Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân

Mục lục Mỏ đầu 1 Kiến thức chuẳn bị 1.1 Toán tử Hilbert - Schmidt trong khống g'ian Hilbcrt 1.2 c* - đại số các toán tử tuyến tính bị chặn 1.3 Một số khống gian hàm 1.3.1 Không gian hàm cơ bản 1.3.2 Không gian hàm suy rộng D'(Q) 1.3.3 Không gian các hàm giảm nhanh <S(M n ) 1.3.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S' (R n ) 1.3.5 Một số khống gian hàm khác 1.4 Biến đổi Fourier 1.4.1 Biến đối Fourier và biến đối Fourier ngược 1.4.2 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L p ( R n ), 1 < p < 2 1.4.3 Biến đối Fourier của hàm suy rộng 1.5 Toán tử giả vi phân 1.5.1 Toán tử giả vi phân 1.5.2 Toán tử Weỵl 1.5.3 Một số khống gian các biểu trưng 2 Biến đối Rihaczek và toán tử giả vỉ phân 6 6 9 1 0 1 0 1 0 1 2 1 3 1 4 13 1 5 1 7 1 7 17 1 8 2 0 2 2 2 4 1 2.2.1 Biển trưng thuộc L p ( R 2n ), 1 < p < 2\ 27 Biểu trưng thuộc LĨ(R 2n ), 1 < p < oo 29 Kết luận Tài liệu tham khảo 2 6 2.1 Một số phốp biến đối thời gian - tần sỗ 2.2 Liẽn hệ với toán tử giả vi phân 2 4 2 32 33 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự giúp đỡ nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tôi vượt qua những khó khăn trong' chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa toán, Phòng sau đại học và các thầy cô trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi trân trọng cảm ơn sỏ GD và ĐT Hà Nội, Trường THPT Minh Phú đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Mạch Văn Cường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Đề tài và luận văn không trừng lặp với những đồ tài khác. Trong quá. trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Mạch Văn Cường MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết toán tử giả vi phân hay còn gọi là lý thuyết toán tử tích phân kì dị, hay là tích phân dao động, được tách ra từ lý thuyết phương trình vi phân, là một chuyên ngành hẹp tương đối độc lập, được nghiên cứu đầu tiên bởi Koln và Nirenberg năm 1943, sau đó, lý thuyết này được rất nhiều nhà toán học nổi tiếng the giới quan tâm nghiên cứu, chăng hạn L. Hömander, A.N Kolmogorov, Khoảng những năm đầu của thập kỉ 90 trong thế kỉ 20, lý thuyết giả vi phân đã có một hướng phát triển thú vị khi nghiên cứu cùng với lý thuyết giải tích thời gian - tần số. Nhiều lớp toán tử giả vi phân: toán tử Koln-Nirenberg, toán tử Weyl, Toán tử định vị, được gắn liền với những lớp biểu diễn thời gian - tần số: Rihaczek, Wigner, và những tính chất của các lớp toán tử đó như tính bị chặn, tính compact, trong một số lớp không gian hàm được thiết lập nhờ mối liên hệ kiểu như vậy. Trong bài báo p], nhóm tác giả Alip Mohammed, M.w. Wong đã thu được một số tính chất về tính bị chặn và tính compact trong L p ( R n ), 1 < p < 00 của toán tử giả vi phân Koln- Nirenberg với lớp biểu trưng LỈ(IR 2n ) nhờ mối liên hệ với lớp toán tử Weyl và các biểu diễn thời gian tần số Wigner và Rihaczek. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử giả vi phân và biến đổi Rihaczek, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi chọn lựa đề tài nghiên cứu “Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân” đổ thực hiộn luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về biến đổi Rihaczek 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày về khái niệm biến đổi Rihaczek - Trình bày về khái niệm toán tử giả vi phân - Trình bày về mối liên hệ giữa biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Dối tượng nghiên cứu: Biến đổi Rihaczek và các khái niệm về toán tử giả vi phân - Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. - Thu thập và nghiên cứu các loại tài liệu có liẽn quan, đặc biệt là các bài báo rriới trong và ngoài nước về vấn đề luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Luận văn là một nghiên cứu tổng quan của tác giả về mối liền hệ giíĩa toán tử giả vi phân lớp Koln-Nircnbcrg với biổu dien thời gian - tần số Rihaczek. Một số tính chất nhỏ trong bài báo Щ được tác giả chứng minh chi tiết. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử Hilbert — Schmidt trong không gian Hilbert Chúng ta xây dựng toán tử Hilbert - Schmidt, trong không gian Hilbcrt L 2 (R n ) Định nghĩa 1.1.1. Cho h € L 2 (R n ). Toán tử Hilbert - Schmidt với nhân /z, kí hiệu Sh ' L 2 (R n ) —>• L 2 (lR n ) được định nghĩa bỏi: {Shf) (x) = J h ( x, y) f(ĩj)dy , X e R " 1B« Với mọi / G L 2 (M W ), ta chứng minh được s h f G L 2 (R”). Thật vậy: Từ (1.1) ta có : ỉ h (x, y) f(y)dy ỉ” = [ \f (y)\ị ị \h{ x,y)\ 2 dxỴ dy JR n 1./M” J < {Jj m fd y f {j = I/Il 2 (M") I^Il 2 (R 2 ») dx (1.2) Cho g , h G L 2 (R 2n ). Ta kí hiệu g о h £ L 2 (M 2n ) là hàm được xác định bởi (1.1) { [ \(Sh f ) ( x) i 2 ds V = ị I ) J M" Đ ị n h l í 1 . 1 . 1 . C h o S h , S g l à toán tử Hilbert - Schmidt tương ứng với hạt nhân g và h. Khi đó (i) Sg Sh = Sgoh (ii) S' h = s h *. ơ đố Sh* là liên hợp của Sh và h* là hàm, trong R 2 n và được định h* ( x , y ) = h { x , y ) , x , y e R n . (1.5) Chứng minh. T ừ ( 1 . 3 ) {{SgS h ) /) (ж) = (Sg (s h f )) (ж) = / g (X , z) (s h f ) (z) dz i" = J 9 (x, z) { / h {z, y) f ( y ) d y } d z M" i" = / { / 9 ( x , z ) h ( z , y ) d z } f ( y ) d y R 7( M 7i = _ / ( . 9 0 h ) ( ж , у ) Ỉ ( y ) d y = ( S g o h f ) (x) rc> n với mọi X E M. n , / 6 L 2 (R n ). Để chứng minh được ta cần hoán đổi thứ tự lấy tích phân. Ta có = II#IIl 2 (M")\\S\h\ l/l||^2( R n) < 00 . □ Bổ đề 1.1.2. Nếu Sh là toán tử Hilbert-Schmidt trên L 2 (R n ) tuơnq ứng vớ i hạt nhân h £ L 2 (R 2n ) thì Sh là toán tử compact . 1.2 С* - đại số các toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa i.2.1 (Đại số phức). Một đại số phức là một không gian vcctơ A trcn trường số phức с cùng với một phép toán nhân X, y £ A I-» xy £ A thỏa mãn các điều kiện sau 1. Tính phân phối: Với mọi a, ß E с và ж, 2/, z G л, (a .x + ß.y)z = a.xz + ß.yz x( a .y + ß.z) = a.xy + ß .xz. 2. Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z. Một đại số mà có phần tử e thỏa mãn ex = xe = xVx G Ả thì được gọi là đại số có đơn vị và e là đơn vị của đại số đó. Nếu thêm tính chất xy = yx, Vx, y G A thì ta nói đại số A là giao hoán. Định nghĩa 1.2.2 (Đại số chuẩn). Một đại số chuẩn là cặp (A, 11*1 I) bao gồm đại số phức A và chuấn ||-| I : A —>• [0, 00) thỏa mãn tính chất lkỉ/| I < IN I llỉ/l I, Ух,y e A. Khi A trở thành không gian Banach đối với chuẩn trên thì nó được gọi là đại số Banach. Ví dụ 1.2.1. Cho E là không gian Banach và B(E) là khônggian các toán tử tuyến tính liên tục trên E. Khi đó B(E) là một đại sốBanach có đơn vị đối với phcp toán nhân là hợp thành các toán tử. Định nghĩa 1.2.3 (C *—đại số). Một c *—đại số là một đại số Banach A được trang bị một phép toán đối hợp X I-» X* thỏa mãn 1. X** = X, Vx G A; 2. (a.x + ß.y)* = ãx* + ßy* , với mọi a, ß 6 с và với mọi X , y G A; 3. (xy)* = y*x* 1 với mọi x,y G A; 4. \\x*x\ I = \\x\ | 2 với mọi X G A. Ví dụ 1.2.2. Cho H là không gian Hilbert và C(H) là đại số Banach các toán tử compact. Khi đó, C(H) là một c*—đại số . 1.3 Một số không gian hàm 1.3.1 Không gian hàm cơ bản v(ũ) Định nghĩa 1.3.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là V(Q) là không gian gồm các hàm khả vi vô hạn trên íì và có giá compact trong Q với topo xác định bởi sự hội tụ như sau: Dãy ! các hàm trong V(ỹt) được gọi là hội tụ đến hàm (p £ V(íì) nếu thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) : i, Có một tập compact к с Г2 mà Slippy? j с K,j = 1, 2, ii, lim sup I D a ipj(x) — D a if{x) I = 0, với a = ((Х 1,а 2, , ûf n ) G N n . 00 Khi đó ta viết là (f = D_ lim (p : j. j->00 ở đây với mọi đa chỉ số ữ = a n ) G N n ỡ“ 1 d a ‘ 2 d ữ n D n (f = D c : i DĨ 2 D“”ự> = . -Цг-р. * 12 n ^ дх а ^ д х« 2 dxï " * Định lí 1.3.1. Không gian các hàm cơ bản V(ũ) là đầy đủ. 1.3.2 Không gian hàm suy rộng Z>'(Q) Định nghĩa 1.3.2. Ta nói rằng / là một hàm suy rộng trên tì nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên T>(Q). Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trcn fỉ, kí hiệu là V'(ũ). Hàm suy rộng / G V f (Q) tác động lên mỗi (p e V(íì) được viết là (/, if). Ví dụ 1.3.2. Cho / G Lị C (Q), khi đó phiếm hàm liên tục trên V(ũ) được xác định bởi: / : 4> {/, v) = I f (z) 4> ( x)dx, tp € V{í ì) (1.7) П là một hàm suy rộng. Hàm suy rộng biểu dien như (1.7) được gọi là hàm suy rộng' chính quy. Hàm suy rộng không chính quy được gọi là hàm suy rộng kỳ dị. Ví dụ 1.3.3 (Hàm suy rộng Delta Dirac). Ký hiệu ỗ là phiếm hàm xác định bởi: ố : if I-» (ố, 99) = <p(0),<£ £ V(Q). Nhận xét 1.3.4. Hàm suy rộng ỏ còn được gọi là hàm suy rộng Delta Dirac và hàm suy rộng Delta Dirac là hàm suy rộng kỳ dị. Thật vậy: Với mọi £ T>(íĩ) thì (ố, if-[ + if 2) = +<^2)(0) =<Pl (0)+<£2(0) = (ố,Lfi) + (ố, (f 2) . (Ố, À if ) = (A^)(0) = A <p(0) = A (Ổ, if). Giả sử tồn tại một hàm khả tích địa phương u sao cho: <p(0) = (ổ, ự?) = Ị u(x)ự?(x)dx ì (p £ V(íì). ủ n Lấy dãy ifk E V(ỌÌ) được xác định bởi <Pk(%) = (p{kx) thì y?(0) = c Ỷ 0- Khi k —> 00 theo Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì: Điều này là mâu thuẫn với <p(0) = c ^ 0. Nên không tồn tại hàm khả tích địa phương u để (ố, ip) = 99(0) = / u(x)(p(x)dx. Vậy ố là hàm suy rộng ki dị. Định nghĩa 1.3.3. Cho / £ V' (fì), a = (cvi,a 2 ,. , a: n ) € N n . Đạo hàm cấp o. của hàm suy rộng f trong íì, kí hiệu là D a f là. hàm suy rộng trên Í2 được xác định bởi: (D a f , if) = (—l)' a ' (/, D a <p) , if £ 'ĐịỌÌ), I Of I = Oil + ữ-2 + • • ■ + ot n . Định nghĩa 1.3.4. Cho /fc, / E V (Q), k = 1,2, Ta nói rằng, dãy {fk}kLi hội tụ đến / trong V' (íì) khi k —>•00 nếu lim (/fc,^> = (/,¥>) ,y<peT>(íì). k- t 00 ỉ được xác định bởi <Pk ( %) = (p { k x ịnh lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì <p ( 0 ) = lim / u(x ) ifk( x )dx 0. Ả:— >00 J R " k 11 ^ n T r/~ĩì / r\ Ị n I /ì —J— íì 1\T r\T~\ lr n Ar [...]... liờn h gia toỏn t gi vi phõn lp Koln-Nircnbcrg vi biu din thi gian - tn s Rihaczek, trong ú, lun vn ó h thng húa: - Mt s lp khụng gian hm, lý thuyt s lc v toỏn t gi vi phõn v toỏn t Weyl, - Mt s biu din thi gian - tn s kiu Wigncr v Rihaczck, - Mi liờn h gia toỏn t gi vi phõn lp Koln-Nirenberg vi biu din thi gian - tn s Rihaczek v vi toỏn t Weyl, t ú m rng lp biu trng ca toỏn t gi vi phõn sang lp L(R... (2tt) * { R { f , g ) ) chng ta thy vai trũ ca bin i Rihaczek i vi toỏn t gi vi phõn tng t nh vai trũ ca bin i Wigner i vi toỏn t Weyl trong vic tng quỏt húa cỏc toỏn t gi vi phõn v cho phộp chỳng ta xỏc nh toỏn t gi vi phõn trờn lp khụng gian S'(R n ) nh cụng thc (2.9) Phn chớnh ca chng ny l trỡnh by tớnh b chn v tớnh compact ca toỏn t gi vi phõn trong L p (R n ), 1 < p < 00 Nhn xột 2.2.2 Nh nh... nu: ù lim sup \x a D ò (p k (X ) x a D ò (p () I = 0, vi mi a,ò G N n Kớ hiu S _ lim ifk = (f ỡ Chỳ ý 1.3.6 1 Hm ip Ê c (M 7 ) l gim nhanh khi v chỡ khi mt trong hai in kin sau tha món: a) Vi mi m G N, ò Ê N n cú ^1 + ||2^ \ D ^ i p ( X ) I < C m ò , vi mi X 6 R7i b) Vi mi m G N* cú ^1 + |x| 2 ^ ID ớ 3 (f (ổ)| < C m ỡ vi mi X 6 M n |jử| . toán tử giả vi phân - Trình bày về mối liên hệ giữa biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Dối tượng nghiên cứu: Biến đổi Rihaczek và các khái niệm về toán. cứu Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân đổ thực hiộn luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về biến đổi Rihaczek 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày về khái niệm biến đổi Rihaczek -. thuyết giả vi phân đã có một hướng phát triển thú vị khi nghiên cứu cùng với lý thuyết giải tích thời gian - tần số. Nhiều lớp toán tử giả vi phân: toán tử Koln-Nirenberg, toán tử Weyl, Toán tử định