Nếu S là không gian con đóng của không gian Hilbert H. thì
, ! :
x H y S x y z và z S .
Do đó mọi không gian con đóng cảm sinh một toán tử trong H, biến
xthành duy nhất .y
Định nghĩa 2.6.1. (Phép chiếu trực giao) Cho S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Phép chiếu P trong H định nghĩa bởi :
Px y nếu x y z y, S z, S . (2.18) được gọi là phép chiếu trực giao vào S, hay chiếu hoàn toàn vào S.
Vectơ ygọi là hình chiếu của x trên S.
Phép chiếu lên không gian con S thường kí hiệu là PS.
Từ sự phân tích duy nhất x y z, phép chiếu là tuyến tính. Áp dụng công thức Pitago ta có :
2 2 2 2 2
.
Px y x z x
Do đó phép chiếu là bị chặn và P 1.
Toán tử không là phép chiếu lên không gian con không.
Nếu PS là phép chiếu khác không thì PS 1 vì x S P x, S x. Toán tử đồng nhất I là phép chiếu lên H.
Ví dụ 2.6.2. Cho S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và 1, ,...2
e e là hệ trực giao đủ trong S. Khi đó phép chiếu PS được xác định bởi :
1 , . S n n n P x x e e Nếu S có thứ nguyên là 1 và v S v, 1 thì P xS x v v, .
Ví dụ 2.6.3. Cho 2
[- , ] .
H L x Hđều có thể biểu diễn x y z,trong đó y là hàm chẵn và z là hàm lẻ. Toán tử xác định bởi Px y là phép chiếu lên không gian các hàm chẵn.
Toán tử này cũng xác định như trong ví dụ 2.6.2 :
0
, n n,
n
Px x
Trong đó 0( ) 1 & ( ) 1 .cos , 1, 2,...
2 n 2
t t nt n
Ví dụ 2.6.4 : Cho 2
[ , ]
H L và P là một toán tử của H xác định bởi :
0 0. ( ) ( ) 0. khi t Px t x t khi t
Thì P là một phép chiếu lên không gian tất cả các hàm triệt tiêu tại 0.
t
Chú ý : Nếu P là một phép chiếu trên H thì
, 0, ,
Px y Py x y H (2.19)
Định nghĩa 2.6.5. (Toán tử lũy đẳng) Một toán tử T gọi là lũy đẳng nếu
T2=T.
Mọi phép chiếu đều là toán tử lũy đẳng. Thật vậy,
Nếu P là phép chiếu lên không gian S thì P là toán tử trên S vì ,
Px S x H
Ta có P x2 P Px( ) Px, x H.
Ví dụ 2.6.6 : Xét toán tử T trên £2 xác định bởi ( , )T x y (x y,0). Rõ ràng T là lũy đẳng. Mặt khác, do
2 ( , ),( , ) ( )
( , )
T x y không hẳn trực giao với ( , )x y T x y( , ) T không là một phép chiếu.
Định lý 2.6.7. Một toán tử bị chặn là một phép chiếu khi và chỉ khi nó là lũy
đẳng và tự liên hợp.
Chứng minh : Cho P là một phép chiếu trên H. Ta có mọi phép chiếu là lũy đẳng. x y, H: , , , , , , , . Px y Px Py Px y Py Px Py Px Py x Px Py x Py Theo (2.19), P là tự liên hợp.
Giả sử T là toán tử lũy đẳng và tự liên hợp trên H. Đặt
:
S x H Tx x
Do T là toán tử bị chặn, S là không gian con đóng. Chứng minh T là phép chiếu trên S.
Ta cần chỉ ra Tx Svà x Tx S , x H. Các tính chất sau suy ra trực tiếp từ T là lũy đẳng.
, :
, , , , , , , 0.
x H z S
x Tx z x z Tx z x z x Tz x z x z
Hệ quả 2.6.8. Nếu P là phép chiếu trên H, thì Px x, Px 2.
Định nghĩa 2.6.9.(Phép chiếu trực giao) Hai phép chiếu P và Q gọi là trực giao nếu PQ=0.
Chú ý rằng hai phép chiếu bất kỳ P và Q, ta có PQ=P*Q*=(QP)*.
Do đó, PQ=0 QP=0.
Định lý 2.6.10. Hai phép chiếu PR và PS là trực giao khi và chỉ khi R S.
Chứng minh: Giả sử P PR. S 0. Nếu x ¡ ,y S thì
, R , S , R S 0,
Do đó, R S.
Bây giờ giả sử R S. Nếu x H thì P xS S và do đó P x RS . Do đó (P P xR S ) 0, x H.
Chứng tỏ PR và PS trực giao.
Định lý 2.6.11. Tổng của hai phép chiếu PR và PS là phép chiếu khi và chỉ khi
PRPS=0. Trong trường hợp này, PR+PS=PR S.
Chứng minh :
Nếu P PR PS là phép chiếu thì 2
(PR PS) PR PS
Hay P PR S P PS R 0.
Nhân hai vế đẳng thức với PR ta được : 0.
R S R S R
P P P P P (2.20) Nhân đẳng thức sau với PR :
2P P PR S R 0. (2.21) Thay (2.20) vào (2.21) ta được P PR S 0.
Giả sử, P PR S 0, ta cũng có P PS R 0, do đó, 2
(PS PR) PR PS. P là lũy đẳng.
Vì P cũng là tự liên hợp, tổng của hai toán tử tự liên hợp là phép chiếu ( Định lý 2.6.7).
Đặt P PR PS. x H, ta có
R S
Px P x P x R S. Hơn nữa, nếu x x1 x2, với x1 R x, 2 S thì
1 2 .
R S
Px P x P x x x x
Định lý 2.6.12. Tích của hai phép chiếu PRvà PS là một phép chiếu khi và chỉ khi PR và PS là giao hoán. Trong trường hợp này, P PR S PR S.
Chứng minh : Giả sử P P PR S là một phép chiếu thì *
P P và do đó, * * * ( ) . R S R S S R S R P P P P P P P P Do đó nếu P PR S P PS R thì * * * (P PR S) P PS R P PS R P PR S. Vì P P PR S là tự liên hợp, hơn nữa,
2 2 2 . . R S R S R S R S P P P P P P P P P P Vì P là lũy đẳng. Do đó P là phép chiếu. Với x H, ta có Px P P xR( S ) P P xS( R ), do đó Px R S. Hơn nữa, với x R S, ta có Px P P xR( S ) P xR x.
Do đó, P PR S. Ví dụ 2.6.13. Toán tử xác định bởi các ma trận : 1 0 0 0 A và 1 1 2 2 1 1 2 2 B
là phép chiếu trên £2. Dễ dàng kiểm tra được rằng AB không là phép chiếu.
Định lý 2.6.14. Cho R và S là hai không gian con đóng của không gian Hilbert
H, PR và PS là các phép chiếu tương ứng. Các điều kiện sau tương đương : (a) R S. (b) P PS R PR. (c) P PR S PR. (d) P xR P xS , x H. Chứng minh : Giả sử R S P x, R S, x H. Do đó P P xS R P xR và do đó (a) (b).
Nếu P PS R PR, thì * * * * ( ) , R R S R R S R S P P P P P P P P Do đó (b) (c). Giả sử P PR S PR, thì , . R R S R S S P x P P x P P x P x x H Do đó (c) (d).
Tương tự giả sử (d) đúng và (a) không đúng,
: . x R x S Lấy x y z y, S và z S . Vì x S, ta có z 0 và 2 2 2 2 2 R S P x y z y P x .
Mâu thuẫn với (d). Do đó R S.