Luận văn sư phạm Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[a.b]

Khóa lu n t t nghi p TR Mai Th Thanh Xuân NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN - - MAI TH THANH XUÂN D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C VÀ TỐN T TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHƠNG GIAN C[ a,b] KHOÁ LU N T T NGHI P IH C Chuyên ngành : Gi i tích HÀ N I - 2010 K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p TR Mai Th Thanh Xuân NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN - MAI TH THANH XUÂN D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C VÀ TỐN T TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHƠNG GIAN C [ a ,b ] KHOÁ LU N T T NGHI P IH C Chuyên ngành : Gi i tích Ng ih ng d n khoa h c TS.Khu t V n Ninh HÀ N I - 2010 K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Mai Th Thanh Xuân L IC M Khóa lu n đ N c hoàn thành v i s h chu đáo c a TS Khu t V n Ninh Tôi xin đ ng d n ch b o nhi t tình c trân tr ng bày t lịng bi t n sâu s c t i th y TS Khu t V n Ninh Nhân xin trân tr ng c m n th y ph n bi n dành th i gian đ c đóng góp nhi u ý ki n q báu cho tơi đ tơi có th hồn thành t t khóa lu n này, đ ng th i xin trân tr ng c m n s quan tâm, giúp đ c a th y cô tr ng i h c S ph m Hà N i t o u ki n giúp đ tơi hồn thành khóa lu n Vì có nhi u h n ch v n ng l c th i gian, khóa lu n ch c ch n khơng th tránh kh i nhi u thi u sót Tơi hi v ng nh n đ c nhi u ý ki n đóng góp c a th y b n Cu i em chúc th y cô m nh kho , công tác t t đ c ng hi n nhi u h n n a cho s nghi p giáo d c c a đ t n đ c thành công h n n a ng nghiên c u khoa h c c a Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh viên MAI TH THANH XUÂN K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Mai Th Thanh Xuân Tài li u tham kh o PGS.TS.Nguy n Ph Hy [2006], Gi i tích hàm, NXB Khoa H c K Thu t Nguy n Xuân Liêm [2003], Bài t p gi i tích hàm, NXB Giáo D c Nguy n Duy Ti n [2007], Bài gi ng gi i tích (t p 1), NXB Qu c Gia Hà N i Hoàng T y [2005], Hàm th c gi i tích hàm, NXB Gia Hà N i iH c i H c Qu c c Thái Nguy n Ti n D ng [2009], Nh p môn hi n đ i xác su t th ng kê, Trung tâm tốn tài cơng ngh Hà N i GS.TSKH.Nguy n V n Khuê GS.TSKH.Lê M u H i [2001], C s lý thuy t hàm gi i tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fomin [1971], C s lý thuy t hàm gi i tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c M CL C L i nói đ u Ch ng TệCH PHÂN STIELJES 10 1.1 Hàm s có bi n phân b ch n 10 1.2 Tích phân Rieman - Stieljes 19 1.3 Tích Phân Lebesgue - Stieljes 27 K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch Mai Th Thanh Xuân ng D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN C[a ,b] 29 2.1 Không gian C[ a,b] 29 2.2 Không gian liên h p c a không gian C[ a ,b ] 32 2.3.Khơng gian hàm có bi n phân b ch n đo n [a , b] 34 2.4 Phi m hàm n tính liên t c không gian C[ a ,b ] 35 Ch ng TOÁN T TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHƠNG GIAN C[a ,b] 43 3.1 Khơng gian tốn t n tính liên t c khơng gian C[ a ,b ] 43 3.2 Toán t n tính liên t c khơng gian C[ a ,b ] 45 K t lu n 50 K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Mai Th Thanh Xuân L i nói đ u Gi i tích hàm m t ngành c a gi i tích tốn h c nghiên c u v không gian vect đ c trang b thêm c u trúc tôpô tốn t n tính liên t c gi a chúng Ra đ i t đ u th k 20, đ n gi i tích hàm đ t đ c nh ng thành t u quan tr ng tr thành chu n m c vi c nghiên c u trình b y ki n th c tốn h c Gi i tích hàm đ ch ng trình đ i h c nh m t ph n b t bu c, th v i l c đ a vào ng th i gian có h n khó có th nghiên c u sâu vào m t v n đ đó, bên c nh n i dung c a gi i tích hàm r t phong phú nh : Không gian vect tôpô l i đ a ph ng (không gian đ nh chu n, không gian Banach, không gian Hilbert,…), tốn t n tính liên t c gi a không gian,… b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu v gi i tích hàm, em ch n đ tài: “ D ng t ng quát c a phi m hàm n tính tốn t n tính khơng gian C[ a ,b ] ” Khóa lu n nghiên c u v m t v n đ quan tr ng c a gi i tích hàm không gian hàm liên t c đo n [a , b] tốn t n tính liên t c N i dung c a khóa lu n bao g m: Ch ng Tích phân Stieljes: Ch ng đ a ki n th c ban đ u v hàm có bi n phân b ch n tích phân Stieljes (trong trình b y v tích phân Rieman - Stieljes tích phân Lebesgue - Stieljes ) K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch Mai Th Thanh Xuân ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian C[ a,b] : Ch ng vi t v không gian Banach Céa ,bù d ng ëê ú û t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Ch ng Tốn t n tính liên t c không gian C[ a,b] Do l n đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, th i gian có h n trình đ cịn non tr v n đ đ c trình bày khơng tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh Vì v y em r t mong nh n đ góp c a th y b n đ c đ khóa lu n đ c ý ki n đóng c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n Hà n i ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Mai Th Thanh Xn K32A Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch Mai Th Thanh Xuân ng TệCH PHÂN STIELJES 1.1 Hàm s có bi n phân b ch n nh ngh a 1.1.1 (Bi n phân b ch n) Cho hàm s F = F (x) xác đ nh đo n [a , b] Ta g i bi n phân c a hàm F [a , b] c n c a t ng n- åi= F (xi+ 1)- F (xi ) l y theo t t c phép phân ho ch đo n [a , b] b i m chia a  x0  x1   xn  b Kí hi u Vab (F ) T  n1  ta có: Vab  F   sup  F  xi1   F  xi   l y theo phép phân p  i 0   ho ch P Hàm F g i hàm có bi n phân b ch n n u Vab (F )< + ¥ b Theo đ nh ngh a c a bi n phân b ch n ta có: V  F    dF b a a Ví d 1: Tìm bi n phân c a hàm s sau đo n 0,1 a) f  x  x b) g  x  kf  x  m bi t r ng Vab  f    K32A Khoa Tốn 10 Khóa lu n t t nghi p c)    h x   1  x    Mai Th Thanh Xuân nÕu x=0 nÕu 0