kí hiệu là K Định lí 2.1 Xét không gian L2  a, b ở...  (1   ) và bằng tính đối xứng nếu t   a, b thì 1  0 2 M  1  h2 ( x , y ) dx  (1   ) nên nếu H 2 là một toán tử trên L2 [a,b] mà h2 sinh ra thì H2  Vì H 2 2M  1 (1   ) có thể nhỏ bởi sự lựa chọn thích hợp của  và H 1 là compact, chúng ta có thể xây dựng 1 dãy K n  của những toán tử compact từ L2 [a,b] vào chính nó với Kn  K  0 khi n  , ở đó K  H 1  H 2 là toán tử được sinh... Giả sử K :  a, b   a, b  là 1 hàm đo được và có hằng số A và B sao cho b i) x   a, b  thì  K  x, t  dt A a b ii) t   a, b  thì  K  x, t  dx B a Khi đó toán tử tích phân sinh ra từ K được cho bởi b  K  x    K  x, t   t  dt a 1 là 1 toán tử bị chặn từ L2  a, b vào chính nó và K   AB  2 Chứng minh Đây chỉ là vấn đề sử dụng khéo léo bất đẳng thức Schwarz Ta chú ý rằng ... 2.3 Toán tử tự liên hợp Định nghĩa 2.5 Cho K toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử tuyến tính H ánh xạ từ không gian Y vào không gian X gọi toán tử. .. hướng 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian L2 [a,b] Chương II Toán tử tuyến tính không gian L2 [a,b] 2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 2.2 Toán tử compact 2.3 Toán tử tự liên hợp 2.4 Toán tử compact... Toán tử tuyến tính không gian L2 [a,b] ứng dụng để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận ý vào loại toán tử tuyến tính khác không gian L2 [a,b] Đó toán tử tuyến tính bị chặn, toán