Phép biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầ

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, Luận văn kết tìm hiểu, nghiên cứu cá nhân hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong trình thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm điều hòa bị chặn 27 1.2.1 Định lý Liouville 27 1.2.2 Điểm kì dị cô lập 28 1.2.3 Nguyên lý cực đại 29 1.3 Hàm điều hòa dương 31 1.3.1 Định lý Liouville 31 1.3.2 Bất đẳng thức Harnack nguyên lý Harnack 32 1.3.3 Đặc trưng hàm điều hòa dương 36 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN 43 2.1 Phép nghịch đảo qua mặt cầu đơn vị 43 2.2 Phép biến đổi Kelvin 45 2.2.1 Định nghĩa 45 2.2.2 Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa 46 2.2.3 Hàm điều hòa vô cực 48 2.3 Bài toán Dirichlet 50 Chương HÀM ĐIỀU HÒA CẦU 52 3.1 Hàm điều hòa cầu 52 3.1.1 Định nghĩa 52 3.1.2 Không gian L2 (S) 54 3.2 Hàm điều hòa đới cầu 57 3.3 Hàm điều hòa cầu qua phép lấy vi phân 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ 18 công trình nhà toán học Euler, D’ Alambert, Lagrange, Laplace, công cụ quan trọng để mô tả mô hình vật lý học Những toán có nội dung tương tự nghiên cứu đến tận ngày Trong chương trình học đại học cao học, ta tìm hiểu lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai quan trọng ứng dụng chúng, đặc biệt phương trình Laplace Tuy nhiên hạn chế thời gian nên chủ yếu nghiên cứu miền bị chặn, tính đặt chỉnh toán (sự tồn tại, tính phụ thuộc liên tục) mà chưa tìm hiểu sâu miền không bị chặn nhiều tính chất đặc trưng khác hàm điều hòa (nghiệm phương trình Laplace) Được hướng dẫn TS- Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “Biến đổi Kelvin hàm điều hòa cầu” để tìm hiểu biến đổi Kelvin vai trò việc nghiên cứu hàm điều hòa miền không bị chặn hàm điều hòa cầu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hàm điều hòa miền không bị chặn, hàm điều hòa cầu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội dung sau: + Các tính chất hàm điều hòa + Biến đổi Kelvin tính chất +Hàm điều hòa cầu tính chất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Kelvin hàm điều hòa cầu Phạm vi nghiên cứu: Các sách, báo, tài liệu viết biến đổi Kelvin hàm điều hòa cầu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích để tiếp cận giải vấn đề Thu thập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp trình bày cách hệ thống vấn đề mà luận văn đề cập tới Những đóng góp đề tài Trình bày cách tổng quan, rõ ràng, hệ thống biến đổi Kelvin hàm điều hòa cầu Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Nội dung Nội dung luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị hàm điều hòa miền bị chặn tính chất chúng Chương 2: Tìm hiểu phép biến đổi Kelvin ứng dụng việc nghiên cứu toán Dirichlet phương trình Laplace Chương 3: Tìm hiểu hàm điều hòa cầu tính chất chúng Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Hà Thị Xuân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm tính chất hàm điều hòa miền bị chặn Các kết trình bày tham khảo từ tài liệu [1]-[4] 1.1 Hàm điều hòa Cho n ∈ N∗ , n > Ω ⊂ Rn tập mở khác rỗng, E ⊂ Rn tập không thiết mở Ta kí hiệu: C (E) không gian tất hàm liên tục E; C k (Ω) , k ∈ N∗ không gian tất hàm khả vi liên tục k lần Ω; C ∞ (Ω) không gian tất hàm thuộc C k (Ω) với k ∈ N; Dj , Dj2 tương ứng đạo hàm riêng cấp cấp hai theo tọa độ thứ j; ∇ := (D1 , D2 , · · · , Dn ) gradient ∆ := D1 + + Dn toán tử Laplace; Dn u = (∇u).n đạo hàm u theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị n biên Ω; Với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , ta kí hiệu chuẩn x là: |x| = x1 + + xn 1/2 Trong Luận văn này, tất hàm giả thiết có giá trị phức trừ nói rõ Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C (Ω) gọi hàm điều hòa Ω thỏa mãn phương trình Laplace: ∀x ∈ Ω ∆u = 0, Hàm u gọi hàm điều hòa tập E ⊂ Rn (không thiết mở) u thác triển thành hàm điều hòa tập mở chứa E Ví dụ 1.1 a, Các hàm tọa độ u (x) = xi hàm điều hòa Rn với i = 1, · · · , n b, Hàm u (x) = x1 + x2 − 2x3 + ix2 hàm điều hòa R3 c, Hàm u (x) = |x|2−n hàm điều hòa Rn n > Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trên Ω) có tính chất sau: Tính chất : Tổng hai hàm điều hòa Ω hàm điều hòa Ω bội vô hướng hàm điều hòa Ω hàm điều hòa Ω Nói cách khác tập tất hàm điều hòa Ω không gian vectơ Tính chất : Với y ∈ Rn u hàm điều hòa Ω hàm tịnh tiến theo vectơ y, u (x − y) hàm điều hòa Ω + y Tính chất :Với r > 0, u hàm điều hòa Ω hàm co giãn tỉ lệ r : (ur ) (x) = u (rx) hàm điều hòa 1r Ω Ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rn gọi biến đổi trực giao |T x| = |x| với x ∈ Rn Đại số tuyến tính cho ta thấy T trực giao vectơ cột ma trận T (theo sở tắc Rn ) hệ trực chuẩn Nếu T : Rn → Rn biến đổi trực giao hàm u ◦ T gọi phép quay u Tính chất : Phép quay hàm điều hòa Ω hàm điều hòa T −1 (Ω) Thật vậy, giả sử u hàm điều hòa Ω Ta chứng minh ∆ (u ◦ T ) = (∆u) ◦ T T −1 (Ω) Để chứng minh điều này, gọi [tjk ] ma trận T sở tắc Rn Khi đó: n Dm (u ◦ T ) = tjm (Dj u) ◦ T j=1 Tác động Dm lần lấy tổng theo m ta có: n n ∆ (u ◦ T ) = tkm tjm (Dk Dj u) ◦ T m=1 j,k=1 n n tkm tjm (Dk Dj u) ◦ T = j,k=1 n m=1 (Dj Dj u) ◦ T = j=1 = (∆u) ◦ T Giả thiết Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn, u v C - hàm lân cận Ω, V = Vn độ đo Lebesgue Rn , s diện tích mặt ∂Ω, Dn đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị n Ta có công thức Green: (u∆v − v∆u) dV = (uDn v − vDn u) ds Ω ∂Ω Công thức Green suy dễ dàng từ công thức Ostrogradski: w · nds, divwdV = Ω ∂Ω w = (ω1 , , ωn ) trường vectơ trơn (có giá trị Cn có thành phần khả vi liên tục) lân cận Ω, divw divergence w xác định divw = D1 ω1 + + Dn ωn Để có công thức Green từ công thức Ostrogradski ta cần cho w = u∇v − v∇u tính toán Áp dụng công thức Green với u hàm điều hòa v ≡ ta nhận được: Dn uds = (1.1) ∂Ω Tiếp đến ta đề cập tới số kí hiệu liên quan tới hình cầu Rn Kí hiệu: B (a, r) = {x ∈ Rn : |x − a| < r} hình cầu mở tâm a bán kính r; B (a, r) hình cầu đóng tâm a bán kính r; B (0, 1) = B bao đóng B; S biên hình cầu B; σ (S) chuẩn hóa độ đo diện tích mặt S (σ (S) = 1); σ độ đo xác suất Borel S bất biến phép quay, tức là: σ (T (E)) = σ (E), với tập Borel E ⊂ S phép biến đổi trực giao T Định lý 1.1 [Tính chất giá trị trung bình] Nếu u hàm điều hòa B (a, r) u (a) trung bình u ∂B (a, r) Cụ thể, u (a) = u (a + rζ) dσ (ζ) S Ví dụ R3 q (x, y, z) = 15x − 70x3 + 63x5 (3.2) với (x, y, z) ∈ S Liệu q có phần tử H5 (S) không? Mặc dù q không điều hòa, không bậc 5, ý S ta có: q (x, y, z) = 15x x2 + y + z 2 − 70x3 x2 + y + z + 63x5 q thu hẹp S đa thức p (3.1), q ∈ H5 (S) Biến đổi trực giao đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu hàm điều hòa cầu Gọi O (n) nhóm phép biến đổi trực giao Rn Ta thấy Hm (Rn ) O (n)- bất biến, nghĩa p ∈ Hm (Rn ) T ∈ O (n) p ◦ T ∈ Hm (Rn ) Do Hm (S) O (n)- bất biến Chú ý Hm (Rn ) Hm (S) không gian vectơ phức Ta thiết lập mối liên hệ hàm điều hòa cầu hàm số mũ n = Giả sử p ∈ Hm R2 giá trị thực Khi p phần thực hàm nguyên f , có phần ảo triệt tiêu gốc Điều kiện Cauchy-Riemann suy đạo hàm f triệt tiêu gốc ( trừ đạo hàm cấp m) Do đó, f đơn thức vậy: p (z) = cz m + c¯z¯m với c số phức Điều suy Hm R2 không gian tuyến tính phức sinh {z m , z¯m } Do đó, ta coi Hm (S) không gian hàm biến eiθ không gian phức sinh eimθ , e−imθ Khi đó, khai triển chuỗi Fourier đường tròn đơn vị trùng với khai triển theo hàm điều hòa cầu 53 3.1.2 Không gian L2 (S) Các kí hiệu phần xuất phát từ lý thuyết không gian Hilbert Nếu H không gian Hilbert phức ta viết H = ⊕∞ m=0 Hm có ba điều kiện sau: (a) Hm không gian đóng H với m (b) Hm trực giao với Hk m = k (c) Với x ∈ H tồn xm ∈ Hm cho: x = x0 + x1 + với chuỗi vế phải hội tụ theo chuẩn H Khi đó, H gọi tổng trực tiếp Hm khai triển (c) Cũng ý rằng, (a) (b) (c) không gian phức tuyến tính sinh ∪∞ m=0 Hm trù mật H Trong phần ta chứng tỏ L2 (S) = ⊕∞ m=0 Hm (S), ta hiểu L2 (S) không gian hàm bình phương khả tích S với tích vô hướng cho bởi: f, g = f g¯dσ S Dễ thấy L2 (S) tổng trực tiếp không gian Hm (S) n = Bây ta chứng minh (a),(c) với n, với H = L2 (S) Hm = Hm (S) Tính chất (a) dễ kiểm tra: Tính hữu hạn chiều Hm (S) Hm (S) không gian đóng L2 (S) Định lý sau chứng minh (b) Định lý 3.1 Nếu m = k Hm (S) trực giao với Hk (S) L2 (S) 54 Chứng minh Cho p ∈ Hm (Rn ), q ∈ Hk (Rn ) Từ công thức Green ta có: (pDn q − qDn p) dσ = (p∆q − q∆p)dV = S (3.3) B Nhưng với ζ ∈ S, Dn p (ζ) = d d m p (rζ) |r=1 = (r p (ζ)) |r=1 = mp (ζ) dr dr Tương tự, Dn q = kq S Do đó, (3.3) suy (k − m) pqdσ = S Vì m = k suy S pqdσ = Vậy Hm (Rn ) Hk (Rn ) trực giao không gian đóng kín phép lấy liên hợp phức Để chứng minh điều kiện (c), trước hết ta đa thức Rn thu hẹp S tổng hàm điều hòa cầu Gọi Pm (Rn ) không gian vectơ phức bao gồm tất đa thức bậc m Rn với tích vô hướng , p (x) = α |α|=m aα x , q (x) m Pm (Rn ) sau: Với α |α|=m bα x , = p, q m = p (D) [¯ q] , p (D) toán tử vi phân |α|=m aα D α (Chú ý ta đồng hàm p (D) [¯ q ] với giá trị điểm Rn ) Ta tự kiểm tra rằng: p, q m α!aα bα , = |α|=m , m thực tích vô hướng Pm (Rn ) Ta phải sử dụng tích vô hướng để chứng minh định lý 55 Định lý 3.2 Với p ∈ Pm (Rn ) có biểu diễn dạng : p (x) = pm (x) + |x|2 pm−2 (x) + + |x|2k pm−2k (x) , k = m pm−2j ∈ Hm−2j (Rn ), j = 0, 1, , k Chứng minh Do hai đa thức điều hòa S đồng nên khẳng định tính rõ ràng Rõ ràng m = ta có biểu diễn trường hợp Pm (Rn ) = Hm (Rn ) Bây ta phải chứng minh m ≥ thì: Pm (Rn ) = Hm (Rn ) ⊕ |x|2 Pm−2 (Rn ) tích vô hướng , m, (3.4) |x|2 Pm−2 (Rn ) = |x|2 q (x) : q ∈ Pm−2 (Rn ) Giả sử p ∈ Pm (Rn ) trực giao với |x|2 Pm−2 (Rn ) Khi đó: = |x|2 q, p = q (D) [∆¯ p] = q (D) ∆p m với q ∈ Pm−2 (Rn ) Vì ∆p ∈ Pm−2 (Rn ) nên q (D) ∆p = q, ∆p m−2 , suy ∆p trực giao với q ∈ Pm−2 (Rn ) ⇒ ∆p ≡ Do p ∈ Hm (Rn ) Ngược lại, p ∈ Hm (Rn ) theo lập luận ngược ta có p trực giao với |x|2 Pm−2 (Rn ) Vậy ta có (3.4) Giả sử m ≥ giả thiết quy nạp rằng, Định lý 3.2 với đa thức Pj (Rn ) với j < m Lấy p ∈ Pm (Rn ) Theo (3.4): p (x) = pm (x)+|x|2 qm−2 (x), pm ∈ Hm (Rn ) qm−2 ∈ Pm−2 (Rn ) Để hoàn thành chứng minh ta cần áp dụng giả thiết quy nạp cho qm−2 56 Mọi đa thức tổng đa thức Định lí 3.2 đa thức bậc m thu hẹp S tổng hàm điều hòa cầu bậc không m Ta có hệ sau Hệ 3.1 Nếu p đa thức bậc m Rn thu hẹp p S tổng hàm điều hòa cầu có bậc không m Ta sử dụng hệ để chứng minh kết phần Đó định lý sau Định lý 3.3 L2 (S) = ⊕∞ m=0 Hm (S) Chứng minh Ta phải kiểm tra tính chất (c) Cụ thể, ta chứng minh không gian sinh ∪∞ m=0 Hm (S) trù mật L (S) Từ Định lý Stone-Weierstrass tập đa thức trù mật C (S) chuẩn sup Do đó, Hệ 3.1 suy họ tổng hữu hạn hàm điều hòa cầu trù mật C (S) Vì C (S) trù mật L2 (S) |.|L2 ≤ |.|L∞ Nên họ tổng hàm điều hòa cầu trù mật L2 (S) Nói cách khác, không gian sinh ∪∞ m=0 Hm (S) trù mật L2 (S) 3.2 Hàm điều hòa đới cầu Bây xét Hm (S) không gian Hilbert với tích vô hướng L2 (S) kí hiệu , Cố định điểm η ∈ S, xét ánh xạ : Γ : Hm (S) → C, Γ (p) = p (η) 57 Ánh xạ tuyến tính tồn Zη ∈ Hm (S) cho: pZη dσ p (η) = p, Zη = S với p ∈ Hm (S) Hàm điều hòa cầu Zη gọi hàm điều hòa đới cầu bậc m với cực η Thuật ngữ xuất phát từ tính chất hình học Zη mà giải thích sau Quy ước viết Zη (ζ) = Z (ζ, η) Nếu muốn rõ đa thức bậc m ta viết Zm (ζ, η) Ta dễ dàng tính Zm n = Rõ ràng Z0 ≡ Với m > 0, Hm (S) không gian hai chiều sinh eimθ , e−imθ Do cố định eiϕ ∈ S tồn số α, β ∈ C cho Zm eiθ , eiϕ = αeimθ + βe−imθ Theo định nghĩa hàm điều hòa đới cầu ta có: 2π γe imϕ + δe −imϕ γeimθ + δe−imθ = ¯ imθ dθ α ¯ e−imθ + βe 2π = γα ¯ + δ β¯ với γ, δ ∈ C Do α = e−imϕ β = eimϕ Vậy Zm eiθ , eiϕ = eim(θ−ϕ) + eim(ϕ−θ) = cos m (θ − ϕ) (3.5) Trở lại trường hợp n ≥ tùy ý, giả sử p ∈ Hm (S) lấy giá trị thực Khi pZη dσ = − = Imp (η) = Im S p (ImZη ) dσ S Lấy p = ImZη ta suy ra: (ImZη )2 dσ = 0, S suy ImZη ≡ Kết luận: Zη có giá trị thực 58 Bây xét sở trực chuẩn p1 , , phm Hm (S), hm số chiều ( C ) không gian vectơ Hm (S) Khi đó: hm hm Zη (ζ) = Zη , pj pj (ζ) = j=1 pj (η)pj (ζ) (3.6) j=1 với η, ζ ∈ S Vì Zη có giá trị thực nên (3.6) không đổi sau lấy liên hợp phức ta kết luận: Zη (ζ) = Zζ (η) với η, ζ ∈ S Chú ý từ (3.6) phương trình Bessel suy ra: hm |pj (η)|2 = Zη Zη (η) = 2 (3.7) j=1 với η ∈ S, chuẩn L2 (S, σ) Tính bất biến qua phép quay Hm (S) cho thấy (3.7) không phụ thuộc vào η Thật vậy, T ∈ O (n) p ∈ Hm (S) ta có: S p Zη ◦ T −1 dσ, (p ◦ T ) Zη dσ = pZT (η) dσ = p (T (η)) = S S phương trình cuối suy từ tính bất biến phép quay σ Do tính hàm điều hòa đới cầu suy ra: ZT (η) = Zη ◦ T −1 (3.8) ⇒ ZT (η) (T (η)) = Zη (η) Nói cách khác, hàm η → Zη (η) số S Ta tính số cách lấy tích phân số hạng (3.7) S sau: hm |pj (η)|2 dσ (η) = hm Zη (η) = S j=1 59 với η ∈ S Hàm điều hòa đới cầu có modun cực đại η Vì theo bất đẳng thức Schwarz phương trình suy ra: |Zη (ζ)| = | Zη , Zζ | ≤ Zη Zζ = hm = Zη (η) (3.9) với η, ζ ∈ S Bây ta đưa tính chất hình học mà hàm điều hòa đới cầu thỏa mãn Nhớ lại định nghĩa “vĩ tuyến”: Nếu ta đồng bề mặt trái đất với S ⊂ R3 cực bắc (0, 0, 1) vĩ tuyến giao S với mặt phẳng trực giao với trục z Khái niệm vĩ tuyến mở rộng không gian có số chiều bất kì: Cho η ∈ S, ta định nghĩa vĩ tuyến trực giao với η giao S với siêu phẳng trực giao với η η Hình 3.1: Vĩ tuyến trực giao với η 60 Ta chứng tỏ rằng, hàm Zη số vĩ tuyến trực giao với η Thật vậy, ta thấy hàm f S số vĩ tuyến trực giao với η f ◦ T = f với T ∈ O (n) với T (η) = η Áp dụng (3.8) ta dễ thử lại Zη ◦ T = Zη với T Bội vô hướng Zη phần tử Hm (S) số vĩ tuyến trực giao với η Tính chất hình học giải thích tên “hàm điều hòa đới cầu” Từ “đới cầu” “vùng” vĩ tuyến trực giao với cực” η Ta tính số chiều hm không gian Hm (S) Chú ý Hm (S) Hm (Rn ) có số chiều vì: Nếu p ∈ Hm (Rn ) p ≡ S p ≡ Rn , suy ánh xạ p → p |S đẳng cấu tuyến tính từ Hm (Rn ) → Hm (S) Vì H0 (Rn ) không gian hàm H1 (Rn ) không gian hàm tuyến tính Rn nên ta có h0 = h1 = n Nếu đặt dm số chiều Pm (Rn ) từ (3.4) suy : dm = hm + dm−2 , m ≥ (3.10) Vì đơn thức {xα : |α| = m} sở Pm (Rn ), nên dm số lượng đa số khác α = (α1 , , αn ) với |α| = m Do  dm =  n+m−1 n−1   (3.11) Điều hiểu sau: Cộng thêm vào αj , ta thấy dm số lượng đa số α = (α1 , , αn ) với αj > cho |α| = n + m Bằng việc bỏ n − số nguyên từ khoảng (0, n + m) ⊂ R ta phân chia (0, n + m) thành n khoảng mở rời Đặt α1 , , αn độ dài khoảng mở này, theo thứ tự ta có 61 n j=1 αj = n + m Mỗi cách chọn n − số nguyên từ (0, n + m) tạo đa số α với |α| = n + m đa số α bậc n + m tương ứng  − với  n+m−1  lần lựa chọn Do đó, số lần chọn tất nhiên  n−1 Vậy ta có (3.11) Từ (3.10) ta suy :     n+m−1 n+m−3 −  hm =  n−1 n−1 (3.12) với m ≥ 3.3 Hàm điều hòa cầu qua phép lấy vi phân Giả sử n > 2, ta tính vài vi phân hàm |x|2−n Ta thấy đáp số có dạng đa thức chia cho lũy thừa |x| Ví dụ, D1 |x|2−n = (2 − n) |x|2 − nx1 |x|n+2 Chú ý đa thức tử số hàm điều hòa Điều không ngẫu nhiên- đạo hàm |x|2−n k lần ta có đa thức điều hòa bậc k chia cho |x|n−2+2k Hơn nữa, đa thức điều hòa xuất tử theo cách Điều cho thấy làm ta có đa thức điều hòa Đầu tiên ta lấy vi phân |x|2−n sau áp dụng phép biến đổi Kelvin Chú ý p đa thức Rn bậc m K [p] (x) = |x|2−n−2m p (x) 62 Bổ đề 3.1 Với n>2, giả sử m > Nếu p ∈ Hm (Rn ) thì: K [p] = m (4 − n − 2m) n Dj K [Dj p] j=1 Chứng minh Vì Dj p ∈ Hm−1 (Rn ) nên ta có: K [Dj p] (x) = |x|4−n−2m Dj p (x) Do đó: n n Dj K [Dj p] (x) = j=1 j=1 (4 − n − 2m) xj Dj p (x) + |x|2 Dj p (x) |x|n+2m−2 (4 − n − 2m) x · ∇p (x) + |x|2 ∆p (x) = |x|n+2m−2 (4 − n − 2m) x · ∇p (x) = |x|n+2m−2 m (4 − n − 2m) p (x) = |x|n+2m−2 = m (4 − n − 2m) K [p] (x) , đó, ta sử đẳng thức x · ∇p (x) = mp (x) Để trình bày kết tiếp theo, xét đa thức điều hòa p (x) = x1 − x2 Ta dễ dàng tính được: K p (D) |x|2−n = (n − 2) n x1 − x2 Vế phải bội số p Định lý điều xảy p đa thức điều hòa Định lý 3.4 Với n>2, cho p ∈ Hm (Rn ) Khi đó: p = cm K p (D) |x|2−n , cm = m j=1 (4 − n − 2j)−1 63 Chứng minh Ta chứng minh định lý quy nạp theo m Rõ ràng định lý với m = Giả sử định lý với m − m > Cho p ∈ Hm (Rn ) Chú ý Dj p ∈ Hm−1 (Rn ) Do từ Bổ đề 3.1 giả thiết quy nạp, ta có: K [p] = m (4 − n − 2m) = = = cm−1 m (4 − n − 2m) cm m n Dj K [Dj p] j=1 n Dj K K (Dj p) (D) |x|2−n j=1 n Dj (Dj p) (D) |x|2−n j=1 cm D · (∇p) (D) |x|2−n m = cm p (D) |x|2−n , điều phải chứng minh Sau kết phần Định lý 3.5 Với n>2, ta có : Hm (Rn ) không gian tuyến tính sinh bởi: K Dα |x|2−n : |α| = m , Hm (S) không gian tuyến tính sinh bởi: Dα |x|2−n |S : |α| = m Chứng minh Đặt L không gian tuyến tính sinh K Dα |x|2−n : |α| = m Ta dễ thấy Hm (Rn ) ⊂ L (theo Định lý 3.4 tính tuyến tính K) Cho α đa số bậc m Ta viết: xα = pm (x) + |x|2 pm−2 (x) + + |x|2k pm−2k (x) 64 Định lý 3.2, ý Dα |x|2−n = pm (D) |x|2−n (vì |x|2−n hàm điều hòa) Do pm ∈ Hm (Rn ) nên K Dα |x|2−n ∈ Hm (Rn ) (theo Định lý 3.4) suy L ⊂ Hm (Rn ) Vì K [f ] = f với hàm f xác định S suy khẳng định thứ hai định lý Ta tập trung phần với n > Kết n = thay |x|2−n log |x| 65 Kết luận Luận văn tìm hiểu hàm điều hòa giá trị phức, tính chất hàm điều hòa tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực trị, ; phép biến đổi Kelvin ứng dụng việc nghiên cứu toán Dirichlet bên mặt cầu Đồng thời Luận văn tìm hiều hàm điều hòa cầu, hàm điều hòa đới cầu tính chất chúng Qua ta thấy mối liên hệ họ tổng hàm điều hòa cầu với hàm bình phương khả tích; đặc biệt ta áp dụng phép biến đổi Kelvin phép lấy vi phân hàm điều hòa cầu cho ta thấy để có đa thức điều hòa 66 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng, phần I, NXB ĐHSP Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] S Axler, P Bourdon and W Ramey (1992), Harmonic function theory, Springer-Verlag 67