Bài thị dirichlet đối với phương trình monge ampere phức và tính chính qui của hàm green đa phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ HỒ BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Thái Ngun, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hịa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hiệu với kinh nghiệm q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, Trường PTDT Nội trú - THPT tỉnh, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hịa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà cực đại 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức 1.3 Bài toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere 1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit điểm 20 Chƣơng 2: BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC 24 2.1 Các ước lượng biên đạo hàm cấp hai 25 2.2 Các ước lượng nội đạo hàm cấp hai 32 2.3 Tính quy hàm Green đa phức 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho W miền bị chặn Ê n vi biờn ả W lp Ê Ơ Xét tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampère phức íï det (u ) = y (z , u, Ñ u ) W z j zk ïï ỡ ùù u = j tr ờn ả W ùợ (*) Khi W miền giả lồi mạnh, toán nghiên cứu rộng rãi Năm 1976, E Bedford B A Taylor chứng minh tồn tại, tính tính qui Lipschitz tồn cục nghiệm đa điều hịa tổng qt Năm 1980, Cheng Yau, cơng trình nghiên cứu mêtric & & Kahler-Einstein đầy đủ đa tạp phức không Compact, giải toán (*) với y = e u j = + ¥ , thu nghiệm thuộc lớp C ¥ (W) Năm 1985, L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg J Spruck chứng minh tồn nghiệm đa điều hòa cổ điển (*) cho trường hợp   , không suy biến điều kiện  thích hợp Trường hợp suy biến   thu hút nhiều ý, phản ví dụ tìm thấy nghiệm khơng thiết phải nghiệm thuộc lớp C2 (xem Bedford Fornaess, 1979; Gamelin Sibony năm 1980) Ở xem xét toán Dirichlet (*) miền tổng qt mà khơng cần đến tính giả lồi Theo hướng dẫn nghiên cứu trên, chọn đề tài: "Bài tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere phức tính qui hàm Green đa phức" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính quy nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampère 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère toán Dirichlet cổ điển toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit điểm - Trình bày số kết Bo Guan tính quy nghiệm tổng quát phương trình Monge-Ampère tính qui hàm Green đa phức Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết vị phức để trình bày kết Bo Guan Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hồ cực đại, tốn tử MongeAmpère toán Dirichlet cổ điển toán tử Monge-Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit điểm Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tính quy nghiệm tổng qt phương trình Monge-Ampère tính qui hàm Green đa phức Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Î W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.1.2 Định nghĩa Hàm giá trị thực u Ỵ C (W) , WÐ £ n , gọi đa điều hòa { } xác định dương W Ký hiệu {u } ma trận nghịch đảo {u } khả nghịch chặt ma trận Hessian phức uz z j k jk z j zk 1.1.3 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : W® ¡ hàm đa điều hồ Ta nói u cực đại với tập mở compact tương đối G W, với hàm nửa liên tục v G cho v Ỵ P SH (G ) v £ u ¶ G , có v £ u G Sau ta xem xét số tính chất tương đương tính cực đại 1.1.4 Mệnh đề Cho WÐ £ n mở u : W® ¡ hàm đa điều hồ Khi điều kiện sau tương đương: (i ) Với tập mở compact tương đối G W v Ỵ P SH (W) , lim sup(u (z ) - v(z )) , vi mi x ẻ ả G , u ³ v G ; z® x (ii ) Nếu v Ỵ P SH (W) với e > tồn tập compact K Ð W cho u - v ³ - e W\ K , u ³ v W; Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (iii ) Nếu v Ỵ P SH (W) , G tập mở compact tương đối W, u ³ v ¶ G u ³ v G; (iv ) Nếu v Ỵ P SH (W) , G tập mở compact tương đối W, lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , u ³ v G; z® x (v ) u hàm cực đại Chứng minh (i ) Þ (ii ) : Cho v hàm đa điều hồ có tính chất: với e > tồn tập compact K Ð W cho u - v ³ - e W\ K Giả sử u(a ) - v(a ) = h < điểm a Ỵ W Bao đóng tập hợp { E = z Ỵ W: u (z ) < v(z ) + h } tập compact W Bởi tìm tập mở G chứa E h compact tương đối G Theo (i ) ta có u ³ v + G , điều mâu thuẫn với a Ỵ E Phần cịn lại suy từ khẳng định: hàm íï max {u (z ), v(z )} (z Ỵ G ) ï w(z ) = ì ïï u (z ) (z Ỵ W\ G ) ïỵ đa điều hồ W theo giả thiết (iii ) , (iv ) , (v ) (i ) 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức Cho u đa điều hoà miền WÐ £ n Nếu u Ỵ C 2(W) tốn tử: c n (dd u ) é ¶u ù ú := (dd u ) Ù Ù (dd u ) = n !det êê dV , ú 1444444442 444444443 ¶ z ¶ z ê ú j k n ë û1£ j ,k £ n c c n với dV yếu tích C n gọi tốn tử Monge-Ampère Tốn tử xem độ đo Radon W, tức phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian hàm liên tục với giá compact C 0(W) W C (W) ' j a c n ò j (dd u ) W Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bedford Taylor chứng minh u đa điều hoà bị chặn địa phương W tồn dãy {u n } n> íï ì dd cu n ïỵï ( Ð P SH h (W) ầ C Ơ cho un ] u nỹ ù ) ùýùỵù hi t yu ti đo Radon  W tức là: lim ò j (dd cun ) = n n W ò j d m, " j Ỵ C (W) W Hơn  không phụ thuộc vào việc chọn dãy un  trên, ta ký hiệu: (dd c u )n = m gọi toán tử Monge-Ampère u Sau xem xét vài tính chất tốn tử MongeAmpère trình bày [1] { } dãy độ đo Radon tập mở WÐ 1.2.1 Mệnh đề Giả sử mj ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m Khi a) Nếu G Ð W tập mở m(G ) £ lim inf mj (G ) jđ Ơ b) Nu K é W l compact m(K ) ³ lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Nu E compact tng i W cho m(¶ E ) = m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ Chng minh a) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G } Giả sử K Ð G tập compact Lấy j Ỵ C (G ) , £ j £ j = K Khi m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) jđ Ơ T ú jđ Ơ m(G ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ S hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ { } b) Ta có m(K ) = inf m(V ) : V É K ,V Ð W ,V= V Giả sử V lân cận mở K j Ỵ C (V ) , £ j £ j = K Khi m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) j® ¥ Từ j® ¥ m(K ) ³ lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Vit E = IntE È ¶ E Khi m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) Ê lim inf mj (E ) jđ Ơ jđ ¥ Mặt khác m(E ) ³ lim sup mj (E ) lim sup mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ T ú m(E ) lim sup mj (E ) Vậy m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ 1.2.2 nh lý Gi sử WÐ £ n miền bị chặn u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ Khi ú zđ ảW ũ ( dd cv )n Ê ũ ( dd cu )n {u < v } {u < v } (1.1) 1.2.3 Hệ Giả sử WÐ £ n miền bị chặn u, v Ỵ P SH (W) ầ LƠ (W) cho u Ê v lim u (z ) = lim v(z ) = Khi ú zđ ảW zđ ảW ũ ( dd v ) c ( W) n £ ò ( dd cu )n ( W) 1.2.4 Hệ (Nguyên lý so sánh) Giả sử WÐ £ n miền bị chặn u, v Ỵ P SH (W) Ç L¥ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) zđ ảW Gi (dd cu )n £ (dd cv )n W Khi v £ u W Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sử 29 ( A v + B z - u y - uy n n ) ± T (u - u ) ³ WÇ B s (0) Từ suy ut a xn (0) £ A vx (0) + ut n (0) £ C , a < 2n (0) £ C , a , b < 2n a xn (2.5) Việc lại thiết lập ước lượng ux n xn (0) £ C Vì ta xây dựng ut t (0) , ut a b a xn Nên điều đủ để suy unn (0) £ C Giải phương trình (2.1) với u nn (0) ta thấy u x ut t (0) , ut a b miễn å uz a ,b < n a zb a xn n xn (0) £ C suy từ (0) £ C , a , b < 2n (0)xa xb ³ c0 > , với véc tơ đơn vị x = (x1, , xn - 1) Ỵ £ n - 2.1.2 Định lý Cho j , y hàm số trơn giá trị thực, y > Giả sử tồn nghiệm đa điều hịa chặt u Ỵ C (W) (2.1), tức là, det (u z j zk ) ³ y (z , u, Ñ u ) W, u = j ¶ W (2.6) Khi tồn nghim a iu hũa di cht u ẻ C Ơ (W) (2.1) với u ³ u 2.1.3 Mệnh đề Tồn c0 = c0( y 0, j , u, ¶ W) cho å a ,b < n uz a zb (0)xa xb ³ c0 > Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta cần bất đẳng thức sau đủ u11 (0) ³ c0 > (2.7) Ta giả sử u (0) = ut (0) = 0, j £ 2n - Tương tự (2.4) ta có: j (u - u )z a zb (0) = - (u - u )x (0)r z n a zb (0), a ,b < n Đặc biệt, u11 (0) = u11 (0) - (u - u )x (0)r 11 (0) n u (0) (trong K (2.2), 4K 11 Từ suy r 11 (0) £ £ (u - u )x (0) £ 2K ), u11 (0) ³ n r 11 (0) ³ u (0) > Do ta giả sử 11 u (0) > 4K 11 Hàm u%= u - l x n , l = ux (0) + u11 (0) / r 11 (0) , thỏa mãn n det (u%ik ) = det (uik ) ³ y 0, (2.8) ỉ¶ ¶2 ữ ỗỗ ữu%(t Â, r (t Â)) = ti ỗỗ + ữ ữ ỗả ả t2 ữ ố t1 ứ (2.9) Trờn ả W, u% khai triển thành chuỗi Taylor u%¶ W = q(t ¢) ỉ 4ư g a b t a t b + q(t Â) + O ỗỗ t  ữ ữ ữ, ố ứ a , b < 2n đa thức bậc ba Ta giả sử g11 = g12 = g22 = Dựa vào (2.9), ta có g11 + g22 = , (2.8), (2.9) xảy ta thay u%bởi u%- ( g11x 12 + 2g12x 1y1 + g22y12 ) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 31 Ta chứng tỏ rằng, sau trừ phần thực đa thức chỉnh hình (điều khơng ảnh hưởng đến (2.8) (2.9)), giả sử u%¶ W £ Re å 1< j £ n å a j z 1z j + C 1< j £ n zj , (2.10) với a j Ỵ £ thích hợp Để thấy điều trước tiên nhận xét 2n - å å n- g a b t a t b = Re å z 1(a1 j z j + a1 j z j ) + Re(cz 1y n ) a=1 b= j= Vì n- 1 ga b t a t b = Re å z 1(a1j z j + a1j z j ) + Re(cz 1y n ) + O(t 32 + + t 22n - 1) å a , b < 2n j= Tiếp theo, q(t ¢), đa thức bậc ba theo (t1, t ) có khai triển Re(az 13 + bz z ), số hạng bậc hai theo (t 1, t ) viết dạng n- n- j= j= 2 Re å z 12(a1¢j z j + a1¢j z j ) + Re å c j z j z , tất số hạng khác bị chặn C å 3£ b < 2n t b2 Cuối cùng, nhờ (2.3) ta thay z ( r 11 (0))- x n theo mơ đun đa thức chỉnh hình sai số điều chỉnh C å z b , ta 3£ b < 2n biến đổi hệ số a1j c cách hợp lý Do ta thử lại (2.10) Bây ta giả sử (2.8), (2.9), (2.10) đồng thời xảy xét hàm cản h = - ex n + d z + Số hóa trung tâm học liệu 2B å 1< j £ n a j z + Bz j http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 32 WÇ B s (0) với d > đủ nhỏ Giá trị riêng nhỏ {h }là 2d jk giá trị riêng lớn bị chặn CB với C số điều chỉnh, không phụ thuộc vào d Ta chọn < e < d cho d z - ex n > trờn ả (Wầ B s (0)) B đủ lớn (không phụ thuộc vào δ) cho h u% trờn ả (Wầ B s (0)) Như việc cố định B , chọn δ đủ nhỏ cho det (h jk ) £ y WÇ B s (0) Những lựa chọn xác định e Như h hàm cản u% Tức là, theo nguyên lý cực đại, u%£ h WÇ B s (0) Từ đó, u%(0) = h(0) , nên u%x (0) £ hx (0) = - e n n Theo (2.8), ta có u%11 (0) = - u%x (0)r (0) ³ e n Như (2.7) xảy với c0 = 11 u11 (0) 2K ò u (0) > 2K 11 W Ta thiết lập (2.1) Như chứng minh Định lý 2.1.2 đầy đủ 2.2 Các ƣớc lƣợng nội đạo hàm cấp hai 2.2.1 Định lý Cho u Ỵ C (W) Ç C 1(W) nghiệm đa điều hòa chặt (2.1) Giả sử tồn hàm đa điều hịa chặt v Ỵ C (W) vơí v = j ¶ W Khi uz j zk (z ) £ C (dist (z , ả W))N , vi z ẻ W ú C N số phụ thuộc vào n , W, u đến C 1( W) (2.11) , v C ( W) , y cho đạo hàm cấp nó, cận y > y (x , u, Ñ u ) , phụ thuộc vào u C ( W) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 Đây xem tương tự C - ước lượng nội Pogorelov phương trình Monge-Ampère thực (xem[12]) Với y = y (z, u ) j = (trong trường hợp này, W phải miền giả lồi mạnh, lấy v º , khơng phải đa điều hịa chặt), kết chứng minh F Schulz [13], chứng minh ông sử dụng cách tiếp cận phương pháp tích phân N M Ivochkina [9] cho phương trình Monge-Ampere thực S.-Y Cheng S.-T Yau [6] đạt ước lượng tương tự với điều kiện phụ thuộc vào sup W å u jk u z u z Chứng minh j k định lý trình bày phần mở rộng chứng minh Pogorelov cho trường hợp phức Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau, cần đến phần 2.3 2.2.2 Bổ đề Cho u nghiệm đa điều hòa (2.1) L = u jk ¶ j ¶ k tốn tử tuyến tính Cho h hàm dương W tập 2ü í W = max max hN å u jk (z )xj xk exp ïì P Đ u (z ) ïý z Ỵ W x = 1, x ẻ Ê n ùợù ùỵ ù j ,k (2.12) P ³ N ³ số giả sử W đạt điểm ( ) z Ỵ W với x = (1, 0, , 0) u jk z = với j ¹ k Khi đó, z , ta cú: ổ ỗ h Pu 11 11 ỗ ỗỗồ u + L (h) - N + m h ỗỗ j jj ỗố Nu j ,k 2ư u jk ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ u jj ÷ ÷ ÷ ø n + (f ) + 2Pu11 Re å u k L (u k ) £ , 11 (2.13) k N ³ 8P max Đ u (z ) zỴ W Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 34 Chứng minh Vì hàm N log h + log u11 + P Ñ u đạt giá trị cực đại z , nên điểm ta có N hj + h u11 j + På u11 (u u k kj ) + u k u kj = (2.14) k N h jj - N h æ2 + P ỗỗỗu jj + ỗố hj u11 jj + h u11 - u11 j u11 + 2ư ÷ u kj ÷ + Re å u k ukjj £ ÷ ÷ ø k å k (2.15) Từ (2.14) với j ³ , ta có N hj h u11 j £ N u11 2 4P ẹ u ổ ỗỗu + + ỗố jj N å k 2ư u kj ÷ ÷ ÷ ÷ ø (2.16) Lấy vi phân phương trình (2.1), ta được: å u jk u jkl = (f ) , l j ,k å u jk u jk 11 - j ,k å u jm u lk u jk 1ulm = (f ) , 11 j ,k ,l ,m f = log y Với N ³ , ta có å j ,k 2 u11 j ổ u 2ử ữ - 111 - ỗỗ1 + ữ ữ ỗố ữồ u kk u jj u11 Nø j > u 11u j j u1kj Tại z ta có L = å (2.17) u -jj 1¶ j ¶ j ; nhân (2.15) với u11u -jj lấy tổng theo j đồng thời sử dụng (2.16) (2.17), ta thu (2.13) W Chứng minh Định lý 2.2.1 Khơng tính tổng qt, ta giả sử ( ) det vij £ y0 W, đó: y º y (x , u (x ), Ñ u (x )) > xỴ W Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 35 phụ thuộc vào u C (W) (Nếu điều khơng thỏa mãn áp dụng Định lý 2.1.2 ta sử dụng v , hàm đa điều hòa chặt nghiệm y0 ( ) để nhận hàm đa điều hòa chặt v% thỏa mãn det vij £ W, v%= j ¶ W Khi ta thay v v%) Theo lập luận rào cản tiêu chuẩn ta thấy (u - v )(z ) ³ e0dist (z , ¶ W) với x Ỵ W (2.18) với số e0 > Hơn nữa, v đa điều hịa dưới, nên ta có L (h ) = L (v ) - L (u ) ³ - L (u ) = - n (2.19) Để nhận (2.11) ta lấy h º v - u (2.12); điều đủ để suy cận W Vì h = ¶ W, nên W đạt điểm z Ỵ W với x Î £ n Sau biến đổi chỉnh hình tọa độ ta giả sử x = (1, 0, , 0) u j k (z ) = với j ¹ k Do ta áp dụng Bổ đề 2.2.2 Bằng tính tốn đơn giản, ta (xem [5]) (f )11 ³ æ 2 Re å f p u j 11 - C ỗỗỗ1 + u11 + j ỗố j å j 2ư ÷ u1 j ÷ ÷ ÷ ø Từ (2.14) ta có: ỉ Re å f p uj 11 = - 2Ku11 Re å f p çççu j u j j + j j ç è j j å k 2Nu 11 ÷ u k u kj ÷ Re å f p h ÷ j j ÷ h ø j ỉ Nư ÷ ³ - 2Ku11 Re å uk L (u k ) - Cu11 ỗỗK + ữ ữ ỗ ữ h ố ứ j Bây giờ, nhân (2.13) với h , kết hợp với (2.19) hai bất đẳng thức trên, ta Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36 ổ 2ỗ P C h ( ) ỗỗỗu11 + è å j 2ư ÷ u1j ÷ - C (P + N )hu 11 - C N £ ÷ ÷ ø Chọn N > P > , nhận cận hu11 nhận cận W Cuối cùng, với z Ỵ W tùy ý, ta có max å x = 1, x Ỵ £ n j ,k u jk (z )xj xk £ 2ü íï ï exp P ẹ u z ỡ ( ) ý ùợù ùỵ hN ï W Theo (2.18), điều hồn thành chứng minh Định lý 2.2.1 W 2.3 Tính quy hàm Green đa phức Một tính chất hàm Green đa phức nghiệm yếu tốn sau: íï u Ỵ P SH (W- {a }) ïï ïï det(u ) = W- a {} z j zk ï ì ïï u = ˆ tren ¶W ïï ïï u(z) = log z - a + O (1) z ® a î (2.20) Trong phần chứng minh tính giải toán (2.20) C 1,a (W- {a }) Trong trường hợp W trơn, bị chặn lồi chặt, Lempert [11] chứng minh gW(z , a ) ẻ C Ơ (W- {a }) Tuy nhiên, trường hợp giả lồi mạnh, E Bedford J.-P Demailly [2] tìm phản ví dụ gW(z , a ) nói chung không thuộc C 2(W- {a }) Sau áp dụng Định lý 2.1.2 để chứng minh tính C 1,a - quy hàm Green đa phức miền giả lồi mạnh 2.3.1 Định lý Cho W miền giả lồi mạnh, trơn bị chặn a Ỵ W Khi gW(z , a ) Ỵ C 1,a (W- {a }) với < a < Lưu ý Định lý 2.2.1 sử dụng trực tiếp chứng minh Định lý 2.3.1 toán (2.20) suy biến Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 37 Chúng ta chứng minh Định lý 2.3.1 việc chứng minh toán có nghiệm C 1,a (W- {a }) W miền giả lồi mạnh, trơn bị chặn Ta chứng minh định lý sau đây, từ suy Định lý 2.3.1 2.3.2 Định lý Cho W miền giả lồi mạnh, trơn bị chặn, a Ỵ W Khi ( ) tồn nghiệm yếu (2.20) trongC 1,a W- {a } Chứng minh Tính hệ nguyên lý cực tiểu BedfordTaylor [4] Tiếp theo ta chứng minh tồn Khơng tính tổng quát, ta giả sử B (a ) Ð W Theo [5], tồn nghiệm đa điều hịa chặt v Ỵ C ¥ (W) toán Dirichlet ( ) det v j k = W, v = - log z - a ¶ W Đặt u º v + log z - a ẻ C Ơ W- {a } Ta thấy u đa điều hoà ( chặt W- ) {a } thỏa mãn íï det(u ) ³ e W- {a }, < e < ïï jk 0 ï u £ 0, u = ì ¶W ïï ïï u (z) = log z - a + O(1) z đ a ợ Vi mi < e £ e0 , đặt We = W- B e (a ) xét toán Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u ¶ We Chú ý rằng, u nghiệm, nên theo Định lý 2.1.2 tồn nghiệm đa điều hịa chặt u e Ỵ C ¥ (We )của tốn Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u ¶ We Theo nguyên lý cực đại ta thấy ¢ u £ u e £ u e £ log z - a We e ¢£ e (2.21) Như giới hạn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38 u (z ) º lim u e (z ) e® ( ) tồn với z Ỵ W- {a } Ta muốn chứng minh u Ỵ C 1,a W- {a } với < a < Điều đủ để thiết lập ước lượng sau đây: với tập compact K Ð W- {a }, với ε đủ nhỏ cho K Ð We , ta có ue C 1,a (K ) £ C = C (K ) không phụ thuộc vào e (2.22) Trước hết, từ (2.21) ta có, max u e £ C không phụ thuộc vào e K Bây ta ước lượng đạo hàm ¶ W Giả sử h hàm điều hòa We với giá trị biên h ¶W = h = log e0 Khi đó, với e < e0 ¶ B e (z ) u £ u e £ h We Từ suy < c1 £ Ñ u e = u ne £ C ¶ W, khơng phụ thuộc vào e (2.23) đạo hàm lấy theo n theo hướng chuẩn tắc véc tơ đơn vị hướng phía ngồi ¶ W Đối với đạo hàm bậc điểm ¶ W, ta nhận xét chứng minh ước lượng (2.5) đạo hàm cấp hai hỗn hợp phần 2.1 có hiệu lực, cặp ước lượng đạo hàm pháp tuyến suy từ (sử dụng ký hiệu phần 2.1) uz a zb = - u x (0)r z n a zb với (2.23) tính giả lồi mạnh W Vì vậy, ta có Đ 2u e £ C ¶ W, khơng phụ thuộc vào e (2.24) Tiếp theo ta nhận Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 Du º e n å j=1 (u ) + uye y £ C K độc lập với e e x jx j j j (2.25) Chọn e1 > đủ nhỏ để K Ð W- B e (z ) Với e < e1 , đặt M e = max max h2 å u jek (z )xj xk , z Ỵ We x = 1, x Ỵ £ n j ,k h = z - a - e12 Ta muốn ước lượng M e , suy cận u jk K chứng minh Định lý 2.2.1 Nếu M e đạt ¶ W, cận M e suy từ (2.24) Giả sử M e đạt điểm W- B e (a ) Theo Bổ đề 2.2.2 (trong bất đẳng thức (2.13), lấy N = 2, P = f º log e ) ta nhận Meå j u je j £ C Theo bất đẳng thức giá trị trung bình số-hình học ta có å j Từ suy M e £ n Ce u jje ³ n det - 1/ n ( ) u jek = n e- 1/ n Do ta thu cận M e nhận (2.25) D u = 4å u jj Cuối cùng, (2.22) suy từ (2.25) Điều ( ) chứng tỏ u Î C 1,a W- {a } giải tốn (2.20), điều hồn thiện chứng minh Định lý 2.3.2 Trong [14], S Semmes phát triển định lý ánh xạ Riemann suy rộng có liên quan chặt chẽ với hàm Green đa phức (Định lý 2.2 [14]) Sử dụng cơng trình Lempert [11], ông chứng minh tồn ánh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 xạ Riemman trơn với ảnh trơn lồi chặt cho £ n Ta có hệ sau Định lý 2.3.1 2.3.3 Hệ Nếu ρ : B n ® £ n ánh xạ Riemann mà ảnh miền giả lồi mạnh trơn £ n , B n ký hiệu hình cầu đơn vị £ n , r C 1, a B n - Số hóa trung tâm học liệu {0} với < a < tuỳ ý http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ cực đại, toán tử Monge-Ampère toán Dirichlet cổ điển toán tử Monge-Ampere, hàm Green đa phức với cực logarit điểm - Một số kết Bo Guan tính quy nghiệm tổng qt phương trình Monge-Ampère tính qui hàm Green đa phức Cụ thể trình bày chứng minh chi tiết kết sau: + Giả sử j , y hàm số trơn giá trị thực, y > Giả sử tồn nghiệm đa điều hịa chặt u Ỵ C (W) toán Dirichlet phương trình Monge-Ampère phức íï det (u ) = y (z , u, Ñ u ) W z j zk ùù ỡ ùù u = j trờn ả W, ùợ (2.1) W bị chặn £ n với Ê Ơ - biờn ả W, tc l, det (u z j zk ) ³ y (z , u, Ñ u ) W, u = j ¶ W Khi tồn nghiệm đa điều hịa cht u ẻ C Ơ (W) ca bi toỏn (2.1) với u ³ u + Giả sử W miền giả lồi mạnh, trơn bị chặn a Î W Khi gW(z , a ) Î C 1,a (W- {a }) với < a < + Cho W miền giả lồi mạnh, trơn bị chặn, a Ỵ W Khi tồn ( ) nghiệm yếu trongC 1,a W- {a } tốn íï u Ỵ P SH (W- {a }) ïï ïï det(u ) = W- a {} z j zk ï ì ïï u = ˆ tren ¶W ïï ïï u(z) = log z - a + O (1) z ® a ỵ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2009 Tiếng Anh: [2] E Bedford and J.-P Demailly, Two counterexamples concerning the pluricomplex Green function in £ n , Indiana Univ Math J., 37 (1988), 865-867 [3] E Bedford and J E Fornaess, Counterexamples to regularity for the complex Monge-Ampere equation, Invent Math., 50 (1979), 129-134 [4] E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex MongeAmpere equation, Invent Math., 37 (1976) 1-44 [5] L A Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg and J Spruck, The Dirichlet problem for nonlinear secondorder elliptic equations II Complex MongeAmpere and uniformly elliptic equations, Comm Pure Applied Math., 38 (1985), 209-252 [6] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Applied Math., 33 (1980), 507-544 [7] B Guan, The Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations and regularity of the pruli-complex Green function, Comm Anal Geom (1998), 687-703 [8] B Guan and J Spruck, Boundary value problem on S n for surfaces of constant Gauss curvature, Annals of Math., 138 (1993), 601-624 [9] N M Ivochkina, Construction of a priori bounds for convex solutions of the Monge-Ampere equa tions by integral methods, Ukrain Math J., 30 (1978), 32-38 [10] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York 1991 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 [11] L Lempert, La metrique de Kobayashi et la representation des domains sur la boule, Bull Sci Mat France 109 (1981), 427-474 [12] A V Pogorelov, The Minkowski Multidimensional Problem, Wiston, Washington D.C, 1978 [13] F Schulz, A C - estimate for solutions of complex Monge-Amp`ere equations, J Reine Angew Math, 348 (1984), 88-93 [14] S Semmes, A Generalization of Riemann Mappings and Geometric Structures on a Space of Domains in Cn, Memoirs Amer Math Soc., no 472, 1992 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chƣơng BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Cho W miền bị chặn £ n với £ ¥ - biên ¶ W Trong chương quan tâm đến tốn Dirichlet phương trình. .. điển toán tử Monge- Ampere, hàm Green đa phức với cực logarit điểm - Một số kết Bo Guan tính quy nghiệm tổng qt phương trình Monge- Ampère tính qui hàm Green đa phức Cụ thể trình bày chứng minh... BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE PHỨC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC 24 2.1 Các ước lượng biên đạo hàm cấp hai 25 2.2 Các ước lượng nội đạo hàm cấp