Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lp và ca,b

Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội khoa: Toán ************* Phạm thị thƣơng Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L p C[ a,b] Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích hà nội – 2007 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm, thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn Xuân hòa, ngày 30/04/2007 Sinh viên Phạm Thị Thƣơng Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp C[ a,b] ” công trình nghiên cứu riêng Tuy đề tài hoàn toàn kết nghiên cứu đề tài không trùng với kết số tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Xuân hoà, ngày 30/04/2007 Sinh viên Phạm Thị Thƣơng Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Mục lục Lời cảm ơn .1 Lời cam đoan Lời nói đầu……………………………………………………………………4 Chƣơng Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C[ a,b] 1.1 Tích phân Stieljes 1.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C[ a,b] 10 Chƣơng Không gian Lp ( p  ) 19 2.1 hàm số luỹ thừa p khả tích ( p  ) 19 2.2 Không gian tuyến tính thực Lp 19 2.3 Không gian định chuẩn Lp 22 Chƣơng Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp ( p  ) 27 3.1 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp (p > 1) 27 3.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L .33 3.3 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Lời nói đầu Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỷ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số, phương trình vi phân,… Trong trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ giải tích không gian véctơ Ngoài ra, có ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đề cho ngành giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm, em chọn đề tài: “Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp C a ,b ” Nghiên cứu đề tài này, có hội tìm hiểu sâu thêm không gian Lp ( E, ) không gian C a ,b Từ ta có thêm kiến thức vấn đề phiếm hàm, khác chúng ta xét không gian khác Nội dung khoá luận bao gồm ba chương: Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Chương Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C a ,b Chương Không gian Lp ( E, ) ( p  ) Chương Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp ( p  1) Do thời gian lực có hạn nên chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc để khoá luận hoàn chỉnh đạt kết cao Em xin cảm ơn Xuân hoà, ngày 28/04/2007 Sinh viên Phạm Thị Thƣơng Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Chƣơng Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Ca ,b 1.1 Tích phân Stieljes 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho hai hàm số f  x  g  x  xác định  a,b Ta chia đoạn  a,b điểm chia a  x0  x1   xn  b ( n  N ) lập tổng: n 1 S   f i   g( xi 1 )  g  xi  i 0  i điểm đoạn  xi ,xi 1  , i  o,n  Nếu max( xi 1  xi )  , tổng S dần đến giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia đoạn  a,b cách chọn điểm  i giới hạn gọi tích phân Stieljes (hay Rieman-Stieljes) f  x  theo g  x  đoạn  a,b kí hiệu là: b  S   f  x dg  x  a Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số F  x  xác định  a,b Ta gọi biến phân hàm F  x  đoạn  a,b kí hiệu Vab  F  cận tổng n 1  F  x   F( x ) i 0 i 1 i lấy theo tất cách chia đoạn  a,b điểm Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán a  x0  x1   xn  b , ( n  N ) Hàm F  x  gọi có biến phân bị chặn Vab  F    1.1.2 Định lý Định lý 1.1.1 (Điều kiện đủ để tồn tích phân Stieljes) Nếu f  Ca ,b g hàm có biến phân bị chặn đoạn [a,b] tồn b tích phân Stieljes  S   f  x dg  x  a Chứng minh Với số   nhỏ tuỳ ý, chọn   cho: f  x"   f  x'    b a 2V g với x"  x'   Bây ta lấy hai phép phân hoạch đoạn [a,b] thành phần có độ dài phần nhỏ  Trên chúng lấy điểm tuỳ ý lập tổng tích phân S’, S” tương ứng Ta chứng minh: S'  S"   Giả sử cách chia thứ có điểm chia: a  x0  x1   xn  b n S'   f i   g  xi   g  xi 1  i 1 i  xi 1 ,xi  Nếu lấy tất điểm chia hai cách chia ta cách chia thứ ba đoạn [a,b] Tất nhiên “tốt hơn” Gọi điểm chia cách là: a  x0  x00   x01   x0 m   x1  x10   x11   x1m  x2  x20   x21   xn m2   xn 1  xn01  xn11   xn m1   b n 2 n 1 phần  xi j 1 ,xi j   điểm i j  lập tổng: S   f i j    g  xi j    g  xi j 1  n mj i 1 j 1 Chọn Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Vì cách thứ độ dài phần tử nhỏ  nên với i, j ta có: f  xi j    f  xi j 1    S  S'   b a 2V f  xi j    f  xi   g  b a 2V g f i j    g  xi j    g  xi j 1    f i   g  xi   g  xi 1  =  i 1 j 1 i 1 n mi n m  ( j) ( j) ( j 1 )   f i   g  xi   g  xi    f i   g  xi   g  xi 1    i 1  j 1  n i m n m  =   f i( j )   g  xi( j )   g  xi( j 1 )   f i    g  xi j    g  xi( j 1 )   i   j 1 j 1  i i =   f i( j )   f i   g  xi j    g  xi( j 1 )  mi n i 1 j 1 <  b a 2V   g  x    g  x n g mi i 1 j 1 ( j 1 ) i j i Vậy S  S'     2V  b a g Vab  g    Một cách tương tự ta có: S  S"   Lấy dãy số dương giảm  n   n    , với  n chọn số  n tương ứng cho với    n    n điều kiện định lí (1.1.1) thoả mãn Khi  chọn phụ thuộcvào  , không làm tính tổng quát ta giả sử dãy:  n  lập thành dãy đơn điệu giảm  n1  n Với n ta lấy phép phân hoạch đoạn [a,b] phần độ dài nhỏ  n , thành lập tổng tích phân tương ứng S n Ta chứng minh dãy  Sn  dãy R Thật vậy, Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Nếu m>n độ dài tất đoạn phép phân hoạch thứ m n nhỏ  n , theo chứng minh Sn  Sm   Vậy dãy  Sn  dãy R , nên limSn  I n Bây ta chứng minh với phép phân hoạch đoạn [a,b] ta có: I  S   ,trong S tổng tương ứng phép phân hoạch Thật vậy, với   , chọn số tự nhiên N cho: Sn  I   , n  N  Ta tìm số n0  N cho  n  Lấy tổng tích phân S thành lập nhờ phép phân hoạch đoạn [a,b] đoạn có độ dài nhỏ  n Vì tổng Sn thành lập nhờ phép phân hoạch thoả mãn điều kiện 0 độ dài đoạn nhỏ  n nên theo chứng minh ta có: S  Sn   n  0  S  I  S  Sn  Sn  I       Vậy limS  I  0 Định lý chứng minh  Định lý 1.1.2 (Định lý giá trị trung bình) b Nếu tồn tích phân Stieljes  f  x  dg  x  a b f  x V  g   f  x  dg  x   max   a a ,b b a Chứng minh 10 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán x  t   L2  E,  :  x,x    x  t  d   E  x,x     x t  d    x t   h.k.n E E  x  Tiên đề 4) thoả mãn Vậy (3.1.4) tích vô hướng không gian L2  E,  Hơn x   x,x    x  t  d  , E chuẩn sinh tích vô hướng trùng với chuẩn xuất phát, nên không gian L2  E,  với tích vô hướng (3.1.4) không gian Hilbert Giả sử f phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp  E,   p  1 Ta xét trường hợp  p  Ta có L2  E,    Lp  E,   Có thể xem L2  E,  không gian đóng Lp  E,   Nhờ xem phiếm hàm f tác dụng L2  E,  Theo định lý Riesz, tồn hàm số y  t   L2  E,  cho f  x    x  t y  t  d  , x  t   L2  E,   E Giả sử hàm số y  t  không tương đương với E Đặt  y  t  nÕu y  t   n yn  t    nsigny  t  nÕu y  t   n,n  1,2, 29 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Hiển nhiên, hàm số yn  t  n  1,2,  yn  t   y  t  , t  E  , nên yn  t   Lq  E,   , đo được, bị chặn 1   , p  Tiếp theo ta p q đặt xn  t   yn  t  q 1 signy  t   n  1,2,  Các hàm số xn  t  n  1,2,  đo được, bị chặn E , xn  t   Lp  E,   xn  t   L2  E,  xn p        xn  t  d      yn  t  d   E  E  p p q p Đồng thời, ta có f  xn    xn  t  y  t  dt   yn  t  E q 1 E y  t  d    yn  t  d  q E Mặt khác f  xn   f xn p   yn  t  E q q  p d   f   yn  t  d   E  (3.1.5) Vì y  t  không tương đương với E , nên yn  t  không tương đương với E (n=1,2, ) Chia hai vế bất đẳng thức (3.1.5) cho tích phân vế phải ta q  q y t d     n   f E  (3.1.6) Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (3.1.6) n   , ta q     yn  t  d    f  y  t   Lq  E,   E  q 30 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Ta lập phiếm hàm g  x    x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   (3.1.7) E Theo định lý (3.1.1) hệ thức (3.1.7) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục Lp  E,   g  y q Hiển nhiên, g  x  f  x x  t   L  E,  Vì không gian hàm liên tục E trù mật khắp nơi không gian L2  E,  , đặc biệt không gian hàm liên tục E trù mật khắp nơi không gian L2  E,  , nên theo định lý thác triển liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục g thác triển liên tục phiếm hàm f từ không gian L2  E,  toàn không gian Lp  E,   theo định lý Hahn-Banach g p f  y q Suy f  x   g  x  , x  t   Lp  E,   , nghĩa phiếm hàm f có biểu diễn dạng (3.1.2), f xác định hệ thức (3.1.3) Trường hợp p  chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý chứng minh  Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp  E,   ( p  ) f  x    x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   E 1  E     f  y q p q  3.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L 3.2.1 Không gian tuyến tính thực L Định nghĩa 3.2.1 31 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Cho không gian độ đo  E,F ,  ,   E    Kí hiệu L tập hợp tất hàm số đo theo nghĩa Lebesgue E bị chặn h k n E , nghĩa với hàm số x  t   L tìm số  x  cho x  t    x h k n E Phép toán Đưa vào L hai phép toán:  Cộng hai hàm số  Nhân số thực với hàm số thông thường * Chứng minh L không gian tuyến tính thực Thật vậy, ta có: +)  x  y  t   x  t   y  t     max x  t  ; y  t    x t   y t      x   y   1 1   h k n E   x  y  t   L +)  x  t    x  t    x  t     x   h k n E   x  t   L  L đóng kín với hai phép toán cộng nhân * Ta chứng minh hai phép toán thoả mãn hệ tiên đề tuyến tính x  t  , y  t   L ta có:  x  y t   x t   y t   y t   x t    y  x t  h k n x y yx 32 E Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Tiên đề 1) thoả mãn x  t  ,y  t  ,z t   L ta có:  x  y   z   t    x  y  t   z  t   x t   y t   z t   x  t    y  z t    x   y  z   t  h k n E   x  y  z  x   y  z Tiên đề 2) thoả mãn x  t  ,y  t   L ,   R ta có:   x  y   t     x  y  t     x  t   y  t    x  t    y t    x   y t  h k n E    x  y   x   y Tiên đề 3) thoả mãn  ,  R, x  t   L ta có:     x   t       x  t    x  t    x  t    x   x  t  h k n E      x   x   x Tiên đề 4) thoả mãn  ,  R, x  t   L ta có:   x   t     x  t    x  t      x t      x   t  h k n E    x     x  Tiên đề 5) thoả mãn x  t   L , 1 L ta có: 33 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán 1x t   1x t   x t  h k n E  1.x  x Tiên đề 6) thoả mãn x  t   L ,   t    L ta có:  x   t   x t    t   x t  h k n E  x   x Tiên đề 7) thoả mãn x  t   L ,   x  t   1.x t   L ta có:  x    x   t   x  t    1 x  t   1  1 x  t   h k n E  x   x   Tiên đề 8) thoả mãn Vậy L không gian tuyến tính trường số thực R 3.2.2 Không gian định chuẩn thực L Định nghĩa 3.2.2 Với x  t   L , ta đặt x   vrai sup x  t  tE Công thức cho ta chuẩn L Thật vậy, x  t   L : x  t    vrai sup x  t   tE  x  0 x    vrai sup x  t   tE  x  t   h k n E 34 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán  x t   h k n E  x  Tiên đề 1) thoả mãn x  t   L ,   R ta có :  x   vrai sup  x  t    vrai sup x  t  tE  x tE  Tiên đề 2) thoả mãn x  t  , y  t   L ta có : x y   x   y  Thật vậy, theo định nghĩa (3.2.1) (3.2.2) tồn hai tập hợp P Q có độ đo cho: x  t   x  , t  E \ P y  t   y  , t  E \ Q Tập hợp P  Q có độ đo không, : x  t   y  t   x   y  , t  E \  P  Q  Do : x  y   x   y  Vậy L không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn x   vrai sup x  t  tE Tính Banach không gian L Định lý 3.2.1 L không gian Banach Chứng minh 35 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Giả sử  xn  t   dãy không gian L , nghĩa (   ), ( n0  N * ) , ( m,n  n0 ) xn  xm   vrai sup xn  t   xm  t    (3.2.1) tE Với cặp số tự nhiên n,m ta đặt  X n ,m  t  E : xn  t   xm  t   xn  xm   Gọi X hợp tất tập hợp X n ,m Vì tập hợp X n ,m có độ đo không nên X có độ đo không Vì xn  t   xm  t   xn  xm  , với t  E \ X , nên từ (3.2.1) ta suy ra: xn  t   xm  t    với t  E \ X (3.2.2) với n  n0 ,m  n0 Vậy với t  E \ X ,  xn  t   dãy số Côsi, dãy  xn  t   hội tụ tập E \ X Đặt lim xn  t  ví i t  E \ X x  t    n ví i t  X o Trong (3.2.2), cố định n cho m   ta được: xn  t   x  t    , với t  E \ X với n  n0 (3.2.3) Vì X tập hợp có độ đo không nên (3.2.3) ta suy xn  x  L Do x  xn   xn  x   L Cũng từ (3.2.3) suy ra: xn  x    , với n  n0 , tức lim xn  x   nghĩa dãy  xn  t   hội tụ tới x  t  n  không gian L Vậy L không gian Banach Định lý chứng minh  36 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán 3.2.3 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L Nếu hàm số y  t   L1 với phần tử x  t   L ta đặt f  x    x t  y t  d  E Ta chứng minh f  x  phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L Thật vậy,ta có: f  x    x t  y t  d  E   x t  y t  d  E  vrai sup x  t   y  t  d    tE E  f  x  xác định x1  t  , x2  t   L ,  ,   R ta có: f  x1   x2     x1  t    x2  t   y  t  d  E    x1  t  y  t    x2  t  y  t   d  E    x1  t  y  t  d  +   x2  t  y  t  d  E   f  x1    f  x2  E  f phiếm hàm tuyến tính Hơn f  x    x  t  y  t  d   L1 E 37 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán  vrai sup x  t   y  t  d  tE E  x  y  f phiếm hàm tuyến tính bị chặn L f  y Đặt x0  t   sign y  t   x0  t   L , x0  1 f  x0    x0  t  y  t  d    y  t  d   y  f  y E Do f  E  y Ngược lại, giả sử f  L*  , L L không gian tuyến tính L1 , nên theo nguyên lý Hahn-Banach, thác triển phiếm hàm f thành phiếm hàm F từ L lên L1 cho F  x  = f  x   x  t   L  F = f Theo chứng minh ta tìm x*  t   L cho: F  z  =  z  t  x*  t  dμ ,z  t   L1 , F = x*  E Do đó: f  x  = F  x  =  x  t  x*  t  dμ,x  t   L E Nhưng x*  t   L1 nên f Suy x* = f   = x* = F = x*  Vậy L*   L1 Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm liên tục không gian L f  x    x  t  y  t  d  , x  t   L E hàm số y  t   L1 f  y 3.3 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 3.3.1 Định nghĩa 3.3.1 Cho không gian độ đo  E,F ,  ,   E    38  Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán L1 tập hợp tất hàm đo theo nghĩa Lebesgue E cho  x t  d  hội tụ E 3.3.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 Giả sử y(t) đo được, bị chặn h.k.n E nghĩa vrai sup y  t    tE Với phần tử x  t   L1 ta đặt f  x    x t  y t  d  E Ta chứng minh f  x  phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 Thật vậy, f  x    x t  y t  d  E  vrai sup y  t   x t  d    E  f  x  xác định x1  t  ,x2  t   L1 ; ,  R ta có: f  x1   x2     x1  t    x2  t   y  t  d  E    x1  t  y  t    x2  t  y  t  d  E    x1  t  y  t  d     x2  t  y  t  d  E   f  x1    f  x2  E  f phiếm hàm tuyến tính   Và f  x    x  t  y  t  d   vrai sup y  t  x E tE  f phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L1 Và f  vrai sup y  t   y  tE 39 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Ngược lại, giả sử f  L*1 áp dụng bất đẳng thức Holder với < r < s Đặt p  1 r sr s s      1,q  p q s s r rs Và với x  t   Ls ta có:  x t  d   x t  r E r d E 1 rp  p  q q    x t  d     d   E  E  r s r s r s  s    x  t  d      E   s  x s    E   s E   x r     E   s r s x s  x  t   L1 Do đó, Ls  Lr x r     E   s r s x s ,x  t   Ls áp dụng kết cho trường hợp r = 1, s = ta L2  L1 x     E   x  x  t   L2  x  t   L1 f  x   f x  f    E   x  f  L* Theo định lý Riesz, tồn hàm số y  t   L2  E,  cho: f  x    x  t  y  t  d  ,x  t   L2 , f  y E * Ta chứng minh y(t) bị chặn h.k.n E Thật   Đặt E  t  E \ y  t   f   ,(  cho trước tuỳ ý)  signy  t  nÕu t  E x0  t    nÕu t  E 0 40 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán x0  t   L1 x0   x0  t  d     E  đồng thời x0  t   L2 và: E f  x0    x0  t  y  t  d   E Nhưng, f  x0   f Do đó, y  t   f  y t  d    f      E  E x0  f   E  nên   E   h.k.n E, nghĩa y(t) bị chặn h.k.n E và: vrai sup y  t   f tE  f  vrai sup y  t  tE Theo chứng minh phần đầu, hàm đo bị chặn h.k.n E ta nhận phiếm hàm tuyến tính liên tục L1, xác định hệ thức: g  x    x  t  y  t  d  ,x t   L1 E Hiển nhiên f(x) = g(x),x  t   L2 Mặt khác, nguyên lý thác triển Hahn-Banach phiếm hàm f thác triển lên toàn L1 thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F với chuẩn không tăng F  f Hơn nữa, phiếm hàm f liên tục L2, tập hợp hàm số liên tục E trù mật khắp nơi Lp (p > 1), thác triển F phiếm hàm f toàn L1 Do đó: g  x   F  x  ,x  t   L1 g  f  F Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 là: f  x    x t  y t  d  , x t   L1 E f  vrai sup y  t  tE 41 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Kết luận Lý thuyết phiếm hàm tuyến tính nội dung quan trọng giải tích hàm Có thể nói phương pháp giải tích hàm hình thành sở phương pháp Giải tích toán học Đại số, tiên đề hoá tính chất đặc trưng tập hợp số thực thành không gian tương ứng mở rộng vấn đề quan trọng Giải tích toán học vào không gian đề tài này, em trình bày vấn đề từ dễ đến khó, việc tìm hiểu định nghĩa tính chất không gian C a ,b Lp  E,   , sau mở rộng sang dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục hai không gian Do thời gian lực hạn chế nên khoá luận đạt số kết định Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo khoa bạn đọc để khoá luận đầy đủ Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt thầy PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy- người tận tình bảo giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Phụ Hy thầy cô giáo khoa Toán Em xin chân thành cảm ơn Xuân hoà, ngày 30/04/2007 Sinh viên Phạm Thị Thƣơng 42 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Tài liệu tham khảo PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm , NXB Khoa học kỹ thuật Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm tập 1, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (1992), Giáo trình Giải tích hàm, ĐHSP Hà Nội II Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (2000), Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại, NXB Giáo dục 43 [...]... Kết luận Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp  E,   ( p  1 ) là f  x    x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   E 1 1  trong đó E    1  và f  y q p q  3.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L 3.2.1 Không gian tuyến tính thực L 1 Định nghĩa 3.2.1 31 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Cho không gian độ đo... tính liên tục trên không gian Lp ( p  1 ) 3.1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp (p > 1) Định lý 3.1.1 Nếu y  t  là một hàm số cố định nào đấy thuộc không gian 1 1  Lq  E,      1  thì f  x    x  t y  t  d  , E p q  x  t   Lp  E,   là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp  E,   và f  y q Chứng minh áp dụng bất đẳng thức tích... gian Banach Định lý được chứng minh  1.2.4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b Định lý 1.2.2 Nếu hàm g  x  có biến phân bị chặn trên đoạn  a,b thì phiếm hàm b F  f    f  x  dg  x  trên C a ,b là tuyến tính liên tục a Chứng minh Theo định lý (1.1.1) thì F là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian C a ,b Ta chia đoạn  a,b bởi các điểm... lập phiếm hàm g  x    x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   (3.1.7) E Theo định lý (3.1.1) hệ thức (3.1.7) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Lp  E,   và g  y q Hiển nhiên, g  x  f  x x  t   L  E,  2 Vì không gian các hàm liên tục trên E trù mật khắp nơi trong không gian L2  E,  , đặc biệt không gian các hàm liên tục trên E trù mật khắp nơi trong không gian. ..  1.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b 1.2.1 Định nghĩa Không gian C a ,b là tập tất cả các hàm số x  t  giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a,b],    a  b    x  t  , y  t   a,b ta có: x=y  x  t   y  t  ,t  a,b x   (phần tử không)  x  t   0,t  a,b 1.2.2 Không gian định chuẩn C a ,b Ta đưa vào không gian C... triển liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục g là thác triển liên tục duy nhất của phiếm hàm f từ không gian L2  E,  trên toàn không gian Lp  E,   và theo định lý Hahn-Banach g p f 2  y q Suy ra f  x   g  x  , x  t   Lp  E,   , nghĩa là phiếm hàm f có biểu diễn duy nhất dưới dạng (3.1.2), f được xác định bằng hệ thức (3.1.3) Trường hợp p  2 được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. .. (2.3.3) và (2.3.4) ta được 0 n,n k  k y  xn  y  xnk  xnk  xn  2  k  ;n    y  xn  0 Ta được: lim n  Vậy dãy  xn  t  n1 hội tụ tới y  t  trong không gian Lp  E,    Do đó không gian Lp  E,   là không gian Banach 25 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Định lý được chứng minh  Chƣơng 3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp ( p... h.k.n trên E 21 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán  x  x  Tiên đề 8) được thoả mãn Vậy Lp  E,   là không gian tuyến tính trên trường số thực R 2.3 Không gian định chuẩn Lp 2.3.1 Chuẩn trên Lp Đưa vào Lp  E,   chuẩn của các phần tử như sau: : Lp  E,    R 1  p x  t   x   | x  t  | p d   E  (2.3.1) Ta đi chứng minh (2.3.1) xác định một chuẩn trên không gian Lp ... tỏ dãy hàm  xn  t  n1 hội tụ đều tới hàm  x  t  trên  a,b nên x  t  liên tục trên  a,b nghĩa là x  Ca ,b 13 Khoá luận tốt nghiệp Phạm Thị Thương-K29C Toán Do sự hội tụ trong không gian C a ,b tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trong không gian C a ,b nên dãy ( xn  t  )n1 hội tụ tới x  t  trong không gian C a ,b Vì vậy không gian C a ,b là không gian Banach... 0  x t   0 2 h.k.n trên E E  x  Tiên đề 4) được thoả mãn Vậy (3.1.4) là tích vô hướng trên không gian L2  E,  Hơn nữa x   x,x    x  t  d  , 2 E do đó chuẩn sinh bởi tích vô hướng trùng với chuẩn xuất phát, nên không gian L2  E,  cùng với tích vô hướng (3.1.4) là một không gian Hilbert Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên không gian Lp  E,   p  1 Ta ... tuyến tính liên tục không gian Lp ( p  ) 27 3.1 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp (p > 1) 27 3.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian L... Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C[ a,b] 1.1 Tích phân Stieljes 1.2 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C[ a,b] 10 Chƣơng Không. .. L1 Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm liên tục không gian L f  x    x  t  y  t  d  , x  t   L E hàm số y  t   L1 f  y 3.3 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 3.3.1