Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn rn, ℓ p (p≥1), c0

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Lời cảm ơn Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bước đầu tập dượt nghiên cứu đề tài khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn khoa Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy người trực tiếp hưỡng dẫn bảo tận tình để em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ giải tích, ban chủ nhiệm khoa Tốn – Trường ĐHSP Hà Nội2, thư viện nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để em có hội để hồn thành cơng việc Ngày tháng năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Lời nói đầu Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỷ XX, xem ngành toán học trọng điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số, phương trình vi phân… Trong q trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú, bao gồm: - Lý thuyết không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tơpơ tốn tử tơpơ) - Lý thuyết tốn tử tuyến tính - Lý thuyết tốn cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần phương trình tốn tử - Lý thuyết nội suy tốn tử, giải tích hàm ngẫu nhiên Những phương pháp, kết mẫu mực tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ giải thích khơng gian vec tơ Ngồi cịn ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài:“ Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 ” Nghiên cứu đề tài em có hội tìm hiểu sâu khơng gian vơ hạn chiều mà cụ thể không gian ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 Từ có thêm kiến thức vấn đề giải tích,sự khác chúng không gian khác nhau, xét khía cạnh khác Nội dung khố luận gồm chương: Trường ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn ¡ n Chương 2: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn lp (p ³ 1) Chương 3: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn c0 Do thời gian nghiên cứu lực có hạn nên số vấn đề đặt khoá luận chưa giải triệt để Em mong giúp đỡ đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khố luận hoàn thiện Ngày tháng năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Khánh Ly Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục khơn gian 1.1 Khơng gian tuyến tính ¡ ¡ n (n ³ 1) n Cho tập hợp ¡ n = {x = (x1, x2,….xn)/xi Ỵ ¡ , i = 1, n } Với phần tử tuỳ ý x = (xi)ni =1 Î ¡ n , y = ( yi )in= Î ¡ n a Î P (P= ¡ C).Ta định nghĩa hai phép toán sau: Ta gọi tổng phần tử x y kí hiệu x + y phần tử n x + y = (xi + yi )i=1 tích phần tử x a ,kí hiệu a x phần tử n a x = (a x i )i = Định lý 1.1.1 ¡ n đóng kín với hai phép tốn cộng nhân xác định Chứng minh: +) " x = (x i )in= " y = (y i )in= Î ¡ n ,ta có: " i = 1, n , xi ẻ Ă , yi ẻ Ă ị xi + yi ẻ Ă , " i= 1, n ị (xi + yi) in= ẻ Ă n ị x + y = (xi+ yi) i = +) " x = (xi) in= Ỵ ¡ n , a Î P Ta có: a xi Î ¡ ,i= 1, n Þ a x = ( a x i) n i= Ỵ ¡ n Vậy ¡ n đóng kín với phép toán cộng nhân xác định Định lý 1.1.2 ¡ n với hai phép toán cộng nhân xác định lập thành khơng gian tuyến tính Chứng minh: Ta phép toán định nghĩa thoả mãn tiên đề khơng gian tuyến tính Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly " x = (x i )in= " y = (y i )in= Ỵ ¡ n ,ta có: xi+ yi = yi + xi, " i = 1, n Þ x + y = y + x ( tiên đề thoả mãn) " x = (x i )in= , " y = (y i )in= , z = (zi) in= Ỵ ¡ n , ta có: (xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n Þ (x + y) +z = x + (y +z) (Tiên đề thoả mãn) Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Î ¡ n , " x = (xi) in= Î ¡ n , ta có: +xi = xi " i = 1, n Þ q+ x = x , " x Ỵ ¡ ( Tiên đề thoả mãn) n " x = (x1, x2,… xn) Ỵ ¡ Ta có: n , tồn phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Ỵ ¡ n xi + (-xi) = 0, " i = 1, n Þ x + ( - x)= q , " x Ỵ ¡ " x = (xi) in= Ỵ ¡ n ( Tiên đề thoả mãn) n , " a , b Ỵ ¡ ta có: a ( b xi) = ( a b )xi, " i = 1, n Þ a ( b x) = ( a b )x ( Tiên đề thoả mãn) " x = (xi) in= Ỵ ¡ n , " a , b Ỵ ¡ ,ta có: ( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n Þ ( a + b )x = a x + b x " x = (xi) in= Î ¡ n , " y = (yi) (Tiên đề thoả mãn) n i= Ỵ ¡ n , " a , b Ỵ ¡ ,ta có: a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n Þ a (x + y) = a x + a y " x = (xi) n i= (Tiên đề thoả mãn) Ỵ ¡ n , ta ln có : xi =xi ( đơn vị ¡ ) , " i = 1, n ị x = x , " x ẻ ¡ (Tiên đề thoả mãn) n Vậy ¡ n khơng gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng nhân xác định Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Bổ đề1.1.1 Nếu a,b hai số không âm; p,q cặp số mũ liên hợp ( tức 1 + = 1), 1< p < ¥ p q a p aq ab £ + p q Dấu “=” sảy Û ap = bq Chứng minh: Nếu ab = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a > , b > ta xét hàm số: t p t- q với t > + j (t) = p q Ta có: p-1 j ' (t) = t - t-q-1= t-q-1(tp+q-1) j ' (t) = Û t = ( với t > 0) Bảng biến thiên : 0 t j ' (t + ¥ ) j (t) +¥ + +¥ Hình1.1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên hàm j suy j (t) = j (1) = 0< t< ¥ q - p Do j (t) ³ j (1) = , " t Ỵ (0;+ ¥ ) Chọn t = a b ta Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp p Nguyễn Thị Khánh Ly - a q b- a- 1.b + p q Û q p a p- 1.b- b p- 1.a- + ³ p q ³ 1Û a p bq + ³ ab p q Dấu đẳng thức sảy - a q b p 1 = Û a q = b p Û a p = bq Bổ đề 1.1.2 ( Bất đẳng thức Holder) 1 + = 1),1 £ p < + ¥ p q Nếu p,q cặp số mũ liên hợp ( tức n n " x = (xi) i = , y = (yi) i = Î ¡ n å i= n ta có n ổn ửq p ửp ổ ỗỗồ y q ữ xi yi Ê ỗỗồ xi ữ ữ ữ i ữ ốỗ ữ ỗố i= ứ ứ i= Chứng minh: 1 ỉn p ưp Đặt A = ỗỗỗồ xi ữữữ ố i= ứ ổn q ửq ; B = ỗỗỗồ yi ữữữ ố i= ø Nếu A.B = bất đẳng thức hiển nhiên Nếu A > 0, B > 0,theo bổ đề 1.1.1 ta có p q xi yi x y £ i p+ i q A.B P A q.B n Þ n å xi yi £ i= A.B = i= p A p n p p p + å yi p(å xi ) i= = q.B q å + q i= q n xi i= n p xi p n å å xi i= q q q n q(å xi ) Þ å i= 1 + =1 p q i= 1 n = n ỉn ưq p ưp ổ ỗỗồ y q ữ xi yi Ê AB = ççå xi ÷ ÷ i ÷ ÷ ÷ çè i= ứ ốỗ i= ứ Trng HSP H Ni K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Vậy n å i= 1 n ổn ửq p ửp ổ ỗỗồ y q ữ xi yi Ê ỗỗồ xi ữ ữ i ữ ữ ốỗ ữ ỗố i= ứ ứ i= B đề 1.1.3.( Bất đẳng thức Mincovxki) Với " x = (xi)ni= 1, y = (yi)ni= Ỵ ¡ n ta có 1 p ỉn ưp ỉ n ỉn ửp pử ữ ỗỗồ x + y p ữ ỗ ççå y p ÷ £ x + ÷ ÷ ç i i ữ i i ữ ữ ốỗ ữ , 1Ê p < + Ơ ỗố i= ứ ốỗ i= ứ ứ i= Chng minh: pử ổn ổn ữ ỗỗ ỗ ữ x + y Ê xi + yi i ữ ỗồ ỗỗồ i ữ ữ çè i= è i= ø Ta có: p- ÷ ÷( xi + yi ) (1) ÷ ø Mặt khác, áp dụng bổ đề 1.1.2 ta có: ổn ỗỗồ x + y i i ốỗ i= p- ổn ữ ỗỗồ x + y x Ê ữ i i ữ ỗố i= i ứ ( p- 1).q q ÷ ÷ ÷ ø ổn ửp ỗỗồ x p ữ i ữ ữ ốỗ i= ứ 1 n ổn p ửq ổ p ửp = ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ xi ÷÷÷ è i= ø è i= ø ổn ỗỗồ x + y i ỗố i= i (2) 1 qỉn ỉn p- ( p- 1) q p ưp ÷ ÷ ÷ yi £ ççå xi + yi ÷ ççå yi ÷ ÷ ÷ ữ ữ ốỗ i= ứ ốỗ i= ứ ø 1 n ỉn p ưq ỉ p ưp = ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ yi ữữữ ố i= ø è i= ø (3) Từ (1) , (2) (3) ta có: n å xi + yi i= p é 1ù n n q ê p pú ỉn ỉ ỉ pư p p ờỗỗồ xi ữ ỳ Ê ỗỗồ xi + yi ữ + ỗỗồ yi ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố i= ứ ờốỗ i= ứ ốỗ i= ứ ỳ ờở ỳ ỷ 1 ổn ổn ửp ổ n ửp p ửp ỗỗồ x p ữ ỗỗồ y p ữ ị ỗỗồ xi + yi ÷ £ + ÷ ÷ i ÷ i ữ ữ ữ ốỗ i= ứ ốỗ i= ứ ốỗ i= ứ nh lý 1.1.3 Trờn khụng gian tuyến tính ¡ n ta xét ba ánh xạ từ ¡ n vào tập số thực ¡ sau Trường ĐHSP Hà Nội K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly n " x = (xi )i= Ỵ ¡ ta đặt n n å 1) x = n xi i= 2) x = max x i 1£ i< n p p æn 3) x = çççå x i è i= ÷ , p >1 ÷ ÷ ø Các cơng thức 1) 2) 3) cho ta chuẩn ¡ n Chứng minh: a Công thức 1) cho ta chuẩn ¡ n Kiểm tra tiên đề chuẩn n " x = (x i )i= Ỵ ¡ n , ta có: n å xi ³ 0Þ x 1³ i= n å x 1= 0Û x i = Û x i = 0, " i = 1, n Û x= q i= n " x = (x i )i= Ỵ ¡ n , " l Ỵ ¡ ta có n lx1= å n å l xi = l i= xi = l x i= n n " x = (x i )i= Î ¡ n , y = (yi )i= Î ¡ n áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có n å n x i yi £ i= n Û å i= å xi i= å n n i= ổ ỗỗ (x + y ) Ê ồi= i i ỗỗ ố i= i= n å n xi2 + i= n å Trường ĐHSP Hà Nội yi i= x i + å x i yi + å yi £ n Û n n xi + å i= å i= n xi2 å i= n yi + å yi i= ÷ yi ÷ ÷ ÷ ÷ ø K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly n n å Û n å (x i + yi ) £ i= å xi2 + i= Û x + y1 £ x1+ yi i= y , " x, y Ỵ ¡ n Vậy ¡ n với chuẩn 1) không gian định chuẩn b Công thức 2) xác định chuẩn ¡ n Kiểm tra tiên đề chuẩn " x = ( x1, x2, xn) Ỵ ¡ n , ta có: x i ³ , " i = 1, n Þ max x i ³ Þ 1£ i< n x 2³ x = Û max x i = Û x i = 0, " i = 1, n Û x = q 1£ i< n " x = ( x1, x2, xn) Ỵ ¡ n , " l Ỵ ¡ ,ta có: max l x i = max ( l x i ) = l max x i 1£ i < n 1£ i < n Þ lx2= l x 1£ i < n n n " x = (x i )i= Ỵ ¡ n , y = (yi )i= Î ¡ n , ta có: xi + yi £ xi + yi " i = 1, n Þ x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n 1£ i< n 1£ i< n Þ max x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n 1£ i< n 1£ i< n Þ x+ y Vậy ¡ n £ x 1£ i< n + y , " x, y Ỵ ¡ n với chuẩn 2)là không gian định chuẩn c Công thức 3) cho ta chuẩn ¡ n , thật vậy: n " x = (x i )i= Ỵ ¡ n , ta có : x i ³ , " i = 1, n ị Trng HSP H Ni ổn ửp ỗỗồ x p ữ i ữ ữ ỗố i= ø 10 hay x ³ K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Tóm lại * Mọi phiếm hàm tuyến tính trục f khơng gian l p (f Ỵ (l p ) ) có dạng f = fu, tức là: ¥ f(x) = fu(x) = å un x n n= " x = (xn) Ơn= ẻ l p vi u = (un) Ơn= ẻ l p ng thi, t bất đẳng thức (1) (2) ta suy fu = u q (3) Do ta thiết lập ánh xạ l q ® l p* u a fu * từ l q lên (l p ) Rõ ràng ánh xạ tuyến tính, liên tục từ đẳng thức (3) ta suy phép đẳng cấu tuyến tính từ khơng gian l q lên không * gian (l p ) Đặc biệt: * Nếu p = q = khơng gian l đẳng cấu tuyến tính với khơng gian (l ) Kết luận Vậy dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian l p (p>1) ¥ f u (x) = å un x n n= " x = (xn) Ơn= ẻ l p ú u = (un) Ơn= ẻ l q với số q thoả mãn 1 + =1 p q 2.3.2 Trường hợp p = Trường ĐHSP Hà Nội 32 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Khi có khơng gian Banach l : ïí l = ïì x = (x n )Ơn= 1,x n ẻ R; ùợù Ơ å n= ïü x n < + ¥ ïý ùỵ ù Ơ vi chun xỏc nh bi cụng thc: x = å x n , " x = (x n )Ơn= ẻ l n= tỡm dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục ta chứng minh nhận định sau: Định lý 2.3.2 Không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục l ( l *) đẳng cấu tuyến tính với khơng gian l ¥ Chứng minh: Với phần tử u = (x n )Ơn= ẻ l Ơ ta xác định phiếm hàm fu không gian l nh sau: nu x = (x n )Ơn= ẻ l ¥ å fu (x)= un x n (*) n= Khi chứng minh fu phiếm hàm tuyến tính liên tục l Thật vậy: + Chuỗi phải (*) hội tụ " x = (xn) Ơn= ẻ l ta có ¥ å ¥ un x n = n= å n= ¥ un x n £ å ¥ sup un x n = sup un n= n å xn n= = u¥ x 2< + ¥ ¥ Suy chuỗi å ¥ un x n hội tụ Từ suy chuỗi n= å un x n hội tụ tuyệt n= đối hội tụ + fu phiếm hàm tuyến tính: Trường ĐHSP Hà Nội 33 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly " x = (xn) ¥n= ,y = (yn) Ơn= ẻ l , " a ,bẻ ¡ ¥ fu ( a x + b y) = ¥ å un ( a xn+ b yn) = å una x n + n= = ta có å (una x n + unby n ) n= å uny n = a å unx n + bå uny n = a fu (x) + bf u (y) + fu phiếm hàm liên tục: " x = (xn) Ơn= ẻ l ta cú: Ơ f u (x) = å ¥ un x n £ n= å ¥ un x n = n= å ¥ un x n £ n= å sup un x n n= ¥ = sup un å x n = u x n Þ n= " x = (xn) ¥n= , Î l fu (x) = f u (x) £ u ¥ x Þ fu bị chặn ( hay fu liên tục) f u £ u ¥ (1) Ngược lại, lấy phiếm hàm tuyến tính, liên tục f không gian l (f Î l *1 ) e(n) = ( dnk )¥k= ú Vi mi n ẻ Ơ * ta t : íï nÕu n = k dnk = ïì ùùợ n k Khi ú: " x = (xn) Ơn= , ẻ l Ơ ta có biểu diễn : x = å x n e(n) n= Do f liên tục nên ta cú: ổƠ f (x) = f ỗỗồ x n e(n) ữ ữ= ỗố n= ữ ứ N ổ f ỗỗ lim x ne(n) ữ ữ ữ ốỗNđ Ơ n= ứ ộ ổN ửự ổN (n) ữỳ ỗ ỗỗồ x f (e(n) )ữ = lim = lim f ỗồ x n e ữ ữ n ữỳ Nđ Ơ ốỗ ữ= Nđ Ơ ỗ è ø ø n = n = ë û ¥ å x n f (e(n) ) n= Đặt: un = f(e(n)), n = 1,2 ( không phụ thuộc vào x) Trường ĐHSP Hà Nội 34 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Ơ ị f(x) = x n x n n= Mặt khác : un = f (e(n) ) £ f e(n) = f , n = 1,2 ị Dóy u = (un) Ơn= b chn, tc l u = (un) Ơn= ẻ l u ¥ = sup un = sup f (e(n) ) £ n f n ¥ Hơn nữa, từ biểu thức f(x): f(x) = å un x n , ta suy f = f(u) n= Đồng thời, từ (1) (2) suy fu = u ¥ (3) Như ta thiết lập ánh xạ l ® l *1 ; u a fu từ l ¥ lên l *1 Rõ ràng ánh xạ tuyến tính, liên tục từ đẳng thức (3) ta kết luận phép đẳng cấu tuyến tính từ khơng gian l ¥ lên khơng gian l *1 Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian l là: ¥ f u (x) = å unx n , " x = (x n )Ơn= ẻ l ,trong ú u = (un )Ơn= ẻ l Ơ n= Trường ĐHSP Hà Nội 35 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chương Không gian c0 3.1 Khơng gian tuyến tính c0 Cho tập c0 = {x = (xn) Ơn= / xn ẻ Ă , lim x n = } nđ Ơ Định lý 3.1.1 c0 với phép toán sau khơng gian tuyến tính x + y = (xn+yn) ¥ n= , " x = (xn) ¥n= , y = ( yn) Ơ n= ẻ c0 x = ( a xn) ¥n= , " x = (xn) Ơn= , ẻ c0 , " l Ỵ ¡ Chứng minh + Với " x = (xn) ¥n= , y = ( yn) ¥ n= Ỵ c0 lim(x n + y n ) = lim x n + lim y n = 0, " n ẻ Ă nđ Ơ ị x + y = ( xn+ yn) nđ Ơ Ơ n= nđ ¥ Ỵ c0 + Với " x = (xn) ¥n= , " l Ỵ ¡ ta có: Trường ĐHSP Hà Nội 36 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly lim (l x n ) = l lim x n = l = , " x = (xn) ¥n= , " n ẻ Ơ * nđ Ơ nđ Ơ Ơ ị l x = (l x n )n= Ỵ c0 Như c0 đóng kín với hai phép tốn xác định Kiểm tra tiên đề: 1, " x = (xn) ¥n= , y = ( yn) ¥ n= Ỵ c0 ta có: xn + yn = yn + xn , " n ẻ Ơ * Þ x+y =y+x, " x,y Ỵ c0 " x = (xn) ¥n= , y = ( yn) ¥n= , z = (zn) Ơn= ẻ c0 ta cú: " nẻ Ơ * (xn+yn)+ zn = xn+ (yn+ zn) , Þ (x + y) + z = x + (y + z) " x = (xn) ¥n= Ỵ c0, $ phần tử q= ( 0,0, 0, ) Ỵ c0 Ta có: + xn = xn , " n ẻ Ơ * ị q + x = x , " n Ỵ c0 " x = (xn) Ơn= ẻ c0 ta cú: lim xn = ị lim (-xn) = nđ Ơ nđ ¥ Þ Tồn phần tử – x = (-xn) ¥n= Ỵ c0, ta ln có: xn + ( -xn) = " n ẻ Ơ * ị x + (– x) = q " x = (xn) ¥n= Ỵ c0 , " a b Ỵ ¡ ,ta có: ( a + b ) xn = a xn + b yn, ị " nẻ Ơ * ( a + b )x = a xn + b x " x = (xn) ¥n= , y = (yn) Ơn= ẻ c0, " n ẻ Ă ta có a (xn+yn) = a xn + a yn, " n ẻ Ơ * ị a (x+y) = a x + a y Trường ĐHSP Hà Nội 37 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly " x = (xn) Ơn= ẻ c0, vi phân tử đơn vị ¡ ta cú: 1.xn = xn , " n ẻ Ơ * Þ 1.x = x Vậy c0 không gian tuyến tính với phép cộng dãy số phép nhân số thực với dãy số xác định 3.2 Không gian định chuẩn c0 Định lý 3.2.1 c0 với chuẩn sau không gian định chuẩn x = sup x n , " x = (xn) Ơn= , ẻ c0 (1) n Chng minh Dễ dàng thấy công thức (1) cho ánh xạ từ c0 vào ¡ Ta kiểm tra tiên đề chuẩn " x = (xn) ¥n= Î c0, ta có x n ³ , " n ẻ Ơ * ị x = sup x n ³ n x = Û sup x n = Û x n = , " n Î ¥ * n Û x= q " x = (xn) Ơn= ẻ c0 , " l ẻ Ă , " n ẻ Ơ * ta cú: sup l x k = l sup x n Þ l x = l x n " x = (xn) Ơn= ,y = (yn) Ơn= ẻ c0 x n + y n £ x n + y n , " n = 1,2 Þ x n + y n £ sup x n + sup y n n Þ x+ y £ " n = 1,2 n x + y Vậy c0 không gian định chuẩn Trường ĐHSP Hà Nội 38 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly 3.3 Không gian Banach c0 Định lý 3.2.2 Không gianđịnh chuẩn c0 không gian Banach Chứng minh Giả xử: ( x(m)) ¥m= ( với x(m) = (x(m)) ¥m= dãy c0 Nghĩa l " e> 0, $ m0 ẻ Ơ * , " m > m0, " p,n ẻ Ơ * ta có + k) x (m+ k) - x m < e hay sup x (m - x mn < e , " m > m0 , " n,p ẻ Ơ * n n + k) - x mn < e , " m > m0 , " n,p ẻ Ơ * (1) ị x(m n Ơ Suy ra, vi mi n cố định tuỳ ý dãy (x (m) n ) m= dãy số thực (0) * nên tồi lim x (m) n = xn , " n ẻ Ơ mđ Ơ t x(0) = (x (n ) ) ¥n= Vì (1) khơng ph thuc n, cho p đ Ơ , ta c: (m) x(0) £ e , " m > m0 , " n ẻ Ơ * (2) n - xn 1) Với m1 > m0, x(m) Ỵ c0 nên " e> 0, $ n0 ẻ Ơ * , " n ³ n0 : x(m n0 thỡ x n < e nđ Ơ Do ta có: " n Ỵ n0 sup m+ 1£ n£ m+ p xn < e , " p ẻ Ơ ị ( x(m) )Ơn= l dãy cosi khơng gian Banach c0, hội tụ phần tử y Ỵ c0 đó: y - x £ y - x(m) + x(m) - x = å x ne(n) + x(m) - x = sup x n + sup x n m£ n£ ¥ m£ n£ ¥ Do " n ³ n0 , y - x £ 2sup x n < 2e với m đủ lớn m£ n Þ y=x Vậy c0 khơng gian có sở đếm Định lý 3.2.2 Khơng gian c0* đẳng cấu tuyến tính với khơng gian l Trường ĐHSP Hà Nội 40 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Chứng minh íï 1,khi k = j Đặt dki = ùỡ ùùợ k j Dóy ( ek )¥k= , ek = (dki )nj= , k = 1,2 sở c0 Với " x = (x n )Ơn= ẻ c0 luụn biểu diễn dạng ¥ x= å x nen n= Lấy phiếm hàm tuỳ ý f Ỵ c0*, nhờ tính liên tục f ta có: ỉ¥ ¥ " x = ( x n )¥n= ẻ c0 , f(x) = f ỗỗồ x nen ữ ữ= x nf (en ) ỗố n= ÷ ø n= Đặt cn = f(en) ( n = 1,2 ) ta có: ¥ f(x) = å x nen n= Đặt x(n) = ¥ å k= x (n) ck c ek (khi ck = ta coi k = ) n = 1,2 ck ck Ỵ c0 x(n) = Ta có: f(x(n) ) = Ơ k= ị Ơ ck c f (ck ) = å k ck = ck k= ck ¥ å ck k= f (x(n) ) £ f x(n) £ f Từ hệ thức (1) ta có: c l £ f (2) Ngược lại, lấy phần tử c = (ck) ¥k= ẻ l Ơ k k= " x = (x ) Ơ ẻ c0 t f(x) = ck x k k= ¥ Ta có f (x) = å ¥ ck x k £ k= å ¥ ck x k £ sup x k k k= ¥ chuỗi å å ck = x c l k= 1 ¥ ck x k hội tụ chuỗi k= å ck x k hội tụ tuyệt đối k= Dễ dàng kiểm tra f tuyến tính bất thẳng thức (*) chứng tỏ f bị chặn, f Ỵ c0* Trường ĐHSP Hà Nội 41 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Mặt khác f £ cl Nguyễn Thị Khánh Ly (3) Từ (2)và (3) ta nên nhận f = c l (4) Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục tác dụng lên c0 là: ¥ f (x) = å ck x k , " x = (x k )Ơk= ẻ l k= Với phần tử c = (ck) ¥k= Ỵ l cho tương ứng -1 với phiếm hàm f Ỵ c0*, ta thiết lập song ánh từ l lên c0* : l ® c0* Rõ ràng ánh xạ phép đẳng thức cự tuyến tính từ l lên c0* Từ từ hệ thức (4) ta nhận không gian l vừa đẳng cấu đẳng cự với không gian c0* nên ta dồng l = c0* Kết luận Lý thuyết phiến hàm tuyến tính tốn tử tuyến tính, nội dung quan trọng Giải tích hàm Khố luận xây dựng khơng gian tuyến tính, khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach ¡ n , l p c0 Do thời gian nghiên cứu lực chế nên khoá luận đạt số kết định Em mong thầy cô giáo bạn sinh viên góp ý nhận xét để khố luận đầy đủ hồn thiện Đồng thời em có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau Trường ĐHSP Hà Nội 42 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Một lần nữa, cho em bày tỏ lòng biết ơn tời thầy khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Người nhiệt tình hướng dẫn em hồn thành khoá luận Tài liệu tham khảo Nguyễn Phụ Hy Giáo trình “ Giải tích hàm” NXB khoa học kỹ thuật 2005 2.Phan Đức Chính Giải tích hàm, Cơ sở lý thuyết.Tập NXB ĐH THCN 1978 Nguyễn Xuân Liêm Trường ĐHSP Hà Nội 43 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Thị Khánh Ly Giải tích hàm NXB Giáo dục -2001 Nguyễn Xuân Liêm Bài tập giải tích hàm NXB Giáo dục-1979 Hồng Tụy Giải tích đại Tập 1, 2, NXB Giáo dục -1979 Phạm Kỳ Anh – Trần Đức Long Giáo trình “ Hàm thực giải tích hàm” NXB ĐHQG HN – 2001 Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm NXB ĐHQG Hà Nội-1999 Trường ĐHSP Hà Nội 44 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nguyễn Thị Khánh Ly 45 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nguyễn Thị Khánh Ly 46 K29E – Toán ... ĐHSP Hà Nội 2 K29E – Toán Luận Văn Tốt Nghi? ?p Nguyễn Thị Khánh Ly Chương 1: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn ¡ n Chương 2: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính. .. tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn lp (p ³ 1) Chương 3: Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn c0 Do thời gian nghiên cứu lực có hạn nên... dạng tổng qt phiếm hàm tuyến tính liên tục ta chứng minh nhận định sau: Định lý 2.3.2 Khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục l ( l *) đẳng cấu tuyến tính với khơng gian l ¥ Chứng minh: Với phn