Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Bch Th Lan Hng HM LI, HM LI A DIN V HM TON PHNG LI KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Bch Th Lan Hng HM LI, HM LI A DIN V HM TON PHNG LI Chuyờn ngnh: Toỏn hỡnh hc KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: ThS Trn Vn Ngh H Ni Nm 2017 Li cm n Trc ht cho tụi by t lũng cm n sõu sc n thy giỏo Trn Vn Ngh ó ht lũng giỳp , ng viờn tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu ti Tụi cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa v cỏc bn sinh viờn ó úng gúp cho tụi nhng li khuyờn b ớch Trong quỏ trỡnh nghiờn cu khụng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca bn c bi vit ca tụi c hon thin hn H Ni, ngy 04 thỏng 05 nm 2017 Sinh viờn Bch Th Lan Hng i Li cam oan Khúa lun tt nghip "Hm li, hm li a din v hm ton phng li " c hon thnh s c gng, n lc tỡm hiu, nghiờn cu ca bn thõn cựng vi s giỳp tn tỡnh ca thy Trn Vn Ngh Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip ny khụng trựng lp vi kt qu ca cỏc tỏc gi khỏc H Ni, ngy 04 thỏng 05 nm 2017 Sinh viờn Bch Th Lan Hng ii M U Lý chn ti Toỏn hc mang sn ú chng nhng phng phỏp quy np thc nghim, m c phng phỏp suy din lụgic Toỏn hc cũn cú tim nng phỏt trin phm cht o c, gúp phn hỡnh thnh th gii quan khoa hc cho hc sinh Toỏn hc i t thc tin v li quay tr v phc v thc tin Toỏn hc cũn hỡnh thnh v hon thin nhng nột nhõn cỏch nh say mờ v cú hoi bóo hc tp, mong mun c úng gúp mt phn nh ca mỡnh cho s nghip chung ca t nc, ý vt khú, bo v chõn lý, cm nhn c cỏi p, trung thc, t tin, khiờm tn, .Bit t ỏnh giỏ mỡnh, t rốn luyn t ti mt nhõn cỏch hon thin ton din hn Mt khỏc, nhng nm gn õy, nghiờn cu v hỡnh hc li ó nhn c s chỳ ý v quan tõm ca nhiu nh khoa hc nc v trờn th gii Hm li v cỏc tớnh cht ca hm li cú vai trũ trung tõm gii tớch li, hỡnh hc li v ti u li Da trờn s nh hng ca Thc s Trn Vn Ngh, tụi chn ti: Hm li, hm li a din v hm ton phng li lm ti khúa lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu - Tỡm hiu sõu hn v cỏc xoay xung quanh hm li - Tỡm hiu thờm v hm li a din v hm ton phng li Nhim v nghiờn cu - Trỡnh by mt s c s lý thuyt v hm li - Trỡnh by cỏc kin thc liờn quan n hm li a din v hm ton phng li i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Hm li, hm li a din v hm ton phng li - Phm vi nghiờn cu: Tớnh chớnh quy, bao úng, liờn hp v cc ca hm li; cỏc quan trng v hm li a din v hm ton phng li Cu trỳc khúa lun Ngoi phn m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho, khúa lun bao gm chng: Chng 1: Hm li Chng 2: Hm li a din v hm ton phng li iv Mc lc M U Hm li 1.1 nh ngha v cỏc phộp toỏn 1.2 Tớnh chớnh quy ca hm li 1.3 Bao úng ca hm li 1.4 Liờn hp ca hm li 1.5 Cc ca hm li iii 2 15 21 29 Hm li a din v hm ton phng li 36 2.1 Hm li a din 36 2.2 Hm ton phng li 49 Chng Hm li 1.1 nh ngha v cỏc phộp toỏn Ta xột hm f : Rn [, +] Ta thng dựng cỏc quy tc cng v nhõn vi nh sau: + := vi (, ] ; := vi [, ) ; := , () := vi (0, ] ; := nh ngha 1.1 Cho mt hm f : Rn (, ], hp epi f := {(x, ) : x Rn , R, f (x) } Rn ì R c gi l trờn th (epigraph) ca f Hm f l li nu epif l mt li ca Rn ì R = Rn+1 Nhn xột Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG (i) Mt hm f : Rn [, ) l lừm, nu f l li Nh vy, cho mt hm li f , ta loi tr giỏ tr , i vi mt hm lừm ta loi tr (ii) Nu A Rn l mt con, mt hm f : A (, ) c gi l li nu hm m rng f : Rn (, ], c cho bi f := f trờn A trờn Rn \A l li iu ny ũi hi hin nhiờn A l mt li (iii) Mt khỏc, ta thng ch quan tõm n hm li f : Rn (, ] ti mt s im, ú f l hu hn Ta gi dom f := {x Rn : f (x) < } l xỏc nh ca hm f : Rn (, ] Cho mt hm li f , xỏc nh domf l li (iv) Cỏc hm f l li, nú c gi l hm li khụng chớnh thng; hm li f vi f c gi l chớnh thng Hm li khụng chớnh thng f cú epi f = v dom f = nh lý 1.1 ([1, Theorem 2.1.1]) Mt hm f : Rn (, ] l li, v ch f (x + (1 ) y) f (x) + (1 ) f (y) , vi mi x, y Rn , [0, 1] Chng minh Theo nh ngha, f l li v ch epi f = {(x, ) : f (x) } Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG l li Cỏc iu kin cú ngha (x1 , ) + (1 ) (x2 , ) = (x1 + (1 ) x2 , + (1 ) ) epi, vi mi [0, 1] v mi (x1 , ) , (x2 , ) epi f , tc l f (x1 ) , f (x2 ) Vỡ th, f l li v ch f (x1 + (1 ) x2 ) + (1 ) , vi mi x1 , x2 Rn , [0, 1] v f (x1 ) , f (x2 ) Khi ú, nú l cn v bt ng thc tha vi = f (x1 ) , = f (x2 ) Ta thu c iu phi chng minh Nhn xột (i) Mt hm f : Rn R l affine, v ch f l hm li v lừm Nu f l affine thỡ epif l mt na khụng gian Rn+1 (dom f = Rn ) (ii) Cho mt hm li f , cỏc mc {f < } v {f } l li (iii) Nu f v g l li v , 0, thỡ f + g l li (iv) Nu (fi )iI l mt h ca hm li, supiI fi l li T ú = epi fi epi sup fi iI iI (v) Nh mt s tng quỏt ca nh lý 1.1, ta thu c f l li v ch f (1 x1 + + k xk ) f (x1 ) + + k f (xk ) , Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG hoc cỏc siờu phng biờn Mi ca Hi Cho D l giao ca hp hu hn gm cỏc li m tng i int Hi hoc Mi cha ri C õy D l mt li ca C v nú l m tng i Vỡ ri C l mt li m tng i cc i ca C nờn ta phi cú ri C = D Cú hu hn giao ca dng D v mt khỏc ca C cú phn tng i tỏch ri Vỡ vy, C cú th ch hu hn mt (b) suy (a) u tiờn xột trng hp C khụng cha ng Ta cú C l bao li ca cỏc im cc ca nú v hng cc nờn C l hu hn sinh Bõy gi gi s C cha ng Khi ú C = C0 + L, ú L l khụng gian tuyn tớnh ca C v C0 l mt li úng khụng cha ng, c th C0 = C L Mt ca C0 cú dng C0 = C L , ú C l mt mt ca C Vỡ th C0 ch cú hu hn mt Do ú C0 l hu hn sinh Cho b1 , , bm l mt c s i vi L Bt kỡ x C cú th biu din di dng x = x0 + à1 b1 + ã ã ã + àm bm + à1 (b1 ) + ã ã ã + àm (bm ) , ú x0 C0 , ài 0, ài 0, i = 1, , m Khi ú C t nú l hu hn sinh (c) suy (b) Gi s rng C = convS, ú S l mt hu hn im v phng chiu Ta cú th biu din C nh hu hn cỏc n hỡnh tng quỏt bi nh lý Caratheodory Mi n hỡnh tng quỏt l mt khộp kớn Vỡ vy, C l úng Cú mt phộp tng ng 1-1 gia cỏc mt ca C v cỏc ó bit ca S nờn C cú th ch cú hu hn mt (b) suy (a) 38 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Nú xột cỏc trng hp, ú C l n-chiu Rn Trong trng hp ú, C l giao ca tip tuyn vi na khụng gian úng ca nú Nu H l siờu phng gii hn ca mt tip tuyn na khụng gian úng tn ti bi cỏch xỏc nh mt s x C cho H l siờu phng ta n tr cho C thụng qua x Do ú H l siờu phng ta n tr i vi C qua mt biu din C H Vỡ C ch cú hu hn mt nờn nú cú th ch cú hu hn tip tuyn na khụng gian úng Do ú C l a din D thy mi mt ca mt li a din l chớnh nú H qu 2.1 ([3, Corollary 19.1.1]) Mt li a din cú hu hn nhng im cc tr v hng cc tr Chng minh õy, t thc t lp tc nhng im cc tr tng ng vi mt ú l nhng im v na ng tng ng Mt hm li a din l hm li cú trờn th l a din Vớ d in hỡnh ca cỏc hm nh vy l hm affine ( hoc mt phn affine) v hm ch ca cỏc li a din (c bit l cỏc gúc phn t (orthant) khụng õm ca Rn ) Núi chung, cho f l mt hm li a din trờn Rn , epif phi l giao hu hn cỏc na khụng gian úng Rn + hoc l "thng ng" hoc l trờn th ca hm affine Núi cỏch khỏc, f l hm li a din v ch f cú th biu din dng f (x) = h (x) + (x|C) , ú h (x) = max { x, b1 , , x, bk k } , C = {x| x, bk+1 k+1 , , x, bm m } 39 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Mt hm li f c cho l hu hn sinh nu tn ti vect a1 , , ak , ak+1 , , am v tng ng vi mt vụ hng i cho f (x) = inf {1 + ã ã ã + k k + k+1 k+1 + ã ã ã + m m } , ú cn di ỳng c biu din trờn tt c cỏc la chn ca cỏc h s i cho a1 + ã ã ã + k ak + k+1 ak+1 + ã ã ã + m am = x + ã ã ã + k = 1, i 0, i = 1, , m iu kin f cú ngha l f (x) = inf {à : (x, à) F } , ú F l bao li ca mt hu hn cỏc im v cỏc hng ó bit Rn+1 , c th l cỏc im (ai , i ) , i = 1, , k v cỏc hng ca (ai , i ) ; i = k + 1, , m cựng hng vi hng ca (0, 1) ("lờn") Theo nh lý 2.1, nh vy F l mt úng v ú trựng hon ton vi epif iu ny cú ngha rng, vi x bt kỡ cho f (x) l hu hn, im (x, f (x)) thuc F ; v ú nh ngha cn di ỳng f (x) l thc s t c Ta cú th rỳt nhng kt lun sau õy H qu 2.2 ([3, Corollary 19.1.2]) Mt hm li A l a din v ch nú l hu hn sinh Mt hm nh vy, nu chớnh thng thỡ tt yu l úng Cỏc cn di ỳng vi mi x ó cho nh ngha ca "hm li hu hn sinh", nu hu hn l t c bi mt s la chn cỏc h s i Hm giỏ tr tuyt i l mt hm li a din trờn R Tng quỏt hn, hm f xỏc nh bi f (x) = |1 | + ã ã ã + |n | , x = (1 , , n ) 40 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG l li a din trờn Rn , nú l im cn trờn ỳng ca hm tuyn tớnh 2n dng x 1 + ã ã ã + n n , j = +1 hoc Lu ý rng f l mt chun thc s Hn na, chun li a din thng gp l chun Tchebycheff f xỏc nh bi f (x) = max {|1 | , , |n |} õy f l cn trờn ỳng ca hm tuyn tớnh 2n ca dng x i i , j = +1 hoc 1, j = 1, , n Bõy gi ta s chng minh tớnh cht ca "a din" l bo ton di nhiu phộp toỏn quan trng Ta bt u vi tớnh i ngu nh lý 2.2 ([3, Theorem 19.2]) Liờn hp ca mt hm li a din l a din Chng minh Nu f l a din thỡ nú l hu hn sinh v cú th biu din nh trờn i vi vecto ó bit a1 , , ak , ak+1 , , am v vụ hng tng ng i Thay cụng thc ny vi f vo cụng thc xỏc nh hm liờn hp f , ta nhn c m m f (x ) = sup i , x i=1 i i i=1 ú cn trờn ỳng c thc hin trờn 0, , m 0, + ã ã ã + k = D dng thy rng , x i 0, i = k + 1, , m 41 , Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG ta cú f (x ) = max { , x i : i = 1, , k} , nhng mt khỏc f (x ) = + Nh vy f l a din H qu 2.3 ([3, Corollary 19.2.1]) Mt li úng C l a din v ch hm chớnh thng (ã|C) ca nú l a din Nh mt vớ d, xột bi toỏn cc i mt hm tuyn tớnh a, trờn C, ú bao gm tt c cỏc kt qu cho mt h hu hn ó bit ca bt ng thc tuyn tớnh yu Cn trờn ỳng l (a|C) Vỡ C l a din nờn theo H qu 2.3, cn trờn ỳng l hm li a din ca a Nu f l hm li a din bt kỡ thỡ cỏc mc {x : f (x) } hin nhiờn l cỏc li a din Vỡ cc C ca mt li C l mc ca hm chớnh thng (ã|C) tng ng vi = 1, ta cú cỏc kt qu sau: H qu 2.4 ([3, Corollary 19.2.2]) Cc ca mt li a din l a din Giao ca hu hn nhiu li a din l a din Tng t nh vy, im cn trờn ỳng ca hu hn nhiu hm li a din l a din nh lý 2.3 ([3, Theorem 19.3]) Cho A l mt phộp bin i tuyn tớnh t Rn n Rm Khi ú AC l mt li a din Rm vi mi li a din C Rn , v A1 D l li a din Rn vi mi li a din D Rm Chng minh Cho C l a din Rn Theo nh lý 2.1, C l hu hn sinh, vỡ vy tn ti vecto a1 , , ak , ak+1 , , ar cho r i : + ã ã ã + k = 1, i , i = 1, , r C= i=1 42 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Cho bi l nh ca di A Khi ú r i bi : + ã ã ã + k = 1, i , i = 1, , r AC = i=1 Do ú AC l hu hn sinh v vỡ vy l a din theo nh lý 2.1 Bõy gi cho D l mt li a din Rm Biu din D nh cỏc nghim y vi mt h ó bit y, i , i = 1, , s Khi ú A1 D l cỏc nghim x tha A x, i , i = 1, , s õy l mt h hu hn cỏc bt ng thc tuyn tớnh yu trờn x, vỡ vy A 1D l a din H qu 2.5 ([3, Corollary 19.3.1]) Cho A l mt phộp bin i tuyn tớnh t Rn n Rm Vi mi hm li a din f trờn Rn , hm li Af l a din trờn Rm v cn di ỳng cỏch xỏc nh ca nú, nu hu hn l t c Vi mi hm li a din g trờn Rm , gA l a din trờn Rn Chng minh nh ca epif di phộp bin i tuyn tớnh (x, à) (A x, à) l mt li a din v nú tng tng vi epi(Af ) nh ngc ca epi g di phộp bin i nh vy l mt li a din, v nú tng tng vi epi(gA) H qu 2.6 ([3, Corollary 19.3.2]) Nu C1 v C2 l cỏc li a din Rn thỡ C1 + C2 l a din Chng minh Cho C = {(x1 , x2 ) : x1 C1 , x2 C2 } D thy C cú th biu din nh giao ca hu hn cỏc na khụng gian úng R2n 43 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Khi ú C l a din nh ca C di phộp bin i tuyn tớnh A : (x1 , x2 ) x1 + x2 cng l a din theo nh lý v nh ny l C1 + C2 H qu 2.7 ([3, Corollary 19.3.3]) Nu C1 v C2 l cỏc li a din khỏc rng ri thỡ tn ti mt siờu phng tỏch mnh C1 v C2 Chng minh Ta cú / C1 C2 , v C1 C2 l úng bi vỡ nú l a din theo h qu trc Tỏch mnh l sau ú H qu 2.8 ([3, Corollary 19.3.4]) Nu f1 v f2 l cỏc hm li a din chớnh thng trờn Rn , thỡ f1 + f2 cng l mt hm li a din Hn na, nu f1 + f2 l chớnh thng, cn di ỳng theo nh ngha ca (f1 + f2 )(x) l t c vi mi x Chng minh Ta cú epif1 + epif2 l li a din v nú tng ng vi epi(f1 + f2 ) nh lý 2.3 ng ý c bit rng phộp chiu trc giao ca mt li a din C Rn trờn mt khụng gian L l li a din khỏc minh nh lý 2.3 hn na, cựng vi H qu 2.6, cho A l mt phộp bin i tuyn tớnh t Rn n Rm , v cho C = {z Rn : x z, A x conv {b1 , , br }} , ú b1 , , br l cỏc yu t c nh ca Rm Ta cú C = A1 D K, ú K l gúc phn t khụng õm ca Rn (mt hỡnh nún li a din) v D = conv {b1 , , br } (mt li hu hn sinh) v ú C l mt li a din 44 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Mt vớ d in hỡnh ca H qu 2.8 l trng hp f1 (x) = max {|j | , j = 1, , n} = x , f2 (x) = (x : C) , C = {x : , x i , i = 1, , m} Do ú (f1 + f2 ) (y) = inf {f1 (y x) + f2 (x)} = inf { y x : x C} , v i lng ny l cú ớch y cú th xp x i vi chun Tchebycheff ã ca mt s nghim x vi h , x i , i = 1, , m T f1 v f2 l cỏc hm li a din, (f1 + f2 )(y) l mt hm li a din ca y nh lý 2.4 ([3, Theorem 19.4]) Nu f1 v f2 l cỏc hm li a din chớnh thng thỡ f1 + f2 l a din Chng minh Ta cú fi (x) = hi (x) + (x : Ci ) , i = 1, 2; ú C1 v C2 l cỏc li a din v h1 (x) = max { x, i : i = 1, , k} ; h2 (x) = max { x, bj j : j = 1, , r} Cho C = C1 C2 , dij = + bj , àij = i + j 45 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG Khi ú C l mt li a din, v (f1 + f2 ) (x) = h (x) + (x|C) , ú h (x) = max { x, dij àij : i = 1, , k; j = 1, , r} Nh vy f1 + f2 l a din nh lý 2.5 ([3, Theorem 19.5]) Cho C l mt li a din khụng õm Khi ú C l a din vi mi vụ hng Nún lựi xa (recession cone) 0+ C cng l a din C th, nu C c biu din nh convS, ú S l mt hu hn ca cỏc im v chiu thỡ 0+ C = conv S0 , ú S0 gm cỏc im gc v chiu S Chng minh Biu din C nh ca cỏc nghim cho mt h hu hn ca cỏc bt ng thc x, bi i , i = 1, , m Khi ú C, vi > l cỏc nghim i vi x, bi i , i = 1, , m Hn na, O+ C l cỏc nghim ca x, bi 0, i = 1, , m Nh vy, C vi > v O+ C l a din Thụng thng, O+ C l a din, vỡ theo nh ngha O+ C = Ngoi C l a din, vỡ C l nh ca C di phộp bin i tuyn tớnh x x, v theo sau nú C l a din vi < Bõy gi, gi s C = convS, ú S gm cú a1 , , ak v cỏc chiu ca ak+1 , , am Cho K l nún li a din Rn+1 sinh bi cỏc vecto (1, a1 ) , , (1, ak ), (0, ak+1 ) , , (0, am ) Giao ca K vi siờu phng (1, x) Rn+1 : x Rn cú th c xỏc nh vi C v giao ca K vi siờu phng (0, x) Rn+1 : x Rn cú th xỏc nh vi O+ C Nh vy O+ C l sinh bi ak+1 , , am Núi cỏch khỏc, O+ C = conv S0 46 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG H qu 2.9 ([3, Corollary 19.5.1]) Nu f l mt hm li a din chớnh thng thỡ f l a din vi v = 0+ Chng minh p dng nh lý 2.5 i vi C = epif Bao li ca hp hai li a din khụng phi a din, nh xột vớ d trng hp ca mt ng v mt im khụng thuc ng iu tr ngi l phộp toỏn bao li thụng thng khụng tớnh n ly tng xng cỏc chiu suy thoỏi Mt cp li a din khụng õm C1 v C2 Rn cú th c biu din nh C1 = convS1 v C2 = convS2 , ú S1 v S2 l cỏc hu hn im v chiu, mt s ú cú conv (C1 C2 ) conv (S1 S2 ) , nhng ng thc khụng cn c nh Núi chung, t nh lý 2.5 ta cú conv (S1 S2 ) = C1 + O+ C2 O+ C1 + C2 conv (C1 C2 ) Tuy nhiờn, cl (conv (C1 C2 )) phi b i tt c cỏc phng din, ú C1 v C2 b i vỡ nú l li úng cha C1 v C2 Nh vy cl (conv (C1 C2 )) cha C1 +O+ C2 v O+ C1 +C2 , ú conv (S1 S2 ) T conv (S1 S2 ) l a din hu hn sinh v ú úng, iu ny ng ý conv (S1 S2 ) = cl (conv (C1 C2 )) nh lý 2.6 ([3, Theorem 19.6]) Cho C1 , , Cm l cỏc li a din khỏc rng Rn v C = cl (conv (C1 ã ã ã Cm )) khỏc rng Khi ú C l mt li a din, v C = {1 C1 + ã ã ã + m Cm } , ú hp l ly trờn tt c cỏc trng hp ca i 0, + ã ã ã + m = 1, vi 0+ Ci thay cho 0+ Ci i = Trng thỏi l khỏ tng t nún li c to 47 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG nh lý 2.7 ([3, Theorem 19.7]) Cho C l mt li a din khụng õm v K l bao úng ca hỡnh nún li sinh bi C Khi ú, K l mt hỡnh nún li a din, v K = C : > hoc = 0+ Chng minh Cho hp sau c kớ hiu bi K Nún li sinh bi C c cha K v bao úng K ca nú ln lt cha K (Vỡ K l mt li úng cha C v nờn K phi cha nún suy thoỏi 0+ C) Nh vy, clK = K Do ú K l a din Biu din C nh convS, ú S gm cú a1 , , ak v cỏc hng ca ak+1 , , am Vi > 0, C l bao li ca a1 , , ak v cỏc hng ca ak+1 , , am , ú 0+ C l bao li theo nh lý 2.5 ca im gc v hng ca ak+1 , , am Nh vy K ch n gin l ca tt c t hp tuyn tớnh khụng õm ca a1 , , ak , ak+1 , , am iu ny cho thy K l hu hn sinh v ú a din H qu 2.10 ([3, Corollary 19.7.1]) Nu C l mt li a din cha im gc thỡ nún li sinh bi C l a din Chng minh Nu C, 0+ C c cha C vi > thỡ cú th khụng ly t hp nh lý Cỏc hp sau ú ch nún li c sinh bi C v nh lý núi rng hp ny l a din Nh mt bi hn hp tớnh li a din, nu C l mt hỡnh a din li (politop) Rn v S l mt khỏc rng tựy ý ca C, thỡ D = {y : S + y C} l mt hỡnh a din li Ngoi ra, hon cnh no l " s che khut ton phn" v " vựng na ti" s c tỡm hiu sau 48 Khúa lun tt nghip i hc 2.2 BCH TH LAN HNG Hm ton phng li nh ngha 2.1 Ta núi rng f : Rn R l hm tuyn tớnh bc hai nu tn ti ma trn D Rnìn , vecto c Rn v s thc tha 1 f (x) = xT Dx + cT x + = x, Dx + c, x + 2 x c d d1n 11 Vi D = , c = , x = , xn cn dn1 dnn thỡ ta cú f (x) = n n n dij xi xj + j=1 i=1 ci xi + i=1 Vỡ xT Dx = 12 xT D + DT x, x Rn , biu din trờn cũn ỳng nu ta thay D bng ma trn i xng 12 D + DT Vỡ vy ta gi thit rng ma trn vuụng biu din ca hm tuyn tớnh bc hai l ma trn i xng Khụng gian ca ma trn i xng n ì n c kớ hiu l Rnìn s nh ngha 2.2 Ma trn D Rnìn c gi l xỏc nh dng (hay xỏc nh õm) nu v T Dv > (hay v T Dv < 0) vi mi v Rn \ {0} Nu v T Dv (tng ng v T Dv 0) vi mi v Rn thỡ D c gi l na xỏc nh dng (tng ng na xỏc nh õm) nh lý 2.8 Cho f (x) = 21 xT Dx + cT x + vi D Rnìn ,c s Rn , R Nu D l ma trn na xỏc nh dng thỡ f l hm li Chng minh Vỡ x cT x + l hm li v tng ca hai hm li l hm li Ta chng minh f1 (x) := xT Dx l hm li Do D l ma trn na xỏc nh dng vi mi u, v Rn , ta cú (u v)T D (u v) = uT Du 2v T Du + v T Du 49 Khúa lun tt nghip i hc BCH TH LAN HNG iu ny cú ngha l v T Dv uT Du 2v T D (u v) Ly bt kỡ x, y Rn v t (0, 1) , z = tx + (1 t) y ta cú z T Dz y T Dy 2z T D (y z) , z T Dz xT Dx 2z T D (x z) Vỡ y z = t (y x) v x z = (1 t) (x y) nờn t hai bt ng thc trờn ta cú (1 t) z T Dz + tz T Dz (1 t) y T Dy + txT Dx Do ú f1 (tx + (1 t) y) = f1 (z) tf1 (x) + (1 t) f (y) Suy f1 l hm li Vy f l hm li 50 KT LUN Trờn õy l ni dung ca khúa lun "Hm li, hm li a din v hm ton phng li " Khúa lun ny ó trỡnh by c nhng ni dung chớnh sau õy: Chng trỡnh by mt s khỏi nim, nh lý cng nh h qu v cỏc phộp toỏn, tớnh chớnh quy, bao úng , liờn hp v cc tr ca hm li Chng trỡnh by v hm li a din v hm ton phng li xoay quanh cỏc nh ngha, nh lý v h qu trng tõm õy l nhng kin thc cú nhiu ng dng to ln gii tớch li, hỡnh hc li v ti u li Song song vi vic lm khúa lun tt nghip vi ti: "Hm li, hm li a din v hm ton phng li ", tụi cũn tỡm hiu v phn mm son tho Latex Khúa lun trờn õy c son tho bng Latex Tuy nhiờn, thi gian thc hin khúa lun khụng nhiu cũn cú nhng sai sút, tụi rt mong nhn c s gúp ý ca quý thy cụ v bn c Tụi xin chõn thnh cỏm n! Ti liu tham kho [1] Daniel Hug, Wolfgang Weil,A Course on Convex Geometry, University of Karlsruhe revised version 2009/2010, January 24, 2011 [2] Roger Webster,Convexity, Oxford University Press, Oxford New Youk Tokyo, 1994 [3] R Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1972 52