Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lp và ca,b

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L và p C [ a,b] ” là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa: Toán

*************

Phạm thị thương

Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính

liên tục trên không gian Lpvà C[ a,b]

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

hà nội – 2007

lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm, các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho

em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn

Xuân hòa, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Phạm Thị Thương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L và p C [ a,b] ” là công trình

nghiên cứu của riêng tôi Tuy đề tài này không phải là hoàn toàn mới nhưng kết quả nghiên cứu của đề tài không trùng với kết quả của một số tác giả khác

Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Xuân hoà, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Phạm Thị Thương

Mục lục

Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Lời nói đầu………4

Chương 1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian C [ a,b] 6 1.1 Tích phân Stieljes 6

1.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian C [ a,b] 10

Chương 2 Không gian L ( p p1) 19

2.1 hàm số luỹ thừa p khả tích (p1) 19 2.2 Không gian tuyến tính thực L 19 p

2.3 Không gian định chuẩn L 22 p

Chương 3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian L ( p p1) 27

3.1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp (p > 1) 27 3.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian L 33

3.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L 40 1

Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45

Lời nói đầu

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỷ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học

cổ điển Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân,…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫu mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và

có sử dụng đến những công cụ của giải tích và không gian véctơ Ngoài ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đề ra cho ngành giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó

đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải

tích hàm, em đã chọn đề tài: “Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên

tục trên không gian L và p C a ,b ” Nghiên cứu đề tài này, chúng ta có cơ hội

tìm hiểu sâu thêm về không gian L ( E, ) p  và không gian C a ,b Từ đó ta có

thêm những kiến thức về các vấn đề của phiếm hàm, sự khác nhau giữa chúng khi ta xét trên các không gian khác nhau

Nội dung của khoá luận bao gồm ba chương:

Chương 1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b

Chương 2 Không gian L ( E, ) p  (p1)

Chương 3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L ( p p 1)

Do thời gian và năng lực có hạn nên chắc chắn khoá luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn đọc để khoá luận này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Em xin cảm ơn

Xuân hoà, ngày 28/04/2007

Sinh viên

Phạm Thị Thương

Chương 1 Dạng tổng quát của phiếm hàm

tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b

1.1 Tích phân Stieljes

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1

Cho hai hàm số f x và   g x xác định trên    a,b

Ta chia đoạn  a,b bằng các điểm chia a    x 0 x 1 x n b ( nN )

trong đó i là một điểm bất kỳ trên đoạn x ,x i i 1 , io,n 1 Nếu khi

max(x i 1 x ) i 0, tổng S dần đến một giới hạn hữu hạn không phụ thuộc

vào cách chia đoạn  a,b và cách chọn điểm i thì giới hạn đó gọi là tích

phân Stieljes (hay Rieman-Stieljes) của f x theo   g x trên đoạn    a,b và

Cho hàm số F x xác định trên    a,b Ta gọi biến phân của hàm F x  

trên đoạn  a,b và kí hiệu b 

Định lý 1.1.1 (Điều kiện đủ để tồn tại tích phân Stieljes)

Nếu f C a ,b và g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a,b] thì tồn

tại tích phân Stieljes      b

Vì ở cách thứ nhất độ dài các phần tử nhỏ hơn  nên với i, j bất kì ta có:

có thể giả sử dãy:  n lập thành dãy đơn điệu giảm n 1 n

Với mỗi n ta đều có thể lấy phép phân hoạch nào đó đoạn [a,b] ra từng phần độ dài nhỏ hơn n, thành lập tổng tích phân tương ứng S n

Ta chứng minh dãy S là dãy cơ bản trong n 1

R Thật vậy,

Nếu m>n thì độ dài của tất cả các đoạn của phép phân hoạch thứ m và

n đều nhỏ hơn n, do đó theo chứng minh trên S n S m 

Vậy dãy  S là dãy cơ bản trong n 1

Bây giờ ta chứng minh với mỗi phép phân hoạch bất kì đoạn [a,b] ta

đều có: I S  ,trong đó S là tổng tương ứng của phép phân hoạch đó

Thật vậy, với  0, chọn số tự nhiên N sao cho: S n I

S được thành lập nhờ phép phân hoạch thoả mãn điều kiện

độ dài mỗi đoạn nhỏ hơn

a ,b a

f x dg x max f x V g



Chứng minh

Nếu tồn tại tích phân b    

Vậy định lý được chứng minh

1.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b

1.2.1 Định nghĩa

Không gian C a ,b là tập tất cả các hàm số x t giá trị thực xác định và  

liên tục trên đoạn [a,b],     a b 

1.2.2 Không gian định chuẩnC a ,b

Ta đưa vào không gian C a ,b hai phép toán

Tập hợp C a ,b trở thành không gian tuyến tính thực

xác định một chuẩn trên C a ,b

Thật vậy, x t C a ,b nên x t liên tục trên đoạn [a,b] do đó   x t đạt giá trị  

lớn nhất trên đoạn [a,b]

Ta kiểm tra sự thoả mãn các tiên đề về chuẩn:

Tiên đề 3) được thoả mãn

Vậy C a ,b cùng với chuẩn được xác định như trên lập thành một không gian định chuẩn

1.2.3 Tính đầy của không gian C a ,b

Định lý 1.2.1

Không gian C a ,b là không gian Banach

Chứng minh

Lấy một dãy cơ bản bất kỳ x t n  n 1 C a ,b

Theo định nghĩa dãy cơ bản *

(  0 ), ( n N ),( m n ),( n n ) ta có:

Cho t thay đổi trên  a,b ta nhận được hàm số x t xác định trên    a,b

Vì các bất đẳng thức (1.2.1) không phụ thuộc vào t a,b nên cho qua giới

hạn trong các bất đẳng thức này khi m  ta được

   

n

x t x t  ,  n n 0,  t  a;b (1.2.2) Các bất đẳng thức (1.2.2) chứng tỏ dãy hàm x t n  n 1 hội tụ đều tới hàm

 

x t trên  a,b nên x t liên tục trên    a,b nghĩa là xC a ,b

Do sự hội tụ trong không gian C a ,b tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trong không gian C a ,b nên dãy ( x t ) n  n 1 hội tụ tới x t  

trong không gian C a ,b

Vì vậy không gian C a ,b là không gian Banach

Ta chia đoạn  a,b bởi các điểm chia a   x 0 x 1 x nb nN và i

là một điểm bất kì của đoạn x ,x i i 1  thì b    

a

F V g Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.3

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên C a ,b đều có thể biểu diễn

Với các phép toán thông thường và với chuẩn như trên thì M a ,b một không

gian định chuẩn và C a ,b là một không gian con đóng của M a ,b

Tiếp theo ta chứng minh g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn  a,b

Lấy một phép phân hoạch đoạn  a,b ra n phần bởi các điểm chia

a    s s s b (nN) và thành lập hàm bậc thang

trong đó d i sign g s  i g s i 1 , i=1,2, n

Từ định nghĩa của x t ta thấy x  1 trong không gian M a ,b , do đó

để sao cho với mọi cách chia đoạn  a,b bởi các điểm chia

a    s s s b

Mà độ dài mỗi phần đều nhỏ hơn  thì

f t'  f t'' , với t',t'' là hai điểm bất kì của đoạn s ,s i 1 i

Ta lấy trong mỗi đoạn s ,s i 1 i một điểm tuỳ ý t và lập hàm bước nhảy i

f t nÕu s t s , với i=2,3,

với t a,b thì g t  f t i với i nào đó mà t và t cùng nằm trong đoạn i

s ,s i 1 i nên g t  phụ thuộc vào hai cách chia đoạn  a,b và

F V g  g

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN L p ( p1)

2.1 hàm số luỹ thừa p khả tích ( p1 )

Giả sử E là một tập nào đấy, F là một  - đại số các tập con của tập

E,  là một độ đo trên F

Ta kí hiệu L ( E, ) p  là tập tất cả các hàm x( t ) đo được theo độ đo  trên tập

E sao cho tích phân sau hội tụ

Ta đưa vào L ( E, ) p  hai phép toán cộng hai hàm số và phép nhân một

số thực với hàm số như thường lệ

( x y )( t ) x( t ) y( t ) ( x )( t ) x( t )

Vậy L pE, đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân ở trên

* Ta đi chứng minh hai phép toán này thoả mãn hệ tiên đề tuyến tính

Tiên đề 4) được thoả mãn

  x x 

Tiên đề 8) được thoả mãn

Vậy L pE, là không gian tuyến tính trên trường số thực R

2.3 Không gian định chuẩn L p

2 Với x t L pE,,  R ta có:

1 p p E

   

 

1 p p

Tiên đề 3) được thoả mãn

Vậy L pE, cùng với chuẩn (2.3.1) lập thành không gian định chuẩn trên trường số thực R

2.3.2 Tính đầy (hay tính Banach) của không gian định chuẩn L p

k 1 p j

lim y x 0

   ,

nghĩa là  k 0 N * k k 0 yx nk  (2.3.4) Đặt k max n ,n 0 k 0 thì n k, kết hợp các hệ thức (2.3.3) và (2.3.4) ta được

Vậy dãy x t n  n 1 hội tụ tới y t trong không gian   L pE ,

Do đó không gian L pE , là không gian Banach

Định lý được chứng minh

Chương 3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên

tục trên không gian L p (p1)

3.1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L p

* Ta chứng minh f là phiếm hàm tuyến tính

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L E, p p1 đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Tiên đề 4) được thoả mãn

Vậy (3.1.4) là tích vô hướng trên không gian L E, 2 

L E, cùng với tích vô hướng (3.1.4) là một không gian Hilbert

Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên không gian

Hiển nhiên, các hàm số y t n n1,2,  đo được, bị chặn và

n

y t  y t ,  t E , nên y t n L E, q , 1 1 1

p  q , p1 Tiếp theo ta đặt

Vì y t không tương đương với 0 trên   E, nên y t cũng không tương n 

đương với 0 trên E (n=1,2, ) Chia cả hai vế của bất đẳng thức (3.1.5) cho tích phân trong vế phải ta được

 

1 q q n E

Ta lập phiếm hàm

E

g x x t y t d , x t L E, (3.1.7) Theo định lý (3.1.1) hệ thức (3.1.7) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L pE , và

3.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L

3.2.1 Không gian tuyến tính thực L

1 Định nghĩa 3.2.1

Cho không gian độ đo E,F ,   , E  

Kí hiệu L là tập hợp tất cả các hàm số đo được theo nghĩa Lebesgue trên

Evà bị chặn h k n trên E, nghĩa là với mỗi hàm số x t L đều tìm được

số x 0 sao cho x t  x h k n trên E

2 Phép toán

Đưa vào L hai phép toán:

 Cộng hai hàm số

 Nhân một số thực với một hàm số như thông thường

* Chứng minh L là không gian tuyến tính thực

Lđóng kín với hai phép toán cộng và nhân ở trên

* Ta đi chứng minh hai phép toán này thoả mãn hệ tiên đề tuyến tính

1 x t , y t   L ta có:

x y t     x t y t  y t    x t  yx t h k n trên E

   x y y x

Tiên đề 1) được thoả mãn

Tiên đề 8) được thoả mãn

Vậy L là không gian tuyến tính trên trường số thực R

3.2.2 Không gian định chuẩn thực L

Thật vậy, theo định nghĩa (3.2.1) và (3.2.2) tồn tại hai tập hợp P và Q có

độ đo bằng 0 sao cho:

Giả sử x t n   là một dãy cơ bản bất kỳ trong không gian L, nghĩa là

* 0

x t x t , với mọi tE \ X và với mọi nn 0 (3.2.3)

Vì X là tập hợp có độ đo không nên (3.2.3) ta suy ra rằng x n x L

Do đó x x n x n  x L Cũng từ (3.2.3) suy ra:

n

x x   , với mọi nn 0, tức là

n n

3.2.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L

Nếu hàm số y t L 1 thì với mỗi phần tử x t L ta đặt

Ngược lại, giả sử f  *

L, vì L và Llà không gian tuyến tính con của

1

L , nên theo nguyên lý Hahn-Banach, có thể thác triển phiếm hàm f thành

phiếm hàm F từ L lên L sao cho 1 F x = f x    x t L và

3.3.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1

Giả sử y(t) đo được, bị chặn h.k.n trên E nghĩa là  

Ngược lại, giả sử *

s E

s r s

Theo chứng minh ở phần đầu, đối với hàm đo được bị chặn h.k.n trên E ta

nhận được phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1, xác định bởi hệ thức:

ở đề tài này, em đã trình bày các vấn đề từ dễ đến khó, bắt đầu từ việc tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của các không gian C a ,b và L pE ,, sau

đó mở rộng sang dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên hai không gian này

Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận này mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo trong khoa và các bạn đọc để bản khoá luận này đầy đủ hơn

Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là thầy PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy- người đã tận tình chỉ bảo giúp em hoàn thành khóa luận này Em xin chân thành cảm

ơn thầy Nguyễn Phụ Hy cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán

Em xin chân thành cảm ơn

Xuân hoà, ngày 30/04/2007

Sinh viên

Phạm Thị Thương

Tài liệu tham khảo

1 PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm , NXB Khoa học và kỹ

4 Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục

5 Nguyễn Xuân Liêm (2000), Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục,

6 Hoàng Tụy (1979), Giải tích hiện đại, NXB Giáo dục