Phép biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sail đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bò đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, Luận văn này là kết quả tìm hiểu, nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Trong quá, trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ƠĨ1. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hàm điều hòa Hàm điều liòa bi cliặĩi Định lý Liouville Mở đầu Chương 1. 1.1. 5 5 27 27 27 2 9 3 1 3 1 31 3 G 4 3 4 3 4 5 45 45 4 8 5 0 5 2 5 2 52 54 57 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.3. Điểm kì dị cô lập Nguycn lý cực đại Hàm điều hòa dương Định lý Lion ville Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack Đặc trưng của hàưi điều hòa dương PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN Pliép nghịch dảo qua mặt cầu đơn vị Phép biến đổi Kelvin Định nghĩa Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa Hàm điều hòa tại vô cực Bài toán Dirichlet ngoài HÀM ĐIỀU HÒA CẦU 3.1 .1. Định nghĩa 3.1 .2. Không gian ư ( S ) Hàm điều hòa cầu qua phép lấy vi phân Kết luận Tài liệu tham khảo 1.3.1. 1.3.2. 1.3.1. Chư ơ n g 2 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3. Chương 3. 3.1. 3.2. 3.3. Hàm điều liòa cầu Hàm điều hòa đới cầu Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, D’ Alambert, Lagrange, Laplace, như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Những bài toán có nội dung tương tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay. Trong chương trình học đại học cũng như cao học, ta đã được tìm hiểu lý thuyết cơ bản về các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai quan trọng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là phương trình Laplacc. Tuy nhiôn do hạn chế vồ thời gian nôn chúng ta mới chủ yếu nghiên cứu trong miền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán (sự tồn tại, tính duy nhất và, sự phụ thuộc liên tục) mà chưa tìm hiểu sâu được trong miền không bị chặn cũng như nhiều tính chất đặc trưng khác của hàm điền hòa (nghiệm của phương trình Lapla.ce). Dược sự hướng dẫn của TS- Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Biến đổi Kelvỉn và hàm điều hòa cầu” để tìm hiểu về biến đổi Kelvin và vai trò của nó đối với việc nghiên cứu hàm điều hòa trên miền không bị chặn và hàm điều hòa cầu. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về hàm điều hòa trên miền không bị chặn, hàm điều hòa cầu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các nội dung sau: + Các tính chất cơ bản của hàm điềư hòa. + Biến đổi Kelvin và các tính chất. +Hàm điều hòa cầu và các tính chất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo, tài liộu viết. VC biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích đế tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống những vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Những đóng góp của đề tài Trình bày một cách tổng quan, rõ ràng, hộ thống vồ biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu. Hà Nội, tháng 10 năm, 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Nội dung Nội dung của luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trong miền bị chặn và các tính chất cơ bản của chúng. Chương 2: Tìrri hiểu về phép biến đổi Kelvin và ứng dụng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace. Chương 3: Tìm hiểu vồ hàm điều hòa cầu và các tính chất của chúng. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các khái niộm và tính chất cơ bản của hàm điều hòa trong miền bị chặn. Các kết quả trình bày ở đây được tham khảo từ các tài liệu [ỊT]-J4]. 1.1. Hàm điều hòa Cho n G N*,n > 1 và í] c M ?ỉ là tập mở khác rỗng, E c M n là tập con không nhất thiết mở. Ta kí hiệu: c (E) là không gian tất cả các hàm liên tục trcn E\ c k (Q) ,k G N* là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục k lần trên Q; c°° (0) là không gian tất cả các hàm thuộc c k (0) với mọi k e N; Dj, Dj tương ứng là đạo hàm ricng cấp một và cấp hai theo tọa độ thứ j; V := ( D ị , D 2 , • • • , D n ) là gradient và A := Dị 2 + + D n 2 là toán tử Lapỉace; D n u = (Vu).n là đạo hàm của u theo hướng vcctơ pháp tuyến ngoài đơn vị n trên biên íì; Với X = (x i, ,ar n ) 6 M n , ta kí hiệu chuẩn của X là: \x\ = ( x ị 2 + + x n 2 ) l / \ Trong Luận văn này, tất cả các hàm đều được giả thiết là có giá trị phức trừ khi được nói rõ. Định nghĩa 1.1. Hàm и £ C 2 ( Q ) được gọi là hàm điều hòa trên Q nếu thỏa mãn phương trình Laplace: Au = 0, \/x GÇ}. Hàm и được gọi là hàm điền hòa trên tập E с M n (không nhất thiết mở) nếu и có thổ thác triển thành một hàm điều hòa trôn một tập mở chứa E. Ví dụ 1.1. a, Các hàm tọa độ u (x ) = X ị là hàm điều hòa trên M” với mọi ỉ = 1, • • • ,77,. b, Hàm и (x ) = X i 2 + x 2 2 — 2x 3 2 + ỉ x 2 là hàm điều hòa trôn R 3 . c, Hàrri и (X) = |^| 2_n là, hàm điều hòa trên R n khi n > 2. Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trên Q) có các tính chất sau: Tính chất 1 : Tổng hai hàm điều hòa trên Q là hàm điều hòa trên Ü và bội vô hướng của hàm điều hòa trên íì là hàm điều hòa trên íì. Nói cách khác tập tất cả các hàm điều hòa trên là một không gian vectơ. Tính chất 2: Với y G К" và и là hàm điều hòa trên ũ thì hàm tịnh tiến theo vectơ у, и (X — у) cũng là hàm điền hòa trên ÇI + y. Tính chất 3'Nói r > Ü, nếu и là hàm điều hòa trên Q thì hàm co giãn tỉ lệ r : ( u r ) (X ) = и ( r x ) cũng là hàm điều hòa trên -Ü. Ánh xạ tuyến tính T : M n —> ш п gọi là một biến đổi trực giao nếu \ T x\ = |ж| với mọi X G M n . Đại số tuyến tính cho ta thấy T là trực giao nếu và chỉ nếu các vectơ cột của ma trận của T (theo cơ sở chính tắc trên R n ) là một hệ trực chuẩn. Nến T : R n —)• M n là một biến đổi trực giao thì hàm и о T gọi là phép quay của и. Tính chất 4 : Phép quay của hàm điều hòa trên Q là hàm điều hòa trên T _ 1 (íì). Thật vậy, giả sử и là hàm điền hòa trên Q. Ta sẽ chứng minh rằng А (и о T) = ( A u ) о т trẽn Т" 1 ( ũ ) . Để chứng minh điều này, gọi [ t j k ] là ma trận của T đối với cơ sở chính tắc trên R n . Khi đó: n D m (и о T) = ^ 2 t pn i D j u ) ° T - j=1 Tác động D m một lần nữa rồi lấy tổng theo m ta có: n = ^ 2 ( D J D 3 u ) o T 3 = 1 = { A n ) о T . Giả thiết ÍÍ С ш п là tập mở bị chặn với bien <9Q đủ trơn, и và V là c 2 - hàm trên một lân cận của Q, V = V n là độ đo Lebesgue trên M n , s là diện tích mặt trên díì, D n là đạo hàm theo hướng vectơ phá,p tnyến ngoài đơn vị n. Ta có công thức Grccn: trong đó w = (cưi, Lú n ) là trường vectơ trơn (có giá trị trên c n và cổ các thành phần khả vi lien tục) trong một lân cận của Q, dỉvw là divcrgcncc của w xác định bỏi divw = Dyiúi + + D n üü n . Dể có được công thức Green từ công thức Ostrogradski ta chỉ cần cho w = uVv — vVu và tính toán. Áp dụng công thức Green với и là hàm điều hòa và V = 1 ta nhận được: (1.1) Tiếp đến ta đề cập tới một số kí hiệu liên quan tới hình cầu trên K n . Kí hiệu: В (а, г) = {x G R n : \x — a\ < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r; В (a, r) là hình cầu đóng tâm a bán kính r; В (0,1) = В và bao đóng của nó là в; s là biên của hình cầu в; ơ ( S ) là chuẩn hóa của độ đo diện tích mặt trên s ( ơ (S ) = 1); ơ là độ đo xác suất Borcl duy nhất trên s bất biến đối với phóp quay, tức là: ơ (T ( E ) ) = ơ (E), với mọi tập Borel E с s và mọi phép biến đổi trực giao T . Định lý 1.1. [Tính chất giấ trị trung bình] Nếu и là hầm điều hò ã trên В ( a , r ) thì и (а) bằng trung bình của и trên дв (а, r). Cụ thể, и (а) = / и (а + г О dơ (О . JS Chứng minh. +) Với n > 2: Giả sử B (a, r) = B. Lấy £ G (0,1), áp dụng công thức Green với íì = {£ E R w : e < |x| < 1} và V (X) = \ x\ 2 1 1 ta có: 0 = (2 — n) / uds — (2 — n) £ l ~ n / uds Js JeS — / D n ĩids — e 2 ~ n / D n uds. Js JeS Theo (1.1), hai tích phân sau bằng 0 nên ta có: / uds = s 1 ' l / uds, s JeS hay / u d ( 7 = / u ( e ( ) d ơ ( ( ) . J s J s Cho £ —>• 0 và sử dụng tính liên tục của u tại 0, ta điíỢc điều phải chứng minh. + ) Với n = 2: Hoàn toàn tương tự, nhưng ta sử dụng V = log | x| thay cho \ x Hàm điều hòa cũng có tính chất giá trị trung bình đối với độ đo thể tích, ở đây, cần sử dụng công thức tọa độ cực cho tích phân trên M n . Với mọi hàm / khả tích, đo được Borcl trôn R n ta có: —í fdV = Ị r "“ 1 í f ( r ( ) d ơ ( ( ) d r n V (B ) J R n J ị ) J s hằng số nV (B) sinh ra từ tính chuẩn hóa, của ơ . Định lý 1. 2. [Tính chất giá trị trung bình liên quan đến V] Nếu u lầ hằm điều hòa trên B (a, r) thì u (a) bằng trung bình củã u trên B (a, r). Cụ thể: 1 [ u (a) = . . — / udV. 1 V (B (a, r)) JB(U,T) 1 0 I 2 — 77. □ . nghĩa Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa Hàm điều hòa tại vô cực Bài toán Dirichlet ngoài HÀM ĐIỀU HÒA CẦU 3.1 .1. Định nghĩa 3.1 .2. Không gian ư ( S ) Hàm điều hòa cầu qua phép lấy. chọn đề tài: Biến đổi Kelvỉn và hàm điều hòa cầu để tìm hiểu về biến đổi Kelvin và vai trò của nó đối với việc nghiên cứu hàm điều hòa trên miền không bị chặn và hàm điều hòa cầu. 2. Mục đích. Tính chất 1 : Tổng hai hàm điều hòa trên Q là hàm điều hòa trên Ü và bội vô hướng của hàm điều hòa trên íì là hàm điều hòa trên íì. Nói cách khác tập tất cả các hàm điều hòa trên là một không