Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian ca b

Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON - - MAI TH THANH XUN DNG TNG QUT CA PHIM HM TUYN TNH LIấN TC V TON T TUYN TNH LIấN TC TRấN KHễNG GIAN C[ a,b] KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh : Gii tớch H NI - 2010 K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON - MAI TH THANH XUN DNG TNG QUT CA PHIM HM TUYN TNH LIấN TC V TON T TUYN TNH LIấN TC TRấN KHễNG GIAN C [ a ,b ] KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh : Gii tớch Ngi hng dn khoa hc TS.Khut Vn Ninh H NI - 2010 K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn LI CM N Khúa lun c hon thnh vi s hng dn ch bo nhit tỡnh v chu ỏo ca TS Khut Vn Ninh Tụi xin c trõn trng by t lũng bit n sõu sc ti thy TS Khut Vn Ninh Nhõn õy tụi xin trõn trng cm n thy phn bin ó dnh thi gian c v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu cho tụi tụi cú th hon thnh tt khúa lun ny, ng thi tụi xin trõn trng cm n s quan tõm, giỳp ca cỏc thy cụ trng i hc S phm H Ni ó to iu kin giỳp tụi hon thnh khúa lun ny Vỡ cú nhiu hn ch v nng lc v thi gian, khúa lun ny chc chn khụng th trỏnh nhiu thiu sút Tụi hi vng nhn c nhiu ý kin úng gúp ca thy cụ v cỏc bn Cui cựng em chỳc cỏc thy cụ mnh kho, cụng tỏc tt cng hin nhiu hn na cho s nghip giỏo dc ca t nc v thnh cụng hn na trờn ng nghiờn cu khoa hc ca mỡnh H Ni, ngy 01 thỏng 05 nm 2010 Sinh viờn MAI TH THANH XUN K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Ti liu tham kho PGS.TS.Nguyn Ph Hy [2006], Gii tớch hm, NXB Khoa Hc v K Thut Nguyn Xuõn Liờm [2003], Bi gii tớch hm, NXB Giỏo Dc Nguyn Duy Tin [2007], Bi ging gii tớch (tp 1), NXB i Hc Quc Gia H Ni Hong Ty [2005], Hm thc v gii tớch hm, NXB i Hc Quc Gia H Ni c Thỏi v Nguyn Tin Dng [2009], Nhp mụn hin i xỏc sut v thng kờ, Trung tõm toỏn ti chớnh v cụng ngh H Ni GS.TSKH.Nguyn Vn Khuờ v GS.TSKH.Lờ Mu Hi [2001], C s lý thuyt hm v gii tớch hm (tp 1), NXB Giỏo Dc A.N.Cụnmụgụrụp, X.V.Fomin [1971], C s lý thuyt hm v gii tớch hm (tp 1), NXB Giỏo Dc MC LC Li núi u Chng TCH PHN STIELJES 10 1.1 Hm s cú bin phõn b chn 10 1.2 Tớch phõn Rieman - Stieljes 19 1.3 Tớch Phõn Lebesgue - Stieljes 27 K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Chng DNG TNG QUT CA PHIM HM TUYN TNH LIấN TC TRấN KHễNG GIAN C[a,b] 29 2.1 Khụng gian C[ a,b] 29 2.2 Khụng gian liờn hp ca khụng gian C[ a ,b ] 32 2.3.Khụng gian cỏc hm cú bin phõn b chn trờn on [a, b] 34 2.4 Phim hm tuyn tớnh liờn tc khụng gian C[ a ,b ] 35 Chng TON T TUYN TNH LIấN TC TRấN KHễNG GIAN C[a,b] 43 3.1 Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian C[ a ,b ] 43 3.2 Toỏn t tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian C[ a ,b ] 45 Kt lun 50 K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Li núi u Gii tớch hm l mt ngnh ca gii tớch toỏn hc nghiờn cu v cỏc khụng gian vect c trang b thờm cỏc cu trỳc tụpụ v cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc gia chỳng Ra i t u th k 20, n gii tớch hm ó t c nhng thnh tu quan trng v tr thnh chun mc vic nghiờn cu v trỡnh by cỏc kin thc toỏn hc Gii tớch hm ó c a vo chng trỡnh i hc nh mt phn bt buc, th vi lng thi gian cú hn chỳng ta khú cú th nghiờn cu sõu vo mt no ú, bờn cnh ú ni dung ca gii tớch hm rt phong phỳ nh: Khụng gian vect tụpụ li a phng (khụng gian nh chun, khụng gian Banach, khụng gian Hilbert,), cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc gia cỏc khụng gian, bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu v gii tớch hm, em ó chn ti: Dng tng quỏt ca phim hm tuyn tớnh v toỏn t tuyn tớnh trờn khụng gian C[ a ,b ] Khúa lun ny nghiờn cu v mt quan trng ca gii tớch hm ú l khụng gian cỏc hm liờn tc trờn on [a, b] v cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc trờn nú Ni dung ca khúa lun bao gm: Chng Tớch phõn Stieljes: Chng ny a cỏc kin thc ban u v hm cú bin phõn b chn v tớch phõn Stieljes (trong ú trỡnh by v tớch phõn Rieman - Stieljes v tớch phõn Lebesgue - Stieljes ) K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Chng Dng tng quỏt ca phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian C[ a,b] : Chng ny vit v khụng gian Banach Cộa ,bự v dng ởờ ỳ ỷ tng quỏt ca phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian ny Chng Toỏn t tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian C[ a,b] Do ln u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc, thi gian cú hn v trỡnh cũn non tr cho nờn cỏc c trỡnh by bi khụng trỏnh nhng thiu sút nht nh Vỡ vy em rt mong nhn c ý kin úng gúp ca thy cụ v bn c khúa lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n H ni ngy 01 thỏng 05 nm 2010 Sinh viờn Mai Th Thanh Xuõn K32A Khoa Toỏn Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Chng TCH PHN STIELJES 1.1 Hm s cú bin phõn b chn nh ngha 1.1.1 (Bin phõn b chn) Cho hm s F = F (x) xỏc nh trờn on [a, b] Ta gi bin phõn ca hm F trờn [a, b] l cn trờn ỳng ca tng n- ồi= F (xi+ 1)- F (xi ) ly theo tt c cỏc phộp phõn hoch on [a, b] bi cỏc im chia a x0 x1 xn b Kớ hiu l Vab (F ) n1 T ú ta cú: Vab F sup F xi1 F xi ly theo phộp phõn p i hoch P no ú Hm F gi l hm cú bin phõn b chn nu Vab (F )< + Ơ b Theo nh ngha ca bin phõn b chn ta cú: V b a F dF a Vớ d1: Tỡm bin phõn ca cỏc hm s sau trờn on 0,1 a) f x x b) g x kf x m bit rng Vab f K32A Khoa Toỏn 10 Khúa lun tt nghip c) h x x Mai Th Thanh Xuõn x=0 0[...]... liờn tc tựy ý ca < /b> hm g nờn g l hm hng ti mi im m hm liờn tc H qu 1 Nu g1, g2 l cỏc hm s cú bin phõn b chn trờn on [a, b] , v bng nhau khp ni tr ra mt s im hu hn hay m c ca < /b> a, b thỡ: b b f x dg x f x dg x 1 a 2 f Ca,< /b> b a õy l trng hp riờng ca < /b> nh lớ 1.2.4 vi hm g g1 g2 H qu 2 Nu g1, g2 l cỏc hm s cú bin phõn b chn trờn on [a, b] ,m b b f x dg x f x dg x 1 a 2 f Ca,< /b> b thỡ g1 g2 l... khụng ti x xi i 1, n , cũn g b ch khỏc khụng ti nhng im xN 1, xN 2 , khi ú f x dc 0 v a b f x dg x 0 n f x dg x m ax f x V g m ax f x 2 b Li cú a a a ,b b a a ,b (theo nh lý giỏ tr trung b nh 1.2.3) b Vy f x dg x 0 f Ca,< /b> b a nh lý 1.2.5 Hm g cú bin phõn b chn trờn on [a, b] khi ú nu b f x dg x 0 1 , f Ca,< /b> b thỡ g l hm hng ti mi im liờn tc ca < /b> a nú Chng minh K32A Khoa Toỏn... thun nht ca < /b> chun x C a, b, ta cú: x max x t a ,b max x t x a ,b Tớnh thun nht c tha món 3) Bt ng thc tam giỏc x, y Ca < /b> ,b ta cú: x t y t x t y t max x t max y t a ,b a ,b max x t y t max x t max y t a ,b a ,b a ,b x y x y iu kin v bt ng thc tam giỏc c tha món Vy Cộa ,b cựng vi chun trờn lp thnh khụng gian < /b> nh chun ờở ỳ ỷ nh ngha 2.1.4 (Khụng gian < /b> Banach)... 2.1.4 (Khụng gian < /b> Banach) Khụng gian < /b> Banach l khụng gian < /b> nh chun sao cho mi dóy c bn trong khụng gian < /b> ny u hi t ti mt im trong nú Khụng gian < /b> Banach l khụng gian < /b> nh chun nh lý 2.1.5 K32A Khoa Toỏn 37 Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn Khụng gian < /b> nh chun Cộa ,b l khụng gian < /b> Banach ởờ ỳ ỷ Chng minh Ly dóy c bn bt kỡ xn trong khụng gian < /b> Cộa ,b ờở Theo nh ngha dóy c ỳ ỷ bn l dóy cú: 0, n0 * , m... x t a ,b lp thnh khụng gian < /b> nh chun Chng minh nh x l mt chun trong khụng gian < /b> Cộa ,b ờở ỳ ỷ x Ca < /b> ,b nờn x liờn tc trờn on [a, b] do ú x t t giỏ tr ln nht trờn on [a, b] Ta kim tra s tha món cỏc iu kin trong nh ngha 1) x Ca < /b> ,b : x t 0 t a, b max x t 0 x 0 a ,b x 0 max x t 0 a ,b x t 0t a, b K32A Khoa Toỏn 36 Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn x t 0 t a, b x ... nh lý 1.1.4 Hm s f cú bin phõn b chn thỡ f cú o hm hu khp ni nh lý 1.1.5 Cho hm s f xỏc nh trờn on [a, b] v a c b thỡ Vab f Vac f Vcb f nh lý 1.1.6 Cho hm s f cú bin phõn b chn trờn on [a, b] , hm s F x Vax f l bin phõn ca < /b> hm f trờn on a, x Khi ú hm f liờn tc ti im x0 a, b thỡ hm F cng liờn tc ti im x0 H qu Nu hm s f l hm giỏn on cú bin phõn b chn trờn on [a, b] thỡ F x Vax f... trờn on [a, b] v l hm tng trờn on [a, b] ta cú x a, b, h 0 : x h a, b thỡ f x h f x Vxx h f = Vaxh f Vax f = x h x Phộp phõn hoch P chia on a, b thnh n on bi cỏc im chia a x0 x1 xn1 xn b n 1 n 1 i 0 i 0 S f xi 1 f xi xi 1 xi b a Vy vi phộp phõn hoch P bt kỡ thỡ S b a hay Vab f b a hay f l hm cú bin phõn b chn trờn on [a, b] H qu... TRấN KHễNG GIAN < /b> C[a ,b] 2.1 Khụng gian < /b> C[ a ,b] nh ngha 2.1.1 ( Khụng gian < /b> tuyn tớnh Ca < /b> ,b ) Tp tt c cỏc hm s giỏ tr thc xỏc nh liờn tc trờn mt oan [a, b] (- Ơ < a< b tuyn tớnh, kớ hiu Cộa ,b ờở ỳ ỷ " x, y ẻ Cộa ,b ; " a ẻ Ă ta cú: ởờ ỳ ỷ x=y x (t ) = y (t ) " t ẻ ộởờa, b ỳỷ x = q x (t ) = 0 " t ẻ ộởờa, b ỳỷ x y... riờng ca < /b> nh lý 1.2.5 vi hm g g1 g2 K32A Khoa Toỏn 26 Khúa lun tt nghip Mai Th Thanh Xuõn 1.3 Tớch Phõn Lebesgue - Stieljes nh ngha 1.3.1 ( o Lebesgue - Stieljes) l hm n iu khụng gim Hm g xỏc nh Cho hm s g : Ă đ Ă mt hm G trờn cỏc gian < /b> nh sau: G a, b g (b ) g a G[a, b) g (b ) g a G(a, b] g (b ) g a G a, b g (b ) g a Trờn i s C to nờn do cỏc tp cú th biu din thnh hp ca < /b> mt... a ,b xn t xm t m, n n0 , t a, b Theo trờn, khi ta c nh t a, b thỡ xn n1 1 l dóy s c bn nờn lim x n t x t n Cho t thay i trờn [a, b] ta nhõn c hm s x t xỏc nh trờn [a, b] Ta cú h thc (1) khụng ph thuc vo giỏ tr ca < /b> t a, b nờn cho qua gii hn trong cỏc bt ng thc ca < /b> h thc khi m ta cú: xn t x t n n0 , t a, b Vy xn t hi t u n x t n x Ca < /b> ,b Trong khụng gian ... thnh khụng gian nh chun ờở ỳ ỷ nh ngha 2.1.4 (Khụng gian Banach) Khụng gian Banach l khụng gian nh chun cho mi dóy c bn khụng gian ny u hi t ti mt im nú Khụng gian Banach l khụng gian nh chun... thi gian cú hn chỳng ta khú cú th nghiờn cu sõu vo mt no ú, bờn cnh ú ni dung ca gii tớch hm rt phong phỳ nh: Khụng gian vect tụpụ li a phng (khụng gian nh chun, khụng gian Banach, khụng gian. .. PHIM HM TUYN TNH LIấN TC TRấN KHễNG GIAN C[a,b] 29 2.1 Khụng gian C[ a,b] 29 2.2 Khụng gian liờn hp ca khụng gian C[ a ,b ] 32 2.3.Khụng gian cỏc hm cú bin phõn b chn trờn