Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - L TH L H HM GREEN A PHC V BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC Chuyờn ngnh: Gii tớch Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN 2011 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn MUC LUC M U CHNG I : MT S KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.2 Hm a iu ho di cc i 11 1.3 Toỏn t Monge-Ampốre phc 16 CHNG II: HM GREEN A PHC V BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC 23 2.1 a siờu li v hm a iu hũa di chp nhn c 24 2.2 Hm Green a phc trờn a siờu li 26 2.3 Cỏc nh lý so sỏnh i vi lp cỏc hm khụng b chn 37 2.4 Hm Green a phc v bi toỏn Dirichlet 43 KT LUN 48 TI LIU THAM KHO 49 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U Lý chn ti Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc c t nh sau: Cho D Ê n l gi li cht, l o Borel trờn D Hóy tỡm lp cỏc hm a iu hũa di P (D ) thớch hp trờn ú toỏn t Monge-Ampốre phc (dd c )n c xỏc nh tt cho vi hm liờn tc tựy ý h trờn D , bi toỏn sau cú nghim nht: u P (D ) (dd cu )n lim u (z ) h( ), D z (I ) Bi toỏn Dirichlet i vi hm a iu hũa di ó c nghiờn cu u tiờn bi Brememann (1959), ú ễng ó dựng phng phỏp ca Perron gii quyt Sau ú Bedford v Taylor (1976) ó gii thiu toỏn t Monge-Ampốre phc v gii Bi toỏn Dirichlet (I) P (D ) P SH (D ) I Lloc (D ) v o l liờn tc tuyt i i vi o Lebesgue T ú mt s tỏc gi nh U.Cegrell (1984), U.Cegrell v L.Persson (1992), U.Cegrell v S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) ó c gng gii quyt bi toỏn b qua tớnh liờn tc ca mt S.Kolodziej (1996) ó cho iu kin i vi tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc trờn lp P SH (D ) I Lloc (D ) v gii bi toỏn Dirichle i vi cỏc o nh th i vi cỏc o k d, tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet ó c gii quyt bi J.P.Demailly (1987) v P Lelong (1989) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo hng nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti "Hm Green a phc v bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc" õy chỳng tụi s trỡnh by vic gii bi toỏn Dirichlet (I) i vi o k d : n ( ) liờn kt vi hm a iu hũa di chp nhn c trờn D ti cú tớnh thi s, ó v ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm nghiờn cu Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l trỡnh by mt s kt qu v hm Green a phc v ỏp dng gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: + Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t MongeAmpốre + Trỡnh by mt s kt qu v a siờu li v hm a iu ho di chp nhn c, hm Green a phc trờn a siờu li, cỏc nh lý so sỏnh i vi lp cỏc hm khụng b chn + Gii bi toỏn Dirichlet nh hm Green a phc v toỏn t Monge-Ampốre Phng phỏp nghiờn cu - S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca gii tớch hm hin i S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn - S dng cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc - K tha phng phỏp v kt qu ca Ahmed Zeriahi B cc ca lun Ni dung lun gm 51 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v a siờu li v Hm a iu hũa di chp nhn c, Hm Green a phc trờn a siờu li, cỏc nh lý so sỏnh i vi lp cỏc hm khụng b chn Gii bi toỏn Dirichlet nh hm Green a phc v toỏn t Monge-Ampốre Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Xin chõn thnh cm n Trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn, Trng THPT Bc Kn cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng 08 nm 2011 Tỏc gi S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn CHNG I MT S KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.1.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u(a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Trong trng hp ny, ta vit u ẻ P SH (W) ( õy P SH (W) l lp hm a iu ho di W) 1.1.2 nh lý Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng ca Wé Ê n Khi ú u ẻ P SH (W) v ch vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n cho {a + l b : l ẻ Ê , l Ê 1}é W, Ta cú Trong ú u(a ) Ê l(u;a, b) , l(u ;a, b) = 2p 2p ũ u(a + e b)dt it Ngoi ra, tớnh a iu ho di l mt tớnh cht a phng Chng minh iu kin cn l hin nhiờn t nh ngha hm a iu hũa di vỡ l(u;a, b) = L (v;0,1) iu kin Gi s a ẻ W, b ẻ Ê n v xột S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn U = {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Khi ú U l m trờn Ê t v (l ) = u (a + l b), l ẻ U Cn chng minh v (l ) l iu hũa di trờn U Mun vy ch cn chng t nu l ẻ U tn ti r > cho vi Ê r < r thỡ v (l ) Ê 2p 2p ũ v(l + re i q )d q T a + l 0b ẻ U nu cú r > cho l < r thỡ a + l 0b + l b ẻ W Vi Ê r < r ta cú {a + l 0b + l rb : l Ê 1}é W Do ú t gi thit u (a + l 0b) Ê 2p Vy v (l ) Ê 2p 2p ũ u(a + l b + rbe i q )d q 0 2p ũ v(l + re i q )d q , ú l iu phi chng minh Mt s tớnh cht quan trng ca hm a iu ho di cú th c suy t kt qu tip theo Tng t nh trng hp ca cỏc hm iu ho di, ta gi nú l nh lý xp x chớnh cho cỏc hm a iu ho di 1.1.3 nh lý Cho Wé Ê n l mt m v u ẻ P SH (W) Nu e > cho We := z ẻ W: d (z , ả W) > e ặ, thỡ u * c e é C Ơ ầ P SH (We ) Hn na, { } u * c e n iu gim e , v lim u * c e (z ) = u(z ) vi mi z ẻ W eđ nh lý sau õy, mụ t tớnh a iu hũa di ca u qua o hm theo ngha phõn b v cn dựng cho vic chng t dd cu l dũng dng úng song bc (1,1) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 nh lý Gi s W l m Ê n (i) Nu u, v ẻ P SH (W) thỡ max {u, v } ẻ P SH (W) v nu a , b thỡ a u + b v ẻ P SH(W) Ngha l P SH(W) l nún li (ii) Nu {u j } j é P SH (W) l dóy gim thỡ u = lim u j hoc l hm a iu hũa di trờn W hoc bng - Ơ (iii) Nu dóy {u j } é P SH(W) l dóy hi t u trờn mi compact ca W ti hm u : Wđ Ă thỡ u ẻ P SH (W) (iv) Gi s {u a } é P SH(W) cho u = sup {u a : a ẻ I } l b chn aẻ I trờn a phng Khi ú chớnh quy húa na liờn tc trờn u * ẻ P SH(W) Chng minh Cỏc khng nh (i), (ii), (iii) suy t nh ngha hm a iu hũa di v nh lý hi t n iu hay nh lý qua gii hn di du tớch phõn trng hp dóy hi t u Ta chng minh (iv) Ch cn chng t a ẻ W, b ẻ Ê n cho {a + l b : l ẻ Ê , l Ê 1}é W thỡ u (a ) Ê 2p * 2p ũ u (a + e * iq b)d q D thy vi mi z ẻ W, b ẻ Ê n cho {z + l b, l Ê 1}é W ta cú u (z ) Ê 2p 2p ũ u (z + e * iq b)d q Vi a ẻ W, chn dóy {z n } é W cho z n đ a v u (z n ) đ u * (a ) T {z + l b, l } { } Ê é W nờn vi n ln z n + l b, l Ê é W Khi ú u (z n ) Ê 2p 2p ũ u (z * n + e i qb)d q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn B Fatou cho ta u (a ) = lim sup u (z n ) Ê n 2p * 2p ũ lim sup u (z * n Ê 2p n + e i qb)d q 2p ũ u (a + e * iq b)d q 1.1.5 Mnh Gi s Wé Ê n l m, w é W l m thc s, khỏc rng ca W Gi s u ẻ P SH (W) , v ẻ P SH(w) v lim sup x đ y v (x ) Ê v (y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi ú hm ớù max {u, v } w w = ùỡ ùù u W\ w ợ l hm a iu hũa di trờn W Chng minh Rừ rng w l na liờn tc trờn trờn W Ch cn chng t nu a ẻ W, b ẻ Ê n cho {a + l b, l Ê r }é W thỡ w (a ) Ê 2p 2p ũ w (a + re b)d q iq Vi a ẻ w , b ẻ Ê n , chn r > {a + l b, l Ê r }é w Khi ú u (a ) Ê 2p v (a ) Ê 2p T ú w (a ) Ê 2p 2p 2p ũ u a + re b d q Ê 2p ũ w (a + re b)d q 2p 2p ( ) iq v a + re b d q Ê ũ 2p ( iq ) iq ũ w (a + re b)d q iq 2p ũ w (a + re b)d q iq S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Monge-Ampốre phc 16 CHNG II: HM GREEN A PHC V BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC 23 2.1 a siờu li v hm a iu hũa di chp nhn c 24 2.2 Hm Green a phc trờn a siờu li 26... Hm Green a phc v bi toỏn Dirichlet 43 KT LUN 48 TI LIU THAM KHO 49 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U Lý chn ti Bi toỏn Dirichlet. .. Theo hng nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti "Hm Green a phc v bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc" õy chỳng tụi s trỡnh by vic gii bi toỏn Dirichlet (I) i vi o k d : n ( ) liờn kt vi