Biến đổi fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán giúp đỡ em thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành xâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường tận tình hướng dẫn, nghiêm khắc để em hoàn thành tốt khoá luận suốt trình học tập Cuối em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn Phúc Yên, ngày 09 tháng năm 2007 Tác giả Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Kí hiệu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn, không gian banach Không gian định chuẩn, không gian Banach Toán tử tuyến tính Không gian liên hợp 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian Lp    , 1  p    11 Không gian L1    11 Không gian L p    (  p   ) 12 Không gian L    13 Tích chập 13   Không gian Schwartz S   18 Sự hội tụ không gian S   21 1.4 Không gian Schwartz - S  n 18 n n 1.5 Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r) 23 Đạo hàm suy rộng 23 Tính chất đạo hàm suy rộng 23 Chương biến đổi Fourier Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp n 2.1 Phép biến đổi Fourier L1 (  ) 27 Định nghĩa ví dụ 27 Các tính chất 28   33 2.2 Phép biến đổi Fourier S  n Định nghĩa ví dụ 33 Các tính chất 34 Biến đổi Fourier ngược 38   43 2.3 Biến đổi Fourier không gian L2  n Định nghĩa 43 Các tính chất 43 Chương Không gian hàm suy rộng 3.1 Định nghĩa ví dụ 46 3.2 Toán tử không gian 50 hàm suy rộng 50 3.3 Giá hàm suy rộng 53   55 3.4 Biến đổi Fourier S  n Chương Toán tử giả vi phân 4.1 Biểu trưng 60 4.2 Toán tử giả vi phân 65 Định nghĩa ví dụ 65 Các tính chất 66 4.3 Nhân Schwartz tích phân động 70 Nhân Schwartz 70 Tích phân động 72 Chương nghiệm phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng với hệ số 78 Phương trình không dừng với hệ số 82 Phương trình đạo hàm riêng (giả) eliptic 84 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm suy rộng xây dựng không gian hàm có nhiều ứng dụng lớn vật lý lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phục vụ cho việc nghiên cứu tính kì dị hàm hàm suy rộng giải tích vi địa phương Chính việc nghiên cứu không gian hàm cần thiết sinh viên Trong trình học tập em tiếp thu số kiến thức: mở đầu chuỗi Fourier, đẳng thức Parseval giải tích, tiếp đến tích phân Lebegeus, phương trinh đạo hàm riêng, giải tích hàm….Chính kiến thức tạo điều kiện, động lực thúc em tìm hiểu định chọn đề tài: “Biến đổi Fourier, hàm suy rộng giải tích vi địa phương” Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện tính nghiêm túc, tư logic, từ có phương pháp nghiên cứu khoa học thích hợp thích hợp đắn - Khắc sâu tìm hiểu kiến thức biến đổi Fourier hàm suy rộng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phép biến đổi Fourier số không gian hàm: không gian L1   n  ,S   n  ,L2   n  không gian hàm suy rộng S    n  - Nghiên cứu không gian hàm suy rộng - Bước đầu làm quen tìm hiểu giải tích vi điạ phương Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp - Phương pháp phân nhóm học tập Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Cấu trúc luận văn Chương Các kiến thức chuẩn bị: trình bày không gian hàm tích chập, dùng tích chập để chứng minh tính trù mật S   n  Lp   n  ,  p   Chương Biến đổi Fourier số không gian hàm L1   n  , S   n  , L2   n  Chương Không gian hàm suy rộng: định nghĩa, đạo hàm hàm suy rộng, biến đổi Fourier hàm suy rộng Chương Toán tử giả vi phân Chương Nghiệm phương trình đạo hàm riêng: phương trình đạo hàm riêng với hệ số hằng, phương trình không dừng với hệ số hằng, phương trình giả eliptic Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp kí hiệu  supp f kí hiệu hàm liên tục f , nghĩa bao đóng tập hợp x : f  x   0  Một đa số  n số nguyên không âm   1 , , , n   Nếu  , đa số   1      n  !  1 ! ! n !     1  1 ,  2 , , n  n    n kí hiệu không gian Euclied n chiều x   x1 ,x2 , ,xn  , y   y1 , y2 , , yn  ,   1 ,2 , ,n  phần tử  n  Nếu x   n  da số thì: x  x11 x22 xnn ,  xk   , xk x  x11 x22 xnn Dx   i  x , i  1  Dxk  i xk ,  C    n  không gian tuyến tính tất hàm khả vi vô hạn  n  C0   n  không gian tuyến tính tất hàm khả vi vô hạn  n với giá compact  Công thức Leibnitz   D  uv      D  uD  v        ! Trong u,v :  n   hàm trơn        !     !      i  i ,i  1,n Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn, không gian banach Không gian định chuẩn, không gian Banach Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính) không gian tuyến tính X trường k ( k   k   ) với ánh xạ từ X vào tập số thực  kí hiệu  đọc chuẩn, thoả mãn tiên đề sau: 1) x  X, x  0, x   x   , (  phần tử không X) 2) x  X,  k,  x   x 3) x, y  X, x  y  x  y Số x gọi chuẩn vector x Không gian định chuẩn kí hiệu X Các tiên đề 1),2),3) gọi tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ xn  x  tới điểm x , lim n kí hiệu: lim xn  x hay xn  x n   n Định nghĩa 1.3 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy xn  xm  lim n m Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.5 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường k ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính A thoả mãn điều kiện: 1) x, x  X ta có A x  x  Ax  Ax 2) x  X,   X A x   Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi A thoả mãn 1) A gọi ánh xạ cộng tính Khi A thoả mãn 2) A gọi toán tử Khi Y  k A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.6 Cho X Y hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c  cho: Ax  c x ,x  X (1.1) Định nghĩa 1.7 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y số c  nhỏ thoả mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn toán tử A ta kí hiệu A Định lý 1.8 Cho A toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y mệnh đề sau tương đương 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 X 3) A bị chặn Định lý 1.9 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp A  sup Ax x 1 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X trường k Ta gọi không gian I  X, k  phiếm hàm tuyến tính liên tục X không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) không gian X kí hiệu X* (thay cho kí hiệu I  X, k  ) Định nghĩa 1.11 KG định chuẩn X gọi kg phản xạ X  X** Định nghĩa 1.12 X  X * Không gian định chuẩn X gọi không gian tự liên hợp Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.13 Cho không gian tuyến tính X trường K ( K   K   ) ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descarts X  X vào trường k kí hiệu (,) thoả mãn tiên đề: 1) x, y  X,  x, y   x, y 2) x, y, z X ta có  x  y, z   x, z   y, z 3) x, y  X, k ta có  x, y    x, y 4) x  X  x.x  0,x    x, x   x   Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vô hướng, số  x, y gọi tích vô hướng hai nhân tử x, y Các tiền đề 1),2),3),4) gọi hệ tiền đề tích vô hướng Định lý 1.14 (Bất đẳng thức Schwartz) Đối với x  X ta đặt x   x, x (1.2) x, y  X ta có bất đẳng thức schwartz  x, y  x.y (1.3) Hệ 1.15 Công thức (1.2) xác định chuẩn không gian X Định nghĩa 1.16 Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y, z không gian Hilbert, tập H thoả mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường k 2) H trang bị tích vô hướng (,) 3) H không gian Banach với chuẩn x   x, x , x H Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H Mai Thị Thu Trang Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 4.30 Ta nói toán tử T  m nhân Schwartz cho tích phân động I   x,y  với biên độ với biên độ     Sm  2nx,y  n Toán tử T  m gọi toán tử giả vi phân bậc m hàm   ' thoả mãn (4.11) (4.15) gọi biểu trưng biểu trưng đối ngẫu tương ứng Bổ đề 4.29 công thức (4.15)   1 D y   y,  ,   !   x,    D x    y,   !    y,   (1.16)    S   thuộc vào lớp  Bổ đề 4.31 Một toán tử R: S  n n  nhân Schwartz R  x,y  hàm trơn vô hạn thoả mãn (4.12) Chứng minh Nếu R từ mệnh đề 4.15 ta có điều phải chứng minh Trái lại R có nhân Schwartz trơn vô hạn thoả mãn 4.12  biểu diễn tích phân động với biên độ a x,    2   n F z R  x,y   x,x  y  R  x,y  R Nhận xét Từ mệnh đề (4.21), A toán tử giả vi phân với biên độ a x,y,  , biểu trưng  A  x,  toán tử chuyển vị AT toán tử giả vi phân với biên độ a  y, x,   biểu trưng  A  x,  T có khai triển tiệm cận  A  x,   T   D  x   x,     ! (1.17) Hơn theo mệnh đề (3.8) toán tử giả vi phân mở rộng tới không gian S   n  Mai Thị Thu Trang 76 Khoá luận tốt nghiệp Mai Thị Thu Trang 77 Khoá luận tốt nghiệp nghiệm phương trình Chương đạo hàm riêng Ví dụ 5.1 Xét phương trình vi phân: t 2u'  t   , t   Phương trình có nghiệm cổ điển u=const Tuy nhiên, ta viết phương trình dạng: d  t u t   2tu t   Ta thấy, hàm có dạng: dt c1 với u t    t0 c2 với (5.1) t0 c1,c2 số Cũng nghiệm Ví dụ ta tìm kiếm nghiệm cổ điển phương trình lớp nghiệm phương trình phụ thuộc vào cách mà ta viết lại phương trình Vấn đề lại không xảy ta xét nghiệm phương trình suy rộng ví dụ, đạo hàm hàm (5.1)  - hàm (xét chương 3) nhân với số, t.u  t  hàm suy rộng Phương trình đạo hàm riêng với hệ số Cho a     c     m A  a Dx   c D   m hàm đa thức với hệ số c toán tử vi phân với biểu trưng a    x Từ bổ đề (3.1) ta có: Au x   c D u x  ,   m Au x   x u  S'   ˆ    , c F    u   m 1 x Mai Thị Thu Trang 78 n  u  S'   n  Khoá luận tốt nghiệp ˆ   Au x   F 1 x  c   u  m u  S'    F 1 x  a  F y u y   , n  ˆ    ˆf   Au  f nếu: a   u (5.2)   ta đến giải phương trình Như từ phương trình: Au  f , f  S  n đại số (5.2)  Nếu a  Ví dụ 5.2  1 hàm liên tục, bị chặn kiểu đa thức ta có phương trình: Au  f ˆ    ˆf    a  u ˆf   1 ˆ    u   a   ˆf   a   Theo giả thiết cho ( a   a   1  1 hàm liên tục, bị chặn kiểu đa thức) có biến đổi Fourier nên: 1 ˆ     a   ˆf   u  u x   f  x  F 1 x  a   , 1  Kết luận: Nếu a   1 f  S  n  hàm liên tục, bị chặn kiểu đa thức phương trình Au  f có nghiệm u x   f   F x1 x  a   , 1 f  S  n  Ví dụ 5.3 Nếu  a   hàm khả vi vô hạn, bị chặn kiểu đa thức với tất 1 đạo hàm ta có phương trình: Au  f ˆ    ˆf    a  u Mai Thị Thu Trang 79 Khoá luận tốt nghiệp ˆf   1 ˆ    u   a   ˆf   a   Do a   1 hàm khả vi vô hạn, bị chặn kiểu đa thức với tất  đạo hàm nên a   1 thoả mãn điều kiện ví dụ 5.2 phương trình Au  f 1 ˆ     a   ˆf   u f  S   u x   f  x  F 1 x  a   , 1 n  Vậy nghiệm phương trình Au  f u x   f  x  F 1 x  a   , 1 Ví dụ 5.4 Giải phương trình sau: f   S  uxx  u  f , n  f  S  n  Giải: áp dụng biến đổi Fourier cho vế phương trình cho ta được: ˆ xx    u ˆ    ˆf   u ˆ    u ˆ    ˆf     2u ˆ    ˆf      1 u ˆ    Đặt B  x  hàm mà B Khi ta có: 1  n  ˆ    u ˆ    ˆf   B ˆ     2  f  g  u n   2  u    f  B  Tìm B Mai Thị Thu Trang 80 Khoá luận tốt nghiệp  A   t   t e dt  lim  e  ,   0 A    0 Ta có:     t  1    e dt   1  Do B x   F  1  x n  ˆB    2  e t  eix t d  dt 0 n     Xét tích phân I   a,b   ,b  0  iaxbx  e dx,   2 i , ta được: Đặt z  b x  b  iaxbx e dx      e dz   z2   Do I   iaxbx  e dx  e  a2 4b Vì e ix t  n n  d    e ix j  j t j j 1  Vậy tìm B x    2  n    Khi u x    2   n 2  a    Làm biến dạng b  x  e dx    b  z e  dz b   chu tuyến  Im z   thành trục số thực ta có: e a2 4b n  x2   d j    e 4t t t2 e t x2 4t x n dt, n t2 n   f  B x   4     0 Mai Thị Thu Trang 81 n e t n x2 4t f  x  y  dydt Khoá luận tốt nghiệp   4   0 Vậy u x    4  t2 n    0 t  x y  4t e n t f  y  dydt n  x y  4t e n t2 n   f  y  dydt, x   n n 2 Phương trình không dừng với hệ số Nếu toán tử bao gồm biến thời gian t ta muốn giải toán Cauchy để thuận tiện ta xem xét biến đổi Fourier với biến không gian Chẳng hạn: A  t ,Dx    tm   cm1, Dx  tm1   cm2, Dx  tm2    1  2 (5.3) c D    m 0, x ck, số Thì u x,t  nghiệm toán Cauchy: A  t ,Dx  u t, x    tku t,x  t 0  vk  x  , k  0,1,2, ,m ˆ  t,   F x u t, x nghiệm phương trình vi phân u ˆ  t,    t u ˆ  t,  thường A  t ,  u k t 0 ˆ k   , v k  1,2, ,m A  t ,Dx  có dạng (5.3) Trong trường hợp ta hiểu u t, x  họ hàm suy rộng biến x phụ thuộc vào tham số t  t u k hàm suy rộng cho :  tk u t, x  , f  x    tk u t, x  , f  x  , Mai Thị Thu Trang 82 f  S  n  Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 5.5 (phương trình nhiệt) Cho a(x) đa thức không âm  A  a Dx  với hàm suy rộng v  S  n  Hàm n ˆ   u t, x   F 1 xe ta u Là nghiệm toán Cauchy  t u  Au  u 0, x   v x  Thật vậy, Sử dụng phép biến đổi Fourier theo biến không gian x   n , ta có:  u ˆ t  Au  theo ví dụ 5.2 ta có:  ˆ ˆ u 0,   v       ˆ t  a  u ˆ 0 u  ˆ  0,   v ˆ   u  ta  Từ phương trình (1) ta có u  ce  1  2 c  , ˆ  0,   vˆ   nên vˆ    c thay vào u ˆ ta Theo điều kiện ban đầu (2) u  ta  ˆ e u  u t, x   F 1 xe ta  vˆ   Vậy nghiệm toán Cauchy phương trình truyền nhiệt là: u t, x   F  e 1  ta  vˆ     2   n e ix  e ta  vˆ   d n Ví dụ 5.6 (phương trình sóng)   Nếu g  S'  n   ˆ   hàm suy rộng u t,x   F   x t  g 1 nghiệm toán Cauchy:   t2vu   u 0, x   g x    u 0, x    t Thật vậy, phương pháp biến đổi Fourier cho nghiệm u theo biến x  n ta có: Mai Thị Thu Trang 83 Khoá luận tốt nghiệp  ˆ tt    u  ˆ  0,   g ˆ   u ˆ t  0,   u phương trình vi phân thường với  cố định  n Ta có phương trình đặc trưng k     k  i (5.4)  suy nghiệm phương trình có dạng: u  cetk  k  i    c1eti   c2eti  , c,c1,c2  (5.5) ˆ t 0  g ˆ ˆ u ˆ c1  c2  g g    c1  c2  ˆ t t 0  c2  c1  u Theo điều kiện 5.3 ta có  Thay vào (5.5) ta   ˆ  ti  g ˆ e  eti   g.cos  t  1 ˆ  u t, x   F k x  g   cos t   u Vậy nghiệm phương trình truyền sóng với toán Cauchy là: 1 ˆ u t,x   F k x  g   cos t   Chú ý:+    xk toán tử laplace k  , + với u t,  S  n t v,g ví dụ 5.5, 5.6 thuộc S  n  Phương trình đạo hàm riêng (giả) eliptic Bổ đề 5.7 (phép hợp thành toán tử giả vi phân) Nếu A  m1 ; B  m2 AB  m1  m2 biểu trưng  AB toán tử giả vi phân AB cho chuỗi tiệm cận:  AB  x,      ! D  A  x,  x B  x,   A ,  B biểu trưng toán tử A, B tương ứng Mai Thị Thu Trang 84 (5.6) Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Nếu A B cho tích phân dao động với  A  x,  ,  B  y,  thì: Av x    2  i  x y n   2     2    e n e ix n  A  x,  v y dyd n  A  x,  d   2  eiy v y  dy   e   x,  vˆ   d Bu x    2   e      y,  u y dyd ix A n i x y B   2  F 1  x  n n   iy     y,  dy d e e    B      ix n   iy    e  2   B  y,  dy    ABu x    2  n e ix    A  x,   eiy  B  y,  u y  dy d Nghĩa nhân Schwartz AB trùng với tích phân động có biên độ  A  x,  B  y,  Theo công thức (4.11) ta có:  AB  x,    D   x,      x,     ! A x B Sử dụng công thức (4.16) ta có:  AB  x,      ! D  A  x,  x B  x,   Định nghĩa 5.8 Một toán tử giả vi phân A  m dược gọi cổ điển biểu trưng có khai triển tiệm cận thành chuỗi: a x,y,     a  x,y, , k mk với amk dương biến   ,  bậc m-k Không gian toán tử giả vi phân cổ điển A  Mai Thị Thu Trang 85 m kí hiệu  cl m Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 5.9 Nếu A  cm số hạng am khai triển tiệm cận  A gọi biểu trưng toán tử A toán tử A gọi eliptic am  x,     Chú ý Theo công thức (4.16) thì, A  cm biểu trưng đối ngẫu có khai triển tiệm cận  A    a k mk  k , với am  dương theo biến  bậc m-k, biểu trưng am trùng với am Định lý 5.10 Cho A toán tử giả vi phân cổ điển loại eliptic Khi tồn toán tử B  cl cho BA  I  m  Định nghĩa 5.11 Toán tử B gọi parametric trái A Nhận xét Nếu B parametric trái A Au  f BA  I  R  BA  I  R  Bf   I  R u,R  (định lý 5.10) Toán tử phần dư R thường toán tử compact không gian hàm thích hợp H Trong trường hợp tồn paramêtric kéo theo không gian u  H : Au  0 có số chiều hữu hạn, phương trình Au  f có nghiệm tất f thuộc không gian có số đối chiều hữu hạn (nhận xét liên quan đến lý thuyết bậc toán tử Fredhlom) Chú ý BA  I  R  BA  AT BT  I  RT , RT có tính T chất R Theo công thức đặc trưng toán tử chuyển vị:  A  x,   T D    x,     ! x Mai Thị Thu Trang 86 Khoá luận tốt nghiệp B  cl m B  cl ; A eliptic A T m T eliptic Do parametric trái A tồn thuộc vào cl m m   I  tồn tai toán tử B  cl cho AB  ( B gọi parametric phải A) Chứng minh định lý 5.10 Chúng ta xây dựng biểu trưng B chuỗi tiệm cận hàm dương theo biến   k k0  bậc m  k : b mk  x,  Nếu chuỗi  A   amk ,  B   bmk , vào (5.6), nhóm số hang bậc với nhau, số hạng 1, số hạng khác 0, hệ lặp phương trình vi phân dạng: amb m  amb m1  L1  am ,am1 ,b m  …=… amb mk  Lk  am ,am1, ,amk ,b m ,b m1, ,b mk1  …=… Trong Lk  am ,am1 , ,amk ,bm,bm1, ,bmk1  đa thức hàm am,am1, ,amk ,b m,b m1, ,b mk1 đạo hàm chúng b m  am1 , b mk  am1Lk  am,am1, ,amk ,b m,b m1, ,b mk1  , k  1,2,  B   b k  mk ,  AB  sai khác S , nghĩa AB  I   Mai Thị Thu Trang 87 Khoá luận tốt nghiệp Chú ý Cho A  cl toán tử giả vi phân cổ điển m O   xn    n \ 0  nón  (từ nón nghĩa  x,   O , với    x,  O ) Nếu đặc trưng A khác tập O     1 , theo cách xây dựng toán tử giả vi phân B  cl m thoả mãn  AB  O Một toán tử gọi parametric vi địa phương A O Mai Thị Thu Trang 88 Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Trong luận văn em trình bày số vấn đề sau đây: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Biến đổi Fourier Chương Không gian hàm suy rộng Chương Toán tử giả vi phân Chương Tính kì dị hàm hàm suy rộng Chương Nghiệm phương trình đạo hàm riêng Luận văn mang tính chất tổng quan em chứng minh số ví dụ cụ thể làm rõ số tính chất, hiểu vấn đề luận văn đề cập Do thời gian có hạn, lần đầu làm nghiên cứu khoa học khả thân hạn chế nên luận văn nhiều thiếu sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Mai Thị Thu Trang 89 Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chương (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục năm [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tập 1, tập 2, NXB Đại học sư phạm [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng [4] Nguyễn Phụ Hy (2005) – Giải tích hàm [5] M.Dimassi and J Sjotrand (1999), Spectral asymptotics in the semi – classical Limit, LMS lecture [6] L Hormander, The analysis of linear partial differential operators Springer-Verlag, New York, 1984 [7] M Shubin, Pseudodifferential operatorsand spectral theory, “Nauka”, Moscow, 1978, Englishtraust, Springer-Verlag, 1987 [8] Yu Safarov and D Vassiliev, The asymptotic distribution of eigenvalues of partial differential operators, American Mathemtical Society, Providence, Rhode Island [9] Richard Melrose (2003) Introduction to Microlocal Analysis, Massachusetts Institute of Technology, USA Mai Thị Thu Trang 90 [...]...  n n  khi và chỉ khi   f , fk   0 trong đó  là    f ,g   f  g  ,     !  1  Mai Thị Thu Trang 22 f  g  ,  Khoá luận tốt nghiệp 1.5 Đạo hàm suy rộng (Đ.h.s.r) 1 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.51 Giả sử   1, 2 , , n  là một đa chỉ số Hàm f   x   L2,loc    được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  trong miền    n của hàm f  x  L2,loc   , nếu đối với hàm tuỳ ý g...  , từ đó ta có điều phải chứng minh Mai Thị Thu Trang 23 Khoá luận tốt nghiệp Tinh chất 1.55 Đạo hàm suy rộng cấp  không phụ thuộc vào thứ tự lấy tích phân Tinh chất 1.56 Nếu các hàm f1, f2 có đạo hàm suy rộng f1 , f2 trong miền  thì hàm số f  c1 f1  c2 f2 cũng có đạo hàm suy rộng cấp  trong  và f   c1 f1  c2 f2 Chứng minh Với mọi   C0   ta có:       x   c f  x   c... rằng nếu f  S  n  thì fˆ khả vi mọi cấp đồng thời biến đổi Fourier của đạo hàm một hàm số làm mất đạo hàm áp  dụng điều này ta có thể tìm fˆ của hàm f ( x)  e x2 2 trên  1 một cách đơn giản như sau: Ví dụ 2.12 Xét trong  1  ta có f0 (t )  e t2 2 là một nghiệm của phương trình vi phân f   t   tf  t  f0  t   tf0  t  áp dụng công thức biến đổi Fourier và đẳng thức (2.5) ta có:  ... 0.g(x)dx  2 f  0 x1x2 Mai Thị Thu Trang 26 Khoá luận tốt nghiệp biến đổi Fourier Chương 2 2.1 Phép biến đổi Fourier trong L1 (  n ) 1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1 Cho hàm f L1( n ) Hàm n f ()  (2) 2 eix f (x)dx   (2.1) n được gọi là biến đổi Fourier của hàm f và ta kí hiệu là f hoặc F x f  x  Tích phân của vế phải (2.1) hoàn toàn được xác định vì: n n f ()  (2) ... điều phai chứng minh  Ví dụ 1.57 Cho   B 0,1  x   n / x  1, f  x   x1 xác định trên  , có các đạo hàm suy rộng cấp 1: f f  signx1;  0,i  2,n x1 xi Thật vậy: Với mỗi i  2 thì f = const đối với biến xi nên nó có đạo hàm suy rộng f f  0 Vì vậy f có đạo hàm suy rộng  0,i  2,n trên  xi xi   + Với   C01  ta có:  f  x     dx   f  x  dx   f  x  dx... nghiệp   2.2 Phép biến đổi Fourier trong S  n 1 Định nghĩa và ví dụ Theo định lý 1.48 S  S  n  trù mật trong Lp   n  1  p   suy ra  trù mật trong L    vì vậy ta định nghĩa biến đổi Fourier trong S   như trong L    như sau: n n 1 n n 1 Định nghĩa 2.9 Cho f  S  n  khi đó hàm n  fˆ ()  F x  2  2 e  ix  f ( x)dx (2.4) n    S  n , được gọi là biến đổi Fourier của...   0 hầu khắp nơi trên  2 Tính chất của đạo hàm suy rộng Tnh chất 1.54 Nếu hàm f có d h s r cấp  thì đạo hàm suy rộng cấp  của f là duy nhất Chứng minh Thật vậy giả sử f có 2 d.h.s.r cấp  là f1 , f2 trong miền    n Khi đó:     f  x D g x  dx   1  f  x g x  dx 1   =  1     f  x g x  dx, g C    2 0  Từ đó suy ra:     f  x g x  dx   f  x g x... thức Ostrogradsky ( x1  0 trên  , và với x1  0 )  f  x   dx     dx    dx   si gnx1 dx x1    Do đó đ.h.s.r theo x1 của hàm f  x1 tồn tại và bằng si gnx1 Chú ý: Trong ví dụ 1.56 hàm f  x1 với i  2 không tồn tại đạo hàm cổ điển với x1  0 Tính chất 1.58 Nếu hàm f có đ.h.s.r D  f  F và F có đ.h.s.r D F  g thì f có đ.h.s.r cấp    và D  f  g Chứng minh   C0... Thị Thu Trang 25 Khoá luận tốt nghiệp Tính chất 1.60 Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng D  f được xác định ngay với cấp  mà không cần sự tồn tại của các đạo hàm cấp thấy hơn Ví dụ 1.61 Xét hàm trên   B(0,1)   2 , x  (x1,x2 ) , trong đó (x1)  signx1 Trong ví dụ 1.57 ta đã thấy f không tồn tại Nhưng hàm f lại có đạo hàm x1 2 f riêng cấp 2 x1.x2 Thật vậy: g C02 () , tuỳ ý Ta... 1.20 Ta gọi giá của hàm f xác định trên  và kí hiệu là suppf và supp   x  : f  x   0 Khi supp f   và suppf là tập compact thì ta nói f có giá compact trên  Định nghĩa 1.21 Một hàm f xác định hầu khắp nơi trên  được gọi là khả tích địa phương trên  nếu f  L1  A với mọi tập đo được A  và kí hiệu là f  L1,loc    Bổ đề 1.22 (Bổ đề Fatou) Giả sử  fk  là dãy các hàm trong L1   ... Không gian hàm suy rộng: định nghĩa, đạo hàm hàm suy rộng, biến đổi Fourier hàm suy rộng Chương Toán tử giả vi phân Chương Nghiệm phương trình đạo hàm riêng: phương trình đạo hàm riêng với hệ số... Chương Không gian hàm suy rộng 3.1 Định nghĩa ví dụ 46 3.2 Toán tử không gian 50 hàm suy rộng 50 3.3 Giá hàm suy rộng 53   55 3.4 Biến đổi Fourier S... hàm suy rộng xây dựng không gian hàm có nhiều ứng dụng lớn vật lý lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phục vụ cho vi c nghiên cứu tính kì dị hàm hàm suy rộng giải tích vi địa phương Chính vi c