Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian ca b

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ , ]a b ..... Lời nói đầu Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về các không gian vectơ được trang bị

VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

TRÊN KHÔNG GIAN C [ , ] a b

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Giải tích

HÀ NỘI - 2010

VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

TRÊN KHÔNG GIAN C[ , ]a b

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Giải tích

TS.Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI - 2010

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình và chu đáo của TS Khuất Văn Ninh Tôi xin được trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS Khuất Văn Ninh

Nhân đây tôi xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này, đồng thời tôi xin trân trọng cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Vì có nhiều hạn chế về năng lực và thời gian, khóa luận này chắc chắn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót Tôi hi vọng nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Cuối cùng em chúc các thầy cô mạnh khoẻ, công tác tốt để cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục của đất nước và thành công hơn nữa trên con đường nghiên cứu khoa học của mình

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

MAI THỊ THANH XUÂN

Tài liệu tham khảo

1 PGS.TS.Nguyễn Phụ Hy [2006], Giải tích hàm, NXB Khoa Học và

Kỹ Thuật

2 Nguyễn Xuân Liêm [2003], Bài tập giải tích hàm, NXB Giáo Dục

3 Nguyễn Duy Tiến [2007], Bài giảng giải tích (tập 1), NXB Đại Học

Quốc Gia Hà Nội

4 Hoàng Tụy [2005], Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội

5 Đỗ Đức Thái và Nguyễn Tiến Dũng [2009], Nhập môn hiện đại xác suất và thống kê, Trung tâm toán tài chính và công nghệ Hà Nội

6 GS.TSKH.Nguyễn Văn Khuê và GS.TSKH.Lê Mậu Hải [2001], Cơ

sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (tập 1), NXB Giáo Dục

7 A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fomin [1971], Cơ sở lý thuyết hàm và giải

tích hàm (tập 1), NXB Giáo Dục

MỤC LỤC

Lời nói đầu 8

Chương 1 TÍCH PHÂN STIELJES 10

1.1 Hàm số có biến phân bị chặn 10

1.2 Tích phân Rieman - Stieljes 19

1.3 Tích Phân Lebesgue - Stieljes 27

Chương 2 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH

LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN C [ , ] a b 29

2.1 Không gian C[ , ]a b 29

2.2 Không gian liên hợp của không gianC[ , ]a b 32

2.3.Không gian các hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ]a b 34

2.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian C[ , ]a b 35

Chương 3 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN [ , ]a b C 43

3.1 Không gian các toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ , ]a b 43

3.2 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ , ]a b 45

Kết luận 50

Lời nói đầu

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về các không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng Ra đời từ đầu thế kỷ 20, đến nay giải tích hàm đã đạt được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bầy các kiến thức toán học Giải tích hàm đã được đưa vào chương trình đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó nội dung của giải tích hàm rất phong phú như: Không gian vectơ tôpô lồi địa phương (không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert,…), các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,…

Để bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiều sâu về

giải tích hàm, em đã chọn đề tài: “ Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến

tính và toán tử tuyến tính trên không gian C[ , ]a b ” Khóa luận này nghiên cứu

về một vấn đề quan trọng của giải tích hàm đó là không gian các hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b và các toán tử tuyến tính liên tục trên nó

Nội dung của khóa luận bao gồm:

Chương 1 Tích phân Stieljes: Chương này đưa ra các kiến thức ban

đầu về hàm có biến phân bị chặn và tích phân Stieljes (trong đó trình bầy về tích phân Rieman - Stieljes và tích phân Lebesgue - Stieljes )

Chương 2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C[ , ]a b : Chương này viết về không gian Banach Céa b, ù

ë û và dạng

tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian này

Chương 3 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ , ]a b

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và trình độ còn non trẻ cho nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà nội ngày 01 tháng 05 năm

2010

Sinh viên

Mai Thị Thanh Xuân

Chương 1 TÍCH PHÂN STIELJES

1.1 Hàm số có biến phân bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 (Biến phân bị chặn)

Cho hàm số F= F x( ) xác định trên đoạn [ , ]a b Ta gọi biến phân của

hàm F trên [ , ]a b là cận trên đúng của tổng ( ) ( )

1

1 0

n

i i

n b

c)  

1

Õu x=03

 0  0  0  0

f x  f x F x F x

Định lý 1.1.7

Hàm số f có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ]a b thi hàm f cũng có biến

phân bị chặn trên đoạn này, và b  b 

V f V f

Định lý 1.1.8

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b , khi đó f có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ]a b khi và chỉ khi f cũng có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ]a b ,

nÕu j lÎ

j j

Xet hàm f là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ]a b Chọn

Cho f là hàm xác định trên đoạn [ , ]a b và  là hàm tăng trên đoạn

Ta biểu diễn được f x      x  x trong đó

Chiều ngược lại có được do định lý 1.1.2 và định lý 1.1.3

Định lý 1.1.10

Nếu hàm f có biến phân bị chặn trên đoạn  0,1 ,    x là hàm liên

tục, tăng thực sự trên đoạn  ,  sao cho   0,  1 thì hàm

Giả sử F có biến phân không bị chặn trên đoạn  , , khi đó với mọi số

tự nhiên M, ta có thể tìm được một phép phân hoạch P chia đoạn  , thành n đoạn bởi các điểm chia  x0   x1 x n1x n  sao cho

Từ phép phân hoạch P ta thiết lập phép phân hoạch P', phép phân hoạch này chia đoạn  0,1 thành n đoạn bởi các điểm chia 0    t0 t1 t n 1 với

1.2 Tích phân Rieman - Stieljes

Định nghĩa 1.2.1 (Tích phân Rieman - Stieljes)

Cho hàm số f và g xác định trên đoạn [ , ]a b Ta phân hoạch đoạn [ , ] a b

bởi các điểm chia a   x0 x1 x n b và lập tổng

( ) ( ) ( )

1

1 0

thì giới hạn đó gọi là tích phân Rieman - Stieljes (Hay tích phân Stieljes) của

hàm f theo g trên đoạn [ , ]a b và kí hiệu như sau: ( ) b ( ) ( )

Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tại tích phân Rieman - Stieljes)

Nếu hàm f Î C[ , ]a b và g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [ , ] a b thì

tồn tại tích phân Rieman - Stieljes: ( ) b ( ) ( )

Ta lấy hai phép phân hoạch P P1, 2 chia đoạn [ , ]a b thành những đoạn có

độ dài không vượt quá d, trên chúng ta lấy những điểm tùy ý và lập tổng tích phân S S1, 2 tương ứng Ta sẽ chứng minh S1- S2 < e

Giả sử phép phân hoạch P1 có các điểm chia: a= x0< x1< < x n= b thì

1

0 0

i

m n

Vì trong phép phân hoạch P P P các đoạn chia đều có độ dài không 1, 2, 3

vượt quá d nên với i j bất kì ta luôn có: , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1

0 0

i

m n

1

2

i

m n

Lấy dãy số dương giảm e ® n 0(n® ¥ ), với mỗi e n ta đều chọn được một số s n tương ứng sao cho với e= e s n; = s n điều kiện của định lý 1.2.2

được thỏa mãn Ta có s được chọn phụ thuộc vào e , ta giả sử dãy ( )s n lập thành dãy số giảm

Với mỗi n ta đều có phép phân hoạch P n chia đoạn éêa b, ùú

ë û thành các đoạn

với độ dài không quá s n và tổng tích phân S n tương ứng

Ta chứng minh ( )S n là dãy cơ bản

Nếu mn thì tất cả các đoạn chia của phép phân hoạch P P n, m đều có độ dài nhỏ hơn s n (s n> s m), do đó S n- S m < e, vậy dãy ( )S n là dãy cơ bản, nên lim n

n S I

® ¥ =

Ta chứng minh với mỗi phép phân hoạch P bất kì ta đều có I- S < e

với S là tổng tích phân tương ứng của phép phân hoạch P

Với mọi e > 0 ta chọn số tự nhiên N sao cho

n ³ N sao cho e £ e S là tổng tích phân tương

ứng với phép phân hoạch

S là tổng tích phân tương ứng của một phép phân hoạch bất kì đã phân

hoạch [ , ]a b thành các đoạn có độ dài nhỏ hơn

Nếu tồn tại tích phân Stieljes ( ) b ( ) ( )

Định lý đúng với mọi hàm g khác hàm hằng tại một điểm duy nhất x ( vì 0

bằng cách làm giảm vô hạn các thành phần cuả phép phân hoạch đoạn [ , ]a b sao cho x không bao giờ là một điểm chia ta thu được những tổng tích phân 0

bằng không) Do đó định lý cũng đúng với mọi hàm g khác hàm hằng tại hữu hạn điểm ( tính chất cộng tình)

+) Giả sử g x  c c tại  x x1, , , , 2 x n và ta có y i g x  i i 1,2 

Vì g có biến phân bị chặn nên

1

i i

 , khi đó g c g  ng trong đó g là một hàm lấy n

giá trị y i i 1,n tại x1 i 1,n và bằng không tại xx i i 1,n, còn g

chỉ khác không tại những điểm x N1,x N2 , khi đó   0

b a

f x dg x   f C

nó

Chứng minh

Giả sử tồn tại hai điểm x x1, 2 x1x2 mà tại đó hàm g liên tục nhưng

f x dg x   f C



Giả sử 0 g x    2 g x1 , ta chọn f  f0 ta cũng có kết quả như trên Tương tự với trường hợp g x   1 ,g x2 0

+) Nếu g x   1 ,g x2 trái dấu

Giả sử g x 1  0 g x 2 ta làm tương tự như trường hợp cùng dấu với hàm f Còn nếu 0 g x 2  0 g x 1 thì ta chọn hàm f  f0 và làm tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn

Vậy g x   1 g x2 Lai có x x là những điểm liên tục tùy ý của hàm 1, 2 g nên

g là hàm hằng tại mọi điểm mà hàm liên tục

1.3 Tích Phân Lebesgue - Stieljes

Định nghĩa 1.3.1 (Độ đo Lebesgue - Stieljes)

Cho hàm số g : ¡ ® ¡ là hàm đơn điệu không giảm Hàm g xác định một hàm G trên các gian như sau:

 ,  ( )  

 [ , ) ( ) 

 ( , ] ( ) 

 ,  ( )  

Trên đại số C tạo nên do các tập có thể biểu diễn thành hợp của một số

hữu hạn gian rời nhau, PC;

1

i

n i

Theo định lý khuyếch của độ đo thì glà một độ đo trên một  _đại

số L g F C( ) B Độ đo này gọi là độ đo Lebesgue - Stieljes (L.S) cảm sinh

bởi hàm g

Chú ý rằng theo công thức tính G  thì giá trị của hàm g tại những điểm gián đoạn là không quan trọng nên khi xác định độ đo cảm sinh bởi một hàm

số g bao giờ cũng có thể coi g x là liên tục phải (hoặc liên tục trái) Ngoài  

ra, nếu g và 1 g là hai hàm không giảm có giá trị bằng nhau tại mọi điểm chỉ 2

trừ những điểm gián đoạn thì

hàm g đơn điệu không giảm và liên tục phải.

Độ đo Lebesgue - Stieljes cảm sinh bởi hàm g là g được xác định như sau:

Định nghĩa 1.3.2 (Tích phân Lebesgue - Stieljes)

Cho g là độ đo L.S cảm sinh bởi một hàm số không giảm g, f là một

hàm g đo được trên một tập A Nếu tích phân b ( ) g

Ví dụ 2: Với hàm ( ) f x  x và độ đo g được xét trong ví dụ 1 ta có:

Nếu hàm f x liên tục trên đoạn   [ , ]a b , hàm g x có biến phân bị chặn  

và liên tục phải trên đoạn [ , ]a b thì các tích phân (L.S) và (R.S) là tồn tại và

Ta lại có f m( )x  f x( ) (m ) Vậy theo định lý về sự hội tụ chặn ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ( ) ( )]- ( ) '( )

b n

Vì g x   tuyệt đối liên tục nên ( 1) ( ) 1 '( )

i

i

x i i

Ứng dụng tích phân Stieljes trong lý thuyết xác suất thống kê

Tích phân Rieman - Stieljes được ứng dụng nhiều trong lý thuyết xác suất thống kê, đơn giản như tính hàm phân phối của biến ngẫu nhiên, tìm các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên…

+) Tìm hàm phân phối

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên (bnn) liên tục X có hàm mật độ X

được xác định bởi công thức P x  X x dx

Ta cũng có E f X     f x   X x dx



  trong đó f là hàm thực giá trị thực

+) Hàm đặc trưng

Hàm đặc trưng của bnn liên tục X là hàm    x :  có công thức

  isx  

X x

hàm mật độ của bnn liên tục X nào đó

Ta có  là hàm mật độ của bnn liên tục X khi và chỉ khi

 

 

01

Vậy  là hàm mật độ khi và chỉ khi c = 1

b) Tìm hàm phân phối của bnn liên tục X được nói đến trong ý a

Ta có hàm phân phối của bnn X có hàm mật độ   2 2

1 212

35000

1

35000

400 2400

1602

Chương 2 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN

KHÔNG GIAN [ , ] C a b

2.1 Không gian C[ , ]a b

Định nghĩa 2.1.1 ( Không gian tuyến tính C a b, )

Tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định liên tục trên một đoan [ , ]a b

hàm số với số thực lập thành một không gian tuyến tính, kí hiệu Céa b, ù

Định nghĩa 2.1.2 (Không gian định chuẩn)

Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó mỗi phần tử

x ta có một số x được gọi là chuẩn của nó sao cho các điều kiện sau

  0  ,

Điều kiện 1 được thỏa mãn

2) Tính thuần nhất của chuẩn

ë û cùng với chuẩn trên lập thành không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.1.4 (Không gian Banach)

Không gian Banach là không gian định chuẩn sao cho mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một điểm trong nó

Không gian Banach là không gian định chuẩn đủ

Định lý 2.1.5

Không gian định chuẩn Céa b, ù

Cho t thay đổi trên [ , ]a b ta nhân được hàm số x t xác định trên   [ , ]a b

Ta có hệ thức (1) không phụ thuộc vào giá trị của t a b, nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức của hệ thưc khi m  ta có:

       0,  ,

n

Vậy x t hội tụ đều đến n  x t  n  x C a b,

Trong không gian Céa b, ù

ë û sự hội tụ và sự hội tụ đều là tương đương nên ta

cóx t n x t  n  trong không gian Céa b, ù

2.2 Không gian liên hợp của không gian C[ , ]a b

Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một không gian tôpô tuyến tính X cùng hai phép toán: cộng các phiếm hàm và nhân phiếm hàm với số thực lập thành một không gian liên hợp của không gian X, kí hiệu

là X *

Cộng các phiếm hàm f  g f x g x   x C a b,

Nhân phiếm hàm với một số thực:  f .f x   x C a b, ,  

Không gian C *a b, là không gian liên hợp của không gian Céa b, ù

Cho p  thì số hạng thứ nhất của bất đẳng thức trên tiến dần đến

không, vậy với p đủ lớn ta có f n p  f  Hay f n  f n  

Vậy không gian C[ , ]*a b là không gian Banach

Tập tất cả các hàm có biến phân bị chặn trên [ , ]a b cùng hai phép toán

cộng các hàm số và nhân hàm số với số thực, lập thành một không gian tuyến tính, kí hiệu là V a b,

Trong V a b, đưa vào khái niêm chuẩn   như sau:

Theo định lý về sự tồn tại của tích phân Rieman_Stieljes ta có F là một g*

phiếm hàm tuyến tính trên không gian Céa b, ù

ë û

Ta chứng minh F g*C *a b,

Dễ dàng chứng minh được tính tuyến tính của phiếm hàm F g*

Theo định nghĩa tích phân Rieman - Stieljes thì tích phân b    

a

f x dg x

được tính như sau:

Chuyển qua giới hạn ta có:

Vậy định lý được chứng minh

Ngoài ra còn chứng minh được ánh xạ F được nêu trên là một đơn ánh *

Trên M a b, ta định nghĩa chuẩn như sau:

,sup